高考復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題25新高考數(shù)學(xué)模擬卷(二)(學(xué)生版+解析)

專題25新高考數(shù)學(xué)模擬卷（二）（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，、，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．在所在平面內(nèi)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．5．在這個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是（

）A． B． C． D．6．菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖甲所示的去眼刀逐個(gè)挖掉菠蘿眼，或者用圖乙所示的三角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線現(xiàn)有一個(gè)波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：該菠蘿為圓柱體，菠蘿有個(gè)菠蘿眼，都均勻的錯(cuò)位排列在側(cè)面上如圖甲若使用去眼刀，則挖出的每一個(gè)菠蘿眼可看成側(cè)棱為，且側(cè)棱與底面成夾角的正四棱錐若使用三角刀，可挖出根螺紋條，其側(cè)面展開圖如圖丙所示，設(shè)螺紋條上兩個(gè)相鄰菠蘿眼，的距離為若將根螺紋條看成個(gè)完全一樣的直三棱柱，每個(gè)直三棱柱的高為，其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，頂角為，則當(dāng)菠蘿眼的距離接近于（

）時(shí)，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，Q為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）

A．P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為B．存在點(diǎn)P，使得平面平面C．的最小值為D．三棱錐外接球表面積最大值為11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于12．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增.若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)中的可能取值有（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.14．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)．15．已知函數(shù)，在處取到極小值，則實(shí)數(shù)．16．設(shè)過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足_______________．(1)求角的值；(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．18．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（），連接，，．

(1)證明：；(2)設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．19．近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過(guò)45歲的市民401050年齡超過(guò)45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)?(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為；如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為，求李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.21．如圖，過(guò)軸左側(cè)的一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線交于和四點(diǎn)，并且滿足，．(1)設(shè)的中點(diǎn)為，證明垂直于軸(2)若是雙曲線左支上的一點(diǎn)，求面積的最小值．22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：當(dāng)時(shí)，在上存在唯一極小值點(diǎn)，且．專題25新高考數(shù)學(xué)模擬卷（二）（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榛?，故，又因?yàn)?，則.故選：C.2．已知為虛數(shù)單位，、，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)相等求出、的值，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因此?故選：A.3．在所在平面內(nèi)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，借助向量的線性運(yùn)算用、表示即可判斷作答.【詳解】在所在平面內(nèi)，在延長(zhǎng)線上，且，則，又是的中點(diǎn)，所以.故選：C4．已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到平移后函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式，再根據(jù)其圖象關(guān)于軸對(duì)稱及得到的值，進(jìn)而可得函數(shù)可能的解析式．【詳解】解：由題意知．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于軸對(duì)稱，所以．又，所以．即，由誘導(dǎo)公式知，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．5．在這個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得公差，進(jìn)一步確定滿足題意的可能情況數(shù)，再由古典概型概率公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為，按題意必須滿足，，若給定了，則可以取，故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為，所以三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為，故選：C．6．菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖甲所示的去眼刀逐個(gè)挖掉菠蘿眼，或者用圖乙所示的三角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線現(xiàn)有一個(gè)波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：該菠蘿為圓柱體，菠蘿有個(gè)菠蘿眼，都均勻的錯(cuò)位排列在側(cè)面上如圖甲若使用去眼刀，則挖出的每一個(gè)菠蘿眼可看成側(cè)棱為，且側(cè)棱與底面成夾角的正四棱錐若使用三角刀，可挖出根螺紋條，其側(cè)面展開圖如圖丙所示，設(shè)螺紋條上兩個(gè)相鄰菠蘿眼，的距離為若將根螺紋條看成個(gè)完全一樣的直三棱柱，每個(gè)直三棱柱的高為，其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，頂角為，則當(dāng)菠蘿眼的距離接近于（

）時(shí)，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)棱錐及棱柱的體積的計(jì)算公式即可得到答案．【詳解】欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大．若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個(gè)菠蘿眼視為一個(gè)正四棱錐，該錐體的高為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，故正四棱錐的體積為，菠蘿眼共有個(gè)，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為，若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個(gè)直三棱柱，其底面的高為，底面積為，直三棱柱的體積為，故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為，由題可得：，則，故選：B．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，有，，，由弦長(zhǎng)公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，過(guò)O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡(jiǎn)得，則有，則C的離心率.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A利用基本不等式可判斷；對(duì)于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C可用特殊值法判斷；對(duì)于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A正確；，，且，，故B正確；則，故D正確；取，則，故C錯(cuò)誤.故選：ABD．10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，Q為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）

A．P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為B．存在點(diǎn)P，使得平面平面C．的最小值為D．三棱錐外接球表面積最大值為【答案】AD【分析】連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的截面為梯形，然后計(jì)算即可得截面面積，可判斷A；假設(shè)存在，然后利用面面平行性質(zhì)定理推得，矛盾，可判斷B；利用側(cè)面展開圖可求得最小值，判斷C；利用補(bǔ)形法求外接球表面積即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，，且，所以過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的截面為梯形，易知，作，則，，所以梯形的面積，A正確；

B選項(xiàng)：若存在點(diǎn)P，使得平面平面，則由平面平面，平面平面可知，顯然不平行，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：將側(cè)面展開如圖，顯然當(dāng)Q、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由題知，兩兩垂直，所以三棱錐外接球，即為以為共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)方體的外接球，記其半徑為R，則，顯然，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)外接球表面積取得最大值，D正確.故選：AD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于【答案】ACD【分析】易得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，，求出的坐標(biāo)即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；結(jié)合B選項(xiàng)即可判斷C；結(jié)合A選項(xiàng)，求出，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，則，設(shè)直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，，由選項(xiàng)A知，，，，故D正確．故選：ACD．

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形面積的比值可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為相似比問(wèn)題.12．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增.若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)中的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性得到函數(shù)為上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，利用參變分離和的取值范圍求出的取值范圍，進(jìn)而求解.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)為上單調(diào)遞增，由可得，，也即，則有恒成立，即因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，得到恒成立；當(dāng)時(shí)，則有，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，則，所以BC適合題意，AD不合題意.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.【答案】23（22也可以）【分析】根據(jù)，得出，再乘以總?cè)藬?shù)得出結(jié)果.【詳解】由每名學(xué)生的成績(jī)，得，則，則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：23.14．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.【詳解】取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故答案為：.15．已知函數(shù)，在處取到極小值，則實(shí)數(shù)．【答案】1【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求函數(shù)的多階導(dǎo)數(shù)，并分析求得的取值.【詳解】，由題意可知，，設(shè)，，，設(shè)，，，若，則存在，使，則，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，那么，，函數(shù)單調(diào)遞增，在處不能取到極小值，故不成立，若，則存在，使，則，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，又，所以，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即，那么，，函數(shù)單調(diào)遞減，在處不能取到極小值，故不成立，所以，即.故答案為：1【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題表面是一道普通的根據(jù)極小值點(diǎn)求參數(shù)的取值問(wèn)題，實(shí)際得需要求多階導(dǎo)數(shù)，再分析出的取值.16．設(shè)過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為【答案】【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合向量知識(shí)建立關(guān)于、的方程即可求出離心率．【詳解】如圖，

設(shè)為中點(diǎn)，，由可知，，由雙曲線的定義可知，，由可知，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可知，則,從而為線段的垂直平分線，，即，所以，則為正三角形，，在直角△中，，即，所以．故答案為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足_______________．(1)求角的值；(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理得，即可得結(jié)果；若選②：利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解；若選③：利用正弦定理結(jié)合輔助角公式運(yùn)算求解；（2）利用面積可得，利用向量運(yùn)算結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋瑒t，解得，且，所以；若選②：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫海遥瑒t，可得，整理得，且，所以；若選③：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，即，可得，且，則可知，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，則，由題意可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最小值.18．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（），連接，，．

(1)證明：；(2)設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件得到折疊前，折疊后由等腰三角形得到，，從而證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得到；（2）根據(jù)二面角的定義得到二面角的平面角為，結(jié)合（1）得到平面平面，從而可以確定的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則，所以折疊后，，又，所以平面，又平面，所以．（2）因?yàn)椋?，且平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，所以，則，由（1）知，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，在等邊中，所以，即，，，過(guò)作直線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，取，設(shè)直線與平面所成角為所以，故直線與平面所成角的正弦值為．19．近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過(guò)45歲的市民401050年齡超過(guò)45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)?(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為；如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為，求李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).(2)(3)12【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算出的值即可求解；（2）根據(jù)概率的乘法公式求解；（3）利用二項(xiàng)分布求出，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】（1）零假設(shè)社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無(wú)關(guān)，由題可得，，所以零假設(shè)不成立，所以有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).（2）周二選擇平臺(tái)買菜的情況有：①周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,②周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,所以李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率為.（3）