2024-2025學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)18平面向量基本定理含解析新人教B版必修4

PAGE1-課時分層作業(yè)(十八)平面對量基本定理(建議用時：60分鐘)[合格基礎練]一、選擇題1．設e1，e2是平面內全部向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2B[B項中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)與(3e1－4e2)共線，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．]2．如圖，向量a－b等于()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2C[不妨令a＝eq\o(CA,\s\up8(→))，b＝eq\o(CB,\s\up8(→))，則a－b＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，由平行四邊形法則可知eq\o(BA,\s\up8(→))＝e1－3e2.]3．如圖所示，矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up8(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up8(→))等于()A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2＋5e1) D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)A[eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]4．若D點在△ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up8(→))＝4eq\o(DB,\s\up8(→))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，則3r＋s的值為()A.eq\f(16,5) B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5) D.eq\f(4,5)C[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝4eq\o(DB,\s\up8(→))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).]5．已知點P是△ABC所在平面內的一點，邊AB的中點為D，若2eq\o(PD,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))，其中λ∈R，則點P肯定在()A．AB邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AC邊所在的直線上 D．△ABC的內部C[由2eq\o(PD,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))得2(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(PA,\s\up8(→))－λeq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))，2eq\o(PA,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))－λeq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(PA,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝－λeq\o(PA,\s\up8(→)).∵邊AB的中點為D，∴eq\o(PC,\s\up8(→))＝－λeq\o(PA,\s\up8(→))，∴P在直線AC上．]二、填空題6．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b.若點D滿意eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝________(用b，c表示)eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))，又eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→)).∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－c，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.]7．設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b[因為a＝e1＋2e2 ①，b＝－e1＋e2 ②，明顯a與b不共線，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f(a＋b,3)代入②得e1＝e2－b＝eq\f(a＋b,3)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.]8.如圖，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么eq\o(EF,\s\up8(→))用eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AD,\s\up8(→))可表示為eq\o(EF,\s\up8(→))＝________.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))[eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EC,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→)).]三、解答題9．如圖，在平行四邊形OPQR中，S是對角線的交點，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2e1，eq\o(OR,\s\up8(→))＝3e2，以e1，e2為基底，表示eq\o(PS,\s\up8(→))與eq\o(QS,\s\up8(→)).[解]平行四邊形OPQR中，eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\o(OR,\s\up8(→))＝2e1＋3e2，eq\o(PR,\s\up8(→))＝eq\o(OR,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→))＝3e2－2e1.S是OQ、PR的中點，∴eq\o(PS,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)PR＝eq\f(3,2)e2－e1，eq\o(QS,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OQ,\s\up8(→))＝－e1－eq\f(3,2)e2.10．如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，BF與DE交于點G，設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(DE,\s\up8(→))；(2)試用向量方法證明：A，G，C三點共線．[解](1)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f(1,2)b.(2)證明：連接AC，BD交于O(圖略)，則eq\o(CO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))，∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，∴G是△CBD的重心，∴eq\o(GO,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CO,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up8(→))，又C為公共點，∴A，G，C三點共線．[等級過關練]1.如圖，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up8(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)bD[易知eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→)).設eq\o(CG,\s\up8(→))＝λeq\o(CA,\s\up8(→))，則由平行四邊形法則可得eq\o(CG,\s\up8(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up8(→))＋2λeq\o(CF,\s\up8(→))，由于E，G，F(xiàn)三點共線，則2λ＋2λ＝1，即λ＝eq\f(1,4)，從而eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up8(→))，從而eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．]2．已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿意eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋2\o(OC,\s\up8(→))))，則點P肯定為△ABC的()A．AB邊中線的中點B．AB邊中線的三等分點(非重心)C．重心D．AB邊的中點B[如圖，設AB的中點為M，則eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))，又eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋2\o(OC,\s\up8(→))))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up8(→))＋2eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\f(1,3)eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up8(→))，即eq\o(MP,\s\up8(→))＝2eq\o(PC,\s\up8(→))，∴P、M、C、O四點共線，且點P為CM的三等分點．又CM為△ABC中AB邊上的中線，點O為△ABC的重心．∴點P為AB邊中線的三等分點(非重心)．]3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，點E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up8(→))等于________(用a、b表示)．eq\f(1,3)a＋b[由題知eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,3)，則DF＝eq\f(1,3)AB，所以eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)a＋b.]4．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝neq\o(AN,\s\up8(→))，則m＋n的值為________．2[eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up8(→)).∵M，O，N三點共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.]5．已知單位圓O上的兩點A，B及單位圓所在平面上的一點P，eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))不共線．(1)在△OAB中，點P在AB上，且eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PB,\s\up8(→))，若eq\o(AP,\s\up8(→))＝req\o(OB,\s\up8(→))＋seq\o(OA,\s\up8(→))，求r＋s的值．(2)如圖，點P滿意eq\o(OP