河南省周口市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

絕密★啟用前周口市普通高中2024-2025學(xué)年高一年級(jí)期末（上）聯(lián)合考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由集合的并集的定義求得后可得．【詳解】因?yàn)?，所以中?個(gè)元素．故選：C．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可直接得答案．詳解】．故選：B.3.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化，再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算求解．【詳解】由，得，由，得．故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的取值范圍，即得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D.5.要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為同名函數(shù)，然后利用左加右減的原則，即可得解．【詳解】因?yàn)?，所以把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象．故選：A.6.若函數(shù)有意義，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿(mǎn)足“同增異減”即可求解，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【詳解】由題知且．設(shè)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，解得．綜上得．故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角恒等變換公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可直接求得答案．【詳解】由，得，，兩式相加，得，即．故選：B.8.已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得，是方程的根，當(dāng)時(shí)，可求得，進(jìn)而計(jì)算可求得的取值范圍．【詳解】如圖，畫(huà)出大致圖象．方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可知．易知：是方程的根，即的根，所以．當(dāng)時(shí)，令，可得，所以時(shí)，．所以．所以的取值范圍是．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若A，B均為非空集合且，則“”是“”的必要不充分條件B.若a，，則“”是“”的充分不必要條件C.若x，，則“”是“”的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，則“”是“”的必要不充分條件，A正確；對(duì)于B，由，得，從而，但由只能得到，不能得到，則“”是“”的充分不必要條件，B正確；對(duì)于C，等式成立的前提是，則“”不是“”的充要條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，必有，反之不成立，則“”是“”的充分不必要條件，D正確故選：ABD10.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法可判斷A，D，利用不等式性質(zhì)可得，進(jìn)而分析可得，可判斷B；利用不等式性質(zhì)可得，可判斷C.【詳解】對(duì)于A，D，取，則，故A，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合B選項(xiàng)的分析，可得，所以，故C正確．故選：BC.11.若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，則（）A.的值不可能是0 B. C.是奇函數(shù) D.是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)令，求出，再驗(yàn)證，得到結(jié)論；B選項(xiàng)令求得；C選項(xiàng)令得到與的關(guān)系即可；D選項(xiàng)根據(jù)題意寫(xiě)出一個(gè)不是增函數(shù)的解析式排除即可.【詳解】對(duì)于A，在中，令，得或，若，則當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得，所以是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，取，是符合已知條件的函數(shù)，但不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則，的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．13.已知某種食品的保鮮時(shí)間y（單位：h）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿(mǎn)足的關(guān)系式為，若該食品在時(shí)的保鮮時(shí)間是，在時(shí)的保鮮時(shí)間是在時(shí)保鮮時(shí)間的2倍，則該食品在時(shí)的保鮮時(shí)間是__________．【答案】64【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列式求解．【詳解】由該食品在時(shí)的保鮮時(shí)間是，得，所以，由在時(shí)的保鮮時(shí)間是在時(shí)保鮮時(shí)間的2倍，得，所以，所以該食品在時(shí)的保鮮時(shí)間是．故答案為：64.14.已知函數(shù)，在上的最大值為，則__________．【答案】1【解析】【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的值．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用最小正周期可求得，利用對(duì)稱(chēng)軸可求得，可求解函數(shù)的解析式；（2）利用的單調(diào)遞增區(qū)間為，可求的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，因?yàn)閳D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，又，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，所以令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.已知函數(shù)．（1）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算求出，根據(jù)定義域和單調(diào)性即可求出的解集；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在時(shí)有解，再借助一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，又，所以．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以由，得，解得，故原不等式的解集為．【小問(wèn)2詳解】，即，化簡(jiǎn)可得，所以方程在時(shí)有解．易知在上的值域?yàn)?，所以，又，所以，即a的取值范圍為．17.已知．（1）求；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用齊次式可求解；（2）由二倍角的正切函數(shù)公式求得，由，求得，進(jìn)而利用兩角和的正切函數(shù)公式可求解.【小問(wèn)1詳解】因，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，①兩邊平方得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，②①②?lián)立，得，所以，故．18.已知是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）用單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；（3）解關(guān)于不等式．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，（3）根據(jù)一元二次不等式的解的特征，結(jié)合分類(lèi)討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，其定義域?yàn)?，所以，即，所以（?fù)值舍去）．當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，是偶函數(shù)，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知．，且，有，由，得，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)3詳解】由（1）知，故原不等式為，可得．若，得，原不等式的解集為，若，原不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以原不等式的解集為，若，原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為．19.給定區(qū)間D，若在D上有最大值M及最小值m，且，則稱(chēng)為D上的“單位距函數(shù)”．（1）若是上的“單位距函數(shù)”，求a的值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．（i）求的表達(dá)式；（ii）若為整數(shù)，且為區(qū)間上的“單位距函數(shù)”，求m，a的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意可得，求解即可；（2）（i），令，分，，三種情況討論可求得的表達(dá)式；（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)，，，結(jié)合已知可求得的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)；，此時(shí)．因?yàn)闉樯系摹皢挝痪嗪瘮?shù)”，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】（i）．設(shè)，