專題08以拋物線為情境的幾何證明（原卷版）-高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分必會十大基本題型

拋物線必會十大基本題型講與練08以拋物線為情景的幾何證明典例分析類型一、以拋物線為情景的點(diǎn)與直線或曲線位置關(guān)系的證明1．如圖，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．2．已知拋物線C：的焦準(zhǔn)距為2，過C上一動點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別交C于，兩點(diǎn)（P，A，B三點(diǎn)互不相同），且滿足．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明：線段PM的中點(diǎn)在y軸上．3．已知拋物線C；，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線和拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線和x軸交于點(diǎn)N，直線AF和直線BN交于點(diǎn)．(1)若，求三角形AMN的面積（用p表示）；(2)求證：點(diǎn)M在拋物線C上類型二、以拋物線為情景的兩角關(guān)系的證明1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，M為T上一動點(diǎn)，N為圓上一動點(diǎn)，的最小值為.(1)求T的方程；(2)直線l交T于A，B兩點(diǎn)，交x軸的正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且，證明：.類型三、以拋物線為情景的定值問題的證明1．已知點(diǎn)P與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C上有兩點(diǎn)A、B在第一象限，且，，求證：直線AB的斜率是．2．已知直線l：，M為平面內(nèi)一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)已知點(diǎn)P(0，2)，直線與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB與曲線E的另一交點(diǎn)分別是點(diǎn)C，D，證明：直線CD的斜率為定值．3．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，且的面積為2.(1)求拋物線的方程.(2)若斜率不為0的直線過焦點(diǎn)，且交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn).證明：為定值.類型四、以拋物線為情景的定點(diǎn)問題的證明1．已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．(1)求拋物線C的方程；(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．2．已知拋物線E：（）上一點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線E的方程，(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線E上，且，過P作圓C：的兩條切線，分別與拋物線E交于點(diǎn)M，N（M，N兩點(diǎn)均異于P）.證明：直線MN經(jīng)過R.3．已知曲線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離?。?1)求曲線的方程；(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).類型五、以拋物線為情景的線段關(guān)系的證明1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為F，M為E上一點(diǎn)，與x軸垂直，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F點(diǎn)的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別是，求證：．2．已知AB是拋物線上任意一條焦點(diǎn)弦，且、．(1)求證：，；(2)若弦AB被焦點(diǎn)分成長為m、n的兩部分，求證：．鞏固練習(xí)1．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，上不同兩點(diǎn)M，N同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①；②；③MN的方程為.(1)請分析說明兩點(diǎn)M，N滿足的是哪兩個(gè)條件？并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，且與相切于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與直線交于Q，E兩點(diǎn)，求證：O，G，E三點(diǎn)共線.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且不垂直于x軸的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，且，證明：的外接圓過定點(diǎn)．3．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若AB是過拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，求證：以弦AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．4．已知經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線的傾斜角為60°時(shí)，，求拋物線方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于軸．5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)．且．(1)求的方程；(2)設(shè)動直線平行于直線，且與交于M，N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在一條定直線上．6．在平面直角坐標(biāo)系中，圓外的點(diǎn)在軸的右側(cè)運(yùn)動，且到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，證明：是的中點(diǎn)．7．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線、分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于D、E兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．8．如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動點(diǎn)，過D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.(1)求拋物線C的方程；(2)求證：為定值；9．已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，且，直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，直線AM與BN交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在定直線上．10．已知拋物線：，是上位于第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，它到點(diǎn)距離的最小值為，直線與交于另一點(diǎn)，線段AD的垂直平分線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).(1)求的值；(2)若，證明A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，并求該圓的方程.11．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)動點(diǎn)，為拋物線在第一象限內(nèi)兩點(diǎn)，且直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，求證：是定值.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，求證：線段的垂直平分線過定點(diǎn).13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)．()若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在軸的正半軸上，存在唯一的點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形．14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若直線的斜率分別為，證明：是，的等差中項(xiàng)．15．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)到F的距離為3．(1)求拋物線C的方程：(2)設(shè)直線l與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，