2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新教材)第14講-函數(shù)模型及其應(yīng)用

課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點(diǎn)探究第14講函數(shù)模型及其應(yīng)用教師備用習(xí)題作業(yè)手冊1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實(shí)際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題,利用計(jì)算工具,比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.

3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型,體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.課標(biāo)要求1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較課前基礎(chǔ)鞏固?知識聚焦?

函數(shù)性質(zhì)

y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)

單調(diào)

單調(diào)

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)遞增遞增遞增2.常見的函數(shù)模型課前基礎(chǔ)鞏固函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)題組一常識題1.[教材改編]函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長速度的大小關(guān)系是

.(填關(guān)于y1,y2,y3的關(guān)系式)

課前基礎(chǔ)鞏固?對點(diǎn)演練?

[解析]根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關(guān)系可得y3>y1>y2.y3>y1>y22.[教材改編]在如圖2-14-1所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是

.

課前基礎(chǔ)鞏固

圖2-14-1

課前基礎(chǔ)鞏固

4.[教材改編]已知某物體的溫度Q(單位:°C)隨時(shí)間t(單位:min)的變化規(guī)律為Q=m·2t+21-t(t≥0且m>0).若物體的溫度總不低于2°C,則m的取值范圍是

.課前基礎(chǔ)鞏固

題組二常錯題索引:忽視限制條件;忽視實(shí)際問題中實(shí)際量的單位、含義等;分段函數(shù)模型的分界把握不到位.5.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為h=130t-5t2,則該函數(shù)的定義域是

.

課前基礎(chǔ)鞏固[0,26][解析]令h=130t-5t2≥0,解得0≤t≤26,故所求定義域?yàn)閇0,26].6.某物體一天中的溫度T(單位:℃)是關(guān)于時(shí)間t(單位:h)的函數(shù),且T=t3-3t+60,其中t=0表示中午12時(shí),其后t的值為正,則上午8時(shí)該物體的溫度是

.

課前基礎(chǔ)鞏固8℃[解析]由題意知,上午8時(shí)即t=-4,因此所求溫度T=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃).7.已知A,B兩地相距150km,某人開汽車以60km/h的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地,則汽車與A地的距離s(km)關(guān)于時(shí)間t(h)的函數(shù)表達(dá)式是

.

課前基礎(chǔ)鞏固

例1水池有兩個相同的進(jìn)水口和一個出水口,其進(jìn)水量和出水量隨時(shí)間的變化如圖2-14-2①②所示,某天0時(shí)到6時(shí)該水池的蓄水量如圖③所示,給出以下3個論斷:①0時(shí)到3時(shí)只進(jìn)水不出水;②3時(shí)到4時(shí)不進(jìn)水只出水;③4時(shí)到5時(shí)不進(jìn)水也不出水.則一定正確的論斷是(

)

A.① B.①②

C.①③ D.①②③課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一用函數(shù)圖像刻畫變化過程A圖2-14-2課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]蓄水量增加,說明進(jìn)水速度大于出水速度,蓄水量減少,說明出水速度大于進(jìn)水速度,再結(jié)合具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.[解析]由圖①②得進(jìn)水的速度為1,出水的速度為2,∵0時(shí)到3時(shí)直線的斜率為2,即蓄水量每小時(shí)增加2,∴只進(jìn)水不出水(即兩個進(jìn)水口都進(jìn)水),故①正確;若不進(jìn)水只出水1小時(shí)后,則蓄水量減少2,故②錯誤;若兩個進(jìn)水口和一個出水口同時(shí)打開,則蓄水量也可以保持不變,故③不一定正確.故選A.圖2-14-2[總結(jié)反思]判斷函數(shù)圖像與實(shí)際問題變化過程是否相吻合時(shí),首先要關(guān)注橫軸與縱軸所表達(dá)的變量的實(shí)際意義;其次根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖像變換趨勢,驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選出符合實(shí)際的答案.課堂考點(diǎn)探究變式題水滴進(jìn)玻璃容器,如圖2-14-3所示(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同),那么水的高度是如何隨時(shí)間變化的?在以下容器與圖像的對應(yīng)中:①Ⅰ→(2);②Ⅱ→(1);③Ⅲ→(3);④Ⅴ→(4).符合實(shí)際的有(

)A.1個 B.2個C.3個 D.4個課堂考點(diǎn)探究B圖2-14-3圖2-14-4課堂考點(diǎn)探究[解析]根據(jù)題意,在Ⅰ中,容器是柱形的,水高度的變化速度是不變的,與(2)對應(yīng),所以①正確;在Ⅱ中,容器下粗上細(xì),水高度的變化先慢后快,與(3)對應(yīng),所以②不正確;在Ⅲ中,容器類似為球形,水高度的變化為快—慢—快,與(1)對應(yīng),所以③錯誤;在Ⅴ中,容器上粗下細(xì),水高度的變化先快后慢,與(4)對應(yīng),所以④正確.故選B.圖2-14-3圖2-14-4

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究

[總結(jié)反思]用已知函數(shù)解決實(shí)際問題,解題時(shí)要理解題目給出的變量的實(shí)際意義,然后建立數(shù)學(xué)模型,合理地運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究

D

角度1構(gòu)建二次函數(shù)模型例3某企業(yè)為打入國際市場,決定從A,B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位:萬美元):課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

項(xiàng)目類別

年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價(jià)每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]根據(jù)題意寫出年利潤與生產(chǎn)件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;解:由年銷售量為x件,按利潤的計(jì)算公式,有生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2分別為y1=10×x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200且x∈N,y2=18×x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40,∴y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N.其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定,預(yù)計(jì)m∈[6,8].另外,每年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域.(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃.課堂考點(diǎn)探究

項(xiàng)目類別

年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價(jià)每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120[思路點(diǎn)撥]根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最值,作差后分類討論比較大小即可.課堂考點(diǎn)探究解：

∵6≤m≤8,∴10-m>0,∴y1=(10-m)x-20為增函數(shù),又0≤x≤200,x∈N,∴當(dāng)x=200時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤,最大利潤為(10-m)×200-20=1980-200m(萬美元).∵y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N,∴當(dāng)x=100時(shí),生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤,最大利潤為460萬美元.

令(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m,令g(m)=1520-200m,則當(dāng)6≤m<7.6時(shí),g(m)>0,當(dāng)m=7.6時(shí),g(m)=0,當(dāng)7.6<m≤8時(shí),g(m)<0,所以當(dāng)6≤m<7.6時(shí),投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;當(dāng)m=7.6時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品200件與生產(chǎn)B產(chǎn)品100件均可獲得最大年利潤;當(dāng)7.6<m≤8時(shí),投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤.[總結(jié)反思]在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí),一定要注意自變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域,解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí),最后還要還原到實(shí)際問題中.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究變式題

為節(jié)約能源,倡導(dǎo)綠色環(huán)保,某主題公園有60輛電動觀光車供租賃使用,管理這些電動觀光車的費(fèi)用是每日120元,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每輛電動觀光車的日租金不超過5元,則電動觀光車可以全部租出;若超過5元,則每超出1元,租不出的電動觀光車就增加2輛.為了方便結(jié)算,每輛電動觀光車的日租金x(元)只取整數(shù),且3≤x≤30,用y(元)表示出租電動觀光車的日凈收入(一日出租電動觀光車的總收入-管理費(fèi)用).日凈收入y(元)與日租金x(元)滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x).(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式.課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究變式題

為節(jié)約能源,倡導(dǎo)綠色環(huán)保,某主題公園有60輛電動觀光車供租賃使用,管理這些電動觀光車的費(fèi)用是每日120元,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每輛電動觀光車的日租金不超過5元,則電動觀光車可以全部租出;若超過5元,則每超出1元,租不出的電動觀光車就增加2輛.為了方便結(jié)算,每輛電動觀光車的日租金x(元)只取整數(shù),且3≤x≤30,用y(元)表示出租電動觀光車的日凈收入(一日出租電動觀光車的總收入-管理費(fèi)用).日凈收入y(元)與日租金x(元)滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x).(2)當(dāng)每輛電動觀光車的日租金為多少元時(shí),才能使一日的凈收入最多?課堂考點(diǎn)探究

角度2構(gòu)建指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例4(1)[2020·全國新高考Ⅰ卷]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=er

t描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)(

)A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天課堂考點(diǎn)探究

B課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究

B課堂考點(diǎn)探究

[總結(jié)反思]除了常見的增長率問題外,其他與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題,其模型都比較難以構(gòu)建,所以對這類問題的考查一般都會給出相應(yīng)的函數(shù)模型(一般含有參數(shù)),可以根據(jù)條件確定參數(shù)的值,從而明確函數(shù)模型,再進(jìn)行相應(yīng)問題解答.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究

A課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究

8

課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]將點(diǎn)(5,485),(10,650)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式,求出k,a的值;圖2-14-5

課堂考點(diǎn)探究

圖2-14-5

課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]由題意可得所需費(fèi)用z是關(guān)于航速v的分段函數(shù),然后分0<v<10和v≥10兩種情況求z的最小值即可.圖2-14-5

課堂考點(diǎn)探究

圖2-14-5

課堂考點(diǎn)探究

圖2-14-5[總結(jié)反思](1)某些實(shí)際問題中的變量關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成,所以應(yīng)建立分段函數(shù)模型;(2)構(gòu)建分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡捷、合理、不重不漏;(3)分段函數(shù)的最大值(或最小值)是各段函數(shù)最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究

課堂考點(diǎn)探究

解:當(dāng)0≤x≤5時(shí),f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,所以當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最大值,最大值為f(4)=3.6,當(dāng)x>5時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)<f(5)=3.2<3.6,所以該企業(yè)生產(chǎn)4臺該設(shè)備時(shí),可使盈利最多,最多為3.6千萬元.【備選理由】以下補(bǔ)充例題均圍繞二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型展開,配合相關(guān)例題作為教學(xué)輔助之用.教師備用習(xí)題例1[配例2使用]某公司在2021年承包了一個工程項(xiàng)目,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該公司在這項(xiàng)工程項(xiàng)目上的月利潤P與月份x近似的滿足某一函數(shù)關(guān)系,其中1月到4月所獲利潤統(tǒng)計(jì)如下表:(1)已知該公司的月利潤P與月份x近似滿足下列函數(shù)模型中的某一個函數(shù)模型:①P(x)=ax2+bx+c;②P(x)=alogbx+c;③P(x)=a×bx+c.請以表中該公司這4個月所獲的利潤與月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)給出你的選擇(需要說明選擇該模型的理由),并據(jù)此估計(jì)該公司2021年6月份在這項(xiàng)工程項(xiàng)目中所獲得的利潤.教師備用習(xí)題月份(月)1234所獲利潤(億元)53545350教師備用習(xí)題

教師備用習(xí)題月份(月)1234所獲利潤(億元)53545350教師備用習(xí)題

例2

[配例3使用]某公司生產(chǎn)某種消防安全產(chǎn)品,年產(chǎn)量x臺(0≤x≤100,x∈N)時(shí),銷售收入函數(shù)R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數(shù)滿足C(x)=500x+b(單位:元).已知該公司不生產(chǎn)任何產(chǎn)品時(shí),其成本為4000元.(1)求利潤函數(shù)P(x).教師備用習(xí)題解:由題意知,當(dāng)x=0時(shí),C(0)=b=4000,所以C(x)=500x+4000.P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-500x-4000=-20x2+2500x-4000(0≤x≤100,x∈N).例2[配例3使用]某公司生產(chǎn)某種消防安全產(chǎn)品,年產(chǎn)量x臺(0≤x≤100,x∈N)時(shí),銷售收入函數(shù)R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數(shù)滿足C(x)=500x+b(單位:元).已知該公司不生產(chǎn)任何產(chǎn)品時(shí),其成本為4000元.(2)問該公司生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時(shí),利潤最大,最大利潤是多少?教師備用習(xí)題

例2[配例3使用]某公司生產(chǎn)某種消防安全產(chǎn)品,年產(chǎn)量x臺(0≤x≤100,x∈N)時(shí),銷售收入函數(shù)R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數(shù)滿足C(x)=500x+b(單位:元).已知該公司不生產(chǎn)任何產(chǎn)品時(shí),其成本為4000元.(3)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,對于函數(shù)f(x),我們把函數(shù)y=f(x+1)-f(x)稱為函數(shù)f(x)的邊際函數(shù),記作Mf(x).對于(1)中的利潤函數(shù)P(x),求邊際函數(shù)MP(x),利用邊際函數(shù)MP(x)的性質(zhì)解釋該公司生產(chǎn)利潤的情況.(本題所指的函數(shù)性質(zhì)主要包括:函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)等)教師備用習(xí)題解:MP(x)=P(x+1)-P(x)=-40x+2480(0≤x≤99,x∈N),邊際函數(shù)為減函數(shù),說明隨著產(chǎn)量的增加,每生產(chǎn)一臺產(chǎn)品的利潤與生產(chǎn)前一臺的利潤差在減少.

教師備用習(xí)題

C

教師備用習(xí)題

教師備用習(xí)題

基礎(chǔ)熱身

B

12345678910111213141516

A

12345678910111213141516

D12345678910111213141516A.①

B.②

C.①②

D.①③

12345678910111213141516

C

12345678910111213141516

圖K14-2C12345678910111213141516

12345678910111213141516

27

12345678910111213141516綜