2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)案例1.2回歸分析學(xué)案新人教B版選修1-2

PAGE1-1.2回來分析學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．會(huì)用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn))2．會(huì)求回來方程、駕馭建立回來模型的步驟，會(huì)選擇回來模型．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過回來分析學(xué)習(xí)，培育學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．借助求回來方程及相關(guān)系數(shù)r的值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).一、線性回來模型1．回來直線方程其中eq\o(b,\s\up6(^))的計(jì)算公式還可以寫成eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2).2．線性回來模型y＝bx＋a＋εi，其中εi稱為隨機(jī)誤差項(xiàng)，a和b是模型的未知參數(shù)，自變量x稱為說明變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量．二、相關(guān)性檢驗(yàn)1．相關(guān)系數(shù)計(jì)算r＝eq\f(∑xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(∑xi－\o(x,\s\up6(－))2∑yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(∑xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(∑x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2∑y\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))性質(zhì)范圍|r|≤1線性相關(guān)程度|r|越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱2.相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟(1)作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與Y不具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)依據(jù)小概率0.05與n－2在附表中查出r的一個(gè)臨界值r0.05；(3)依據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值；(4)作統(tǒng)計(jì)推斷．假如|r|>r0.05，表明有95%把握認(rèn)為x與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．假如|r|≤r0.05，沒有理由拒絕原來的假設(shè)．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)求回來直線方程前必需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． ()(2)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng)． ()(3)若相關(guān)系數(shù)r＝0，則兩變量x，y之間沒有關(guān)系． ()[解析](1)正確．相關(guān)性檢驗(yàn)是了解成對(duì)數(shù)據(jù)的改變規(guī)律的，所以求回來方程前必需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．(2)錯(cuò)誤．相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，線性相關(guān)程度越弱．(3)錯(cuò)誤．若r＝0是指x，y之間的相關(guān)關(guān)系弱，但并不能說沒有關(guān)系．[答案](1)√(2)×(3)×2．下列結(jié)論正確的是()①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回來分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；④回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④[解析]函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)分為前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故①②正確；回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方常用法，故③錯(cuò)誤，④正確．[答案]C3．設(shè)某高校的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．依據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．(1)y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；(2)回來直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；(3)若該高校某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；(4)若該高校某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg.[解析]回來方程中x的系數(shù)為0.85>0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，(1)正確；由回來方程系數(shù)的意義可知回來直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，(2)正確；依據(jù)回來方程中eq\o(b,\s\up6(^))的含義可知，x每改變1個(gè)單位，eq\o(y,\s\up6(^))相應(yīng)改變約0.85個(gè)單位，(3)正確；用回來方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)不能得到確定結(jié)論，故(4)不正確．[答案](1)(2)(3)回來分析的有關(guān)概念【例1】(1)有下列說法：①線性回來分析就是由樣本點(diǎn)去找尋一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀推斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，可以估計(jì)和觀測變量的取值和改變趨勢(shì)；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回來方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4(2)假如某地的財(cái)政收入x與支出y滿意線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a＋ε(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8，eq\o(a,\s\up6(^))＝2，|ε|≤0.5，假如今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，則今年支出預(yù)料不會(huì)超過________億．[解](1)①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，故正確．③說明的是回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的作用，故正確．④是不正確的，在求回來方程之前必需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以發(fā)覺兩變量的關(guān)系．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋2＋ε，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤eq\o(y,\s\up6(^))≤10.5.故今年支出預(yù)料不會(huì)超過10.5億．[答案](1)C(2)10.51．在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可依據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回來直線方程．2．由線性回來方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值．3．隨機(jī)誤差的主要來源．(1)線性回來模型與真實(shí)狀況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；(3)觀測與計(jì)算產(chǎn)生的誤差．1．下列有關(guān)線性回來的說法，不正確的是________(填序號(hào))．①自變量取值確定時(shí)，因變量的取值帶有確定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系；②在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖；③線性回來方程最能代表觀測值x，y之間的關(guān)系；④任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回來直線方程．[解析]只有具有線性相關(guān)的兩個(gè)觀測值才能得到具有代表意義的回來直線方程．[答案]④線性回來分析【例2】為探討拉力x(N)對(duì)彈簧長度y(cm)的影響，對(duì)不同拉力的6根彈簧進(jìn)行測量，測得如下表中的數(shù)據(jù)：x51015202530y7.258.128.959.910.911.8(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)假如散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的旁邊，求y與x之間的回來直線方程．[思路探究]eq\x(作散點(diǎn)圖)→eq\x(得到x，y有較好線性關(guān)系)→eq\x(代入公式求得線性回來方程)[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)將已知表中的數(shù)據(jù)列成下表：xi51015202530yi7.258.128.959.910.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)≈9.49，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1076.2－6×17.5×9.49,2275－6×17.52)≈0.18，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9.49－0.18×17.5＝6.34.∴回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18x＋6.34.本題條件不變，若x增加2個(gè)單位，eq\o(y,\s\up6(^))增加多少？[解]若x增加2個(gè)單位，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18(x＋2)＋6.34＝0.18x＋6.34＋0.36，故eq\o(y,\s\up6(^))增加0.36個(gè)單位．1．散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的親密程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回來分析．2．求回來直線方程時(shí)，首先應(yīng)留意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回來直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回來直線方程毫無意義．非線性回來分析[探究問題]1．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)函數(shù)中，哪一個(gè)作為回來模型最好？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1； ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.[提示]視察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律可推斷樣本點(diǎn)分布在曲線y＝3×2x－1旁邊．①作為回來模型最好．2．如何解答非線性回來問題？[提示]非線性回來問題有時(shí)并不給出閱歷公式．這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，選擇一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采納適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回來分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：【例3】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回來方程；(2)假如一名在校男生身高為168cm，預(yù)料他的體重約為多少？[思路探究]先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的函數(shù)模型，再通過對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來求解．[解](1)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下：由圖看出，這些點(diǎn)分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的四周，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散點(diǎn)圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回來直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.693＋0.020x，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，當(dāng)x＝168時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高為168cm，預(yù)料他的體重約為57.57kg.兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系，不能干脆利用線性回來方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回來模型，如y＝c1eeq\s\up10(c2x)，我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)當(dāng)分布在直線z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的四周.2．有一個(gè)測量水流量的試驗(yàn)裝置，測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：i1234567水深h(厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q(升/分鐘)0.0820.251.811.237.566.5134依據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立Q與h之間的回來方程．[解]由表中測得的數(shù)據(jù)可以作出散點(diǎn)圖，如圖．視察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，可以推斷樣本點(diǎn)分布在某一條曲線旁邊，表示該曲線的函數(shù)模型是Q＝m·hn(m，n是正的常數(shù))．兩邊取常用對(duì)數(shù)，則lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即為線性函數(shù)模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈2.5097，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.7077，所以n≈2.51，m≈0.196.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi10.70.082－0.1549－1.08620.0240.168321.10.250.0414－0.60210.0017－0.024932.51.80.39790.25530.15830.101644.911.20.69021.04920.47640.724258.137.50.90851.57400.82541.4300610.266.51.00861.82281.01731.8385713.51341.13032.12711.27762.4043∑4.0225.14013.78076.642于是所求得的回來方程為Q＝0.196·h2.51.1．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回來方程必過點(diǎn)()x1234y1357A．(2,3) B．(1.5,4)C．(2.5,4) D．(2.5,5)[解析]線性回來方程必過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(2.5,4)，故選C.[答案]C2．在兩個(gè)變量y與x的回來模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型．它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25[解析]相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，則該模型的擬合效果就越好，精度越高．[答案]A3．如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉________這組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大．[答案]D(3,10)4．為了考查兩個(gè)變量Y與x的線性相關(guān)性，測是x，Y的13對(duì)數(shù)據(jù)，若Y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r確定值的取值范圍是________．[解析]相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05＝0.553，所以Y與x若具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r