2024-2025學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市新邵縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市新邵縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)x，y∈R，空間向量a=(x,1,1),b=(2,y,?2)，且a/?/bA.?1 B.1 C.?3 D.32.直線x?3y+1=0的傾斜角為A.0° B.30° C.45° D.60°3.圓C1：(x?1)2+y2=4與圓C2：(x?2)2A.x?2y?5=0 B.2x+y?2=0 C.x?2y+3=0 D.2x+y?5=04.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=3，SA.12或3 B.1或?12 C.12 5.若方程x27?m+y2m?1=1表示焦點(diǎn)在A.(?∞,1) B.(1,4) C.(4,7) D.(7,+∞)6.若{a,b,A.b+c,b,b?c 7.若直線l：mx+ny?1=0圓x2+y2+2x=0相切，則原點(diǎn)O到直線A.3 B.2 C.228.如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A.52 B.72 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，SA.a1<0 B.d>0 C.a410.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F、G分別是AD、BC、EF的中點(diǎn)，如圖所示，將正方形沿EF折起，使得平面ABFE與平面DCFE垂直，則(

)A.∠AGG=2π3

B.異面直線AC與EF的所成角為π3

C.AC與平面ABFE的所成角的正切值為55

D.三棱錐C?AEG、C?BFG和C?ABG的體積分別為V111.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，△ABQ為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A.點(diǎn)Q在拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線x=?p2上

B.存在點(diǎn)Q，使得OA?QB>0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,3)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．13.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，AC114.設(shè)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)a1=3，且對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知圓C的方程為x2+y2=1．

(1)求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程；

(2)直線m過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB16.(本小題15分)

三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的底面是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB=4，A1B1=2，AA1=3，E是AB的中點(diǎn)，平面A117.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1?an=n+1(n∈N?)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和為Sn18.(本小題15分)

已知圓A：(x+2)2+y2=64，點(diǎn)B(2,0)，點(diǎn)P是圓A上任意一點(diǎn).線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，與圓A交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)證明：直線MN是點(diǎn)Q軌跡的切線；19.(本小題17分)

已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(?3,0)，漸近線方程為y=±22x．

(1)求E的方程；

(2)若互相垂直的兩條直線l1，l2均過(guò)點(diǎn)P(pn,0)(pn>2，且n∈N?)，直線l1交E于A，B兩點(diǎn)，直線l2交E于C，D兩點(diǎn)，M，N分別為弦AB和CD的中點(diǎn)，直線MN交x參考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.y213.1

14.3

15.解：(1)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，x=1顯然與x2+y2=1相切；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)l：y=k(x?1)+2，由幾何關(guān)系可得d=|2?k|1+k2=r=1，

解得k=34，

故l：y=34(x?1)+2，即3x?4y+5=0，

故過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程為x=1或3x?4y+5=0；

(2)設(shè)m：y=k1(x?1)+2，可設(shè)AB中點(diǎn)為D，

因?yàn)椤鰽OB是等腰直角三角形，

所以O(shè)D=22r，

即圓心到直線距離16.解：(1)證明：在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，

∵AC/?/A1C1，平面ABC/?/平面A1B1C1，

又平面A1B1C1∩平面A1C1E=A1C1，平面ABC∩平面A1C1E=l，

∴A1C1//l，又AC/?/A1C1，

∴AC/?/l；

(2)∵AA1⊥平面ABC，在平面ABC內(nèi)作Ax⊥AC，

∴以A為原點(diǎn)，AC，AA1分別為y軸，z軸，建立空間右手直角坐標(biāo)系，如圖，

則B(23,2,0)，E(17.解：(1)因?yàn)閍n+1?an=n+1，

所以a2?a1=2，

a3?a2=3，

……

an?1?an?2=n?1，

an?an?1=n，

累加可得an?a1=2+3+…+n?1+n=(n?1)(n+2)2，

解得an=(n?1)(n+2)2+a1=18.解：(1)根據(jù)題意可得|QP|=|QB|，

又圓A：(x+2)2+y2=64的圓心A(?2,0)，半徑為8，

所以|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|AP|=8>|AB|=4，

所以點(diǎn)Q在以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的橢圓上，

其中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，焦距為|AB|=4，

所以a=4，c=2，b2=a2?c2=12，

所以Q的軌跡方程為x216+y212=1；

(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P是圓A：(x+2)2+y2=64上任意一點(diǎn)，

所以設(shè)P(?2+8cosθ,8sinθ)，

則有l(wèi)MN：(2cosθ?1)x+2sinθy+4cosθ?8=0，

將lMN代入橢圓C：x216+y212=1消去y整理得：

(cosθ?2)2x2+8(2cosθ?1)(cosθ?2)x+16(2cosθ?1)2=0，

故Δ=64(2cosθ?1)2(cosθ?2)2?4×16(cosθ?2)2(2cosθ?1)2

=64[(cosθ?2)x+4(2cosθ?1)]219.解：(1)依題意，設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a,b>0)，

則漸近線方程為y=±bax，

則有ba=22c=3a2+b2=c2，解得a=2b=1c=3，

所以雙曲線E的方程為x22?y2=1；

(2)①當(dāng)直線l1，l2中