2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章等式與不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系教師用書新人教B版必修第一冊

PAGE1-2．1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系考點學習目標核心素養(yǎng)一元二次方程根的推斷理解判別式Δ的值與一元二次方程根的個數(shù)之間的關系，并會應用數(shù)學運算一元二次方程根與系數(shù)的關系會利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行計算求值及求參數(shù)的取值范圍數(shù)學運算問題導學預習教材P47－P50的內容，思索以下問題：1．如何通過判別式Δ判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的狀況？2．一元二次方程的根與系數(shù)有什么關系？1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac稱為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式．(1)當Δ>0時，方程的解集為{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；(2)當Δ＝0時，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；(3)當Δ<0時，方程的解集為?．2．一元二次方程根與系數(shù)的關系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)．■名師點撥應用一元二次方程的根與系數(shù)的關系時，常有以下變形：①(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；②eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)；③|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不等實數(shù)根，則b2－4ac>0.()(2)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有實數(shù)根．()答案：(1)√(2)√下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是()A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0答案：D若關于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是________．解析：因為一元二次方程x2＋4x＋k＝0有實數(shù)根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.答案：(－∞，4]已知一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝________.解析：因為x1，x2是方程x2－2x－1＝0的根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－2.答案：－2方程根個數(shù)的推斷及應用已知關于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，依據下列條件，分別求出k的范圍．(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有實數(shù)根；(4)方程無實數(shù)根．【解】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<eq\f(1,3).(2)因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝eq\f(1,3).(3)因為方程有實根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤eq\f(1,3).(4)因為方程無實根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>eq\f(1,3).eq\a\vs4\al()對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)；(3)當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根．1．不解方程，推斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.解：(1)因為Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)原方程可化為4y2－12y＋9＝0，因為Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有兩個相等的實數(shù)根．(3)原方程可化為5x2－6x＋15＝0，因為Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程沒有實數(shù)根．2．已知方程x2＋kx＋1＝0(k>0)有實數(shù)根，求函數(shù)y＝k2＋2k－1的取值范圍．解：Δ＝b2－4ac＝k2－4≥0，k≥2(因為k>0)，y＝k2＋2k－1，k∈[2，＋∞)，因為對稱軸k＝－1，又因為a＝1>0，所以當k∈[2，＋∞)時且k越來越大時y也越來越大，所以當k＝2時，ymin＝4＋4－1＝7，所以y≥7.注：k∈[2，＋∞)就是k可取得大于等于2的一切實數(shù)．干脆應用根與系數(shù)的關系進行計算若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的兩個根，試求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.【解】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2007)＝eq\f(2,2007).(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.(4)|x1－x2|＝eq\r(（x1－x2）2)＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(4＋4×2007)＝eq\r(8032)＝4eq\r(502).eq\a\vs4\al()在求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值時，利用根與系數(shù)的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用．在計算時，要先依據原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數(shù)式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值．1．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的兩個實數(shù)根，求eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值．解：由題知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),x1x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq\f(（－6）2－2×3,3)＝10.2．設a，b是方程x2＋x－2019＝0的兩個實數(shù)根，求a2＋2a＋b的值．解：由題知，Δ>0，a＋b＝－1，a2＋a－2019＝0，所以a2＋2a＋b＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2019－1＝2018.應用根與系數(shù)的關系求字母系數(shù)的值或范圍已知關于x的方程x2－(k＋1)x＋eq\f(1,4)k2＋1＝0，依據下列條件，求出k的值．(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根x1，x2，滿意|x1|＝x2.【解】Δ＝[－(k＋1)]2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)k2＋1))＝2k－3，Δ≥0，k≥eq\f(3,2).(1)設方程的兩個根為x1，x2，x1x2＝eq\f(1,4)k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，則x1＝x2，Δ＝0，k＝eq\f(3,2).方程為x2－eq\f(5,2)x＋eq\f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq\f(5,4)>0滿意．②若x1<0，則x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程為x2＋eq\f(5,4)＝0，而方程無解，所以k≠－1，所以k＝eq\f(3,2).eq\a\vs4\al()利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求待定字母的值時，務必留意根與系數(shù)的關系的應用前提條件，即Δ≥0.1．已知關于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若此方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿意xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，求k的值．解：(1)因為關于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有實數(shù)根．所以Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤eq\f(5,8).(2)由題知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.因為xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，所以2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1，因為k≤eq\f(5,8)，所以k＝－1.2．已知關于x的方程x2－tx＋2－t＝0，依據下列條件，求出實數(shù)t的取值范圍．(1)兩個根都大于1；(2)一個根大于1，另一個根小于1.解：設方程的兩個根為x1，x2，(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1>1,x2>1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,（x1－1）＋（x2－1）＞0,（x1－1）（x2－1）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋4t－8≥0,t＞2,t＜\f(3,2)))無解．所以不存在實數(shù)t，使得方程的兩個根都大于1.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1>1,x2<1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,（x1－1）（x2－1）<0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋4t－8>0,t>\f(3,2)))，t>eq\f(3,2).1．方程x2－2eq\r(3)kx＋3k2＝0的根的狀況是()A．有一個實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根D．沒有實數(shù)根解析：選C.Δ＝(－2eq\r(3)k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.2．若關于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m<eq\f(1,4) B．m>－eq\f(1,4)C．m<eq\f(1,4)且m≠0 D．m＞－eq\f(1,4)且m≠0解析：選D.Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－eq\f(1,4).當m＝0時，方程x＝0不符合題意．3．已知x1，x2是關于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿意x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為()A．4 B．－4C．3 D．－3解析：選A.由題知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，則x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.4．已知方程x2＋tx＋1＝0，依據下列條件，分別求出t的取值范圍．(1)兩個根都大于0；(2)兩個根都小于0；(3)一個根大于0，另一個根小于0.解：設方程x2＋tx＋1＝0的兩個根為x1，x2.(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＞0,x2＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2＞0,x1x2＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4≥0,－t＞0,1＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥2或t≤－2,t＜0,t∈R))?t≤－2.所以t的取值范圍為(－∞，－2]．(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＜0,x2＜0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2＜0,x1x2＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4≥0,－t＜0,1＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥2或t≤－2,t＞0,t∈R))?t≥2.所以t的取值范圍為[2，＋∞)．(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,x1＞0,x2＜0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,x1x2＜0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4＞0,1＜0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞2或t＜－2,無解)).所以無解，即不存在實數(shù)t使得方程的一個根大于0，另一個根小于0.所以t的取值范圍為?.[A基礎達標]1．已知關于x的方程x2＋3x＋a＝0有一個根為－2，則另一個根為()A．5 B．－1C．2 D．－5解析：選B.設方程的另一個根為x0，則－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若關于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為()A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1解析：選A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以判別式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的兩個根，則eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)的值是()A.eq\f(4,27) B．－eq\f(4,27)C．－eq\f(58,27) D.eq\f(58,27)解析：選C.由題知α＋β＝－eq\f(2,3)，αβ＝－3，所以eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)＝eq\f(（α＋β）2－2αβ,αβ)＝－eq\f(58,27).4．已知關于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，則m的值是()A．2 B．－1C．2或－1 D．不存在解析：選A.由題知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝（m＋2）2－4m·\f(m,4)>0，))解得m>－1且m≠0.因為x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m，所以m＝2或－1.因為m>－1，所以m＝2.5．若a，b，c為△ABC的三邊長，且關于x的一元二次方程(c－b)x2＋2eq\r(2)(b－a)x＋2(a－b)＝0有兩個相等的實數(shù)根，則這個三角形是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不等邊三角形解析：選A.依據題意，得c－b≠0，Δ＝[2eq\r(2)(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，所以這個三角形為等腰三角形．6．已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的兩個實數(shù)根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，則a＝________.解析：由題知x1＋x2＝5，x1x2＝a.因為xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，所以a＝eq\f(21,4).答案：eq\f(21,4)7．設α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的兩個實數(shù)根，則eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝________.解析：由題意，得α＋β＝3，αβ＝1，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47，所以eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝eq\f(α4＋β4,αβ)＝47.答案：478．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩個實數(shù)根，則eq\f(1,2x1＋1)＋eq\f(1,2x2＋1)的值是________．解析：由題知x1＋x2＝2，x1x2＝－1，xeq\o\al(2,1)＝2x1＋1，xeq\o\al(2,2)＝2x2＋1，故原式＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),（x1x2）2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(22－2×（－1）,（－1）2)＝6.答案：69．設x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值．(1)xeq\o\al(2,1)x2＋x1xeq\o\al(2,2)；(2)(x1－x2)2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x1)))；(4)eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2)).解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝3,x1x2＝\f(3,2)))，(1)原式＝x1x2(x1＋x2)＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)；(2)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－4×eq\f(3,2)＝3；(3)原式＝x1x2＋eq\f(1,x1x2)＋2＝eq\f(3,2)＋eq\f(2,3)＋2＝eq\f(25,6)；(4)原式＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(9－3,\f(9,4))＝eq\f(8,3).10．已知關于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實根互為相反數(shù)？假如存在，求出k的值；假如不存在，請說明理由．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－1≠0,Δ＝（2k－3）2－4（k－1）（k＋1）>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠1,k<\f(13,12)))，所以k<eq\f(13,12)且k≠1.(2)若x1＋x2＝0，即－eq\f(2k－3,k－1)＝0，k＝eq\f(3,2)，由(1)可知這樣的k不存在．[B實力提升]11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，則eq\f(mn＋n＋1,n)的值為________．解析：由題知n≠0，則1＋eq\f(2,n)－eq\f(1,n2)＝0，即eq\f(1,n2)－eq\f(2,n)－1＝0.又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠eq\f(1,n)，故m，eq\f(1,n)是方程x2－2x－1＝0的兩個根，則m＋eq\f(1,n)＝2.故eq\f(mn＋n＋1,n)＝m＋1＋eq\f(1,n)＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的兩根之差為1，則k的值為________．解析：設x1，x2為方程的兩個根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(k＋1,2),x1x2＝\f(k＋3,2)))，|x1－x2|＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.檢驗當k＝9或k＝－3時，Δ＞0成立．答案：－3或913．已知關于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程兩根為x1，x2且滿意eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－eq\f(1,2)，求m的值．解：(1)證明：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)因為x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(－（4m＋1）,2m－1)＝－eq\f(1,2)，所以m＝－eq\f(1,2).14．若x1，x2是關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個實數(shù)根，且x1，x2都大于1.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，求k的值．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＞1,x2＞1))?eq\b\lc\