湖南省長沙市2024-2025學年高二上冊模塊測試數(shù)學檢測試題（含解析）

湖南省長沙市2024-2025學年高二上學期模塊測試數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，空間四邊形OABC中，，點M在上，且，點N為BC中點，則(

)

A. B.

C. D.2.圓的圓心到直線的距離為A. B.2 C.3 D.3.已知圓M：截直線所得線段的長度是，則圓M與圓N：的位置關系是A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離4.在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是A. B. C. D.5.如圖，已知正方體的棱長為1，E為CD的中點，則點到平面的距離等于

A. B. C. D.6.當點到直線l：為任意實數(shù)的距離取最大值時，則A. B. C. D.7.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是(

)A. B. C. D.8.已知圓C：的圓心為點C，直線l：與圓C交于M，N兩點，點A在圓C上，且，若，則A.1 B.2 C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.下面三條直線：，：，：不能構成三角形，則實數(shù)m的取值可以是A. B. C. D.410.已知圓O：，則A.圓O與直線必有兩個交點

B.圓O上存在4個點到直線l：的距離都等于1

C.若圓O與圓恰有三條公切線，則

D.已知動點P在直線上，過點P向圓O引兩條切線，A，B為切點，則的最小值為811.已知正方體的邊長為2，M為的中點，P為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是(

)A. B.平面

C.AM與所成角的余弦值為 D.動點P的軌跡長為三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12.已知，方程表示圓，則__________.13.設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為在滿足條件①，②的所有圓中，圓心到直線l：的距離最小的圓的方程為____________________.四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.本小題12分

正三棱柱的側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，在側棱上存在一點N，使得，則________.15.本小題12分在平面直角坐標系xOy中，圓C：，直線l：若直線l與圓C相切于點N，求切點N的坐標；若，直線l上有且僅有一點A滿足：過點A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值．16.本小題12分已知平面直角坐標系中三點，，求直線AB的斜率和傾斜角；若點A，B，C，D可以構成平行四邊形，且點D在第一象限，求點D的坐標；若點是線段AC上一動點，求的取值范圍．17.本小題12分如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點求證：平面EDB；求證：平面EFD；求平面CPB與平面PBD的

夾角的大小.18.本小題12分如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側面為菱形，已知，當時，求三棱柱的體積;設點P為側棱上一動點，當時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.

19.本小題12分古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比值為常數(shù)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡的方程；過點B作直線，交軌跡于P，Q兩點，P，Q不在y軸上．過點B作與直線垂直的直線，交軌跡于E，F(xiàn)兩點，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；設軌跡與y軸正半軸的交點為C，直線OP，CQ相交于點N，試證明點N在定直線上，求出該直線方程．

答案和解析1.【正確答案】B

【分析】本題考點是空間向量基本定理，考查了向量的線性運算，解題的關鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個基向量表示出來，屬于基礎題．

由題意，把，，三個向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運算，將用三個基向量表示出來，即可得到答案．

解：由題意

又，，

故選2.【正確答案】D

【分析】

本題考查了根據(jù)圓的一般方程求圓心以及點到直線距離，屬于基礎題.

求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.

解：由題意得

，即

，則其圓心坐標為

，則圓心到直線

的距離為

.故選：3.【正確答案】B

【分析】本題考查直線和圓的位置關系及兩圓位置關系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出a的值是解決本題的關鍵，屬于中檔題．

根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出a的值，結合兩圓的位置關系進行判斷即可．解：圓的標準方程為M：，

則圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

圓M：截直線所得線段的長度是，

，

即，即，，

則圓心為，半徑，

圓N：的圓心為，半徑，

則，

，，

，

即兩個圓相交．

故選：4.【正確答案】A

【分析】

本題主要考查了向量法求直線與直線所成角，屬于基礎題.

建立空間直角坐標系，利用向量法求解出與所成角.

解：如圖建立空間直角坐標系，

設，則，，，，，

，

故選5.【正確答案】C

【分析】

本題主要考查利用空間向量求點面之間的距離，屬于基礎題.

建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用空間向量進行求解即可.

解：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，

設平面的一個法向量為，

則有

令，則，

又，

點到平面的距離

故選6.【正確答案】C

【分析】

本題主要考查經(jīng)過定點的直線，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

將直線方程變形為，得直線系恒過點，由此得到P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA，即可求出

解：直線，

可將直線方程變形為，

解得，，

由此可得直線系恒過點，

則P到直線l的最近距離為0，此時直線過

P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于

，直線l的斜率為，

，7.【正確答案】B

【分析】本題考查了直線與圓得位置關系，點到直線的距離公式，屬于中檔題.

先求出圓心和半徑，比較半徑和，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于，用圓心到直線的距離公式，可求得結果．

解：圓，整理為，

圓心坐標為，半徑為，

要求圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為，

則圓心到直線的距離應小于等于，

，

，

，，

，

設直線l的傾斜角為，則，

即

直線l的傾斜角的取值范圍是，

故選8.【正確答案】C

【分析】

本題考查圓的方程、平面向量的數(shù)量積、直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

利用圓的知識與向量數(shù)量積，即可求解.

解：設弦MN的中點為B，由題可知圓C的半徑為，因為，，故，

所以，

，

可得

，

解得9.【正確答案】ACD

【分析】

本題考查三條直線不能構成三角形的條件，三條直線中有兩條直線平行或者三直線經(jīng)過同一個點，屬于中檔題.

三直線不能構成三角形時共有4種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同一個點，在這四種情況中，分別求出實數(shù)m的值.

解：①當直線：平行于：時，，

②當直線：平行于：時，，

③當：平行于：時，，m無解，

④當三條直線經(jīng)過同一個點時，把直線

與的交點代入：得

，解得或，

綜上，滿足條件的m為4、或、或、或

故選10.【正確答案】ACD

【分析】本題考查了圓的方程，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，以及與圓有關的最值問題，屬于難題.

根據(jù)直線切過定點切該定點在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線l的距離可判斷B；

將圓化成標準形式為，轉化為兩圓外切可判斷C；

由，且當PO最小時最小時可判斷

解：對于A，將直線整理得，由知，，所以直線過定點，因為，所以該定點在圓內(nèi)，故A正確；

對于B，圓的圓心到直線l：的距離為，所以過圓心且與直線l平行的直線與圓相交有兩個點到直線l的距離為1，與直線l平行且與圓相切，并且與直線l在圓心同側的直線到l的距離為1，所以只有三個點滿足題意，故B錯誤；對于C，將圓化成標準形式為，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對于D，連接OP，OA，OB，

因為A，B為切點，所以，，所以，且當PO最小時，最小，所以當PO與直線垂直時，，又因為半徑為2，所以，，所以，故D正確．

故選11.【正確答案】BCD

【分析】本題考查線面平行、線線垂直的向量表示，直線與直線所成角的向量求法，屬于中檔題.

建立空間直角坐標系，利用向量方法逐一分析求解即可.

解：如圖，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，

則，，，，，

所以，，，

由平面，得，即，

化簡可得：，所以動點P在直線上，

對于選項A：，，

，

所以與不垂直，所以A選項錯誤；

對于選項B：，平面，

平面，所以平面，B選項正確；

對于選項C：，

，C選項正確；

對于選項D：動點P在直線上，且P為側面上的動點，

則P在線段上，，

所以，D選項正確；

故選12.【正確答案】

【分析】本題主要考查圓的一般方程，屬于基礎題.

只有在時，二元二次方程才表示圓，求解時應注意這個隱含條件.

解：由得或2，

當時，方程為，

得，表示圓，滿足條件；

當時，方程為，

即，

得，不表示圓，不滿足條件，

故，

故13.【正確答案】，或

【分析】本小題主要考查求圓的方程，屬于中檔題.

圓被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，劣弧所對的圓心角為，設圓的圓心為，圓P截X軸所得的弦長為，截y軸所得弦長為2；可得圓心軌跡方程，圓心到直線l：

的距離最小，利用基本不等式，求得圓的方程．

解：圓的圓心為，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為，由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為，知圓P截x軸所得的弦長為，故，

又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有

從而得

又點到直線的距離為，

所以

，

當且僅當時上式等號成立，此時，從而d取得最小值．

由此有

解此方程組得或

由于知

于是，所求圓的方程是，或14.【正確答案】

【分析】本題主要考查線線垂直的判定，屬于基礎題。

首先建立空間直角坐標系，由題設分別寫出M，N，A，B四點的坐標，利用垂直關系即可求解.

解：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

則，，，設，，則，，，，解得，故15.【正確答案】解：

設切點N為，則有，解得：

或，

所以切點N的坐標為或圓C：的圓心，半徑，設，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得，即，

由題意直線，圓C：，

則圓心到直線的距離，

可得，，解得

本題主要考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題.設切點坐標，由切點和圓心連線與切線垂直以及切點在圓上建立關系式，求解切點坐標即可；

由圓的方程可得圓心坐標及半徑，由APCQ為正方形，可得可得圓心到直線的距離為，可得m的值．16.【正確答案】解：直線AB的斜率為，

設傾斜角為，則，

，

直線AB的傾斜角為

如圖，

當點D在第一象限時，，

設，則，

解得，，故點D的坐標為

由題意得為直線BE的斜率.

當點E與點C重合時，直線BE的斜率最小，

當點E與點A重合時，直線BE的斜率最大，

故直線BE的斜率的取值范圍為，即的取值范圍為

【分析】本題考查直線的斜率、傾斜角，直線斜率的應用，屬于中檔題.

有過兩點的直線的斜率求得AB的斜率；由傾斜角的正切值為斜率，求得傾斜角；

由圖知，當點D在第一象限時，，，設，得，求得x，y，得點D的坐標；

由題意得為直線BE的斜率，當點E與點C重合時，直線BE的斜率最??；當點E與點A重合時，直線BE的斜率最大，得直線BE的斜率的取值范圍，即的取值范圍.17.【正確答案】解：側棱底面ABCD，而AD，底面ABCD，故，，

底面ABCD是正方形，故，

故以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設

.依題意得

，

，

，

.所以

，

，

.設平面EDB的一個法向量為

，則有

即

取

，則

，因為

平面EDB，因此

平面解：依題意得

，因為

，所以

.由已知

，且

，EF，平面EFD，所以

平面解：依題意得

，且

，

.設平面CPB的一個法向量為

，則

即

，取

.同理可得PBD的

一個法向量為

，所以

??

.所以平面CPB與平面PBD的夾角為

.

本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的向量求法，考查空間角的向量求法，屬于中檔題.

以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求得平面EDB的一個法向量為

，由

證明；由

，結合

，利用線面垂直的判定定理證明；求得平面CPB的一個法向量為

，同理可得平面PBD的一個法向量為

，由

求解.18.【正確答案】解：如圖，取BC的中點為O，

由于和為正三角形，

則，，且，，

所以，所以

又，BC、平面ABC，所以平面ABC，

所以三棱柱的體積

如上圖，在中，，，

由余弦定理可得，所以

由知，，又，所以平面