微專題21 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題21圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究【秒殺總結(jié)】1、基本思路（1）探索性問題，一般先對結(jié)論作肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證.（2）若導(dǎo)出矛盾，則否定先前假設(shè)（否定型）；若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確（肯定型），由此得出問題的結(jié)論.（3）“假設(shè)一推證一定論”是解答此類問題的三個步驟.2、技巧總結(jié)（1）解決是否存在常數(shù)的問題時，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在.（2）解決是否存在點的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可以舉特例，然后再證明.（3）解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解（存在）.（4）解決是否存在最值問題時，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解析式判定其最值是否存在，然后得出結(jié)論.【典型例題】例1．（2024·高三·山西·階段練習(xí)）已知為平面上一個動點，到定直線的距離與到定點距離的比等于，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若軸上是否存在定點，使過點且斜率為的直線與曲線相交于（均不同于兩點，且分別為直線的斜率）？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即即，即，即曲線的方程為.（2）設(shè)存在定點，使為定值，則直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，即，且則，解得.故存在點使得為定值.例2．（2024·河南·一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，其長軸長為6，離心率為e且，點D為E上一動點，的面積的最大值為，過的直線，分別與橢圓E交于A，B兩點（異于點P），與直線交于M，N兩點，且M，N兩點的縱坐標(biāo)之和為11.過坐標(biāo)原點O作直線的垂線，垂足為H.(1)求橢圓E的方程；(2)問：平面內(nèi)是否存在定點Q，使得為定值？若存在，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）根據(jù)條件則，，當(dāng)點D位于短軸頂點時，面積的最大，且，由，解得，或，又，因此，，，故橢圓E的方程為：.（2）（2）存在定點使得為定值，理由如下：由題意過點P的直線與橢圓E交于A點，與直線交于M點，與橢圓E交于B點，與直線交于N點，如圖，設(shè)，，，.根據(jù)條件有，，且①由條件知，直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為由①，②聯(lián)立，整理得，該方程有兩個不同的實數(shù)根，，則，由韋達(dá)定理可得，，代入②中，整理得，又，化簡得，因此，即直線過定點.過原點O作直線的垂線，垂直為H，則點H在以為直徑的圓上，則的中點到H的距離等于為定值，因此存在定點即為的中點使得為定值.例3．（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．(1)（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實軸長；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．(2)已知點是曲線的左頂點．圓：（）與直線：交于、兩點，直線、分別與雙曲線交于、兩點．試問：點A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）（?。┯深}意可知雙曲線的實軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點為，故實軸長為；（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得，所以，，①，因為：，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，則，所以直線的方程為，所以直線過定點,所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，解得,綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，，，則，依題意，直線不過點A，可設(shè)：，曲線的方程改寫為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無解；故，兩邊同時除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為．例4．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過點.(1)求的方程：(2)若直線與交于，兩點，且，求的取值范圍：(3)已知點是上的動點，是否存在定圓，使得當(dāng)過點能作圓的兩條切線，時（其中，分別是兩切線與的另一交點），總滿足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè),將其代入雙曲線方程，又，解得，此時，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè),聯(lián)立，故，則，化簡得，此時，所以，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，，故，因此，綜上可得.（3）解法一：當(dāng)直線與相切時，圓心到直線的距離，設(shè)設(shè),類似（2）中的計算可得，所以，由雙曲線的對稱性，延長交雙曲線于另一點,則，且，根據(jù)軸對稱性可得,且直線與也相切，即即為,符合題意，當(dāng)或斜率不存在時，此時，，顯然滿足題意，故存在這樣的圓，半徑為解法二：設(shè)，，由于為圓的切線，平分，且,所以,設(shè)過點與圓相切的直線方程為（直線斜率存在時），，將兩根記為，，同理可得故，故存在這樣的圓，半徑為當(dāng)或斜率不存在時，此時，，顯然滿足題意，故存在這樣的圓，半徑為例5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知中心在原點、焦點在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長為6．(1)求E的方程；(2)若面積為3的的三個頂點均在E上，邊過F，邊過原點，求直線的方程：(3)已知，過點的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點P，Q，l上是否存在點S滿足，且？若存在，求點S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請說明理由．【解析】（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，

因為E中心在原點、焦點在x軸上，所以設(shè)E的方程為，

令，解得，所以有

①

又由離心率為2，得

②，由①②解得，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線過原點及對稱性，知，

聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，

所以，且，

所以，解得，

所以直線的方程是或．（3）若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，依題意有，因為恒成立，所以，故，解得：，

設(shè)，，則由韋達(dá)定理，得，設(shè)點S的坐標(biāo)為，由，得，則，變形得到，將，代入，解得，將代入中，解得，消去k，得到點S的軌跡為定直線：上的一段線段（不含線段端點，，設(shè)直線與雙曲線切于，直線與漸近線平行時于交點為）．

因為，，且，取中點，因為，所以，所以，故，即S的軌跡方程為，表示以點H為圓心，半徑為的圓H，設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，且四條直線的斜率分別為：，，，，因為，所以線段是線段的一部分

經(jīng)檢驗點，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿足條件的點S始終在圓H內(nèi)部，故不存在這樣的點S，使得，且成立．

例6．（2024·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，其焦點為F，過點F的直線l交拋物線S于A和B兩點，，角（如圖）．(1)求拋物線S的方程；(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點，若存在，求出該兩點所在直線的方程，若不存在，請說明理由．【解析】（1）拋物線的焦點，直線方程為，設(shè)，由消去得：，則，，，于是，解得，所以拋物線S的方程為.（2）由（1）知直線：，假設(shè)在拋物線S上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點，設(shè)這兩點坐標(biāo)為，于是直線的斜率，解得，線段的中點在直線上，則，而應(yīng)在線段上，必有與矛盾，所以在拋物線S上不存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點.例7．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）設(shè)、是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的中垂線與橢圓交于，兩點；(1)求的方程，并確定的取值范圍：(2)判斷是否存在，使、、、四點共圓，若存在，則寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明原因．【解析】（1）依題意，可設(shè)直線的方程為，代入，整理得①，設(shè)，，則，是方程①的兩個不同的根，②，且．由是線段的中點，得，解得，代入②得，即的取值范圍是．于是直線的方程為，即．（2）垂直平分，直線的方程為，即代入橢圓方程，整理得③．又設(shè)，，的中點為，則，是方程③的兩根，，，且，，即，于是由弦長公式可得．④將直線的方程代入橢圓方程得⑤．所以，，同理可得⑥．當(dāng)時，，．假設(shè)存在，使得、、、四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心．點到直線的距離為⑦．于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得．故當(dāng)時，、、、四點均在以為圓心，為半徑的圓上．此時圓的方程為.例8．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)是平面直角坐標(biāo)系上的兩點，現(xiàn)定義由點到點的一種折線距離為.對于平面上給定的不同的兩點.(1)若點是平面上的點，試證明：；(2)若兩點在平行于坐標(biāo)軸的同一條直線上，在平面上是否存在點，同時滿足：①；②？若存在，請求出所有符合條件的點；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由絕對值不等式知，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，即三點共線時等號成立．故成立.（2）點與點是在同一條平行于坐標(biāo)軸的直線上的兩個不同的點，可分下列兩種情況討論：若，則，由條件①，得，，，.由條件②，得，，.因此，所求的點.若，則，由條件①，得，代入條件得，解得，結(jié)合條件②得，代入條件得，解得，故.可得符合條件的點.綜上，當(dāng)，時，存在符合條件的點，當(dāng)，時，存在符合條件的點，例9．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)點，由，當(dāng)時，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當(dāng)時，為定值，即面積為定值.【過關(guān)測試】1．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點.(1)若點為上一動點，求的最大值與最小值；(2)若，求的斜率；(3)在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)的左焦點為，則，由橢圓的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點與的左頂點重合時取等號，即的最大值為；，當(dāng)且僅當(dāng)點與的右頂點重合時取等號.即的最小值為.（2）設(shè)，則由，得，所以，即，又在上，所以，即解得即.故直線的斜率為.（3）假設(shè)滿足條件的點存在，設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，把代入，得，所以，，，所以為定值，所以，解得，存在定點，使得為定值；當(dāng)直線的斜率不存在時，易得滿足為定值.綜上，存在定點，使得為定值.2．（2024·北京豐臺·一模）已知橢圓()的焦距為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的周長為16．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為．是否存在定點，使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意得解得∴橢圓的方程為．（2）若存在定點，使得，等價于以為直徑的圓恒過定點．當(dāng)直線的斜率不存在時，為直徑的圓的方程為①，當(dāng)直線的斜率為0時，令，得，因此為直徑的圓的方程為②．聯(lián)立①②，得猜測點的坐標(biāo)為．設(shè)直線的方程為，由得．設(shè)，則∴綜上，存在定點，使得．3．（2024·江蘇·一模）已知橢圓C：的右焦點為，右頂點為A，直線l：與x軸交于點M，且，(1)求C的方程；(2)B為l上的動點，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點，是否存在點B，使得，？若存在，求；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由右焦點為，得，因為，所以，若，則，得，無解，若，則，得，所以，因此C的方程.（2）設(shè)，易知過B且與C相切的直線斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立，消去y得，由，得，設(shè)兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.①設(shè)BF的斜率為，則，因為，所以BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列，②法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以PQ的中垂線為，易得BP中點為，所以BP的中垂線為，聯(lián)立，解得，所以，，要使，即，整理得，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點B，使得，此時.法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以PQ的中垂線為，因為BP中點為，所以BP的中垂線為，聯(lián)立，解得，要使，則，所以，即，而，所以，解得，，因此，故存在符合題意的點B，使得，此時.法3：要使，即或，從而，又，所以，因為，所以，解得，，所以，故存在符合題意的點B，使得，此時.法4：要使，即或，從而，在中，令，得，故，同理可得，因此，，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意的點B，使得，此時.法5：要使，即或，在中，令，得，故，同理可得，由等面積法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合題意的點B，使得，此時.4．（2024·遼寧撫順·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，其右焦點到漸近線的距離為，離心率為，(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線的左、右頂點分別為，點為雙曲線的右支上異于點的動點，直線與直線相交于點，直線與雙曲線的另一個交點為，直線垂直于點，問是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由，【解析】（1）設(shè)雙曲線的右焦點為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其漸近線為，由已知可得，結(jié)合，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）由已知，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，①則，且由這個方程的判別式可得，設(shè)，則，由已知可得，設(shè)，由三點共線可得，由三點共線可得，消去并整理得，又，所以上式可化為，即，整理可得，若，則，代入①式可得，因為點不與點重合，所以，即，所以，所以，即，所以直線過定點，因為直線垂直于直線，垂足為點，所以點在以為直徑的圓上，所以存在點使為定值3，此時點的坐標(biāo)為，5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知橢圓：，是的一個焦點，是上一點，為的左頂點，直線與交于不同的兩點，．(1)求的方程；(2)直線，分別交軸于，兩點，為坐標(biāo)原點；在軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意可知，橢圓C的半焦距，由得，把D的坐標(biāo)代入C的方程得，由解得所以C的方程為．（2）假設(shè)在軸上存在點H，使得．設(shè)，由，可知，所以，即，所以．因為直線交橢圓C于P，Q兩點，則P，Q兩點關(guān)于y軸對稱．設(shè)，，（，且），由題意得，則直線RP的方程為，令，得，直線RQ的方程為，令，得，因為，所以，又因為在C上，所以，即，所以，得．當(dāng)時，由，得，，，所以，，所以，又，為銳角，所以，所以，滿足題意，同理當(dāng)時，也滿足題意．所以，在軸上存在點H，使得，且H的坐標(biāo)為和．6．（2024·高三·北京順義·階段練習(xí)）已知分別是橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左右頂點，且(1)求橢圓的方程；(2)若為直線上的一動點（點不在軸上），連接交橢圓于點，連接并延長交橢圓于點，試問是否存在，便得成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）依題意，，，則，故，于是，橢圓的方程為.（2）如圖，設(shè)點，又，則直線的方程為：，代入方程整理得：，設(shè)，由韋達(dá)定理，，解得：，則.又因，則直線的方程為：，代入方程整理得：，設(shè)，由韋達(dá)定理，，得：，且,故直線的斜率為，則直線的方程為：，將上述的表達(dá)式代入，即得直線的方程為：，化簡可得：，因，故直線恒過定點.于是因，，故.7．（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經(jīng)過左焦點，且與橢圓G相交于兩點，弦的中點為M，直線與橢圓G相交于兩點．(1)若直線l的斜率為1，求直線的斜率；(2)是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，則，由A、B在橢圓上有，作差得：，易知，，即，所以直線的斜率為；（2）假設(shè)存在直線滿足題意，不妨設(shè)其方程為，設(shè)，由，則，所以，且，則，易得，由橢圓對稱性可設(shè)，則，由，所以，易知，則，即存在直線或滿足題意.8．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面所成角的大小；(2)設(shè)點，且，記E的軌跡為曲線Γ.（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；（ii）不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P，Q兩點，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點T，使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動，總有？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.【解析】（1）因為平面，平面平面，所以.所以直線在內(nèi)的射影為直線，所以直線與所成角為.過作，垂足為.因為平分，所以.又，所以，所以又，所以.因為，所以，所以直線與平面所成角為.（2）（i）曲線是橢圓,理由如下：由（1）可知，，所以是的中點,設(shè)的中點為，所以.又，所以.在內(nèi)過作，所以以為原點，所在的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因為，所以，設(shè)，又，則.因為，又，所以，化簡得，即，所以曲線是橢圓.（ii）方法一：設(shè).在平面內(nèi)，因為與不重合，可設(shè)，由得，所以.由對稱性知，若存在定點滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設(shè).若，則，即，因為，所以，當(dāng)時，上式恒成立，所以符合題意；當(dāng)時，有，所以，所以.因為，所以，所以，所以，即.因為上式對于任意的恒成立，所以.綜上，存在點滿足，或時，符合題意.方法二：設(shè)在平面內(nèi)，因為與不重合，可設(shè)，由得，所以.由對稱性知，若存在定點滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設(shè).當(dāng)與重合時，因為，又，所以.所以當(dāng)時，符合題意.當(dāng)與不重合時，過作，垂足分別為.連接，則因為，所以.又，所以平面，所以，同理又，所以，所以，所以RtRt，所以直線平分又在軸上，所以在平面內(nèi)直線的傾斜角互補(bǔ)在平面內(nèi)，設(shè)直線的斜率分別為，則，對于任意的恒成立，所以.綜上，存在點滿足，或時，符合題意.9．（2024·安徽阜陽·一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，動直線過點，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點到直線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1），故當(dāng)直線過且與雙曲線有且僅有一個公共點時，與的漸近線平行．設(shè)直線，則點到直線的距離為，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，由得．成立，則，．，．故存在實數(shù)，使得成立．10．（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）如圖，設(shè)橢圓為的左?右焦點，過點的直線與交于兩點.(1)若橢圓的離心率為的周長為6，求橢圓的方程；(2)求證：為定值；(3)是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出的離心率的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為.由題意，，解得，故橢圓的方程為.（2）橢圓左焦點的坐標(biāo)為.當(dāng)直線的斜率為0時，為定值.當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)的方程為.點的坐標(biāo)為方程組的實數(shù)解，消，得.于是有，異號，故.為定值.綜上，為定值.（3）根據(jù)對稱性，若為等腰直角三角形，只需考慮為直角或為直角.設(shè).若為直角，由于,故軸，將代入橢圓方程中可得，解得，則，,進(jìn)而可得,故離心率；若為直角，則，可解得，，由（2），，代入可得，又故離心率.綜上，可以為等腰直角三角形，此時離心率為或11．（2024·廣東·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，，M為平面內(nèi)的一個動點，滿足：．(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)設(shè)動直線與曲線C有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，該平面上是否存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H？若存在，求出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為,所以，即，所以，即點軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，故橢圓方程為：.（2）如圖，由，消去y并整理，得，因為直線l：與橢圓C有且只有一個公共點P，所以，即，所以，，此時，，所以，由，得，假設(shè)存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點H，則，又，，所以，整理，得對任意實數(shù)，k恒成立，所以，解得，故存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點H.12．（2024·廣東江門·一模）已知橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意可得點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，設(shè)，當(dāng)與軸重合時，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，不妨設(shè)，，則由，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標(biāo)為；下面證明：對任意的直線，均有，當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，消去，得，因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，所以，，所以，易知點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，又，，所以，則三點共線，所以；綜上：存在與點不同的定點，使恒成立.13．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線的離心率的平方和為.(1)求的值；(2)過點的直線與橢圓和雙曲線分別交于點，，，，在軸上是否存在一點，直線，，，的斜率分別為，，，，使得為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由已知得，即，∴，∴；（2）由（1）得橢圓與雙曲線，由已知得直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，，，，，將直線與橢圓聯(lián)立得，，，，.將直線與雙曲線聯(lián)立得，由得，又,而，，.當(dāng)時，為定值.故在軸上是存在一點，使得為定值0.14．（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個動點.設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意設(shè)點，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當(dāng)時，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.15．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）橢圓的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，以為圓心、為半徑的圓與以為圓心、為半徑的圓的交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程和長軸長；(2)已知直線與橢圓C有兩個不同的交點A，B，P為x軸上一點.是否存在實數(shù)k，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）如圖所示，設(shè)兩圓與橢圓的交點為，根據(jù)橢圓的定義可知：，所以，又由橢圓的離心率為，可得，則，所以橢圓的方程為，橢圓的長軸長為.（2）聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，設(shè)，則，再設(shè)的中點為，則，可得，所以，假設(shè)存在實數(shù)和點，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，則，可得，所以，解得，所以點，又因為，可得，即，整理得，所以，將代入可得，即，整理得，所以，解得，當(dāng)時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，此時，是以點P為直角頂點的等腰直角三角形.16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點為是上的點，直線的斜率為．(1)求的方程；(2)過點作兩條相互垂直的直線分別交于兩點和兩點，的中點分別記為，且為垂足．試判斷是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）依題意得解得所以的方程為．（2）存在點，使得為定值．當(dāng)均不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立消去整理可得，．則，設(shè)，則，，所以．同理得點的坐標(biāo)為，則直線的斜率，所以直線的方程為，令，解得，所以直線經(jīng)過定點；當(dāng)時，直線的方程為，也經(jīng)過定點．當(dāng)與軸垂直或重合時，直線的方程為0，經(jīng)過定點．綜上，直線經(jīng)過定點．記定點的中點記為，則，，因為，所以為定值，所以存在點，使得為定值．17．（2024·高三·甘肅定西·開學(xué)考試）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）．步驟1：設(shè)圓心為E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙．(1)以點F、E所在的直線為x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在定點，使得直線TM，TN的斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，因為，，所以，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知：直線過，設(shè)的方程為，由題意必定是存在的，聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設(shè),，,，則，，，將代入上式，可得上式可得，要使為定值，則有，，又，，此時，存在點，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，存在點，使得直線與斜率之積為定值．18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓O：．(1)P為直線l：上一點．①若點P在第一象限，且，求過點P的圓O的切線方程；②若存在過點P的直線交圓O于點A，B，且B恰為線段AP的中點，求點P縱坐標(biāo)的取值范圍；(2)已知，M為圓O上任一點，問：是否存在定點D（異于點C），使為定值，若存在，求出D坐標(biāo)；若不存在，說明你的理由．【解析】（1）①設(shè)點P的坐標(biāo)為，因為，故，解得．又點P在第一象限，則，即P的坐標(biāo)為，易知過點P的圓O的切線的斜率必存在，可設(shè)切線的斜率為k，則切線為，即，于是有，解得或，因此過點P的圓O的切線方程為：或.②設(shè)，則，由點