分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第1課時）（教學課件）高二數(shù)學選擇性必修第三冊同步高效課堂（人教A版2019）

第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

·選擇性必修第三冊·學習目標1.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理;（重點）2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.（重點）3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.（難點）4.培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算等重要學科素養(yǎng)情境導入6.1兩個計數(shù)原理01引入新知隨著人們生活水平的提高,家庭汽車擁有量迅速增長,汽車號牌序號需要擴容．那么,交通管理部門應(yīng)如何確定序號的組成方法,才能滿足民眾的需求呢?計數(shù)問題引入新知小朋友數(shù)玩具紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號4種堿基組成不同的RNA分子思考：通過一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“計數(shù)”，以提高效率呢？分類加法計數(shù)原理6.1兩個計數(shù)原理02探究新知思考用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？編號有2類方案：

第一類方案

用大寫的英文字母編號：可編出

26種

不同的號碼;

第二類方案

用阿拉伯數(shù)字編號：可編出

10種

不同號碼;

總共能編出

26+10=36種

不同的號碼.

探究新知探究你能說一說這個問題的特征嗎?首先這里要完成的事情是“給一個座位編號”其次“或”字的出現(xiàn)：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯數(shù)字表示因為英文字母與阿拉伯數(shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數(shù)字編出的號碼也互不相同．這兩類號碼數(shù)相加就得到號碼的總數(shù)．探究新知思考上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)有哪些？（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù)．思考你能舉一些生活中類似的例子嗎？探究新知舉例小明要從北京到重慶，一天中飛機有4班，火車有3班，一天中乘坐這些交通工具從北京到重慶共有多少種不同的走法？從北京到重慶有2類方案：

第一類方案

乘坐飛機：可編出

4種

不同的號碼;

第二類方案

乘坐火車：可編出

3種

不同號碼;

總共能編出

4+3=7種

不同的號碼.

探究新知定義一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：

應(yīng)用新知例1：在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學各有一些

自己感興趣的強項專業(yè)，如表6.1-1，表6.1-1A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學管理學法學工程學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？應(yīng)用新知分析要完成的事情是“選一個專業(yè)”．因為這名同學在A，B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件．解析該同學選一個專業(yè)，有兩類方案：第1類，在A大學中選，有5種專業(yè)選擇方法；所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為:

N=5+4=9第2類，在B大學中選，有4種專業(yè)選擇方法．，應(yīng)用新知可以從男生或女生種選一名．從男生中有30種不同選法，從女生中有24種不同選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，該班選一名做代表的選法種數(shù)為N=30+24=54解析跟蹤練習：某班有男生30名，女生24名，現(xiàn)要從中選一名，代表班級參加比

賽，共有_______種不同的選法.54探究新知探究完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第

2

類方案中有

m2

種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？共有

N=m1+m2+m3

種不同方法推廣如果完成一件事情有

n

類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當如何計數(shù)呢?

共有

N=m1+m2+...+mn

種不同方法分步乘法計數(shù)原理6.1兩個計數(shù)原理03探究新知追問前一個問題和這個問題，完成的事情都是“給一個座位編號”，這兩個問題有何不同？

思考這兩個問題中編號的要求不同，在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數(shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼．但在這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成，即得到一個號碼要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字這樣兩個步驟．探究新知提示用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號碼.

圖6.1-1是解決計數(shù)問題常用的“樹狀圖”追問你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？探究新知追問有沒有更簡單一點的計數(shù)方法？

我們還可以這樣來思考：由于前

6

個英文字母的任意一個都能和

9

個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼,而且它們各不相同，因此共有6×9=54個不同的號碼.探究新知探究你能說一說這個問題的特征嗎?首先這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”其次“和”字的出現(xiàn)：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯數(shù)字構(gòu)成因此得到一個座位號要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字這兩個步驟，每一個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的．探究新知思考上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)有哪些？（1）確定分步標準，根據(jù)問題條件分：先選字母號碼，后選數(shù)字號碼兩個步驟；（2）分別計算各步驟號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù)．思考你能舉一些生活中類似的例子嗎？探究新知舉例小明先從北京到成都，飛機有4班，一天后再從成都到重慶，火車有3班。小明乘坐這些交通工具從北京經(jīng)成都到重慶共有多少種不同的走法？從北京到重慶：需分2個步驟進行

第一步

從北京到成都：有

4種

不同的走法;

第二步

從成都到重慶：有

3種

不同的走法;

總共有

4×3=12種

不同的走法.

探究新知定義一般地，有如下分步乘法法計數(shù)原理：

辨析(1)無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù)(2)只有各個步驟都完成才算做完這件事情應(yīng)用新知例2：某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加

比賽，共有多少種不同的選法?分析要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個步驟：第1步，選男生；第2步，選女生．任選男生和女生各1名，可以分兩個步驟完成：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為:N=30×24=720解析應(yīng)用新知跟蹤練習：某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由6位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)

字是不變的，后2位數(shù)字都是0～9之間的一個數(shù)字，這個電話局

不同的電話號碼最多有多少個？確定后兩位數(shù)字組成一個電話號碼，可以分兩個步驟完成：第1步，選第5位上的數(shù)字，有10種不同選法；第2步，選第6位上的數(shù)字，有10種不同選法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同選法種數(shù)為N=10×10=100解析探究新知探究完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第

2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

共有

N=m1×m2×m3

種不同方法推廣如果完成一件事情需要

n

個步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當如何計數(shù)呢?

共有

N=m1×m2×...×mn

種不同方法應(yīng)用新知例3：書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，

第3層放有2本不同的體育書．(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成．應(yīng)用新知(1)從書架上任取

1

本書，有三類方案：解析第1類方案是從第1層?。北居嬎銠C書，有4種方法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為：N=4+3+2=9第2類方案是從第2層?。北疚乃嚂?種方法；第3類方案是從第3層取１本體育書，有2種方法．應(yīng)用新知(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分3個步驟完成：解析第

1

步，從第

1

層取

1

本計算機書，有

4

種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為：N=4×3×2=24第

2

步，從第

2

層取

1

本文藝書，有

3

種方法；第

3

步，從第

3

層取

1

本體育書，有

2

種方法．應(yīng)用新知跟蹤練習：要從甲、乙、丙

3

幅不同的畫中選出

2

幅,分別

掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不

同的掛法?解析法一：分步乘法計數(shù)原理3×2=6

第

1

步：選出

2

幅畫(

3種：甲乙、甲丙、乙丙)

第

2

步：對

2

幅畫確定左右(各

2

種掛法)法二：分步乘法計數(shù)原理3×2=6

第

1

步：選

1

幅掛左邊(

3種：甲、乙、丙)

第

2

步：選

1

幅掛右邊(各

2

種選擇)應(yīng)用新知跟蹤練習：要從甲、乙、丙

3

幅不同的畫中選出

2

幅,分別

掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不

同的掛法?解析法三：分類加法計數(shù)原理2+2+2=6

第

1

類：甲在左(

2種方法：甲乙、甲丙)

第

2

類：乙在左(

2種方法：乙丙、乙甲)

第3類：丙在左(

2種方法：丙甲、丙乙)法四：樹狀圖列舉法，如右圖探究新知總結(jié)分類計數(shù)原理加法與分步乘法計數(shù)原理的異同：相同點回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題不同點分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以做完這件事；針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．能力提升6.1兩個計數(shù)原理04能力提升題型一“多面手”問題例題17名學生中，3名會下象棋但不會下圍棋，2名會下圍棋但不會下象棋，2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種不同的選法.【詳解】第

1

步：選出會象棋的，有5種選擇;第

2

步：選出會圍棋的，有4種選擇;根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共5×4=20種選法.3象2圍2多其中同個多面手2次均被選中的情況應(yīng)排除，故有20－2=18種選法能力提升總結(jié)排除法解決“多面手”問題模型a

名會甲但不會乙，c

名會乙但不會甲，b名既會甲又會乙，現(xiàn)從中選出2人分別參加甲比賽和乙比賽，共有

N

種不同的選法.a甲c乙b多解析第1步：選出會甲的，有

a+b種選擇;第2步：選出會乙的，有

c+b種選擇;根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共

(a+b)(c+b)種選法.其中同個多面手2次均被選中的情況應(yīng)排除，故有

(a+b)(c+b)－b種選法能力提升題型二“ab與ba”問題例題2有6名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定6名同學都參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，但每人參加的項目不限．【詳解】(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為：36=729(2)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為：63=216能力提升總結(jié)模型有a個人選b個項目，在下列情況下各有多少種不同的選法？(不一定每人都參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，但每人參加的項目不限．分步乘法計數(shù)原理解決“abba”問題解析(1)人選項目，每人有

b種選法，根據(jù)乘法原理：a個人共有種

ba

選法;(2)項目選人，每項目有

a種選法，根據(jù)乘法原理：b個項目共有

ab

種選法;課堂小結(jié)+限時小練6.1兩個計數(shù)原理05課堂小結(jié)兩個計數(shù)原理隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析隨堂限時小練解析第1步：選出會下象棋的，有

6種選擇;第2步：選出會乙的，有7種選擇;根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共6×7=42種選法.其中同個多面手4次均被選中的情況應(yīng)排除，故有42-4=38種選法2象棋3圍棋4多作業(yè)布置鞏固作業(yè)作業(yè)1：完成教材：第5頁~第6頁練習1,2,3,4.作業(yè)2：配套輔導資料對應(yīng)的《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》.

作業(yè)布置與課后練習答案6.1兩個計數(shù)原理06課后作業(yè)答案1．填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是

；(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是

．練習(第5頁)(1)由分類加法計數(shù)原理可得，不同選法的種數(shù)是：5+4=9(2)由分步乘法計數(shù)原理可得，不同選法的種數(shù)是：3×2=6課后作業(yè)答案練習(第5頁)在例1中，若數(shù)學也是A大學的強項專業(yè)，則A大學有6個專業(yè)可以選擇，B大學有4個專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，得到這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10．這種算法有什么問題？這種算法不正確.因為要確定的是這名同學的專業(yè)選擇，并步需要考慮學校的差異，所以應(yīng)當是6+4-1=9（種）可能的專業(yè)選擇.課后作業(yè)答案練習(第5頁)3．書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?(2)從書架上任取數(shù)學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?(1)從書架上任取

1

本書，有兩類方法：第

1

類方法是從上層取

1

本數(shù)學書，有

6

種取法；第

2

類方法是從下層取

1

本語文書，有

5

種取法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，不同的取法種數(shù)為

N=6+5=11課后作業(yè)答案練習(第6頁)3．書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?(2)從書架上任取數(shù)學書和語文書各1本，有多少種不同的取法?