新編人教A高中數(shù)學必修4全冊教案導學案含答案

2014新編人教A高中數(shù)學必修4全冊教案導學案含答案

目錄

1.1.1任意角

1.1.2弧度制

L2.1任意角的三角函數(shù)

1.2.2同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.3.1三角函數(shù)的誘導公式（一）

1.3.2三角函數(shù)誘導公式（二）

1.4.1正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象

1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)

1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.5函數(shù)的圖象

1.6三角函數(shù)模型的簡單應用

2.1平面向量的實際背景及基本概念

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義

2.2.2向量的減法運算及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量正交分解及坐標表示

2.3.3平面向量的坐標運算

2.3.4平面向量共線的坐標表示

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

2.5平面向量應用舉例

3.1.1兩角差的余弦公式

3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.2簡單的三角恒等變換

1.L1任意角

一、教材分析

“任意角的三角函數(shù)”是本章教學內(nèi)容的基本概念,它又是學好本章教學內(nèi)

容的關(guān)鍵。它是學生在學習了銳角三角函數(shù)后，對三角函數(shù)有一定的了解的基礎(chǔ)

上,進行的推廣。它又是下面學習平面向量、解析幾何等內(nèi)容的必要準備。并且，

通過這部分內(nèi)容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念。

二、教學目標

1.理解任意角的概念；

2.學會建立直角坐標系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合

的書寫。

三、教學重點難點

1.判斷已知角所在象限；

2.終邊相同的角的書寫。

四、學情分析

五、教學方法

1.本節(jié)教學方法采用教師引導下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領(lǐng)

下，學生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處,進而探索新的方法,形成新的概念,突出

數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)

學的邏輯性、思想性比較強的課.

2.學案導學:見后面的學案。

3.新授課教學基本環(huán)節(jié):預習檢查、總結(jié)疑惑一情境導入、展示目標一合

作探究、精講點撥一反思總結(jié)、當堂檢測一發(fā)導學案、布置預習

六、課前準備

七、課時安排：1課時

八、教學過程

（一）復習引入：

1.初中所學角的概念。

2.實際生活中出現(xiàn)一系列關(guān)于角的問題。

（二）新課講解：

1.角的定義:一條射線繞著它的端點,從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置,形成

一個角，點是角的頂點，射線分別是角的終邊、始邊。

說明：在不引起混淆的前提下，“角”或可以簡記為.

2?角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它為零角。

說明：零角的始邊和終邊重合。

3.象限角：

在直角坐標系中,使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負軸重合,

則

(1)象限角：若角的終邊(端點除外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限

角。

例如:都是第一象限角；是第四象限角。

(2)非象限角(也稱象限間角、軸線角)：如角的終邊在坐標軸上，就認為這個

角不屬于任何象限。例如:等等。

說明：角的始邊“與軸的非負半軸重合”不能說成是“與軸的正半軸重合”。

因為

軸的正半軸不包括原點，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點為

其端點的射線。

4.終邊相同的角的集合：由特殊角看出：所有與角終邊相同的角，連同角

自身在內(nèi)，都可以寫成的形式;反之,所有形如的角都與角的終邊相同。從而

得出一般規(guī)律：

所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合，

即:任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。

說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。

5.例題分析：

例1在與范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限

角？⑴⑵⑶

解：⑴,

所以,與角終邊相同的角是,它是第三象限角；

(2),

所以,與角終邊相同的角是角，它是第四象限角；

(3),

所以,角終邊相同的角是角，它是第二象限角。

例2若,試判斷角所在象限。

解:

，與終邊相同，所以,在第三象限。

寫出下列各邊相同的角的集合,并把中適合不等式的元素

寫出來:(1);(2);(3).

解：⑴，

中適合的元素是

(2),

S中適合的元素是(3)

S中適合的元素是

(三)反思總結(jié)，當堂檢測。

教師組織學生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,并進行當堂檢測。

設(shè)計意圖：引導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡并對所學內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。(課

堂實錄)

(四)發(fā)導學案、布置預習。

九、板書設(shè)計

十、教學反思

以學生的學習為視角，可以對這節(jié)課的教學進行如下反思：

⑴學生對課堂提問，回答是否積極?學生能否獨立或通過合作探索出問題

的結(jié)果？

(2)學生處理課堂練習題情況如何?可能的原因是什么？

(3)教學任務是否完成？

下面我們著重分析一下提問的效果。

在回答教學設(shè)計中的各項提問時，大多數(shù)學生存在一定困難，特別是“問

題1:任意畫一個銳角a,借助三角板，找出sina的近似值.”和''問題5:現(xiàn)在，

角的范圍擴大了，由銳角擴展到了0°?360°內(nèi)的角，又擴展到了任意角，并且在

直角坐標系中，使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合.在這樣的環(huán)

境中，你認為,對于任意角a,sina怎樣定義好呢？”

對于問題1,除了由于時間久而遺忘有關(guān)知識外，學生不熟悉獨立地由一

個銳角a,構(gòu)造直角三角形并求銳角三角函數(shù)的過程是主要原因，他們更習慣于

在給定的直角三角形中解決問題。

對于問題5,教師強調(diào)“在坐標系下怎么樣？”后，有學生開始嘗試回答。

這說明這個問題要求的思維概括水平較高，學生僅利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識,

難以形成當前研究任意角三角函數(shù)的思想方法。因此,教師必須要提供必要的腳

手架。在后面的教學過程中會繼續(xù)研究本節(jié)課,爭取設(shè)計的更科學,更有利于學

生的學習，也希望大家提出寶貴意見,共同完善,共同進步！

十一、學案設(shè)計見下頁

1.1.1任意角

課前預習學案

一、預習目標

1、認識角擴充的必要性，了解任意角的概念，與過去學習過的一些容易混

淆的概念相區(qū)分；

2、能用集合和數(shù)學符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性；

3、能用集合和數(shù)學符號表示象限角；

4、能用集合和數(shù)學符號表示終邊滿足一定條件的角.

二、預習內(nèi)容

1.回憶:初中是任何定義角的？

一條射線由原來的位置0A,繞著它的端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置

0B,就形成角a。旋轉(zhuǎn)開始時的射線0A叫做角的始邊,0B叫終邊,射線的端點0

叫做叫a的頂點。

在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語:“轉(zhuǎn)體720o”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)

體1080?！保崔D(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘,現(xiàn)要校正,需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)?如

果慢了5分鐘，又該如何校正？

2.角的概念的推廣:？

3.正角、負角、零角概念

4.象限角

思考三個問題：

1.定義中說:角的始邊與x軸的非負半軸重合,如果改為與x軸的正半軸重

合行不行,為什么？

2.定義中有個小括號，內(nèi)容是:除端點外,請問課本為什么要加這四個字?

3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？

4.已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上,作出下

列各角，并指出它們是哪個象限的角？

(1)4200;(2)-750;(3)8550;(4)-5100.

5.終邊相同的角的表示

三、提出疑惑

同學們,通過你的自主學習，你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中

疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案

一、學習目標

(1)推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；

(2)理解任意角以及象限角的概念；

(3)掌握所有與角a終邊相同的角(包括角a)的表示方法；

學習重難點：

重點:理解正角、負角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法

及判斷。

難點：把終邊相同的角用集合和數(shù)學符號語言表示出來。

二、學習過程

例1.例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限

角.(注:是指)

例2.寫出終邊在軸上的角的集合.

例3.寫出終邊直線在上的角的集合,并把中適合不等式

的元素寫出來.

(三)【回顧小結(jié)】

1.嘗試練習

(1)教材第3、4、5題(2)補充:時針經(jīng)過3小時20分，則時針轉(zhuǎn)過的角

度為，分針轉(zhuǎn)過的角度為。

注意：(1)；(2)是任意角(正角、負角、零角)；(3)終邊相同的角不一定相

等;但相等的角，終邊一定相同;終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差的整數(shù)倍.

2.學習小結(jié)

你知道角是如何推廣的嗎？

象限角是如何定義的呢？

3你熟練掌握具有相同終邊角a的表示了嗎？

四當堂檢測

1.設(shè)，，那么有(？).

A.B.C.()D.

2.用集合表示：

(1)各象限的角組成的集合.(2)終邊落在軸右側(cè)的角的集合.

3.在?間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角

(1)；(2);(3).

3.解：⑴???

...與角終邊相同的角是角，它是第三象限的角；

(2)V

...與終邊相同的角是，它是第四象限的角；

（3）

所以與角終邊相同的角是，它是第二象限角.

課后練習與提高

1.若時針走過2小時40分，則分針走過的角是多少？

2.下列命題正確的是：（）（A）終邊相同的角一定相等。（B）第一象限

的角都是銳角。（C）銳角都是第一象限的角。（D）小于的角都是銳角。

3.若a是第一象限的角，則是第象限角。

4.一角為，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為一.

5.集合M=ak,kGZ中，各角的終邊都在（）

A.軸正半軸上，B.軸正半軸上，

C.軸或軸上，D.軸正半軸或軸正半軸上

6.設(shè)，

C=a|akl80o+45o,kGZ,

則相等的角集合為_

參考答案

1.解：2小時40分小時，

故分針走過的角為480。2.C3.一或三45.C6._B=D,C=E

1.1.2弧度制【教學目標】①了解弧度制，能進行弧度與角度的換算

②認識弧長公式，能進行簡單應用.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應用，

不必在應用方面加深.

③了解角的集合與實數(shù)集建立了一一對應關(guān)系,培養(yǎng)學生學會用函數(shù)的觀點

分析、解決問題【教學重難點】重點：了解弧度制，并能進行弧度與角度的換

算難點:弧度的概念及其與角度的關(guān)系【教學過程】

（一）復習引入復習初中學習過的知識:角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的

度數(shù)及弧長的關(guān)系提出問題：

①初中的角是如何度量的?度量單位是什么？

②1°的角是如何定義的?弧長公式是什么？

③角的范圍是什么？如何分類的？

（二）概念形成初中學習中我們知道角的度量單位是度、分、秒，它們是

60進制，角是否可以用其它單位度量,是否可以采用10進制？

1.自學課本第7、8頁.通過自學回答以下問題：

1角的弧度制是如何引入的？

2為什么要引入弧度制？好處是什么？

3弧度是如何定義的？

4角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系？

2.學生動手畫圖來探究：

1平角、周角的弧度數(shù)

2角的弧度制與角的大小有關(guān),與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？

3角的弧度與角所在圓的半徑、角所對的弧長有何關(guān)系？

3.角度制與弧度制如何換算？

rad1

歸納:把角從弧度化為度的方法是:

把角從度化為弧度的方法是：

一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,請補充完整

30°90°120°150°270°

0

例1、把下列各角從度化為弧度：

1(2)34

解：1(2)34

變式練習：把下列各角從度化為弧度：

122。30'(2)?210o31200o解：1(2)3

例2、把下列各角從弧度化為度：

(1)23.5324

解：(1)108。2200.5o3114.6o445o

變式練習：把下列各角從弧度化為度：(1)(2)?(3)解：(1)150(2)-240。

(3)54o

弧度數(shù)表示弧長與半徑的比，是一個實數(shù),這樣在角集合與實數(shù)集之間就

建立了一個---對應關(guān)系.

弧度下的弧長公式和扇形面積公式

弧長公式：

因為(其中表示所對的弧長)，所以,弧長公式為.

扇形面積公式:.

說明：以上公式中的必須為弧度單位.

例3、知扇形的周長為8,圓心角為2rad,,求該扇形的面積。

解：因為2R+2R8,所以R2,S4

變式練習：

1、半徑為120mm的圓上，有一條弧的長是144mm，求該弧所對的圓心角的

弧度數(shù)。

答案：

2、半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的2倍。

3、若2弧度的圓心角所對的弧長是，則這個圓心角所在的扇形面積是

4cm2.

4、以原點為圓心,半徑為1的圓中，一條弦的長度為,所對的圓心角

的弧度數(shù)為

課堂小結(jié)：

1、弧度制的定義；

2、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；

3、牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式,并靈活運用；

（四）作業(yè)布置習題1.1A組第7,8,9題。

（五）課后檢測

1.在中，若，求A,B,C弧度數(shù)。

答案:ABC

2.直徑為20cm的滑輪,每秒鐘旋轉(zhuǎn),則滑輪上一點經(jīng)過5秒鐘轉(zhuǎn)過的弧長是

多少？

答案：

3.選做題

如圖,扇形的面積是,它的周長是,求扇形的中心角及弦的長。

答案：

K板書設(shè)計》

1.1.2弧度制

（一）復習引入

概念形成例1例2

（三）弧度下的弧長公式和扇形面積公式

例3小結(jié)：

1.1.2弧度制

課前預習學案

一、預習目標：1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧長公式和扇形面積公式.

二、預習內(nèi)容初中學習中我們知道角的度量單位是度、分、秒,它們是

60進制，角是否可以用其它單位度量,是否可以采用10進制？自學課本第7、8

頁.通過自學回答以下問題：

角的弧度制是如何引入的？

為什么要引入弧度制?好處是什么？

弧度是如何定義的？

角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系？

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度數(shù)？

2、角的弧度制與角的大小有關(guān),與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)?

3、角的弧度與角所在圓的半徑、角所對的弧長有何關(guān)系？

課內(nèi)探究學案

一、學習目標

1.理解弧度制的意義；

2.能正確的應用弧度與角度之間的換算；

3.記住公式（為以.作為圓心角時所對圓弧的長,為圓半徑）；

4.熟練掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式及其應用。

二、重點、難點

弧度與角度之間的換算；

弧長公式、扇形面積公式的應用。

三、學習過程

（一）復習：初中時所學的角度制，是怎么規(guī)定角的？角度制的單位有哪些,

是多少進制的？

（二）為了使用方便，我們經(jīng)常會用到一種十進制的度量角的單位制??弧度

制。

我們規(guī)定叫做1弧度的角，用符號表示,讀作。

練習：圓的半徑為,圓弧長為、、的弧所對的圓心角分別為多少？

思考:圓心角的弧度數(shù)與半徑的大小有關(guān)嗎？

由上可知:如果半徑為r的園的圓心角所對的弧長為，那么，角的弧度數(shù)的絕

對值是:，的正負由決定。

正角的弧度數(shù)是一個，負角的弧度數(shù)是一個，零角的弧度數(shù)是。

說明：我們用弧度制表示角的時候，“弧度”或經(jīng)常省略，即只寫一實數(shù)表示

角的度量。

例如：當弧長且所對的圓心角表示負角時，這個圓心角的弧度數(shù)是.

(三)角度與弧度的換算

rad1

歸納:把角從弧度化為度的方法是：把角從度化為弧度的方法是：

試一試:一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，請補充完整

30°90°120°150°270°

0

例1、把下列各角從度化為弧度：

1(2)34

變式練習：把下列各角從度化為弧度：122o30z(2)?210o31200o

例2、把下列各角從弧度化為度：

(1)23.5324

變式練習：把下列各角從弧度化為度：

(1)(2)?(3)

(四)弧度數(shù)表示弧長與半徑的比，是一個實數(shù)，這樣在角集合與實數(shù)集之

間就建立了一個---對應關(guān)系.

弧度下的弧長公式和扇形面積公式

弧長公式：

因為(其中表示所對的弧長)，所以,弧長公式為.

扇形面積公式:.

說明：以上公式中的必須為弧度單位.

例3、知扇形的周長為8,圓心角為2rad,,求該扇形的面積。

變式練習1、半徑為120mm的圓上,有一條弧的長是144mm,求該弧所對的

圓心角的弧度數(shù)。

2、半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的倍。

3、若2弧度的圓心角所對的弧長是，則這個圓心角所在的扇形面積是.

4、以原點為圓心,半徑為1的圓中，一條弦的長度為,所對的圓心角

的弧度數(shù)為

課堂小結(jié)：

1、弧度制的定義；

2、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；

3、牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式,并靈活運用；

（七）作業(yè)布置習題1.球組第7,8,9題。

課后練習與提高

1.在中，若，求A,B,C弧度數(shù)。

2.直徑為20cm的滑輪,每秒鐘旋轉(zhuǎn),則滑輪上一點經(jīng)過5秒鐘轉(zhuǎn)過的弧長是

多少？

3.選做題

如圖,扇形的面積是，它的周長是，求扇形的中心角及弦的長。L2.1任

意角的三角函數(shù)

【教學目標】

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號）;

(2)理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；

(3)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正

切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；

(4)掌握并能初步運用公式一；

(5)樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).

【教學重難點】

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號)；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等(公式一).

難點：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號)；三角函數(shù)線的正確理解.

【教學過程】

一、【創(chuàng)設(shè)情境】

提問：銳角0的正弦、余弦、正切怎樣表示？

借助右圖直角三角形，復習回顧.

引入:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

如圖,設(shè)銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那

么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點，它與原點的距離.過作軸的垂

線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；

；思考:對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變

而改變呢？

顯然,我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上,這樣就可以得到用直

角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù):

思考:上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示.那么，角的概

念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數(shù)的定義進行修改，以利推廣到任意

角呢?本節(jié)課就研究這個問題一一任意角的三角函數(shù).

二、【探究新知】

1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應如何求解任意角的三

角函數(shù)值呢顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離

為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓

的定義:在直角坐標系中，我們稱以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓.

2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義？

如圖,設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點,那么：

1叫做的正弦sine,記做，即；

(2)叫做的余弦cossine,記做,即:

(3)叫做的正切tangent,記做,即.

注意：當a是銳角時,此定義與初中定義相同(指出對邊,鄰邊,斜邊所在)；

當a不是銳角時,也能夠找出三角函數(shù)，因為,既然有角，就必然有終邊,終邊就必

然與單位圓有交點,從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.

3.思考:如果知道角終邊上一點，而這個點不是終邊與單位圓的交點，該如

何求它的三角函數(shù)值呢？

前面我們已經(jīng)知道，三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大

小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么，,

.所以,三角函數(shù)是以為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值

的函數(shù)，又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關(guān)系，故三角函數(shù)也可

以看成實數(shù)為自變量的函數(shù).

4.探究:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域

填入下表;再將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：

三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限

角度制弧度制

5.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系？

終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一：

其中

6.三角函數(shù)線

設(shè)任意角的頂點在原點,始邊與軸非負半軸重合,終邊與單位圓相交與點

,過作軸的垂線，垂足為;過點作單位圓的切線,它與角的終邊或其反向延長

線交與點.

由四個圖看出：

當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有我們就分別稱有向線段為

正弦線、余弦線、正切線。

我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、

正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.

7.例題講解

例1.已知角a的終邊經(jīng)過點,求a的三個函數(shù)制值。

解：變式訓練1:已知角的終邊過點,求角的正弦、余弦和正切值.

解:，，例2.求下列各角的三個三角函數(shù)值：

(1);(2);(3).解：(l)sinOOcosOltanOO(2)(3)變式訓練2:求的正弦、

余弦和正切值例3.已知角a的終邊過點，求a的三個三角函數(shù)值解析:計算點到

原點的距離時應該討論a的正負變式訓練3:求函數(shù)的值域.

解析:分四個象限討論.

答案：2,-2,0例4..利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?.與

2.tan與tan三、【學習小結(jié)】

1本章的三角函數(shù)定義與初中時的定義有何異同？

2你能準確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號嗎？

3請寫出各三角函數(shù)的定義域；

4終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時會準確熟練應用

公式一嗎？

5三角函數(shù)線的做法.

四、【作業(yè)布置】

作業(yè)：習題1.2A組第1,2題.

五、【板書設(shè)計】1.2.1任意角的三角函數(shù)

(一)復習引入

概念形成L三角函數(shù)定義2.三角函數(shù)線

(三)例題講解小結(jié):

1.21任意角的三角函數(shù)

課前預習學案

一、預習目標：

1.了解三角函數(shù)的兩種定義方法；

2.知道三角函數(shù)線的基本做法.

二、預習內(nèi)容：根據(jù)課本本節(jié)內(nèi)容，完成預習目標,完成以下各個概念的

填空.

三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在

下面的表格中

疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案

一、學習目標

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號)；

(2)理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；

(3)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正

切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；

(4)掌握并能初步運用公式一；

(5)樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).

二、重點、難點

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.

難點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域

和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理解.

三、學習過程

（一）復習：

1初中銳角的三角函數(shù)

2、在RtAABC中，設(shè)A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、

余弦、正切依次為___________________________________________________

（二）新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標系中，設(shè)a是一個任意角，a終邊上任意一點（除了原點）的坐標

為，它與原點的距離為，那么

（1）比值_______叫做a的正弦，記作,即

（2）比值叫做a的余弦，記作_______,即

⑶比值_______叫做a的正切,記作,即;

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

3.三角函數(shù)的符號

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知:

①正弦值對于第一、二象限為（）,對于第三、四象限為—0；

②余弦值對于第一、四象限為（）,對于第二、三象限為—0；

③正切值對于第一、三象限為（同號），對于第二、四象限為（異

號）.

4.誘導公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道:

即有:___________________________

5.當角的終邊上一點的坐標滿足時，有三角函數(shù)正弦、余

弦、正切值的幾何表示??三角函數(shù)線。設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半

軸重合，終邊與單位圓相交與點過作軸的垂線，垂足為;過點作單位圓的切線，它

與角的終邊或其反向延長線交與點.

由四個圖看出：

當角的終邊不在坐標軸上時,有向線段,于是有

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

（三）例題

例1.已知角a的終邊經(jīng)過點，求a的三個函數(shù)制值。

變式訓練1:已知角的終邊過點,求角的正弦、余弦和正切值.

例2.求下列各角的三個三角函數(shù)值:

(1);(2);(3).

變式訓練2:求的正弦、余弦和正切值.

例3.已知角a的終邊過點,求a的三個三角函數(shù)值。

變式訓練3:求函數(shù)的值域

例4..利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：1與2.tan與tan(四)、

小結(jié)

課后練習與提高

一、選擇題

1.是第二象限角,P(,)為其終邊上一點，且，則的值為()

ABCD2.是第二象限角，且，則是()A.第一象限角B.第二象限角C.

第三象限角D.第四象限角

3、如果那么下列各式中正確的是()

AB

CD

二、填空題

4.已知的終邊過(9,)且,，則的取值范圍是。

5.函數(shù)的定義域為。

6.的值為(正數(shù)，負數(shù),0,不存在)

三、解答題

7.已知角a的終邊上一點P的坐標為()()，且，求

1.2.2同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

一、教學目標：

1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

2通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式

證明的解題技能,提高運用公式的靈活性；

3注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題;在解決三角函數(shù)化簡問

題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化;在恒等式證明的教學過程

中,注意培養(yǎng)學生分析問題的能力,從而提高邏輯推理能力.

二、教學重、難點

重點：公式及的推導及運用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的

一個,求其余兩個；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單的三角恒等式.

難點：根據(jù)角a終邊所在象限求出其三角函數(shù)值;選擇適當?shù)姆椒ㄗC明三

角恒等式.

三、學法與教學用具

利用三角函數(shù)線的定義，推導同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：及，并靈活應

用求三角函數(shù)值，化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.

教學用具：圓規(guī)、三角板、投影

四、教學過程

【創(chuàng)設(shè)情境】

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣,本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系,

弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系,實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化.

【探究新知】

探究:三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),

討論一

下同一個角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎如圖：以正弦線，余弦線和半徑三

者的長構(gòu)成直角三角形,而且.由勾股定理由，因此，即.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，當時，有.

這就是說，同一個角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.

【例題講評】

例1化簡：

解:原式

例2已知

解：

（注意象限、符號）

例3求證：

分析：思路1.把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形;思路2:把左邊分

子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求;思路3:用作差法，不管分母，只

需將分子轉(zhuǎn)化為零;思路4:用作商法，但先要確定一邊不為零;思路5:利用公分

母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6:由乘積式轉(zhuǎn)化為比例

式;思路7:用綜合法.

證法1:左邊右邊，

原等式成立

證法2:左邊=

=右邊

證法3:

證法4:YcosxW0,，1+sinxWO,，WO,

???===1,

???

...左邊右邊...原等式成立.

例4己知方程的兩根分別是，

求解：

（化弦法）

例5已知，

求

解：

【課堂練習】

化簡下列各式

3.

練習答案：

解：（1）原式=

(2)原式=

【學習小結(jié)】

(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此,.

(2)利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要

就角所在象限進行分類討論.

作業(yè)：習題1.2A組第10,13題.

熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式,試將關(guān)系式變形等，得到其他幾個常

用的關(guān)

系式;注意三角恒等式的證明方法與步驟【課后作業(yè)】見學案【板書設(shè)計】

略【教學反思】

1.2.2同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

課前預習學案

預習目標：

通過復習回顧三角函數(shù)定義和單位圓中的三角函數(shù)線，為本節(jié)所要學習的

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式做好鋪墊。

預習內(nèi)容：

復習回顧三角函數(shù)定義和單位圓中的三角函數(shù)線：

提出疑惑:

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，我們能不能研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，

弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化呢？

0

課內(nèi)探究學案

學習目標：

1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

2通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式

證明的解題技能,提高運用公式的靈活性；

3注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題;在解決三角函數(shù)化簡問

題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化;在恒等式證明的教學過程

中，注意培養(yǎng)學生分析問題的能力,從而提高邏輯推理能力.

學習過程：

【創(chuàng)設(shè)情境】

與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系,

弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系,實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化.

【探究新知】

探究:三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，

討論一

下同一個角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎如圖：以正弦線，余弦線和半徑三

者的長構(gòu)成直角三角形,而且.由勾股定理由，因此，即.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，當時，有.

這就是說，同一個角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.

【例題講評】

例1化簡：

例2已知

例3求證：

例4已知方程的兩根分別是，

求例5已知，

求

【課堂練習】

化簡下列各式

3.

課后練習與提高

1已矢口sina+cosa=,且0<a<m,則tana的值為

2若sin40+cos40=1,則sin0+cos0的值為

AOBIC-1D±1

3若tan0+cot0=2,則sin0+cos0的值為

AOBC-D±

4若=10,則tana的值為

5若tana+cota2,貝Usin4a+cos4a=

6若tan2a+cot2a=2,貝"sinacosa=

同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學目的：

1.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

2通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式

證明的解題技能,提高運用公式的靈活性；

3注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題;在解決三角函數(shù)化簡問

題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化;在恒等式證明的教學過程

中,注意培養(yǎng)學生分析問題的能力,從而提高邏輯推理能力.

教學重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學難點：1已知某角的一個三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時正

負號的選擇;2三角函數(shù)式的化簡;3證明三角恒等式.

授課類型:新授課

知識回顧：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式：

99999999999999999999999999999999999

999Q99999999999999999999999999999Q9

典型例題：

已知sin2,求a的其余三個三角函數(shù)值.

例2.已知:且，試用定義求的其余三個三角函數(shù)值.

例3.已知角的終邊在直線y3x上，求sin和cos的值.

說明：已知某角的一個三角函數(shù)值,求該角的其他三角函數(shù)值時要注意：

角所在的象限；

用平方關(guān)系求值時,所求三角函數(shù)的符號由角所在的象限決定；

3若題設(shè)中已知角的某個三角函數(shù)值是用字母給出的，則求其他函數(shù)值時,

要對該字母分類討論.

四、小結(jié)幾種技巧

五、課后作業(yè)：

六、板書設(shè)計(略)

七、課后記：

1.3.1三角函數(shù)的誘導公式(一)

一、教學目標：

1.借助單位圓,推導出正弦、余弦和正切的誘導公式,能正確運用誘導公式

將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),并解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒

等式證明問題

2.通過公式的應用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)學生的

化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。

二、重點與難點：

重點：四組誘導公式的記憶、理解、運用。

難點：四組誘導公式的推導、記憶及符號的判斷；

三、學法與教學用具：

(1)、與學生共同探討，應用數(shù)學解決現(xiàn)實問題；

(2)、通過模擬試驗,感知應用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的

良好習慣.

四、教學過程：

創(chuàng)設(shè)情境:我們知道，任一角都可以轉(zhuǎn)化為終邊在內(nèi)的角，如何進一步求出

它的三角函數(shù)值？

我們對范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值是熟悉的，那么若能把內(nèi)的角的三角函數(shù)

值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值,則問題將得到解決,這就是數(shù)學化歸思想

研探新知

1.誘導公式的推導

由三角函數(shù)定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即有公

式一：

（公式一）

誘導公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為之間角的正弦、

余弦、正切。

【注意】：運用公式時，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫

成

,是不對的

【討論】：利用誘導公式（一），將任意范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到角后,

又如何將角間的角轉(zhuǎn)化到角呢？除此之外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊

關(guān)系,如關(guān)于坐標軸對稱、關(guān)于原點對稱等。那么它們的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？

若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，那么與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？特別

地,角與角的終邊關(guān)于軸對稱，由單位圓性質(zhì)可以推得：（公式二）

特別地,角與角的終邊關(guān)于軸對稱,故有

（公式三）

特別地,角與角的終邊關(guān)于原點對稱,故有

（公式四）

所以，我們只需研究的同名三角函數(shù)的關(guān)系即研究了的關(guān)系了。

【說明】：①公式中的指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立；

③記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；

［方法小結(jié)］:用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),其一

般方向是：

①化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；

②化為內(nèi)的三角函數(shù)；

③化為銳角的三角函數(shù)。

可概括為：“負化正,大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）。

2、例題分析：

例1求下列三角函數(shù)值：（1）;（2）.

分析:先將不是范圍內(nèi)角的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)的角的三角

函數(shù)（利用誘導公式一）或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導公式化到范圍

內(nèi)

角的三角函數(shù)的值。

解：（1）（誘導公式一）

（誘導公式二）

（2）（誘導公式三）

（誘導公式一）

（誘導公式二）

方法小結(jié):用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般

步驟是：

①化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；

②化為內(nèi)的三角函數(shù)；

③化為銳角的三角函數(shù)。

可概括為：“負化正,大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）。

例2化簡.

解:原式

3課堂練習：

（1）.若，則的取值集合為（）

A.B.

C.D.

（2）.已知那么（）

A.B.C.D.

（3）.設(shè)角的值等于