高考復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題09平面向量小題(學(xué)生版+解析)

專題09平面向量小題解題秘籍解題秘籍向量的運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角向量的投影A． B． C．2 D．7．（22·23·龍巖·二模）已知向量，，，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．（22·23下·長沙·三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，滿足，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．10．（22·23下·江蘇·三模）已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．11．（22·23·深圳·二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)G，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．12．（22·23·濰坊·三模）已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．13．（22·23·寧德·一模）已知向量，的夾角為60°，且，則的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．1715．（22·23·廣東·二模）已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．16．（22·23下·長沙·二模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．17．（22·23下·湖北·三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．18．（22·23·滄州·三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．19．（22·23下·武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．920．（22·23下·武漢·三模）已知，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．21．（22·23·青島·三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．122．（22·23·廈門·二模）在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（22·23下·紹興·二模）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，其中為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．224．（22·23下·浙江·三模）已知點(diǎn)是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-225．（22·23下·南通·一模）已知等邊的邊長為，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，垂足為，當(dāng)時，（

）A． B．C． D．二、多選題26．（22·23·梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B．C． D．27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．28．（22·23·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標(biāo)為29．（22·23·聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（）A． B． C． D．30．（22·23·菏澤·三模）已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則下面結(jié)論正確的為（

）A．點(diǎn)的軌跡方程為 B．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18三、填空題31．（22·23·衡水·一模）已知向量，，.若向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為.32．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得，則（請用數(shù)字作答）.33．（22·23·張家口·三模）已知向量均為單位向量，，向量與向量的夾角為，則.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共線，若，則當(dāng)?shù)膴A角為時，的值是.35．（22·23·寧德·二模）在平行四邊形中，已知，，，，則．36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)．37．（22·23下·鹽城·三模）在中，，，，則的取值范圍是.38．（22·23·濟(jì)寧·三模）在中，、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn).若，，，則.39．（22·23·保定·二模）在中，點(diǎn)在邊上，平分，若，，則．40．（22·23·惠州·一模）已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為．（結(jié)果用表示）．專題09平面向量小題解題秘籍解題秘籍向量的運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角向量的投影向量的平行關(guān)系向量的垂直關(guān)系向量模的運(yùn)算模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、單選題1．（23·24上·永州·一模）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得的值.【詳解】，由于，所以.故選：C2．（23·24上·寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.3．（23·24上·湖北·一模）設(shè)，，，，則是的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，分別求得的值，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由向量，當(dāng)時，可得，解得；當(dāng)時，可得，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A.4．（22·23·三明·三模）若向量，滿足，與垂直，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)向量垂直求得，再根據(jù)投影向量的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，即，所以在上的投影向量為.故選:A5．（23·24上·郴州·一模）已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由，則，，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：B6．（22·23下·金華·三模）已知向量，向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求得答案.【詳解】由題意得，，所以向量在方向上的投影向量為，故選：B7．（22·23·龍巖·二模）已知向量，，，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，求投影向量公式求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，，所以，，向量在向量方向上的投影向量?故選：C8．（22·23下·長沙·三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量為，故選：C9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，滿足，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，平方求得，結(jié)合投影向量的計(jì)算公式，即可求解；【詳解】由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.10．（22·23下·江蘇·三模）已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出，即可求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量?故選：A.11．（22·23·深圳·二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)G，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出，即可得到結(jié)果.【詳解】

如圖，連接，因?yàn)闉檎呅?，所以，，所以，所?故選：C12．（22·23·濰坊·三模）已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案【詳解】由可得，因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角是，且所以故選：C13．（22·23·寧德·一模）已知向量，的夾角為60°，且，則的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時，有最小值，故選：C14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】將作為基底，用基底表示和，根據(jù)數(shù)量積的規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】

設(shè)，則有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故選：C.15．（22·23·廣東·二模）已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用圓的性質(zhì)，得到，將轉(zhuǎn)換為，進(jìn)而找到最大值.【詳解】如圖所示：

因?yàn)閱挝粓AO是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當(dāng)共線反向時，取到最大值1，故選：C.16．（22·23下·長沙·二模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由題設(shè)易知且，，進(jìn)而求即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，，則，僅當(dāng)時等號成立.故選：A17．（22·23下·湖北·三模）正的邊長為2，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，表示出向量，再利用向量基本運(yùn)算法則表示出向量，再利用向量額數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)，如圖所示：因?yàn)樗?，故選：C．18．（22·23·滄州·三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以為的外心，且為外接圓上一動點(diǎn)，又，，所以外接圓的半徑.如圖，作，垂足為，則.所以，當(dāng)與圓相切時，取最值，即在處取最大值6，在處取最小值，故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由確定點(diǎn)的軌跡.19．（22·23下·武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到，再利用三點(diǎn)共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B.20．（22·23下·武漢·三模）已知，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義分析可得反向，進(jìn)而可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，因?yàn)?，則，即，可得，且，則，即反向，可得.故選：D.21．（22·23·青島·三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，且，解之得或，由，即的終點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，故，由圓的對稱性，不妨令，即，連接AD交圓于E，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知.故選：A

22．（22·23·廈門·二模）在中，已知，，，若，且，，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理求出，進(jìn)而得到⊥，求出，，從而得到，換元后求出m的取值范圍.【詳解】由余弦定理得，解得，

因?yàn)椋晒垂啥ɡ砟娑ɡ淼谩?，，則，因?yàn)?，，所以，，在上的投影向量為，故，令，則，令，因?yàn)?，所以，故?dāng)時，，當(dāng)時，，，故，故選：B23．（22·23下·紹興·二模）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，其中為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由題平方可得，化簡得到，得出垂直關(guān)系，可得圓心到直線的距離，由點(diǎn)到線的距離公式，列式即可得解．【詳解】∵，則，∴，∴，而圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，∴為等腰直角三角形，∴，∴圓心到直線的距離，∴，又，∴.故選：D.24．（22·23下·浙江·三模）已知點(diǎn)是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，結(jié)合圖形求解.【詳解】延長，交于，由題意，過分別作的垂線，垂足為，正十二邊形的每個內(nèi)角為，在中，，，在中，，，則，∵，為的夾角，∴數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，由圖可知，當(dāng)在線段上時，取得最小值，此時.故選：B.25．（22·23下·南通·一模）已知等邊的邊長為，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，垂足為，當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先分別表示出，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，從而得到為的重心，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，，，或（舍去），為的重心，，為的中點(diǎn)，，故選：B．二、多選題26．（22·23·梅州·三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平行向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，.可知：AD錯誤，BC正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意義.27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B選項(xiàng)根據(jù)模長公式計(jì)算；C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長公式計(jì)算；D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，則A正確；，則B正確；因?yàn)?/，所以設(shè)，因?yàn)椋?，解得，所以或，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB28．（22·23·山東·二模）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且和同向，則C．非零向量和滿足，則D．已知，，則在的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、C，根據(jù)向量的定義判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷D.【詳解】對于A：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可知，故A正確；對于B：向量不可以比較大小，故B錯誤；對于C：非零向量和滿足，則，即，所以，則，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，所以，，所以在的投影向量為，故D錯誤；故選：AC29．（22·23·聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，將式子兩邊同時平方，然后相減即可得到，，然后結(jié)合向量夾角公式即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，且，則，所以，即，則，又因?yàn)?，即，設(shè)與的夾角為，則，即，且，則，所以，則與的夾角可以為，.故選：AB30．（22·23·菏澤·三模）已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則下面結(jié)論正確的為（

）A．點(diǎn)的軌跡方程為 B．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為5C．面積的最大值為4 D．的最大值為18【答案】ABD【分析】設(shè)動點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式結(jié)合條件化簡即可判斷A選項(xiàng)，再由圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離范圍判斷B和C選項(xiàng)，利用向量的數(shù)量積公式和代入消元法即可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)動點(diǎn)，則由得：，即，化簡得：，即，所以A選項(xiàng)正確；所以點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為，所以B選項(xiàng)正確；又，和點(diǎn)軌跡的圓心都在軸上，且，所以當(dāng)圓的半徑垂直于軸時，面積取得最大值，所以C選項(xiàng)錯誤；又，因?yàn)椋ǎ?，所以（），【詳解】由向量均為單位向量且，可得且，則，，且，又由向量與向量的夾角為，則.故答案為：.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共線，若，則當(dāng)?shù)膴A角為時，的值是.【答案】2【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，整理得，得（?fù)值已舍去）.故答案為：.35．（22·23·寧德·二模）在平行四邊形中，已知，，，，則．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意化簡求得，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，因?yàn)椋?，可得，，又因?yàn)椋?，可得，，兩式相減得到，可得，又由，所以.故答案為：.

36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】【