新高考藝術生40天突破數(shù)學第19講 復數(shù)（解析版）

第19講復數(shù)【知識點總結】一.基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，.（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作.=1\*GB3①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）。兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù).=2\*GB3②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）=3\*GB3③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，.二.基本性質1.復數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數(shù).（3）.實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù).2.復數(shù)的幾何意義（1）復數(shù)對應平面內的點；（2）復數(shù)對應平面向量；（3）復平面內實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內的點都表示復數(shù).（4）復數(shù)的模表示復平面內的點到原點的距離.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】解：因為，所以復數(shù)在復平面內的對應點為，位于第二象限，故選：B.例2．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以故選：C（多選題）例3．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù)z滿足，則（）A．|z|=2 B．是純虛數(shù)C．復數(shù)z在復平面內對應的點在第三象限 D．若復數(shù)z在復平面內對應的點在角α的終邊上，則sinα=【答案】AB【詳解】由題意，，A選項正確；，B選項正確；在復平面內對應點為，對應點在第一象限，C選項錯誤；，D選項錯誤.故選：AB.例4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知復數(shù)，則___________.【答案】2【詳解】解：，則.故答案為：2.例5．（2022·江蘇·高三專題練習）已知其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則_________【答案】【詳解】由，可得則，解得.故答案為：.例6．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為_____________.【答案】-1【詳解】，所以虛部為-1.故答案為：-1.例7．（2022·全國·高三專題練習）復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【詳解】因為，所以在復平面中所對應的點的坐標為，令，解得.故答案為：.【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·模擬預測）已知，，，復數(shù)的實部為，虛部為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)后結合復數(shù)的定義可得．【詳解】，所以，，所以.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）設，則z的共軛復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對復數(shù)化簡，從而可求出其共軛復數(shù)，進而可求出其虛部【詳解】因為，所以，所以的虛部為，故選：C3．（2022·全國·高三專題練習）下列命題中∶①兩個復數(shù)不能比較大??；②若，則當且僅當時，為純虛數(shù)；③則；④；⑤若實數(shù)與對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的概念，逐項判斷，即可得到結果.【詳解】復數(shù)(為實數(shù))，當時可以比較大小，當時，不能比較大小，故①錯誤;復數(shù)，當為實數(shù)且時，為純虛數(shù)，故②錯誤;若,則，但不成立，故③錯誤;只有當時，有，故④錯誤;若，則，不是純虛數(shù)，故⑤錯誤.綜上可知，有0個命題正確.故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習）若，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算和相等復數(shù)的性質，求出，再根據(jù)，得出，從而可求出的取值范圍.【詳解】解：因為，所以，所以，解得：，因為，所以，解得：或，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習（文））已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)相等列方程組，解方程組求得，由此求得的虛部.【詳解】設，，則，∵，∴，即，解得，∴，故復數(shù)的虛部為.故選：D6．（2022·浙江·高三專題練習）設，，為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，，那么，且【答案】D【分析】舉特例排除選項，利用正實數(shù)的性質判斷正確.【詳解】對于，反例，，滿足，，但是不正確，所以不正確；對于，反例，滿足，但是，所以不正確；對于，滿足的復數(shù)對應的點的軌跡為點與點連線的中垂線，所以不正確；對于，，顯然為正實數(shù)，所以，且正確.故選：7．（2022·浙江·高三專題練習）復數(shù)，若復數(shù)，則在復平面內，復數(shù)對應的點與復數(shù)對應的點（）A．關于實軸對稱 B．關于虛軸對稱C．關于原點對稱 D．關于點對稱【答案】B【分析】由條件求得，化簡，根據(jù)復平面內坐標，判斷兩復數(shù)對稱性即可.【詳解】由題知，，由復數(shù)在復平面內對應的點的坐標知，其對應的點關于虛軸對稱.故選：B8．（2022·全國·高三專題練習（理））在復平面內，平行四邊形的三個頂點，A，B，C對應的復數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點D對應的復數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復數(shù)的幾何意義寫出各點的坐標，再利用平行四邊形構造相等向量列方程組求解.【詳解】由題知，，，，設.則，.因為為平行四邊形，所以.由，解得，所以點對應的復數(shù)為.故選：A.9．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內所對應的點為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，可求得復數(shù)，利用復數(shù)的幾何意義可得出結論.【詳解】由題意，得，所以．所以在復平面內對應的點為．故選：D．10．（2022·全國·高三專題練習）在復平面內，復數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，求出，再求出在復平面內對應的點的坐標，從而可得結果.【詳解】，，則在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限，故選B.【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11．（2022·全國·高三專題練習）在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復數(shù)乘法法則得結果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)幾何意義以及復數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12．（2022·全國·高三專題練習（理））設復數(shù)z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考點為復數(shù)的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．13．（2022·全國·高三專題練習）若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，判斷選項.【詳解】由題意可知：，所以復數(shù)在復平面上對應的點為.位于第四象限.故選:D.14．（2022·全國·高三專題練習）歐拉公式(是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當時，就有，根據(jù)上述背景知識，試判斷表示的復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式，化簡復數(shù)得的，結合復數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以復數(shù)表示的復數(shù)在復平面內對應的點為位于第二象限．故選：B.15．（2022·全國·高三專題練習）歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先由歐拉公式計算可得，然后根據(jù)復數(shù)的幾何意義作出判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，故，對應點，在第一象限.故選：A.16．（2022·全國·模擬預測）已知復數(shù)在復平面上對應的點在直線上，則（）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】由復數(shù)的四則運算得出復數(shù)在復平面上對應的點的坐標，再代入直線方程得出.【詳解】因為所以其對應點的坐標為由題意知，解得故選：D.17．（2022·全國·高三專題練習）設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念及復數(shù)模的公式，即可求解.【詳解】由復數(shù)，可得，所以，所以.故選：D.18．（2022·全國·高三專題練習）設，則（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)及模長公式可求出結果.【詳解】因為，所以所以.故選：D19．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù)滿足，則（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用復數(shù)的運算先求z，再利用復數(shù)的模長公式求解.【詳解】因為，所以，，所以|z|=.故選：C.20．（2022·浙江·高三專題練習）已知復數(shù)，滿足，復數(shù)z的實部為，則復數(shù)z的虛部是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)z的實部為，結合，由求解.【詳解】因為復數(shù)z的實部為，所以，因為，所以，解得，（舍去），所以復數(shù)z的虛部．故選：A21．（2022·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】設，利用推出對應復平面上的點的軌跡，的最大值即為軌跡上的點到原點距離的最大值.【詳解】設，由，推出，則，于是可看成以為圓心，半徑為的圓上運動，，意為A到的距離，距離最大值為3，所以.故選：D.22．（2022·全國·高三專題練習（文））若復數(shù)，則=（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算以及減法運算求出，然后利用模長公式即可求出結果.【詳解】由題意可得：，則，所以．故選：B．23．（2021·全國·高三專題練習）已知復數(shù)是關于的方程的一個根，則（）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【分析】將代入原方程，然后根據(jù)復數(shù)相等求解出的值，則可求.【詳解】因為復數(shù)是關于的方程的一個根，所以，所以，所以，所以，則，故選：C.24．（2021·全國·高三階段練習（理））復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用復數(shù)的四則運算求得，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】因為，所以的共軛復數(shù)為.故選.二、多選題25．（2022·全國·高三專題練習）若實數(shù)，滿足，則（）A．的共軛復數(shù)為 B．C．的值可能為 D．【答案】BCD【分析】由復數(shù)相等的定義求出的關系，并求得的可能值，然后判斷各選項.【詳解】因為.所以，，即，，則.解得或，故A錯誤，B，C，D均正確.故選：BCD.26．（2022·全國·高三專題練習）已知復數(shù)，，則（）A．是純虛數(shù) B．對應的點位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】對于A選項利用復數(shù)的相關概念可判斷；對于B選項結合復數(shù)的減法運算以及復數(shù)的幾何意義即可判斷；對于C選項結合復數(shù)的加法運算以及復數(shù)的模長公式即可判斷；對于D選項結合復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)的模長公式即可判斷.【詳解】對于A選項,利用復數(shù)的相關概念可判斷A正確；對于B選項，對應的點位于第四象限，故B錯；對于C選項，，則，故C錯；對于D選項，，則，故D正確.故選：AD.27．（2022·江蘇·高三專題練習）若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是A．的虛部為 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復數(shù)為【答案】ABC【分析】首先利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡后得：，然后分別按照四個選項的要求逐一求解判斷即可.【詳解】因為，對于A：的虛部為，正確；對于B：模長，正確；對于C：因為，故為純虛數(shù)，正確；對于D：的共軛復數(shù)為，錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的有關概念，考查邏輯思維能力和運算能力，側重考查對基礎知識的理解和掌握，屬于?？碱}.28．（2021·江蘇·海安高級中學高三階段練習）設，是復數(shù)，則下列說法中正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】利用復數(shù)運算對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】設，，，A正確.，，B正確.，C錯誤.，，，，D正確.故選：ABD29．（2021·福建·泉州鯉城北大培文學校高三期中）設是的共軛復數(shù)，下列說法正確的是（）A． B． C．是實數(shù) D．是純虛數(shù)【答案】ABC【分析】設（，為虛數(shù)單位），有（，為虛數(shù)單位）.對于A，，，由此可判斷.對于B，根據(jù)復數(shù)的除法運算和復數(shù)的模的運算可判斷；對于C，由可判斷.對于D，由，分和判斷.【詳解】解：設（，為虛數(shù)單位），則（，為虛數(shù)單位）.對于A，，，所以A選項正確.對于B，，所以B選項正確.對于C，，為實數(shù)，所以C選項正確.對于D，，當時，為實數(shù)，當時，為純虛數(shù)，故D選項錯誤.故選：ABC.30．（2021·全國·高三專題練習）設是復數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對于A，B，利用復數(shù)模和共軛復數(shù)的意義即可判斷；對于C，設出復數(shù)和的代數(shù)形式，根據(jù)給定條件計算判斷；對于D，舉特例說明并判斷作答.【詳解】對于A，因，則，即，則為真，A正確；對于B，因，則和互為共軛復數(shù)，則為真，B正確；對于C，設，因，則，即，于是得，則為真，C正確；對于D，當，有，而，即為假，D不正確.故選：ABC31．（2021·重慶·模擬預測）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內的對應的點為，復數(shù)滿足在復平面內對應的點為，則下列結論正確的有（）A．復數(shù)的虛部為B．C．的最大值D．的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)復數(shù)的概念和幾何意義即可求解.【詳解】對于A，由得，虛部為1，故A錯誤，對于B，因為，，在復平面內對應的點為，則，所以，故B正確，對于C，由題意知，點B在以為圓心，半徑為2的圓周上，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，，所以，，故C正確，對于D，表示點B與定點的距離，易知點在圓內，所以，故D錯誤.故選：BC.32．（2021·全國·高三專題練習（理））設為復數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．B．C．若，則的最大值為2D．若，則【答案】ACD【分析】設，根據(jù)復數(shù)求模公式、乘法法則、幾何意義等知識，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】設，則，對于A：，，故A正確；對于B：，，當時，，故B錯誤；對于C：表示z對應的點Z，在以（0,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點Z與點（0，-1）的距離，所以當時，的最大值為2，故C正確；對于D：，表示z對應的點Z在以（1,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點Z與原點（0,0）的距離，當點Z在原點時，最小為0，當點時，最大為2，所以，故D正確.故選：ACD33．（2021·湖南·高三階段練習）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點為，復數(shù)滿足，則下列結論正確的是（）A．點的坐標為 B．（為的共軛復數(shù)）C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】對A，根據(jù)復數(shù)的表達式直接寫出點的坐標進行判斷即可；對B，根據(jù)復數(shù)的共軛復數(shù)的定義進行判斷即可；對C，D，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，結合圓的性質進行判斷即可.【詳解】解：對A，復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內對應的點為，點的坐標為，故A正確；對B，，，故B正確；對C，D，設，在復平面內對應的點為，設，，點到點的距離為1，因此點是在以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點距離，因此，，故C正確，D錯誤.故選：ABC.三、填空題34．（2022·浙江·高三專題練習）已知是虛數(shù)單位，，且，則__________.【答案】3【分析】根據(jù)復數(shù)相等得出，解方程組即可求解.【詳解】由題意可得解得，所以.故答案為：335．（2022·全國·高三專題練習（文））為虛數(shù)單位，若關于的方程有實根，則實數(shù)___________，【答案】【分析】設實根為，代入方程，利用復數(shù)相等的條件列出方程，即可解得和的值.【詳解】設該方程的實根為，則，整理得，因為，所以解得.故答案為：.36．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則_________．【答案】【詳解】設，則考點：復數(shù)相等，共軛復數(shù)37．（2022·全國·高三專題練習）是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡得到，結合復數(shù)的概念，列出方程組，即可求解.【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡得，因為復數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得.故答案為：.38．（2022·全國·高三專題練習（理））復數(shù)，，若為實數(shù)，則______．【答案】【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，根據(jù)已知條件可得出關于實數(shù)的等式，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】，由已知條件可得，解得．故答案為：.39．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知復數(shù)，，是正實數(shù)，則復數(shù)__________.【答案】【分析】令，應用復數(shù)的乘法求，結合已知可得且，即可求x、y，進而寫出復數(shù).【詳解】令，而，∴為正實數(shù)，∴，又，即或（舍），∴.故答案為：40．（2022·全國·高三專題練習）已知，為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則的值為__________．【答案】-2【詳解】為實數(shù)，則.【考點】復數(shù)的分類【名師點睛】復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛