2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義專題07函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(原卷版+解析)

專題07函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間) 4【考點2】求函數(shù)的最值 6【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實際意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).知識梳理知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).2.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．5．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．6．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點突破考點突破【考點1】確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東惠州·一模）嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）

A． B．C． D．二、多選題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系．則下列說法中正確的是（

）A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%4．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（

）A．若，，則實數(shù)m的取值范圍為B．若，，則實數(shù)m的取值范圍為C．若，，則實數(shù)m的取值范圍為D．若，，則實數(shù)m的取值范圍為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意的x，y，都有，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為.6．（2023·北京密云·三模）設(shè)函數(shù).①當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；②若且，使得成立，則實數(shù)a的一個取值范圍.反思提升：1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.易錯警示函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“∪”.【考點2】求函數(shù)的最值一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．（2024·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知不等式對任意恒成立，其中，是整數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C．0 D．84．（2022·福建漳州·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為 B．是偶函數(shù)C．函數(shù)的零點為0 D．當時，的最大值為三、填空題5．（2023·云南保山·二模）對于函數(shù)，若在其圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則稱為“倒戈函數(shù)”，設(shè)函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是.6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為．反思提升：1.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.2.對于較復(fù)雜函數(shù)，可運用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·廣西賀州·一模）已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．4．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當時，，設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B．C．當實數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是三、填空題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是.6．（21-22高三上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則對任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是.①；②；③；④.反思提升：1.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，首先要準確判斷函數(shù)的單調(diào)性，其次應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較大小.2.求解函數(shù)不等式，其實質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點 B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)2．（2021·甘肅金昌·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的值域為C．當時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的增區(qū)間為，3．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2二、多選題5．（2023·遼寧撫順·二模）已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B． C．1 D．26．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．7．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．的值域為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C． D．若，則的最小值為-3三、填空題8．（2024·遼寧·一模）已知圓：，直線交圓于、兩點，點，則三角形面積的最大值為.9．（2021·山東淄博·一模）已知函數(shù)在上的最大值是6，則實數(shù)的值是.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題11．（2022·河南鄭州·一模）定義在上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時，.(1)求在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)當為何值時，方程在上有實數(shù)解.12．（23-24高一上·四川綿陽·期末）已知函數(shù)的最小值為，其圖象上的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且圖象關(guān)于點對稱．(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意恒有，且當時，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．在上單調(diào)遞增C．的解集為D．若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題3．（2024·山東淄博·一模）設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù)，令則a，b，c的大小關(guān)系為.四、解答題4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)，，使得，求實數(shù)的取值范圍．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2022·河南開封·模擬預(yù)測）對任意，不等式恒成立，則正數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．e二、多選題2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點對稱C．若，則D．三、填空題3．（2024·全國·二模）已知為實數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最大值是.專題07函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 6【考點1】確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間) 6【考點2】求函數(shù)的最值 12【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 16【分層檢測】 23【基礎(chǔ)篇】 23【能力篇】 31【培優(yōu)篇】 35考試要求：1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實際意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).知識梳理知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).2.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．5．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．6．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：1．D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.3．A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.4．D【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；故選：D.5．D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.6．A【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.考點突破考點突破【考點1】確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東惠州·一模）嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）

A． B．C． D．二、多選題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系．則下列說法中正確的是（

）A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%4．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（

）A．若，，則實數(shù)m的取值范圍為B．若，，則實數(shù)m的取值范圍為C．若，，則實數(shù)m的取值范圍為D．若，，則實數(shù)m的取值范圍為三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意的x，y，都有，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為.6．（2023·北京密云·三模）設(shè)函數(shù).①當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；②若且，使得成立，則實數(shù)a的一個取值范圍.參考答案：1．D【分析】由對任意的，都有，得在上單調(diào)遞減，由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，，在上單調(diào)遞減，畫出的簡圖，即可求解．【詳解】對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，所以在上單調(diào)遞減，則可畫出的簡圖，如圖所示，

所以，則或或，即或或，解得，故選：D．2．C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；根據(jù)、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.【詳解】對于A，（當且僅當，即時取等號），在上的最大值為，與圖象不符，A錯誤；對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，，當時，；又過點；由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.故選：C.3．AB【分析】根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由函數(shù)解析式和圖象可知隨著的增加而減少，故A正確．由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確．當時，，則，即天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯誤．，故D錯誤．故選：AB4．BD【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再分和討論的單調(diào)性，分和討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得出的單調(diào)性，利用單調(diào)性將進行等價轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，求解即得.【詳解】對于函數(shù)，因，則函數(shù)是奇函數(shù).不妨設(shè)，則，對于A項，當時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上也是增函數(shù).由，則，即（*），①當時，此時恒成立；②當時，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項錯誤；對于B項，當時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是減函數(shù)，故在R上是增函數(shù)，由A項分析可得，恒成立可得，，故B項正確；對于C項，當時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因，則在R上是減函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由，則，即（*），①當時，無解；②當時，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項錯誤；對于D項，當時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因，則在R上也是增函數(shù)，故在R上是減函數(shù)，由C項分析可得，恒成立可得，，故D項正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：一般先考慮函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)參數(shù)分類判斷，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)的符號，將其化成含參數(shù)的不等式恒成立問題，再對參數(shù)分類討論不等式解的情況即得.5．或【分析】由，利用賦值法，得到函數(shù)的奇偶性，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性和奇偶性，再由，將不等式轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】由，令，得，所以.令，得.令，得，所以函數(shù)為偶函數(shù).構(gòu)造函數(shù)，因為，所以為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù).因為，所以不等式等價于，所以，即，所以或，故不等式的解集為或.故答案為：或.6．【分析】當時，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間，由，得到的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合題意，即可求得的取值范圍.【詳解】①當時，可得，函數(shù)的圖象，如圖所示，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

②由，可函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，若且，使得成立，如圖所示，則滿足，即實數(shù)的取值范圍為.

故答案為：；.反思提升：1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.易錯警示函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“∪”.【考點2】求函數(shù)的最值一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．（2024·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知不等式對任意恒成立，其中，是整數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C．0 D．84．（2022·福建漳州·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為 B．是偶函數(shù)C．函數(shù)的零點為0 D．當時，的最大值為三、填空題5．（2023·云南保山·二模）對于函數(shù)，若在其圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則稱為“倒戈函數(shù)”，設(shè)函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是.6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為．參考答案：1．C【分析】通過解方程可得的解析式，由化簡可得，結(jié)合基本不等式可得，運用分離常數(shù)法化簡可得，進而可得其最小值.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，即，所以，因為，，所以，，所以，整理得，解得或（舍），所以，當且僅當即時取等號.故的最小值為.故選：C.2．C【分析】分別在條件下結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)的取值規(guī)律，由條件列不等式求的范圍，可得結(jié)論.【詳解】（1）當時，若，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當且僅當時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，（2）當時，若，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當且僅當時取等號，因為不存在最小值，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C.3．BD【分析】對b分類討論，當時，由得到在上恒成立，則不存在；當時，由，結(jié)合圖象利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想得出a，b的整數(shù)解．【詳解】當時，由得到在上恒成立，則不存在，當時，由可設(shè)，，又的大致圖象如下，那么由題意可知：，再由是整數(shù)得到或因此或-2．故選：BD4．AD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分別從定義域、奇偶性、零點、最值考察即可求解.【詳解】對A，由解析式可知的定義域為，故A正確；對B，因為，可知是奇函數(shù)，故B不正確；對C,，得，故C不正確；對D,當時，，當且僅當時取等號，故D正確.故選：AD5．【分析】根據(jù)新定義得到存在，使，轉(zhuǎn)化為有解，建立不等式求解即可.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，所以存在，使，即，即，令，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以，當或時，，所以，所以.故答案為：6．/【分析】化簡式子，利用整體代入，結(jié)合基本不等式，可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為．故答案為：．反思提升：1.求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.2.對于較復(fù)雜函數(shù)，可運用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.【考點3】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·廣西賀州·一模）已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．4．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當時，，設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B．C．當實數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是三、填空題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是.6．（21-22高三上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則對任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是.①；②；③；④.參考答案：1．C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，利用其最值以及二次函數(shù)單調(diào)性，建立不等式，可得答案.【詳解】令，則．當時，在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞增，則，解得．當時，在上單調(diào)遞減，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上單調(diào)遞減，則，解得，與矛盾．綜上所述，.故選：C．2．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立的不等關(guān)系，以及的不等關(guān)系，整理化簡得答案.【詳解】令，則，因為當時，有恒成立，所以當時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，即，A錯誤，B正確，，即，即，CD錯誤.故選：B.3．ABD【分析】先令，求出，再令，即可判斷A；令，結(jié)合已知判斷的符號，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A，令，則，所以，令，則，所以，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于B，令，則，因為，所以，所以，，所以，又因為當時，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，且，所以函數(shù)為增函數(shù)，故B正確；對于C，由，得，所以，解得，故C錯誤；對于D，，即，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.4．ACD【分析】根據(jù)偶函數(shù)可得即可判斷A，由得周期結(jié)合偶函數(shù)可判斷B，求出的解析式利用一次函數(shù)單調(diào)性判斷C，畫出函數(shù)圖象和函數(shù)的圖象可判斷D.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可知A正確；由，可得，知函數(shù)的周期，由周期和奇偶性得，故B不正確；當時，則，，所以，由函數(shù)為偶函數(shù)且周期為2可得，，由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.得C正確；函數(shù)在區(qū)間有4個零點，有4個解，即與直線在有4個交點，利用周期和偶函數(shù)，結(jié)合在的解析式，可畫出函數(shù)和函數(shù)在上的圖像.如圖：由圖可得，即，實數(shù)的取值范圍是,D正確.故選：ACD.5．【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合奇偶性求解.【詳解】由知是奇函數(shù)，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，由得，即，，得的取值范圍是.故答案為：6．①②③【分析】取，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；取可判斷②；取，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷④.【詳解】對于①，取，，則，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，即，故恒成立，①對；對于②，取，，則，所以，，則，②對；對于③，當時，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，，故，③對；對于④，當時，.由可得或，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，，所以，，，所以，，則不恒成立；當時，，則在上為增函數(shù)，因為，，所以，、的大小關(guān)系無法確定，④錯.故答案為：①②③.反思提升：1.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，首先要準確判斷函數(shù)的單調(diào)性，其次應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較大小.2.求解函數(shù)不等式，其實質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點 B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)2．（2021·甘肅金昌·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的值域為C．當時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的增區(qū)間為，3．（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2二、多選題5．（2023·遼寧撫順·二模）已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B． C．1 D．26．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．7．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．的值域為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C． D．若，則的最小值為-3三、填空題8．（2024·遼寧·一模）已知圓：，直線交圓于、兩點，點，則三角形面積的最大值為.9．（2021·山東淄博·一模）已知函數(shù)在上的最大值是6，則實數(shù)的值是.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題11．（2022·河南鄭州·一模）定義在上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時，.(1)求在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)當為何值時，方程在上有實數(shù)解.12．（23-24高一上·四川綿陽·期末）已知函數(shù)的最小值為，其圖象上的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且圖象關(guān)于點對稱．(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：1．D【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)即可由或均為有理數(shù)求解A，根據(jù)即可判斷單調(diào)性求解B，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，即可求解C，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)即可求解D.【分析】對于A，因為或均為有理數(shù)，所以，故沒有零點，A錯誤，對于B，因為，所以，故不是單調(diào)函數(shù)，B錯誤，對于C，因為和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是偶函數(shù)，C錯誤，對于D，設(shè)為任意非零有理數(shù)，則和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，故選：D.2．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)對選項一一分析即可.【詳解】由，可知函數(shù)為偶函數(shù)，A錯誤；不妨設(shè)，此時，由（當且僅當時，等號成立），有，可得，可知函數(shù)的值域為，B錯誤；由，，可知當時，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；由函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)的增區(qū)間為，，D正確．故選：D3．A【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A4．C【分析】去掉絕對值，得到，畫出其圖象，進而判斷出四個選項.【詳解】A選項，，畫出其函數(shù)圖象，如下：故不是偶函數(shù)，A錯誤；B選項，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；C選項，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；D選項，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯誤.故選：C5．AD【分析】令，則.討論的奇偶性和單調(diào)性，由得，由的單調(diào)性得，解出實數(shù)的取值范圍即可得到答案.【詳解】令，則，因為，所以為奇函數(shù).又因為，所以根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可得為增函數(shù).因為，所以，等價于，即，所以，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：AD6．BD【分析】利用函數(shù)單調(diào)性一一判定即可.【詳解】易知在定義域上單調(diào)遞減，故時，，即A錯誤；在定義域上單調(diào)遞增，故時，，即B正確；在定義域上單調(diào)遞減，故時，，即C錯誤；，則，即在定義域上單調(diào)遞增，所以時，有，即，故D正確.故選：BD7．BCD【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再逐項判斷.【詳解】函數(shù)，A.的值域為，故錯誤；B.在區(qū)間上單調(diào)遞增，故正確；C.，故正確；D.因為，則的最小值為，故正確；故選：BCD8．【分析】求出圓心到直線的距離為，和到直線的距離為，利用垂徑定理得到，表達出，換元后得到面積的最大值.【詳解】的圓心，半徑為3，易知，則到直線的距離為，解得，到直線的距離為，，故，令，由于，故，則，當時，取得最大值，最大值為.故答案為：9．或【分析】對進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，求得的值.【詳解】不妨設(shè)的定義域為，當時，，，不符合題意.當時，設(shè)，在區(qū)間上遞增，值域為，即.即.，而，，在上為增函數(shù)，故要使函數(shù)在上的最大值是6，則或，所以或.故答案為：或10．【分析】作出在內(nèi)的圖象，數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為斜率問題求解即可.【詳解】由得，作出在內(nèi)的圖象如圖所示，設(shè)，直線恒過定點，直線的斜率，直線的斜率，所以數(shù)形結(jié)合可知，即的取值范圍為．故答案為：.

11．(1)(2)在上為減函數(shù)(3)或【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解，（2）由單調(diào)性的定義即可求解,（3）由單調(diào)性求解函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，.又為最小正周期，.設(shè)，則，（2）設(shè)，由于所以，，所以在上為減函數(shù).（3）在上為減函數(shù)，，即.同理，在上時，.又，當或時，在內(nèi)有實數(shù)解.12．(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）求出和最小正周期，求出，代入，求出，求出解析式，利用整體法求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)得到，根據(jù)得到，從而得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題知：，函數(shù)的最小正周期，故，解得，所以，則，即，，，∵，∴，故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因為，所以，故，，所以，∵不等式在上恒成立，，即在上恒成立，，解得，即實數(shù)的取值范圍是．【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意恒有，且當時，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．在上單調(diào)遞增C．的解集為D．若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題3．（2024·山東淄博·一模）設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù)，令則a，b，c的大小關(guān)系為.四、解答題4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)，，使得，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：1．A【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)有關(guān)，分和兩種情況討論，此外還要注意對數(shù)函數(shù)的定義域，即真數(shù)為正；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合題干中“在區(qū)間上單調(diào)遞減”得到真數(shù)部分函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，則．①若，則在定義域上單調(diào)遞減．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故對任意的恒成立．又，所以對任意的顯然成立．又因為對任意恒成立，所以0，故．②若，則在定義域上單調(diào)遞增．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對任意的恒成立．因為拋物線的開口向上，所以不可能對任意的恒成立．所以的取值范圍為．故選：A．2．BC【分析】對于A，對抽象函數(shù)的等式分別賦值和即可判斷是奇函