16章數(shù)學(xué)分析微分中值定理及其應(yīng)用63省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

§3泰勒公式多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單函數(shù).用多項(xiàng)一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式三、在近似計(jì)算中應(yīng)用二、帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)研究課題之一.式來迫近普通函數(shù)是近似計(jì)算重返回第1頁(yè)在處可導(dǎo),當(dāng)充分小時(shí),能夠由一次多項(xiàng)式近似地代替,其誤差為.一、帶有佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式問題:是否存在一個(gè)n次多項(xiàng)式使得第2頁(yè)設(shè)則即第3頁(yè)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo).稱多項(xiàng)式為f(x)在點(diǎn)x0

n階泰勒多項(xiàng)式,稱為泰勒系數(shù).則不難得到:第4頁(yè)定理6.8設(shè)f(x)在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則即第5頁(yè)定理6.6則第6頁(yè)也不能說明一定是f(x)n階泰勒多項(xiàng)式.比如注1附近滿足注2若f(x)在點(diǎn)x0有n階導(dǎo)數(shù),則只有惟一多項(xiàng)式(泰勒多項(xiàng)式Tn(x))滿足:第7頁(yè)注3能夠證實(shí)對(duì)任意一個(gè)n次多項(xiàng)式存在使得這也就是說,是迫近最正確n次多項(xiàng)式.在以后應(yīng)用中,公式(3)中x0常被取作0,形此式稱為(帶有佩亞諾型余項(xiàng))麥克勞林公式.式變?yōu)榈?頁(yè)麥克勞林(Maclaurin,C.1698-1746,蘇格蘭)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英國(guó))

第9頁(yè)例1驗(yàn)證以下公式第10頁(yè)第11頁(yè)例2求麥克勞林公式,并求例3求在點(diǎn)泰勒公式.解第12頁(yè)利用泰勒公式來求極限.例4求解因?yàn)榈?3頁(yè)所以第14頁(yè)定理6.9(泰勒定理)若函數(shù)上存在直到n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)數(shù),則或者其中階泰勒多項(xiàng)式.泰勒公式二、帶有拉格朗日型余項(xiàng)第15頁(yè)定理6.5(柯西中值定理)設(shè)函數(shù),在區(qū)間上滿足:(i)f(x),g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(iii)(iv)則在開區(qū)間內(nèi)必定(最少)存在一點(diǎn),使得(ii)f(x),g(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);第16頁(yè)證設(shè)不妨設(shè)上連續(xù),在上可導(dǎo),且第17頁(yè)由柯西中值定理,得因?yàn)樗缘?8頁(yè)為

f(x)在點(diǎn)x0

n階拉格朗日型余項(xiàng),公式(5)

于是就得到我們稱稱為

f(x)在點(diǎn)

x0帶有拉格朗日型余項(xiàng)

n階泰勒公式.第19頁(yè)當(dāng)時(shí),公式(5)成為公式(6)稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)麥克勞林公式。第20頁(yè)例5把例1中公式改寫為帶有拉格朗日型余項(xiàng)公式:第21頁(yè)第22頁(yè)于是第23頁(yè)從而有第24頁(yè)例5(1)計(jì)算e值,使其誤差不超出(2)證實(shí)e是無理數(shù).解由例5可知三、泰勒公式在近似計(jì)算中應(yīng)用第25頁(yè)于是下證

e是無理數(shù).這是因?yàn)槠湔`差不超出.第26頁(yè)矛盾.所以e是一個(gè)無理數(shù).那么不是整數(shù).而由(7)式得到整數(shù)整數(shù)