2025屆新高考數(shù)學沖刺復習 超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布

2025屆新高考數(shù)學沖刺復習

超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布?1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決實際問題.2.了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進行簡單應用.?1.伯努利試驗與二項分布（1）伯努利試驗：只包含

兩個

?可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為

n重伯努利試驗

?；兩個

n重伯努利試驗

X～B（n，p）

np

np（1－p）

上方

⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.x＝μ

1

（2）正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）n重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立.

（

）答案：（1）√

（2）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.

（

）（3）正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.

（

）答案：（2）×

答案：（3）√4.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），則c＝

?.

5.（2022·新高考Ⅱ卷）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝

?.

解析：因為X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14.答案：0.14?

（1）求甲射擊4次，至多1次未擊中目標的概率；

?n重伯努利試驗中事件發(fā)生的概率（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率.

二項分布的均值與方差

（1）求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；

（2）記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及均值.

所以η的分布列為η0123P

｜解題技法｜二項分布的期望與方差的求解策略（1）如果ξ

～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計算量；（2）有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.?

（1）求抽獎者獲獎的概率；

（2）為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列、均值和方差.

X0123P

正態(tài)分布【例3】

（1）（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結論中不正確的是

（

）A.σ越小，該物理量在一次測量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等（1）解析

對于A，σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦長，總體分布越集中在對稱軸附近，故A正確；對于B、C，由于正態(tài)分布圖象的對稱軸為μ＝10，顯然B、C正確.D顯然錯誤.故選D.答案

D（2）為了解高三復習備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體學生的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N（100，17.52）.已知成績在117.5分以上（不含117.5分）的學生有80人.①求此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率；②如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學考試成績特別優(yōu)秀的大約有多少人.（若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.68，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.96）

｜解題技法｜

解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸x＝μ；（2）標準差σ；（3）分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.?1.若隨機變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝

（

）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解析：A

由題意，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）3＝0.657，解得p＝0.3，則P（0＜Y＜2）＝0.3，所以P（Y＞4）＝P（Y＜0）＝0.5－P（0＜Y＜2）＝0.2.2.在如圖所示的正方形區(qū)域中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估