2025年高考數(shù)學一輪復習講義專題16導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(原卷版+解析)

專題16導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 3【考點1】不含參函數(shù)的單調(diào)性 3【考點2】含參函數(shù)的單調(diào)性 4【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 6【考點4】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).知識梳理知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題6．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.考點突破考點突破【考點1】不含參函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．若曲線在處的切線方程為，則B．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．若，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為D．若，則的取值范圍為三、填空題3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．四、解答題4．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)，直線在軸上的截距為，且與曲線相切于點．(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．5．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)(1)求在處的切線；(2)比較與的大小并說明理由.6．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；(2)當時，討論的單調(diào)性；(3)若集合有且只有一個元素，求的值．反思提升：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.【考點2】含參函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．當時，有兩個零點C．一定存在零點D．若存在，有，則三、填空題3．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)恰有兩個零點，則.四、解答題4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程;(2)若，討論的單調(diào)性.5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.6．（2024·河南·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.反思提升：1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大??；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).2.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)一、單選題1．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·廣東茂名·一模）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．3 D．4三、填空題3．（22-23高二下·廣西·期中）若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．四、解答題4．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)，(1)若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當時，求的極值點．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．(2)當時，恒成立，求的取值范圍．6．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)若的最小值為6，求實數(shù)的值．反思提升：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【考點4】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則，，的大小順序為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·江蘇·三模）三角函數(shù)表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數(shù)近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數(shù)值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數(shù)值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足（為函數(shù)的導函數(shù)），，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式，并比較，，的大??；(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)．5．（2024·河南開封·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；(2)函數(shù)；若方程在上存在實根，試比較與的大小．6．（23-24高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，證明：；(2)，，求的最小值；(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.反思提升：1.利用導數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）.A． B．C． D．2．（23-24高二下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·重慶渝北·期中）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二下·重慶·階段練習）設(shè)函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．函數(shù)在上為增函數(shù)C．函數(shù)有極大值和極小值 D．函數(shù)有極大值和極小值6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．函數(shù)的值域為RC．若是的極值點，則D．若是的極小值點，則在區(qū)間單調(diào)遞減三、填空題7．（21-22高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍是.8．（23-24高二下·湖北·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．9．（23-24高二下·江蘇·期中）如果定義在R上的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，那么實數(shù)的值為．四、解答題10．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若曲線在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數(shù)在點處的切線的斜率為(1)求；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．12．（23-24高二下·江蘇·期中）設(shè)函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·遼寧·二模）已知定義在R上的函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若，則在上的最小值為0C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則三、填空題3．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）已知函數(shù)，若在,上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·湖北·二模）求解下列問題，(1)若恒成立，求實數(shù)k的最小值；(2)已知a，b為正實數(shù)，，求函數(shù)的極值．2．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．3．（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．(1)是否存在實數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(2)已知是的零點，是的零點．①證明：，②證明：．專題16導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 8【考點1】不含參函數(shù)的單調(diào)性 8【考點2】含參函數(shù)的單調(diào)性 15【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 21【考點4】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 28【分層檢測】 37【基礎(chǔ)篇】 37【能力篇】 45【培優(yōu)篇】 48考試要求：1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).知識梳理知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題6．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.參考答案：1．C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．3．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故4．D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.5．BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．6．【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.考點突破考點突破【考點1】不含參函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．若曲線在處的切線方程為，則B．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．若，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為D．若，則的取值范圍為三、填空題3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．四、解答題4．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)，直線在軸上的截距為，且與曲線相切于點．(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．5．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)(1)求在處的切線；(2)比較與的大小并說明理由.6．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；(2)當時，討論的單調(diào)性；(3)若集合有且只有一個元素，求的值．參考答案：1．D【分析】首先利用導數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】當時，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：D2．BD【分析】由，可判定A錯誤；當，利用導數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間，可判定B正確；當，利用導數(shù)求得函數(shù)的的單調(diào)性，求得在上的最小值為，可判定C錯誤；根據(jù)題意，分和、，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及，可判定D正確.【詳解】對于A中，因為函數(shù)，可得，則，所以，解得，所以A錯誤；對于B中，若，則，當時，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；對于C中，若，則，令，解得或（舍去），當，即時，在上，可得，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為；當，即時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，所以C錯誤；對于D中，因為，當時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，則，所以成立；當時，由C項知：當時，，則成立；當時，，即在區(qū)間上存在使得，則不成立，綜上，實數(shù)的取值范圍為，所以D正確.故選：BD.【點睛】方法技巧：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等問題的求解策略：1、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到函數(shù)的極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值；2、若所給函數(shù)含有參數(shù)，則需通過對參數(shù)分離討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而的函數(shù)的最值；3、若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點，這個極值點就是函數(shù)的最值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際問題中經(jīng)常使用.3．【分析】利用導數(shù)求當時的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性求得結(jié)果.【詳解】當時，,由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故答案為：.4．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線方程，由切線過點代入計算可得；（2）由（1）可得的解析式，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值.【詳解】（1）因為，則，所以，，故直線，又直線在軸上的截距為，所以，解得．（2）由（1）得，的定義域為，又，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，即，在處取得極小值，即．5．(1)(2)，理由見解析【分析】（1）求得，得到，且，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）求得，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合，得到即可得到.【詳解】（1）解：因為函數(shù)，可得，可得，且，所以在處的切線方程為，即.（2）解：由，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以時，，即在上恒成立，所以，即.6．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(3)【分析】（1）根據(jù)條件，利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）對函數(shù)求導得到，由函數(shù)定義域知，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（3）對函數(shù)求導得到，再分和兩種情況討論，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，所以,得到，所以曲線在點處切線的斜率為．（2）當時，，易知的定義域為，又，因為，所以，所以時，，時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）因為，所以，易知，當時，的定義域為，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，所以不合題意，當時，的定義域為，此時，所以時，，時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以．設(shè)，則，當時，，時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為．所以，所以集合有且只有一個元素時．【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.反思提升：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.【考點2】含參函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．當時，有兩個零點C．一定存在零點D．若存在，有，則三、填空題3．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)恰有兩個零點，則.四、解答題4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程;(2)若，討論的單調(diào)性.5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.6．（2024·河南·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.參考答案：1．D【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)定義先求出當時的函數(shù)解析式，然后利用導數(shù)對進行分類討論，確定函數(shù)單調(diào)性，進而可求．【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．當時，，則，所以當時，，此時當時，在，上恒成立，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，解得（舍，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，解得，綜上，．故選：D．2．BD【分析】求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A、C、D，結(jié)合零點存在性定理判斷B.【詳解】定義域為，，當時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，當時，，當時，，由零點存在定理可知，當時，有兩個零點，故B正確；當時，，故不存在零點，故C錯誤；當時在上單調(diào)遞增，不存在使得，當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若存在，有，則，故D正確.故選：BD．3．【分析】利用導數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，從而建立等量關(guān)系求解可得.【詳解】因為，所以令，則，令，故當時，函數(shù)為增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，即當時函數(shù)有最小值，若，即時，此時函數(shù)在R上為增函數(shù)，與題意不符，且當時，的零點為1；若，即時，此時函數(shù)與x軸有兩個不同交點，設(shè)交點為，且，即，所以當或時，即，此時函數(shù)為增函數(shù)，當時，即，此時函數(shù)為減函數(shù)，依題意，函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即或，所以或，所以，所以，故答案為：.【點睛】根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：設(shè)方法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸交點個數(shù)問題，通過求解單調(diào)性構(gòu)造不等式求解；方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點個數(shù)問題求解.4．(1)(2)增區(qū)間為，，減區(qū)間為【分析】（1）根據(jù)條件，利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）對求導，根據(jù)條件得到的兩根為，，進而得出，當或時，，當，，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，又，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）因為，所以，令，得到，因為，又，所以，即有兩根，由求根公式知兩根為，，且，所以，當或時，，當，，故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.5．(1)(2)答案見解析【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，對分類討論計算即可得.【詳解】（1）當時，，，所求切線方程為，整理得：；（2），因為，故時，在上單調(diào)遞增，當時，對于，若，則，此時在上單調(diào)遞增，若，令，得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；綜上所述：時，在上單調(diào)遞增；時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6．(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）直接使用導數(shù)并分類討論即可；（2）先證明熟知的結(jié)論，然后在條件中的不等式里取直接得到，再利用不等式及其取對數(shù)后的，直接得出時不等式恒成立；（3）結(jié)合及其對數(shù)版本的取等條件，得到，然后即可直接得到要證明的結(jié)果.【詳解】（1）由，有.當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，有，故當時，當時.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）先證明一個結(jié)論：對任意實數(shù)都有，且不等號兩邊取等當且僅當.證明：設(shè)，則，從而當時有，當時有.從而在上遞減，在上遞增，故，即，且等號只在時成立，這就證明了結(jié)論.回到原題.代入的表達式，將題目中的不等式等價變形為.整理得到，故我們要求的取值范圍使得對恒成立.一方面，若該不等式恒成立，則特別地對于成立，即，從而；另一方面，若，則對，利用之前證明的結(jié)論可以得到，再取對數(shù)又能得到，所以，故原不等式對任意恒成立.綜上，的取值范圍是.（3）對，由于，故由（2）證明的結(jié)論，有，再取對數(shù)得到.所以，這就證明了結(jié)論.反思提升：1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大?。蝗舨荒芤蚴椒纸?，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).2.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)一、單選題1．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·廣東茂名·一模）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．3 D．4三、填空題3．（22-23高二下·廣西·期中）若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．四、解答題4．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)，(1)若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當時，求的極值點．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．(2)當時，恒成立，求的取值范圍．6．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)若的最小值為6，求實數(shù)的值．參考答案：1．A【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而得解.【詳解】因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：A.2．CD【分析】求導，分析導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于的不等式組，解出即可．【詳解】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，解得或或，即或.故選：CD.3．【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：在有解，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導數(shù)求解即可．【詳解】，等價于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.4．(1)(2)答案見解析.【分析】（1）先由在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對于，恒成立，進而分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；再利用基本不等式得出，即可解答.（2）分和兩種情況討論，在每一種情況中借助導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由可得：函數(shù)定義域為，.因為在定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以對于，恒成立，即對于，恒成立.則對，恒成立.因為，所以，當且僅當時等號成立，則，所以故a的取值范圍為.（2）因為，，所以當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時無極值點；當時，方程的判別式，方程兩根為，.令，解得；令，解得或，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值點為，極大值點為.綜上可得：當時，無極值點；當時，函數(shù)的極小值點為，極大值點為.5．(1)(2)．【分析】（1）首先對原函數(shù)求導，方法一：通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需要極值點在區(qū)間內(nèi)即可求出a的范圍；方法二：求出函數(shù)恒單調(diào)時a的取值范圍，取其補集即可；（2）原不等式整理后可得在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，，通過二次求導結(jié)合分類討論思想即可得到答案.【詳解】（1）方法一

由，得．若，則恒成立，為增函數(shù)，不符合題意．若，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，所以，所以．方法二

由，得．若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則或在上恒成立．若在上恒成立，則在上恒成立，所以．若在上恒成立，則在上恒成立，所以．所以若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則．（2）當時，，即，整理得在上恒成立．令，，則．令，則．因為，所以，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)．所以．所以．當，即時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立．當，即時，因為在上單調(diào)遞增，所以，使得．即當時，，當時，．又因為，所以在上不恒成立．綜上可知，的取值范圍是．【點睛】第二問轉(zhuǎn)化為在上恒成立，其實只要注意到，必有成立，可以得到這個必要條件，然后再論證是滿足題意也是可行的.6．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到恒成立，再令新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求最值即可.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點存在定理求出零點，解出方程即可求出的值.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，，因為在上單調(diào)遞減，所以恒成立且不恒為0，所以，即恒成立．設(shè)，則，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）解法一

由（1）知，，因為的最小值為6，所以，得．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使得，當時，，即，在上單調(diào)遞減；當時，，即，在上單調(diào)遞增，所以．因為，所以，解得（舍去）或，所以．解法二

由題意知在上恒成立，則在上恒成立．令，則，，由得，由得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，當時，，所以，故．因為的最小值為6，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，其中關(guān)鍵是零點存在定理的應(yīng)用.在研究函數(shù)的單調(diào)性時，利用零點存在定理找到導函數(shù)的隱零點，即存在，使得，再根據(jù)最值求解的值即可.反思提升：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【考點4】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則，，的大小順序為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·江蘇·三模）三角函數(shù)表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數(shù)近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數(shù)值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數(shù)值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足（為函數(shù)的導函數(shù)），，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式，并比較，，的大?。?2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)．5．（2024·河南開封·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；(2)函數(shù)；若方程在上存在實根，試比較與的大?。?．（23-24高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，證明：；(2)，，求的最小值；(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.參考答案：1．B【分析】結(jié)合已知要比較函數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，通過函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，，，由，令得，令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以；因為，所以，所以；令，且，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，因為，且，所以，所以.故選：B2．BC【分析】對于A，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷出，，即可判斷；對于B，判斷出，即可判斷；對于C，令，，利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷；對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出，即可判斷，【詳解】對于A，∵，，∴，故A錯誤；對于B，記，，則，記，，則，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，，所以，所以，，，故，故B正確；對于C，記，則，令，得；令，得；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對任意，都有，即恒成立，令，，所以，對于函數(shù)，，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，因為，即，所以，因為，所以，故C正確，對于D，令，若，令，，由解得：，解得：，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，所以，記，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，則，故D錯.故選：BC.【點睛】方法點睛：比較大小類題目解題方法：（1）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.3．【分析】利用已知以及導數(shù)的運算法則求得的解析式，進而參變分離，得到在上有解，令，通過求得，可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由及得，故，故（為常數(shù)），又，所以，解得，所以．由存在，使得，得在上有解．令，則，當時，，，則；當時，，，則．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是利用導數(shù)求出的解析式，再利用分離參數(shù)處理能成立問題.4．(1)(2)2個【分析】（1）可設(shè)，得到，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合時，，求得，再設(shè)函數(shù)，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意，當時，；當時，，分，和，三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，可設(shè)且為常數(shù)，令，可得，所以，則，當時，，所以在單調(diào)遞增，因為均小于，只需比較這三個數(shù)的大小即可，設(shè)，因為當時，，所以，所以，又，所以，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，所以.（2）解：由題意知，函數(shù)，當時，；當時，，（i）令，當時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以存在唯一的，使得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減；（ii）當時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，又因為在上，，所以，在上單調(diào)遞減；（iii）當時，，在上單調(diào)遞減，由（i）（ii）（iii）可得，在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減，因為，所以存在唯一的，使得，故在區(qū)間上僅有兩個零點.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.5．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）利用導數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，，令，則方程在，上存在實根，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，則，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，當時，令，解得，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取到極小值，無極大值，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，無極值，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無極大值．（2）因為，，則，令，解得或（舍），所以當時，單調(diào)遞增，所以，即，令，，則，若方程在上存在實根，則方程在，上存在實根，當時在上單調(diào)，則在上有解，即應(yīng)該在上有解，但是在上無解，不合題意，所以在上不單調(diào)，即，由（1）知，即，所以，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．6．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）當時，有，由基本不等式有，當時，有，可得，繼而得證；（2）由，需判斷正負，通過指對同構(gòu)，只需判斷，設(shè)，，通過求導判斷出即可；（3）通過時函數(shù)值正負，易得時函數(shù)無零點；當時，通過假設(shè)函數(shù)恒大于，進而得出矛盾說明函數(shù)存在零點.【詳解】（1）證明：函數(shù)，定義域為，當時，有，由基本不等式有，當且僅當即時等號成立，則當時，有，則，可得，即.（2）函數(shù)，.令，則，解得，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由已知當時，設(shè)，則，.設(shè)，，設(shè)，由，所以單調(diào)遞增.又因為，當時，，則，，即，即.所以時，，即單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以.由有解，得，即的最小值為.（3）若，恒成立恒成立.而，二者矛盾，因此當時有零點，當時，無零點；當時，，無零點.反思提升：1.利用導數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）.A． B．C． D．2．（23-24高二下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·重慶渝北·期中）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二下·重慶·階段練習）設(shè)函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．函數(shù)在上為增函數(shù)C．函數(shù)有極大值和極小值 D．函數(shù)有極大值和極小值6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．函數(shù)的值域為RC．若是的極值點，則D．若是的極小值點，則在區(qū)間單調(diào)遞減三、填空題7．（21-22高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍是.8．（23-24高二下·湖北·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．9．（23-24高二下·江蘇·期中）如果定義在R上的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，那么實數(shù)的值為．四、解答題10．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若曲線在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數(shù)在點處的切線的斜率為(1)求；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．12．（23-24高二下·江蘇·期中）設(shè)函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．參考答案：1．D【分析】利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較大小.【詳解】因為在上恒成立，可知在上單調(diào)遞增，又，所以.故選：D.2．A【分析】根據(jù)函數(shù)解析求出定義域，求導，求解單調(diào)性.【詳解】由的定義域為，，令，解得,當,則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A3．B【分析】由題意，利用，經(jīng)等價轉(zhuǎn)化，得到在區(qū)間上能成立，故只需先求即得.【詳解】依題意，在區(qū)間上能成立，即在區(qū)間上能成立，設(shè)，則，故只需求在上的最小值，而在時，取得最小值，故得.故選：B.4．A【分析】由題設(shè)可得在上恒成立，結(jié)合判別式的符號可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，則，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以，即，經(jīng)檢驗，當也符合.故選：A.5．AD【分析】結(jié)合的圖象，分析的取值情況，即可得到的單調(diào)性與極值點.【詳解】由圖可知當時，所以，當時，所以，當時，所以，當時，所以，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故A正確，B錯誤，則在處取得極大值，處取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值，故C錯誤，D正確.故選：AD6．ABC【分析】求導可得，利用導數(shù)分類討論當、時對應(yīng)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念依次判斷選項即可.【詳解】，則，當即時，方程至多有1個實根，此時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當即時，方程有2個不等的實根，設(shè)為，且，則，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.A：當時，；當時，，所以，故A正確；B：由選項A知，的值域為R，故B正確；C：若是的極值點，則，故C正確；D：若是的極小值點，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：ABC7．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而作出其大致圖象，根據(jù)圖象列出不等式組，解之即可.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以對，函數(shù)的值域為；由，，得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，不符合題意，所以，令，解得，則，否則不符題意則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖，由圖象可知，要使對，使得成立，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.8．【分析】利用導函數(shù)值恒大于或等于0來研究原函數(shù)單調(diào)遞增，即可解決問題.【詳解】由得：，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以，即，故答案為：.9．【分析】根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將單調(diào)區(qū)間的端點代入導函數(shù)值為零，計算并驗證即可.【詳解】由題意可得：且，解得此時，令解得符合題意，故.故答案為：.10．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）依題意可得當時，恒成立，參變分離可得當時，恒成立，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的范圍，從而得解.【詳解】（1）當時，，則，所以切線斜率，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）由題意可知，當時，恒成立，即當時，恒成立，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．11．(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值.【分析】（1）由求得；（2）由確定的單調(diào)區(qū)間和極值．【詳解】（1），則，解得；（2）由，故，則，，故當時，，當時，，當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.12．(1)(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為2(3)【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義可求得的值；（2）利用導數(shù)與單調(diào)性以及極值的關(guān)系即可求解；（3）將在上存在增區(qū)間轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題可得，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，解得；（2）由（1）知，令，解得由，解得，由，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，當時，取得極小值；（3）由在上存在增區(qū)間，即在上有解，即在上有解，所以，令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以即的取值范圍為.【能力篇】一、單選題1．（2024·遼寧·二模）已知定義在R上的函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若，則在上的最小值為0C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則三、填空題3．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）已知函數(shù)，若在,上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.參考答案：1．A【分析】構(gòu)造函數(shù)并判斷奇偶性，通過導函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可【詳解】令，因為，所以為偶函數(shù)．，因為當時，，，此時，所以在上單調(diào)遞增．因為，，，因為，，，所以，所以，即．故選：A．2．AB【分析】根據(jù)為函數(shù)的極值點可對A判斷；由可求得即可對B判斷；由在上單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立，即可對C判斷；由在上恒成立等價于，構(gòu)造函數(shù)，，再利用導數(shù)從而求出，即可對D判斷．【詳解】對于A，由，得，因為是函數(shù)的極