數(shù)學(xué)分析課件華東師大版12

一、區(qū)間與鄰域1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無(wú)限集數(shù)集分類(lèi):N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開(kāi)區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.鄰域:二有界集·確界原理1有（無(wú)）界數(shù)集:定義(上、下有界,有界)數(shù)集S有上界數(shù)集S無(wú)上界數(shù)集S有下界數(shù)集S無(wú)下界數(shù)集S有界數(shù)集S無(wú)界＞＜＞閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集.,等都是無(wú)界數(shù)集,集合也是無(wú)界數(shù)集.例1證明集合

是無(wú)界數(shù)集.,存在

由無(wú)界集定義，E為無(wú)界集。證明：對(duì)任意2確界:定義R,數(shù)M若滿足1）M是E的上界2）是任一上界，必有則稱M是E的最小上界或上確界，記作或。命題1的充要條件1）M是E上界，2）使得。證必要性，用反證法。設(shè)2）不成立，則使得，均有，與M是上確界矛盾。充分性，用反證法。設(shè)M不是E的上確界，即是上界,但。令，由2)，，使得，與是E的上界矛盾。

定義2R，m滿足1）m是下界，2）是E的任意下界，必有.則稱m為E的下確界或最大下界。記作：或.命題2m=的充要條件1）m是E的下界，2）使得.＜例2⑴則

⑵則例3設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有則有.例4設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對(duì)和都有則有證y是A的上界,是B的下界,例4設(shè)A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.

是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù)

都是數(shù)集A的上界,

A中任一數(shù)

都是B的下界,

是數(shù)集A的最小上界,故有

而此式又表明數(shù)

是數(shù)集B的一個(gè)下界,

故由下確界的定義證得

例5

為非空數(shù)集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數(shù)集的下界,

.和

又的下界就是的下界,是的下界,

是的下界,

同理有.于是有綜上,有例5

為非空數(shù)集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數(shù)集的下界,

.和命題3：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上，且，則不妨設(shè)有對(duì)，使，矛盾。（下）確界必是唯一的。證：設(shè)3.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.

⑴E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).

⑵非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理),但未必有最值.

⑶若存在,必有對(duì)下確界有類(lèi)似的結(jié)論.

5確界原理

定理1(確界原理).設(shè)E為非空數(shù)集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。非空，有上界：，(1).若中有最大數(shù)，則即為上確界；中無(wú)最大數(shù)，用下述方法產(chǎn)生實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃；，其余的實(shí)數(shù)歸入下類(lèi)，則是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃。證明設(shè).(2).若的一切上界歸入上類(lèi)

。其次，由于不是的最大數(shù)，所以它不是的上界，即。這說(shuō)明中任一元素都屬于下類(lèi)；A,B不空.首先取A、B不漏性由A、B定義即可看出；

A、B不亂.設(shè)，因a不是E的上界，，使得，而E內(nèi)每一元素屬于A，所以

.

由的證明可見(jiàn)無(wú)最大數(shù).

所以是實(shí)數(shù)的一個(gè)分劃.由戴德金定理，知上類(lèi)B必有最小數(shù)，記作c.﹐由知，即得.這表明c是的一個(gè)上界.

若b是E的一個(gè)上界，則

，由此得

，所以c是上界中最小的，由上確界定義，為集合的上確界，記作

。

下證:非空的有下界的集合必有下確界。事實(shí)上，設(shè)集合

有下界b，

則非空集合有上界-b，

利用集合

上確界的存在性，

即可得出集合E的下確界存在。定理1解決了非空有上(下)界集合的上(下)確界存在性問(wèn)題，我們可以利用上確界的存在性，得出我們所研究的某一類(lèi)量（如弧長(zhǎng)）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上確界，我們稱該全序集是完備的。定理1刻劃了實(shí)數(shù)集是完備的。1、字體安裝與設(shè)置如果您對(duì)PPT模板中的字體風(fēng)格不滿意，可進(jìn)行批量替換，一次性更改各頁(yè)面字體。在“開(kāi)始”選項(xiàng)卡中，點(diǎn)擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點(diǎn)擊“替換”按鈕，完成。242