課時作業(yè)-第一課時-證明平行和垂直

第6節(jié)立體幾何中的向量方法第一課時證明平行和垂直知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面的法向量、直線的方向向量及其應(yīng)用1,2,3利用向量證明平行問題58利用向量證明垂直問題4,610平行與垂直關(guān)系中的探索性問題1214綜合問題79,11131.直線l的一個方向向量為n=(1,3,a),平面α的一個法向量為k=(b,2,3),若l∥α,則a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式為(A)A.3a+b+6=0 B.a=3bC.3a-b+6=0 D.a=-3b解析:因為l∥α,所以n⊥k,即n·k=b+6+3a=0,所以3a+b+6=0.故選A.2.若直線a與b的一個方向向量分別是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,則m的值為(B)A.4 B.-4 C.-2 D.2解析:因為a∥b,所以a∥b,故m=-4.故選B.3.已知平面α的一個法向量為a=(x,1,-2),直線l的一個方向向量為n=(12A.x+2y=-4 B.x+y=3C.x+2y=12 D.x+y=解析:因為l⊥α,所以n∥a,即a=λn(λ∈R),所以(x,1,-2)=λ(12所以x=1所以x+y=324.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置關(guān)系不確定解析:如圖,以D為坐標(biāo)原點,線段DA的長為單位長度,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),則DQ→=(1,1,0),DC→=(0,0,1),因為PQ→·DQ→=0,PQ→所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,DQ?平面DCQ,DC?平面DCQ,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.故選B.5.已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是.解析:設(shè)平面α的法向量為m=(x,y,z),由m·AB→=0,得x·0+y-z=0?由m·AC→=0,得x-z=0?所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.答案:平行6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N→=λNC→,且AB解析:如圖所示,取B1C1的中點P,連接MP,以M為坐標(biāo)原點,MC→,MA→,因為底面邊長為1,側(cè)棱長為2,所以A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(C1(12設(shè)N(12因為C1N→所以N(12,0,2所以AB1→=(-12,-32,2),MN又因為AB1⊥MN,所以AB1→所以-14+4所以λ=15.答案:157.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.求證:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.證明:以C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.因為PC⊥平面ABCD,所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因為PC=2,所以BC=23,PB=4,所以D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M(32,0,3所以DP→=(0,-1,2),DA→=(23,3,0),CM→=(3(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的法向量,則DP→·令y=2,得n=(-3,2,1).因為n·CM→=-3×32+2×0+1×所以n⊥CM→又CM?平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)法一由(1)知,BA→=(0,4,0),PB→=(2設(shè)平面PAB的法向量m=(x0,y0,z0),則BA即4令x0=1,得m=(1,0,3),又因為平面PAD的一個法向量n=(-3,2,1),所以m·n=1×(-3)+0×2+3×1=0,所以m⊥n,所以平面PAB⊥平面PAD.法二如圖,取AP的中點E,連接BE,則E(3,2,1),BE→=(-3因為PB=AB,所以BE⊥PA.又因為BE→·DA→=(-3,2,1)·(2所以BE→⊥DA所以BE⊥DA.又PA∩DA=A,PA,DA?平面PAD,所以BE⊥平面PAD.又因為BE?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B,AC的中點,則MN與平面B1BCC1的位置關(guān)系是(B)A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定解析:以C1為原點,以C1B1,C1D1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,所以N(a2,a2,a),M(a,a2所以MN→=(-a2,0,而平面B1BCC1的一個法向量為n=(0,1,0),所以MN→·n=0,即MN又MN?平面B1BCC1,所以MN與平面B1BCC1平行.故選B.9.(多選題)如圖,以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD與△ACD折成互相垂直的兩個平面后,下列結(jié)論正確的是(BC)A.BD→·ACB.∠BAC=60°C.三棱錐D-ABC是正三棱錐D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析:平面ABD⊥平面ACD,由二面角定義知,BD⊥AD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD?平面ABD,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,所以BD→·ACAD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC,所以△ABD,△ACD,△BCD是全等三角形,所以AB=AC=BC,∠BAC=60°,故B正確;可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,所以三棱錐D-ABC是正三棱錐,故C正確;建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)DA=DB=DC=1,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面ADC的一個法向量是n1=(1,0,0),平面ABC的一個法向量是n2=(1,1,1),所以n1·n2=1+0+0=1≠0,故D不正確.故選BC.10.(2021·吉林四平高三檢測)已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列各點中,在平面α內(nèi)的是(填序號).

①B(1,-1,1);②C(1,3,32);③D(1,-3,32);④E(-1,3,-解析:AB→=(-1,0,-1),AC→=(-1,4,-12),AD→=(-1,-2,-12因為AC→·n=0,所以AC答案:②11.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點.(1)試用向量AB→,AD→,AA(2)用向量方法證明:平面EFG∥平面AB1C.(1)解:設(shè)AB→=a,AD→=b,則AG→=AA1→=c+b+1=12=12AB→+AD故AG→=12AB→+(2)證明:AC→=AB→+EG→=ED1→+D1G→因為EG與AC無公共點,所以EG∥AC,因為EG?平面AB1C,AC?平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.又因為AB1→=AB→+BB1→=a+c,FG→=FD1→所以FG∥AB1,因為FG?平面AB1C,AB1?平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又因為FG∩EG=G,FG?平面EFG,EG?平面EFG,所以平面EFG∥平面AB1C.12.直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,在線段AA1上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF的長,若不存在,請說明理由.解:以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則C(0,2a,0),B1(0,0,3a),D(22a,2假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF.不妨設(shè)AF=b(0≤b≤3a),則F(2a,0,b),CF→=(2a,-2B1F→=(2a,0,b-3a),B1D因為CF→·B1D→=a所以CF→⊥B1D→恒成立.由B1F→·CF得b=a或b=2a.所以當(dāng)AF=a或AF=2a時,CF⊥平面B1DF.13.在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,點E,F分別是PB,PD的中點,PA=AB=1,BC=2.用向量方法證明:(1)EF∥平面ABCD;(2)平面PAD⊥平面PDC.證明:(1)以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).點E,F分別是PB,PD的中點,則F(0,1,12),E(12,0,FE→=(12,-1,0),FE→=-1又BD?平面ABCD,EF?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)由(1)可知PD→=(0,2,-1),APAD→=(0,2,0),DC因為AP→·DC→=(0,0,1)AD→·DC→=(0,2,0)所以AP→⊥DC→,AD→即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD,所以DC⊥平面PAD.因為DC?平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.14.(2021·湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校高三階段檢測)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1⊥平面ABC;(2)求平面A1C1B與平面B1C1B夾角的余弦值;(3)證明:在線段BC1上存在點D(不與B,C1重合),使得AD⊥A1B,并求出BDB(1)證明:因為四邊形AA1C1C是正方形,所以AA1⊥AC.又因為平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AA1?平面AA1C1C,所以AA1⊥平面ABC.(2)解:由AC=4,BC=5,AB=3,得AC2+AB2=BC2,所以AB⊥AC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),所以BC1→=(4,-3,4),B設(shè)平面A1C1B的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面B1C1B的法向量為