2025高考數(shù)學(xué)專項講義第05講空間向量的概念及其運算、空間向量法求空間角與空間距離(學(xué)生版+解析)

第05講空間向量的概念及其運算、空間向量法求空間角與空間距離（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第17題,15分面面角的向量求法及應(yīng)用由二面角大小求線段長度證明線面平行證明面面垂直2024年新Ⅱ卷，第7題,15分求線面角錐體體積的有關(guān)計算臺體體積的有關(guān)計算2024年新Ⅱ卷，第17題,15分求平面的法向量面面角的向量求法證明線面垂直線面垂直證明線線垂直2023年新I卷，第18題,12分空間位置關(guān)系的向量證明面面角的向量求法已知面面角求其他量無2023年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直面面角的向量求法2022年新I卷，第9題,5分求異面直線所成的角求線面角無2022年新I卷，第19題,5分求點面距離面面角的向量求法無2022年新Ⅱ卷，第20題,12分面面角的向量求法證明線面平行2021年新I卷，第12題,5分求空間向量的數(shù)量積空間向量的坐標(biāo)表示垂直關(guān)系2021年新I卷，第20題,12分由二面角大小求線段長度或距離錐體體積的有關(guān)計算線面垂直證明線線垂直面面垂直證線面垂直2021年新Ⅱ卷，第19題,12分面面角的向量求法證明面面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分【備考策略】1.掌握空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置，會運用空間兩點間的距離公式2.理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，會求平面法向量4.熟練掌握空間中點線面的位置關(guān)系，會運用空間向量證明平行、垂直關(guān)系5.會運用空間向量求空間距離及空間角【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性質(zhì)，考查空間距離和空間角的求解，需強化鞏固復(fù)習(xí).知識講解1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運算(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標(biāo)運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．空間兩點間的距離公式若，，則=.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.考點一、空間向量的基本概念及其運算1．（廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝．2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．3．（上?！じ呖颊骖}）在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．1．（廣東·高考真題）已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．2．（寧夏·高考真題）已知向量，且，則．3．（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．考點二、空間向量求異面直線所成角1．（全國·高考真題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．（浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是．1．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）設(shè)與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則sinθ的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為，為上的點，若直線與直線所成角的余弦值為，則長為（

）A．1 B． C． D．1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，是棱的中點，是棱上靠近點的四等分點，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．考點三、空間向量求線面角1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，AB//DC，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置（平面）．(1)求證：平面平面PBC；(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線FQ與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.1．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.(1)求證：為的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值.2．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.3．（2024·山東濟南·三模）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺的高；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．4．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.考點四、空間向量求二面角1．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．4．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；(2)若，，，點到平面的距離為，求二面角的余弦值.5．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．1．1．1．1．1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，，，．(1)記平面與平面的交線為，證明：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，平面與PB，PC分別交于M，N兩點.(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.3．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為的中點，平面．(1)求證：；(2)若，．（i）求證：平面；（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，為線段上異于端點的一點.(1)求點到平面的距離；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．5．（2024·山西·二模）如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.考點五、空間向量求空間距離1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．2．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點在棱上，且到平面的距離為，求點到直線的距離．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.2．（2024·天津·二模）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段上一點，，四邊形為矩形.

(1)若是的中點，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值：(3)若點到平面的距離為，求的長.3．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點G是線段BF的中點．(1)證明：平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點G到平面DEF的距離．考點六、立體幾何小題綜合1．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面選項BCD解法二：2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）四棱錐的頂點均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（多選）如圖，棱長為2的正方體中，點是棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．點到平面距離相等B．若平面，且與所成角是，則點的軌跡是橢圓C．三棱錐的外接球的表面積為11πD．若線段，則的最小值是1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線3．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點Q，使得 D．在上存在點P，使得平面4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為 B．平面C．平面 D．二面角的余弦值為5．（2024·重慶九龍坡·三模）（多選）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．直線與平面所成角的正切值為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積為9π考點七、范圍與最值問題1．（2024·河南·一模）三棱錐中，，，，，點M，N分別在線段，上運動.若二面角的大小為，則的最小值為.2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點，與平面交于點，點分別在線段上運動，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，則直線與平面所成角的余弦值的最小值為．5．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）（多選）已知正方體的棱長為2，點M，N分別為棱的中點，點P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點，且，則（

）A．平面 B．點P的軌跡長度為C．存在點P，使得平面 D．點P到平面距離的最大值為6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.1．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為．2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）棱長為2的正方體中，設(shè)點為底面內(nèi)（含邊界）的動點，則點到平面距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·廣東深圳·期中）在長方體中，，點為側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足//平面，則的最小值為，此時點到直線的距離為.4．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）正方體的棱長為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動點（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為.5．（2024·山東·二模）（多選）如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則（

）A．存在使得B．存在使得平面C．若長度為定值，則時三棱錐體積最大D．當(dāng)時，直線與所成角的余弦值的最小值為6．（23-24高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當(dāng)時，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.一、單選題1．（23-24高二下·浙江·期中）空間點，則點到直線的距離（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2024·河南開封·三模）在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當(dāng)點B與點D之間的距離為3時．5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點H，則直線與平面所成角的正弦值為．三、解答題6．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，E為中點，直線與平面交于點F．(1)證明：F為的中點；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在平行六面體中，，．(1)若空間有一點滿足：，求；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，．

(1)求證：(2)當(dāng)點到平面的距離為時，求直線與平面所成的角的正弦值．9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，平行六面體的體積為，，，，．(1)求點A到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．10．（22-23高二上·海南省直轄縣級單位·期末）四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，，平面平面ABCD．

(1)證明：；(2)若PB=PD，且PA與平面ABCD成角為，點E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．一、單選題1．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FBA．3355 C．375 2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且分別為的中點，是內(nèi)的動點（含邊界），且平面，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的外接球的體積為B．的取值范圍為C．直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為D．當(dāng)點到平面的距離與點到平面的距離之比為時，4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，正四棱錐每一個側(cè)面都是邊長為4的正三角形，若點M在四邊形ABCD內(nèi)（包含邊界）運動，N為PD的中點，則（

）A．當(dāng)M為AD的中點時，異面直線MN與PC所成角為B．當(dāng)平面PBC時，點M的軌跡長度為C．當(dāng)時，點M到AB的距離可能為D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入正四棱錐內(nèi)三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，動點，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時，與平面所成角的正弦值是．四、解答題6．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)證明：平面ABC．(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，.(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.8．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.(1)當(dāng)時，求證：平面；(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.9．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點是的中點，．(1)求證：為三棱錐外接球的球心；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時的值．10．（2024·山東煙臺·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點，且．(1)證明：；(2)若D為棱上的動點，當(dāng)與平面所成角最大時，求二面角的余弦值.1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，BC//AD，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2021·全國·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，PD=DC=1，為的中點，且PB⊥AM．（1）求；（2）求二面角的正弦值．3．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．4．（2020·江蘇·高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．5．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．6．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．7．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.8．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.9．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．10．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面PAM所成角的正弦值第05講空間向量的概念及其運算、空間向量法求空間角與空間距離（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第17題,15分面面角的向量求法及應(yīng)用由二面角大小求線段長度證明線面平行證明面面垂直2024年新Ⅱ卷，第7題,15分求線面角錐體體積的有關(guān)計算臺體體積的有關(guān)計算2024年新Ⅱ卷，第17題,15分求平面的法向量面面角的向量求法證明線面垂直線面垂直證明線線垂直2023年新I卷，第18題,12分空間位置關(guān)系的向量證明面面角的向量求法已知面面角求其他量無2023年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面垂直線面垂直證明線線垂直面面角的向量求法2022年新I卷，第9題,5分求異面直線所成的角求線面角無2022年新I卷，第19題,5分求點面距離面面角的向量求法無2022年新Ⅱ卷，第20題,12分面面角的向量求法證明線面平行2021年新I卷，第12題,5分求空間向量的數(shù)量積空間向量的坐標(biāo)表示垂直關(guān)系2021年新I卷，第20題,12分由二面角大小求線段長度或距離錐體體積的有關(guān)計算線面垂直證明線線垂直面面垂直證線面垂直2021年新Ⅱ卷，第19題,12分面面角的向量求法證明面面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2020年新I卷，第20題,12分線面角的向量求法證明線面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分【備考策略】1.掌握空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置，會運用空間兩點間的距離公式2.理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，會求平面法向量4.熟練掌握空間中點線面的位置關(guān)系，會運用空間向量證明平行、垂直關(guān)系5.會運用空間向量求空間距離及空間角【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性質(zhì)，考查空間距離和空間角的求解，需強化鞏固復(fù)習(xí).知識講解1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運算(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標(biāo)運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．空間兩點間的距離公式若，，則=.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.考點一、空間向量的基本概念及其運算1．（廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝．【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積表示求解.【詳解】解：，解得故答案為：2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出的值，再求所給向量的模.【詳解】由，由，.所以.故選：D3．（上海·高考真題）在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量線性運算法則進(jìn)行運算即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.1．（廣東·高考真題）已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：對于A選項中的向量，，則；對于B選項中的向量，，則；對于C選項中的向量，，則；對于D選項中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.【考點定位】本題考查空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運算，屬于中等題.2．（寧夏·高考真題）已知向量，且，則．【答案】3【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.3．（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，故.【詳解】為四面體的棱的中點，為的中點，故，，，因為，所以，.故選：A考點二、空間向量求異面直線所成角1．（全國·高考真題）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.2．（浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直線AC將△ACD翻折成△ACD'，直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是．【答案】【分析】方法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量公式結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】［方法一］：異面直線所成角的向量公式設(shè)直線與所成角為，設(shè)是中點，由已知得，如圖，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，作于，翻折過程中，始終與垂直，，則，，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為，所以＝，所以時，取最大值．故答案為：．［方法二］：幾何法由翻折過程可以看出D'在以H為圓心，DH為半徑的圓上運動，設(shè)E是圓H與平面ABC的交點，易知E在CB上，且CE=1．設(shè)直線AC與BD'所成角為，則，，設(shè)點在平面上的投影為，，因此．［方法三］：考慮純幾何運算由折疊過程可知，在以為圓心，為半徑的圓上運動，且垂直圓所在的平面，如圖,作于，則，與所成角即為，且，,要使最大只需最小，在中，為定值，即只要最短,，因此．［方法四］：【最優(yōu)解】利用三余弦定理前面過程同方法三,與所成角即為，是點在平面上的投影，可知：觀察得當(dāng)與點重合時，和同時達(dá)到最小，和同時取最大，此時有最大值，最后我們不難發(fā)現(xiàn)，其實在翻折過程中，，那么，即當(dāng)與重合時有最大值.【整體點評】方法一：利用建系求異面直線所成角，是通性通法，易操作，但此題運算較復(fù)雜；方法二：利用幾何性質(zhì)求異面直線所成角，計算簡單，需要較好的空間想象能力；方法三：利用幾何法找到異面直線所成角的平面角，計算簡單，需要較好的空間想象能力；方法四：利用三余弦定理分析最簡單，但是三余弦定理不是教材要求必需掌握的內(nèi)容．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）設(shè)與為兩個正四棱錐，正方形ABCD的邊長為且，點M在線段AC上，且，將異面直線PD，QM所成的角記為，則sinθ的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立適當(dāng)空間站直角坐標(biāo)系后，借助空間向量表示出的余弦值，結(jié)合基本不等式計算即可得解.【詳解】連接交于點，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正方形的邊長為，所以，因為，所以為的中點，設(shè)，在直角中，有，故，所以，則，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為，因此的最小值為.

故選：A.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）直三棱柱中，底面是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為，為上的點，若直線與直線所成角的余弦值為，則長為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】建系標(biāo)點，設(shè)，可得，利用空間向量求異面直線的夾角，列式求解即可.【詳解】以A為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則，所以，解得(負(fù)值舍去).故選：A．1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.【詳解】以為原點，在平面內(nèi)過作的垂線交于，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為直三棱柱中，，，，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，所以.故選：C.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.【詳解】記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，是棱的中點，是棱上靠近點的四等分點，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將三棱錐補形成長、寬、高分別為4，2，2的長方體，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量即可求解.【詳解】根據(jù)題意可將三棱錐補形成長、寬、高分別為4，2，2的長方體中，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，故，，所以，所以異面直線與所成角的大小為．故選：B．考點三、空間向量求線面角1．（2022·全國·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以AD所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，AB//DC，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、，由平面知識易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點做平行線，所以可以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳解】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴DC⊥平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又DC⊥平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在等腰梯形中，，，，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將沿AE折起，使點D到達(dá)點P的位置（平面）．(1)求證：平面平面PBC；(2)若，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面所成角的正弦值為，若存在，求Q在線段PB上的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，Q是PB的中點．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理可得答案；（2）以O(shè)為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面AEQ的法向量，由線面角的向量求法求出可得答案.【詳解】（1）如圖，在原圖中連接BE，由于，，，所以四邊形ABED是平行四邊形．由于，所以四邊形ABED是菱形，所以．由于，，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以，所以．在翻折過程中，，保持不變，即，保持不變．由于，OP，平面POB，所以平面POB，由于平面PBC，所以平面平面PBC；（2）由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以．折疊后，若，則，所以，由于，，平面ABCE，所以平面ABCE．所以O(shè)E，OB，PO兩兩相互垂直．由此以O(shè)為原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面AEQ的法向量為，則，令得，故，設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為θ，則，所以，，，解得，所以，因為，，、的中點坐標(biāo)為，即Q是PB的中點．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點F為棱上一點，滿足，在棱上是否存在一點Q，使得直線FQ與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）過點作于點，連接，可證得平面，進(jìn)而可知為二面角的平面角，利用三角形計算即可得出結(jié)果.（2）連接，由為等邊三角形，H為線段的中點，，又平面，以H為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，假設(shè)棱上存在滿足要求的點，設(shè)，，利用，計算可求得，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，過點作于點，連接，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，.為二面角的平面角.∵，，∴為等邊三角形，，又中，，，，.又，，，H為線段的中點.，，中，，，所以二面角的正切值為.（2）連接，為等邊三角形，H為線段的中點，，又平面，則，，兩兩垂直，以H為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，，令，可得.假設(shè)棱上存在滿足要求的點Q，設(shè)，，.，因為直線FQ與平面所成的角為，，整理得：，解得或（舍去）.所以，則.所以當(dāng)時，F(xiàn)Q與平面所成的角為.1．（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.(1)求證：為的中點；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作于點，利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，值域線面垂直的判定定理性質(zhì)定理可得答案；（2）設(shè)，利用求出，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）過作于點，由平面平面，平面平面平面，平面，又底面平面，，平面，所以底面平面，，又為的中點；（2）設(shè)，，，如圖建系，，，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，.2．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證DC⊥PM，由題意可得，，易證，從而DC⊥平面，即有DC⊥PM，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，DC=1，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以DC⊥PM，又AB//DC，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮DC⊥PM，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證DC⊥平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．3．（2024·山東濟南·三模）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺的高；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）作于點O，利用面面垂直的性質(zhì)得即為三棱臺的高，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；（2）以O(shè)為原點，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，利用線面角的空間向量求法可得答案．【詳解】（1）作于點O，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，即為三棱臺的高，又因為平面，所以，連接，因為，，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，，，所以，，所以三棱臺的高為；（2）以O(shè)為原點，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，，化簡得，解得，或（舍去，因為AC>AB，則，所以），所以．4．（2024·河北承德·二模）如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)或【分析】（1）依題意可得，利用余弦定理求出，即可得到，從而得證；（2）以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理求出，即可求出點坐標(biāo)，求出平面的法向量，設(shè)，表示出點坐標(biāo)，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出，再由坐標(biāo)法求模即可.【詳解】（1）由題意知為等腰直角三角形，又為的中點，所以，，，由，解得，當(dāng)時，有，即，而平面，故平面；（2）以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以所以，，所以，

于是，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，解得，設(shè)，則，，因為為中點，為中點，所以，又平面，平面，所以平面，平面和平面的交線為，平面，所以，又為上異于的一點，所以，即與共線，設(shè)為，則，故，因此.設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡得，解得或，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，因此或.考點四、空間向量求二面角1．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點，得，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.2．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.3．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.4．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；(2)若，，，點到平面的距離為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，得到，，由線面平行的判定定理可得，由線面平行的性質(zhì)得到直線.(2)證明，，.故以分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，解得的長，分別找到二面角各點坐標(biāo)，有空間向量求解二面的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，，所以，因為，，所以，因為平面平面，平面，所以.（2）由于平面，，所以，平面，故，又因為平面，，平面，所以，又，，，平面，所以平面由于，則，故，故為等腰直角三角形，所以，，如圖以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為，，軸建系，

則A1,0,0，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，平面的法向量為，因為，，所以，即令，則，設(shè)成的角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為5．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長．【答案】(1)證明見解析；(2)1．【分析】（1）取的中點M，先證明四邊形BMPQ是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性質(zhì)定理可得；（2）法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用共線條件設(shè)，利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標(biāo)，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系后，直接設(shè)點坐標(biāo)，進(jìn)而表示所需向量坐標(biāo)求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解；法三：一作二證三求，設(shè)，利用面面垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.【詳解】（1）證明：取的中點M，連接MP，MB．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，又點M，P分別是棱，的中點，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因為平面平面，平面平面，，A1O?平面，所以平面．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因為四邊形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．

法1：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此，．所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．法2：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．

法3：在平面中，作，垂足為H．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因為，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因為，，所以是二面角的平面角．在四棱臺中，四邊形是梯形，，，，點P是棱的中點，所以，．設(shè)，則，，在中，，從而．因為二面角的平面角與二面角的平面角互補，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當(dāng)二面角的正弦值為時，BQ的長為1．1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，，，．(1)記平面與平面的交線為，證明：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線線平行證明線面平行，再由線面平行即可證線線平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法來求兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）因為平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）在中，.由余弦定理得，，則，得.又，則.因為平面，所以，又，所以平面，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以.又是平面的一個法向量.記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，平面與PB，PC分別交于M，N兩點.(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平面的判斷、性質(zhì)推理即得.（2）以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，進(jìn)而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，得，在正方形中，，則，而平面，平面，于是平面，又平面，平面平面，平面，因此，所以.（2）四棱錐的底面為正方形，平面，則AB,AD,AP兩兩垂直，以點為原點，直線AB,AD,AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，由平面平面，得，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，，所以平面與平面所成銳二面角的正弦值為.3．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為的中點，平面．(1)求證：；(2)若，．（i）求證：平面；（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理與中位線的性質(zhì)即可得；（2）（i）借助線面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）結(jié)合所給條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后借助空間向量計算即可得.【詳解】（1）取的中點，連接，因為為的中點，所以，，因為，所以，所以四點共面，因為平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；（2）（i）取的中點，連接，由（1）知，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以，即，因為，所以，因為，所以與全等，所以，即，因為，又因為，、平面，所以平面；（ii）由（i）知平面，而平面，所以，因為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z,則令，則，于是，因為為平面的法向量,設(shè)二面角為，由圖可得所以,所以二面角的余弦值為，則二面角的正弦值為4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，為線段上異于端點的一點.(1)求點到平面的距離；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到面的距離公式即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中建立的空間直角坐標(biāo)系，首先利用平面與平面ADF的夾角的余弦值為的條件確定F點的位置，再由線面角的空間向量表示求解答案即可.【詳解】（1）因為是直三棱柱中且AB⊥AC，所以兩兩垂直，則可以以A為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，又，所以，因為E為的中點，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，所以點B到平面的距離；（2）結(jié)合（1），由于D為的中點，所以，設(shè)，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，故，平面的一個法向量可以為，因為平面與平面ADF的夾角的余弦值為，所以，解得，所以，平面的一個法向量，則，設(shè)直線與平面ADF所成角為，則5．（2024·山西·二模）如圖，四棱錐中，二面角的大小為，，，是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與底面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得，平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）過作的垂線交延長線于點H，連接AH，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，設(shè)，在中由余弦定理得，利用勾股定理的逆定理可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，結(jié)合空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，則，所以，即.由二面角的大小為，知平面平面，即平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）過作的垂線，交延長線于點H，連接AH，由平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則為在底面內(nèi)的射影，所以為直線與底面所成的角，即.由，知且為鈍角三角形，設(shè)，得，，在中，，在中，，由余弦定理得，有，所以，過作，則底面，所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，則，所以，則，故所求二面角的余弦值為.

考點五、空間向量求空間距離1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.【詳解】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點到平面的距離為.2．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點在棱上，且到平面的距離為，求點到直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.【詳解】（1）由，,所以,,所以,,故四棱錐的表面積為（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,4,，,4,，，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，，由于，解得，故，點到直線的距離為．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，借助等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面A1OB，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，再利用體積公式與空間向量夾角公式，結(jié)合點到平面的距離公式計算即可得解.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，又，所以，且，平面A1OB，平面A1OB，所以平面A1因為平面A1OB，所以，又，所以；

（2）在平面A1OB中，作，垂足為D由（1）知平面A1OB，平面A1OB，所以而，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由為中點，所以，所以可過點O作Oz軸平行于，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為三棱柱的體積為3，所以，故，則，，A1,0,0，設(shè)，，所以平面ABC的一個法向量為，所以，解得，此時，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得，，所以，又，故點到平面的距離為.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）連接,，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以，又平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.（2）由（1）知，平面，則點到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，又，，又，可得，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，設(shè)點到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.2．（2024·天津·二模）如圖，直線垂直于梯形所在的平面，，為線段上一點，，四邊形為矩形.

(1)若是的中點，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值：(3)若點到平面的距離為，求的長.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）矩形對角線交點即為線段中點，在內(nèi)應(yīng)用中位線定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，先求直線的方向向量，再求平面的法向量，應(yīng)用線面角的向量求法即可；（3）設(shè)定，應(yīng)用點面距的向量解法求解即可.【詳解】（1）設(shè)，連接，因為四邊形為矩形，所以為中點，又為中點，則，又平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點，的正方向分別為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)平面的法向量為：n=x,y,z且，令，解得：；設(shè)直線與平面所成角為，所以.則直線與平面所成角的正弦值為.（3），設(shè)由平面的法向量為：，點到平面的距離為：.解得：，且，所以.3．（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點F在底面圓O上，圓O的半徑為1，，點G是線段BF的中點．(1)證明：平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45°，求點G到平面DEF的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點為，通過證明，得證平面；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到平面的距離.【詳解】（1）取中點，連接，如圖所示：為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）因為OB=1，，，所以.因為平面，且直線與圓柱底面所成角為，所以，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，則，令，有，得，，設(shè)點到平面的距離為，.故點到平面的距離.考點六、立體幾何小題綜合1．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）四棱錐的頂點均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面關(guān)系可證得平面，，將四棱錐補成長方體，確定球心的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用空間向量的坐標(biāo)運算計算到平面的距離即可.【詳解】因為平面平面，交線為，又底面為矩形，則，因為平面，所以平面，則，又，，，所以，則,如圖，將四棱錐補成長方體，若四棱錐的頂點均在球的球面上，則長方體的頂點均在球的球面上，為體對角線中點，如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，又，，令，所以，又，則到平面的距離為.故選：A.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.或者采用補形法，利用規(guī)則圖形的外接球位置確定所求外接球球心的位置.3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，表達(dá)出，，求出兩向量數(shù)量積和模長，利用求出答案.【詳解】設(shè)，，，則，，則，由得,即，又，由得，因為，所以，即，即，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C4．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點（不包括端點），則（

）A．存在點Q，使得 B．存在點Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為【答案】BD【分析】A選項，由推出平面，矛盾；B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點時，，此時平面，故B正確；C選項，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯誤；D選項，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】對于A，若，因為平面，平