2025高考數(shù)學(xué)專項講義第02卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷(綜合測試)(A4版-學(xué)生版+解析)

第02卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷（綜合測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．3 D．52．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．3．（

）A． B． C．1 D．4．設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與無關(guān)，且與有關(guān)C．與有關(guān)，且與無關(guān) D．與無關(guān)，且與無關(guān)5．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨立 D．、、兩兩互斥6．已知等差數(shù)列，則是成立的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要7．已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點（在橢圓外），若，則的傾斜角是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且，若關(guān)于的方程有4個不同實根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標(biāo)綱要》中明確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（

）A．X對應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B．甲村的平均分低于乙村的平均分C．甲村的高度滿意率與不滿意率相等D．乙村的高度滿意率比不滿意率大10．已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（

）A．若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．，，一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列11．已知為坐標(biāo)原點，曲線：，，為曲線上動點，則（

）A．曲線關(guān)于y軸對稱 B．曲線的圖象具有3條對稱軸C． D．的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.13．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點，且直線．若則E的離心率為．14．如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當(dāng)點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為．四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)為曲線的對稱中心．(1)求；(2)記的角對應(yīng)的邊分別為，若，求邊上的高長的最大值．16．如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．(1)求證：；(2)若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．17．設(shè)函數(shù)().(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，，求a的取值范圍.18．已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．(1)若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當(dāng)運動時，求點的軌跡方程；(2)若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．19．已知正整數(shù)為常數(shù)，且，無窮數(shù)列的各項均為正整數(shù)，其前項和為，且對任意正整數(shù)，恒成立.(1)證明無窮數(shù)列為等比數(shù)列，并求；(2)若，，求證：；(3)當(dāng)時，數(shù)列中任意不同兩項的和構(gòu)成集合A.設(shè)集合，中元素的個數(shù)記為，求數(shù)列的通項公第02卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷（綜合測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】將表示的復(fù)數(shù)代入所求式，化簡成一個復(fù)數(shù)的模，再運用模的運算公式計算即得.【詳解】因，則.故選：B.2．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解法求得集合，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故選：A.3．（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用湊角及兩角和的正弦公式，結(jié)合降冪公式及兩角和的正弦公式的逆用，然后再利用二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】，．故選：D．4．設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與無關(guān)，且與有關(guān)C．與有關(guān)，且與無關(guān) D．與無關(guān)，且與無關(guān)【答案】D【解析】通過對進行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).【詳解】函數(shù)（，），當(dāng)時，單調(diào)遞減.當(dāng)時，單調(diào)遞減.則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞減.所以函數(shù)（，）的單調(diào)性與無關(guān).故選：D5．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨立 D．、、兩兩互斥【答案】A【分析】利用全概率公式可判斷A選項；直接寫出的值，可判斷B選項；利用獨立事件的定義可判斷C選項；利用互斥事件的定義可判斷D選項.【詳解】依題意，，，，，，B對，，A錯；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨立，C對，由題意可知，事件、、中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對.故選：A.6．已知等差數(shù)列，則是成立的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】正面證明得到充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】當(dāng)時，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得顯然成立，故充分性成立，設(shè)首項為，公差為，當(dāng)時，無論取何值，一定成立，無法推出，可得必要性不成立，即則是成立的充分不必要條件.故選:B7．已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點（在橢圓外），若，則的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到，再由條件得到也是的中點，從而得到關(guān)于的方程，進而求得，由此得解.【詳解】設(shè)：（，），設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立，得，由題意知，所以，，設(shè)的中點為，連接，因為，所以，得，又因為，，所以也是的中點，所以的橫坐標(biāo)為，從而得，因為交在第二象限，解得，設(shè)直線傾斜角為，得，得，故A正確.故選：A.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.8．已知函數(shù)的定義域為，且，若關(guān)于的方程有4個不同實根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式得，討論其符號求范圍，進而寫出解析式并畫出草圖，數(shù)形結(jié)合得、，即可得答案.【詳解】由，若，則，可得，所以,若，則，可得，所以，所以，其函數(shù)圖象如下圖，要使有4個不同實根，則，由圖知：，故，且，所以的范圍為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角恒等變換研究正弦型函數(shù)性質(zhì)，并畫出的圖象為關(guān)鍵.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標(biāo)綱要》中明確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（

）A．X對應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B．甲村的平均分低于乙村的平均分C．甲村的高度滿意率與不滿意率相等D．乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【分析】A選項，曲線越扁平，方差較大，判斷A錯誤；B選項，求出兩村的平均分，比較出大??；CD選項，由正態(tài)分布曲線的對稱性判斷.【詳解】A選項，曲線越扁平，說明評分越分散，方差較大，因為，所以Y對應(yīng)的正態(tài)曲線比X對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平，A錯誤；B選項，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項，因為甲村的平均分為70，由對稱性知，C正確；D選項，因為乙村的平均分為75，由對稱性知，D正確.故選：BCD.10．已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（

）A．若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．，，一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【分析】A選項，設(shè)出公比，得到方程，結(jié)合是正項數(shù)列，得到公比，得到是單調(diào)遞增數(shù)列；B選項，舉出反例；C選項，根據(jù)對都成立，得到，從而得到為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列；D選項，結(jié)合C選項，得到當(dāng)為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，，D錯誤.【詳解】A選項，設(shè)公比為，故，解得或，若是正項數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項，當(dāng)且為偶數(shù)時，，，均為0，不合要求，B錯誤：C選項，若，則單調(diào)遞增，此時不存在，使對都成立，若，此時，故存在，使得對都成立，此時為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項，由C選項可知，，故當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，顯然不是等差數(shù)列，D錯誤.故選：AC.11．已知為坐標(biāo)原點，曲線：，，為曲線上動點，則（

）A．曲線關(guān)于y軸對稱 B．曲線的圖象具有3條對稱軸C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】對于選項A:將用替換代入方程計算，即可判斷；對于選項B:令，，代入整理可得，利用周期性與對稱性即可判斷；對于選項C:代入，借助三角恒等變換公式化簡計算即可；對于選項D:借助三角函數(shù)的性質(zhì)并表示出.【詳解】對于選項A:將用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對稱，A正確；對于選項B:由，令，，代入整理可得，其中，為點所在終邊對應(yīng)的角度，且，因為，故，因為曲線關(guān)于y軸對稱，故對應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對稱）對稱，注意到關(guān)于的周期為，故曲線也關(guān)于和（即）對稱，故B選項正確；對于選項C:，C正確；對于選項D:，D錯誤；故選：ABC．C另解：，該方程關(guān)于有解，令，則在上有根，由，則，或，解得；或綜上：．D另解：，解得．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵在于將曲線進行換元，令，，代入整理得，借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)探討即可.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式有關(guān)知識求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點，且直線．若則E的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義用表示，再利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因為，所以，所以．故答案為：.14．如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當(dāng)點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為．【答案】【分析】根據(jù)條件，得出球是正方體的棱切球，進而得出圓心和半徑，再利用球的性質(zhì)得出點的位置，利用幾何關(guān)系得出就是異面直線與所成角，再計算出，即可求出結(jié)果.【詳解】因為點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，則球是正方體的棱切球，球心為對角線的中點，半徑為，取的中點，則點為延長線與球O表面的交點時點到平面的距離最大，此時，，．連接OE，則，就是異面直線與所成角，因為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的平方為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于，利用點都在球的表面上，得到球為正方體的棱切球，利用球的性質(zhì)，將球面上的點到平面的最大距離轉(zhuǎn)化成球心到平面的距離不處理，再利用幾何關(guān)系來解決問題.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)為曲線的對稱中心．(1)求；(2)記的角對應(yīng)的邊分別為，若，求邊上的高長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出解析式，即可求；（2）利用余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．（2），化簡得，因為，所以，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，故長的最大值為．16．如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．(1)求證：；(2)若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，取AB的中點G，連接DG，BD，DE，設(shè)，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，根據(jù)線面、面面垂直的判定定理可得面面ABE，如圖，則為題意所求的線面角，解三角形即可.【詳解】（1）連接BD，DE，設(shè)，則，取AB的中點G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；

（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，過點D作交AB于點M，連接EM．因為面ABCD，所以，又因為，且面DEM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．過點D作交EM于點N，連接AN．∴就是直線AD與面ABE所成的線面角．∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角．∵，又，，∴，又，∴，即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.

17．設(shè)函數(shù)().(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）只需分別求出即可；（2）求導(dǎo)得，根據(jù)是否大于0對進行分類討論即可求解；（3）分離參變量轉(zhuǎn)換為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，只需求得的最小值即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，則，又，故在處的切線方程為.（2）因為，則，

若，即時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；若，即或時，.+0─0+↗↘↗則在和上為增函數(shù)；在上為遞減函數(shù).（3）因為時，，即，當(dāng)時，上式成立，也即當(dāng)時，恒成立，記，則.記，則，則在為減函數(shù)，則，即恒成立，則單調(diào)減，為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍為.18．已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．(1)若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當(dāng)運動時，求點的軌跡方程；(2)若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，得到雙曲線的標(biāo)準方程，然后利用直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，即可求解；（2）依題意，，設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達定理，得到切線方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可．【詳解】（1）因為的長軸長為8，短軸長為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點，所以，即，的橫坐標(biāo)為，把代入中，，所以，過且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．（2）因為的長軸長為4，短軸長為2，所以，，左焦點，當(dāng)斜率為0時，分