備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第1講-平面向量的概念及其線性運算

第1講平面向量的概念及其線性運算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有eq\x(\s\up1(01))大小又有eq\x(\s\up1(02))方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為eq\x(\s\up1(03))0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于eq\x(\s\up1(04))1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或eq\x(\s\up1(05))相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任意向量平行或共線相等向量長度相等且方向eq\x(\s\up1(06))相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向eq\x(\s\up1(07))相反的向量0的相反向量為02．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝eq\x(\s\up1(08))b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝eq\x(\s\up1(09))a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝eq\x(\s\up1(10))|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向eq\x(\s\up1(11))相同；當λ＜0時，λa與a的方向eq\x(\s\up1(12))相反；當λ＝0時，λa＝eq\x(\s\up1(13))0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝eq\x(\s\up1(14))λa＋μa；λ(a＋b)＝eq\x(\s\up1(15))λa＋λb3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2.在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：(1)eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；(2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；(3)eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，點O不在直線BC上，則λ＋μ＝1.1．(多選)(2022·山東日照月考)下列命題中錯誤的有()A．平行向量就是共線向量B．相反向量就是方向相反的向量C．a(chǎn)與b同向，且|a|>|b|，則a>bD．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件答案BC解析A顯然正確；由相反向量的定義知B錯誤；任何兩個向量都不能比較大小，C錯誤；兩個向量平行不能推出這兩個向量相等，而兩個向量相等可以推出這兩個向量平行，故D正確．故選BC.2．設平行四邊形ABCD的對角線交于點P，則下列命題中正確的個數(shù)是()①eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；②eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))；③eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))；④eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由向量加法的平行四邊形法則，知①eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，②eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))是正確的；由向量減法的三角形法則，知③eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))是正確的；因為eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))的長度相等，方向相反，所以④eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))是錯誤的．故選C.3．如圖所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，A，B，C三點在一條直線上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，則()A．c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b答案A解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，即c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.故選A.4．(2022·廣東湛江月考)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up6(→))，則λ＝________.答案－eq\f(5,2)解析如圖，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，可知點P是線段AB上靠近點A的三等分點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，結(jié)合題意可得λ＋1＝－eq\f(3,2)，所以λ＝－eq\f(5,2).5．(2022·江蘇南通期末)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________.答案[2,6]解析當a與b方向相同時，|a－b|＝2，當a與b方向相反時，|a－b|＝6，當a與b不共線時，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范圍為[2,6]．6．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為________.答案梯形解析∵2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，即2eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(CB,\s\up6(→))，且|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(CB,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是梯形．考向一平面向量的概念例1(1)(多選)(2021·臨沂調(diào)研)下列命題中的真命題是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b答案BC解析兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，A不正確．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，B正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c，C正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件，D不正確．故選BC.(2)(多選)(2022·山東煙臺月考)給出下列命題，其中敘述錯誤的命題為()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反D．若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同答案BCD解析A正確，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是相反向量，長度相等；B錯誤，當a，b其中之一為0時，不成立；C錯誤，當a，b其中之一為0時，不成立；D錯誤，當a＋b＝0時，不成立．故選BCD.平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．1.設a0為單位向量，有下列命題：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.其中假命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.故選D.2．(2022·湖南常德月考)給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；③若eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，則A，B，C三點在同一條直線上；④a與b是非零向量，若a與b同向，則a與－b反向；⑤已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號是________.答案③④解析①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點．②錯誤，若b＝0，則a與c不一定共線．③正確，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線且有公共點B，故有A，B，C三點在同一條直線上．④正確，b與－b反向，a與b同向，故a與－b反向．⑤錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．多角度探究突破考向二平面向量的線性運算角度平面向量線性運算的幾何意義例2(2021·長沙一中高三月考)已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))))，則點P一定為△ABC的()A．BC邊中線的中點B．BC邊中線的三等分點(非重心)C．重心D．BC邊的中點答案B解析設BC的中點為M，則eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴P，M，A三點共線，且P是AM上靠近A點的一個三等分點．角度平面向量線性運算例3(1)(2021·安徽蕪湖質(zhì)量檢測)如圖所示，下列結(jié)論正確的是()①eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①② B．③④C．①③ D．②④答案C解析由a＋b＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，①正確；由a－b＝eq\f(2,3)eq\o(PT,\s\up6(→))，知eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，②錯誤；eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋b，故eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，③正確；eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋2b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，④錯誤．故選C.(2)在平行四邊形ABCD中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，若AE交BD于點M，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(2,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,7)eq\o(AD,\s\up6(→))答案B解析∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴E為線段DC上靠近點C的四等分點．顯然△ABM∽△EDM，即eq\f(AM,EM)＝eq\f(AB,ED)＝eq\f(4,3)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(4,7)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(4,7)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\f(4,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,7)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選B.角度利用線性運算求參數(shù)例4(1)(2021·江西省名校聯(lián)考)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)答案A解析因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝－eq\f(1,3).故選A.(2)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8) B．eq\f(1,4)C．1 D．eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，則λ2＋μ2＝eq\f(5,8).故選A.向量線性運算的解題策略(1)向量加減的常用法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)利用向量的線性運算求參數(shù)的步驟：先通過向量的線性運算用兩個不共線的向量表示有關(guān)向量，然后對比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解．3.已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上答案B解析因為2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以點P在線段AB的反向延長線上．4.(2021·湖南師范大學附中模擬)如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析根據(jù)題意，得eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))，又因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選D.5．(2021·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)在△ABC中，點D在線段BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析解法一：eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(CO,\s\up6(→))|,|\o(CB,\s\up6(→))|)＝x.因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則0<x<eq\f(|\o(DC,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3)，所以x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).解法二：設eq\o(BO,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).考向三共線向量定理的應用例5(1)(2021·濱州二模)已知O，A，B，C為平面α內(nèi)的四點，其中A，B，C三點共線，點O在直線AB外，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,x)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,y)eq\o(OC,\s\up6(→)).其中x>0，y>0，則x＋8y的最小值為()A．21 B．25C．27 D．34答案B解析根據(jù)題意，A，B，C三點共線，點O在直線AB外，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,x)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,y)eq\o(OC,\s\up6(→)).設eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0，λ≠1)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,x)，,λ＝\f(2,y)，))消去λ得eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，∴x＋8y＝(x＋8y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)＋16≥17＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝5，y＝\f(5,2)時等式成立)).故選B.(2)(2021·通州區(qū)一模)設向量e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且B，C，D三點共線，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)；實數(shù)k＝________.答案－e1＋4e28解析因為向量e1，e2是兩個不共線的向量，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－e1＋4e2，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且B，C，D三點共線，所以－1×(－k)－4×2＝0，解得k＝8.(1)三點共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．根據(jù)A，B，C三點共線求參數(shù)問題，只需將問題轉(zhuǎn)化為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，再利用對應系數(shù)相等列出方程組，進而解出系數(shù)．(2)三點共線的一個常用結(jié)論：A，B，C三點共線?存在實數(shù)λ，μ對平面內(nèi)任意一點O(O不在直線BC上)滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ＝1)．6.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．－2答案B解析由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因為k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故選B.7.(2021·濟南模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，連接AC，MN交于點P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點N在AD上的位置為()A．AD的中點B．AD上靠近點D的三等分點C．AD上靠近點D的四等分點D．AD上靠近點D的五等分點答案B解析設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(4,11)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(4,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)\o(AM,\s\up6(→))＋λ\o(AN,\s\up6(→))))＝eq\f(5,11)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(4λ,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，又M，N，P三點共線，所以eq\f(5,11)＋eq\f(4λ,11)＝1，解得λ＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以點N在AD上靠近點D的三等分點．一、單項選擇題1．如圖，O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則下列等式正確的是()A.eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))答案D解析對于A，eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，錯誤；對于B，eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(DO,\s\up6(→))，錯誤；對于C，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，錯誤；對于D，eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，正確．故選D.2．(2021·成都市高三高考適應性考試)設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|a答案B解析對于A，當λ>0時，a與λa的方向相同，當λ<0時，a與λa的方向相反，故A不正確，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．3．(2021·西北師大附中模擬)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)⊥b且|a|＝|b|答案C解析由于a，b都是非零向量，若eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立，則a與b需要滿足共線同向．4．(2022·山東威海月考)設P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則△PAB與△PBC的面積之比是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)答案B解析∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴P為邊AC靠近A點的三等分點，∴△PAB與△PBC的面積之比為1∶2.5．(2021·新鄉(xiāng)二模)在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，D為BC邊的中點，則()A．3eq\o(AE,\s\up6(→))＝7eq\o(ED,\s\up6(→)) B．7eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))C．2eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→)) D．3eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))答案C解析因為D為BC邊的中點，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，則2eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→)).6.(2021·河北省衡水中學模擬)如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點E，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析因為DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中點，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.7．(2021·山東濟寧月考)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))為()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))答案B解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).8．(2021·河北衡水調(diào)研)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．－3答案A解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→))，因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2).故選A.二、多項選擇題9．(2022·遼寧丹東月考)下列各式中結(jié)果為零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))答案BD解析eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，A不正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，B正確；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，C不正確；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，D正確．10．設a，b是不共線的兩個平面向量，已知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝a＋sinα·b，其中α∈(0,2π)，eq\o(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三點共線，則角α的值可以為()A.eq\f(π,6) B．eq\f(5π,6)C．eq\f(7π,6) D．eq\f(11π,6)答案CD解析因為a，b是不共線的兩個平面向量，所以2a－b≠0，即eq\o(QR,\s\up6(→))≠0.因為P，Q，R三點共線，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(QR,\s\up6(→))共線，所以存在實數(shù)λ，使eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QR,\s\up6(→))，所以a＋sinα·b＝2λa－λb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2λ，,sinα＝－λ，))解得sinα＝－eq\f(1,2).又α∈(0,2π)，故α可為eq\f(7π,6)或eq\f(11π,6).11．(2021·普寧市校級二模)已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，若E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．向量eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PC,\s\up6(→))可能平行B．向量eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PC,\s\up6(→))可能垂直C．點P在線段EF上D．PE∶PF＝1∶2答案BC解析∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∵E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，∴2eq\o(PE,\s\up6(→))＋2×2eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PE,\s\up6(→))＝－2eq\o(PF,\s\up6(→))，∴P為FE的三等分點(靠近點F)，即PE∶PF＝2∶1，故C正確，D錯誤．∴向量eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PC,\s\up6(→))不可能平行，故A錯誤；eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PE,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PE,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則當|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PE,\s\up6(→))|＝eq\f(4,3)|eq\o(FE,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(BA,\s\up6(→))|時，向量eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PC,\s\up6(→))垂直，B正確．12．(2021·福建福清高三模擬)設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M是邊BC的中點B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC的面積的eq\f(1,2)答案ACD解析A中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，則點M是邊BC的中點，所以A正確；B中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點M在邊CB的延長線上，所以B錯誤；C中，設BC的中點為D，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，由重心性質(zhì)可知C正確；D中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)?2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1.設eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三點共線，所以△MBC的面積是△ABC的面積的eq\f(1,2)，所以D正確．故選ACD.三、填空題13．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實數(shù)λ＝________.答案2解析由題中所給圖象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.14．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________.答案直角三角形解析因為eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以△ABC為直角三角形．15．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上(點E不與點C，D重合)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________.答案0<μ<eq\f(1,2)解析由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).∵點E在線段CD上(點E不與點C，D重合)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0<λ<1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o