《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件2

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》歡迎來(lái)到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的課堂！本課程旨在系統(tǒng)地介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法，并通過(guò)案例分析，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。我們將深入探討隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，學(xué)習(xí)如何從數(shù)據(jù)中提取信息，進(jìn)行科學(xué)的推斷和決策。希望通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，大家能夠掌握統(tǒng)計(jì)思維，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)方法課程目標(biāo)本課程的目標(biāo)是使學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法，具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。具體包括：理解隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，掌握常用的概率分布，學(xué)會(huì)參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法，并能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。學(xué)習(xí)方法為了更好地掌握本課程的內(nèi)容，建議同學(xué)們采取以下學(xué)習(xí)方法：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，完成作業(yè)；多做習(xí)題，鞏固知識(shí)；積極參與討論，交流學(xué)習(xí)心得；利用網(wǎng)絡(luò)資源，拓展學(xué)習(xí)視野。同時(shí)，要注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。概率論的基本概念1隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，每次試驗(yàn)或觀察的結(jié)果不確定，但多次重復(fù)試驗(yàn)或觀察的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的現(xiàn)象。2樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，通常用Ω表示。3隨機(jī)事件樣本空間的子集，表示試驗(yàn)結(jié)果的某種組合，通常用大寫字母A,B,C等表示。隨機(jī)事件及其運(yùn)算并事件(A∪B)事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生。交事件(A∩B)事件A和事件B同時(shí)發(fā)生。差事件(A-B)事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生?；コ馐录录嗀和事件B不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=Φ。概率的定義與性質(zhì)1古典定義在等可能條件下，事件A的概率等于A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間包含的基本事件數(shù)。2頻率定義在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率接近于其概率。3公理化定義概率是定義在事件上的滿足某些公理的函數(shù)，例如非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。條件概率與獨(dú)立性條件概率在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)>0。事件的獨(dú)立性如果P(A∩B)=P(A)P(B)，則稱事件A和事件B相互獨(dú)立。這意味著事件A的發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率。全概率公式與貝葉斯公式全概率公式設(shè)B?,B?,...,B?是樣本空間Ω的一個(gè)劃分，則P(A)=ΣP(A|B?)P(B?)。1貝葉斯公式P(B?|A)=P(A|B?)P(B?)/ΣP(A|B?)P(B?)，用于在已知事件A發(fā)生的條件下，推斷事件B?發(fā)生的概率。2離散型隨機(jī)變量及其分布1離散型隨機(jī)變量2分布列3常見(jiàn)分布4期望與方差離散型隨機(jī)變量是指取值只能是有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)的隨機(jī)變量。它的分布可以用分布列來(lái)描述，分布列給出了每個(gè)可能取值的概率。常見(jiàn)的離散型分布包括伯努利分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們可以計(jì)算它的期望和方差，分別表示其平均取值和取值的分散程度。伯努利分布與二項(xiàng)分布1伯努利分布描述一次試驗(yàn)的結(jié)果，成功概率為p，失敗概率為1-p。2二項(xiàng)分布描述n次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，參數(shù)為n和p。伯努利分布是最簡(jiǎn)單的離散型分布，它描述了一次試驗(yàn)的結(jié)果，只有兩種可能：成功或失敗。二項(xiàng)分布是伯努利分布的推廣，它描述了n次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)。二項(xiàng)分布的參數(shù)是n和p，分別表示試驗(yàn)次數(shù)和每次試驗(yàn)的成功概率。泊松分布λP(X=0)P(X=1)P(X=2)泊松分布描述了在一定時(shí)間或空間內(nèi)，隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。它只有一個(gè)參數(shù)λ，表示單位時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。泊松分布常用于描述稀有事件的發(fā)生，例如在一定時(shí)間內(nèi)某地區(qū)發(fā)生的交通事故數(shù)，或在一定空間內(nèi)某種細(xì)菌的個(gè)數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意值的隨機(jī)變量。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)附近取值的概率密度，通常用f(x)表示。連續(xù)型隨機(jī)變量是指取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意值的隨機(jī)變量。它的分布不能用分布列來(lái)描述，而是用概率密度函數(shù)來(lái)描述。概率密度函數(shù)描述了連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)附近取值的概率密度。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們可以計(jì)算它在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率，等于概率密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分。均勻分布定義在某一區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)變量取任意值的概率密度相同。概率密度函數(shù)f(x)=1/(b-a)，當(dāng)a≤x≤b時(shí)；否則f(x)=0。應(yīng)用常用于模擬等可能性的隨機(jī)事件，例如隨機(jī)數(shù)的生成。指數(shù)分布定義描述隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，參數(shù)為λ，表示單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。概率密度函數(shù)f(x)=λe^(-λx)，當(dāng)x≥0時(shí)；否則f(x)=0。應(yīng)用常用于描述電子元件的壽命，或顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)的時(shí)間間隔。正態(tài)分布1定義也稱為高斯分布，是概率論中最重要的一種分布，參數(shù)為μ和σ2，分別表示均值和方差。2概率密度函數(shù)f(x)=(1/(σ√(2π)))*e^(-((x-μ)2/(2σ2)))。3應(yīng)用廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，例如身高、體重、考試成績(jī)等都近似服從正態(tài)分布。隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算每個(gè)可能取值的概率來(lái)確定其分布列。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)可以通過(guò)變量替換法或卷積公式來(lái)確定其概率密度函數(shù)。如果Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，那么Y也是一個(gè)隨機(jī)變量。我們需要確定Y的分布，才能了解它的統(tǒng)計(jì)特性。對(duì)于離散型隨機(jī)變量的函數(shù)，我們可以通過(guò)計(jì)算每個(gè)可能取值的概率來(lái)確定其分布列。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)，我們可以通過(guò)變量替換法或卷積公式來(lái)確定其概率密度函數(shù)。多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量由多個(gè)隨機(jī)變量組成的向量，例如(X,Y)。1聯(lián)合分布函數(shù)描述多維隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率，例如F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。2邊緣分布與條件分布1邊緣分布描述多維隨機(jī)變量中單個(gè)隨機(jī)變量的分布。2條件分布在已知部分隨機(jī)變量取值的條件下，描述其他隨機(jī)變量的分布。邊緣分布描述了多維隨機(jī)變量中單個(gè)隨機(jī)變量的分布，可以通過(guò)對(duì)聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行積分或求和得到。條件分布描述了在已知部分隨機(jī)變量取值的條件下，其他隨機(jī)變量的分布。條件分布可以用于預(yù)測(cè)和推斷。隨機(jī)變量的獨(dú)立性1定義如果多維隨機(jī)變量中任意兩個(gè)隨機(jī)變量都相互獨(dú)立，則稱這些隨機(jī)變量相互獨(dú)立。2性質(zhì)如果X和Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)fY(y)。如果多維隨機(jī)變量中任意兩個(gè)隨機(jī)變量都相互獨(dú)立，則稱這些隨機(jī)變量相互獨(dú)立。隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中一個(gè)重要的概念，它簡(jiǎn)化了問(wèn)題的分析和計(jì)算。如果X和Y相互獨(dú)立，則它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于各自的邊緣概率密度函數(shù)的乘積。隨機(jī)向量的函數(shù)及其分布xy1y2如果Z是隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)，那么Z也是一個(gè)隨機(jī)變量。我們需要確定Z的分布，才能了解它的統(tǒng)計(jì)特性。確定隨機(jī)向量的函數(shù)的分布通常比較復(fù)雜，需要用到變量替換法或卷積公式等技巧。在某些特殊情況下，可以利用已知的分布性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。數(shù)學(xué)期望的定義與性質(zhì)定義隨機(jī)變量的平均取值，表示隨機(jī)變量的中心位置。性質(zhì)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)，E(C)=C，如果X和Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)。方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差描述隨機(jī)變量取值的分散程度，定義為E((X-E(X))2)。標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根，與隨機(jī)變量具有相同的量綱。性質(zhì)Var(aX+b)=a2Var(X)，如果X和Y相互獨(dú)立，則Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度，定義為Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差除以兩個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，取值范圍為[-1,1]，描述了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度和方向。矩與特征函數(shù)1矩描述隨機(jī)變量分布的形狀特征，包括原點(diǎn)矩和中心矩。2特征函數(shù)隨機(jī)變量的傅里葉變換，唯一確定隨機(jī)變量的分布。切比雪夫不等式內(nèi)容對(duì)于任意隨機(jī)變量X，P(|X-E(X)|≥ε)≤Var(X)/ε2，描述了隨機(jī)變量取值偏離其期望的概率的上界。切比雪夫不等式是一個(gè)重要的不等式，它給出了隨機(jī)變量取值偏離其期望的概率的上界。這個(gè)不等式不需要知道隨機(jī)變量的具體分布，只需要知道其期望和方差即可。切比雪夫不等式在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有很多應(yīng)用，例如用于證明大數(shù)定律。大數(shù)定律內(nèi)容當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值依概率收斂于總體均值，描述了樣本均值的穩(wěn)定性。大數(shù)定律是概率論中一系列重要的定理，它們描述了當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，隨機(jī)變量的平均取值的穩(wěn)定性。大數(shù)定律是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，它保證了我們可以通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)總體。中心極限定理1內(nèi)容當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，描述了樣本均值的分布規(guī)律。中心極限定理是概率論中最重要的定理之一，它描述了當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。中心極限定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，它保證了我們可以利用正態(tài)分布來(lái)對(duì)總體進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)量及其分布1統(tǒng)計(jì)量不包含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)，例如樣本均值、樣本方差等。2分布統(tǒng)計(jì)量的概率分布，例如卡方分布、t分布、F分布等。統(tǒng)計(jì)量是不包含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)，它是我們用來(lái)對(duì)總體進(jìn)行推斷的工具。我們需要了解統(tǒng)計(jì)量的分布，才能對(duì)其進(jìn)行有效的應(yīng)用。常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量包括樣本均值、樣本方差等。常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量的分布包括卡方分布、t分布、F分布等。樣本均值與樣本方差樣本均值樣本方差樣本均值是樣本的平均取值，用于估計(jì)總體均值。樣本方差是樣本取值的分散程度，用于估計(jì)總體方差。樣本均值和樣本方差是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最常用的統(tǒng)計(jì)量。卡方分布定義n個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和的分布，參數(shù)為自由度n。應(yīng)用常用于假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)，例如總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)。t分布定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量除以卡方隨機(jī)變量的平方根的分布，參數(shù)為自由度n。應(yīng)用常用于小樣本均值的假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)。F分布定義兩個(gè)卡方隨機(jī)變量除以各自自由度的商的分布，參數(shù)為兩個(gè)自由度n?和n?。應(yīng)用常用于兩個(gè)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析。參數(shù)估計(jì)的基本概念1定義利用樣本信息估計(jì)總體未知參數(shù)的過(guò)程。2類型點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)定義用一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。方法矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。常用的點(diǎn)估計(jì)方法包括矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。點(diǎn)估計(jì)的結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值，但它并不能告訴我們估計(jì)的精度如何。矩估計(jì)法原理用樣本矩估計(jì)總體矩，然后解方程得到參數(shù)的估計(jì)值。矩估計(jì)法是一種常用的點(diǎn)估計(jì)方法，它的原理是用樣本矩估計(jì)總體矩，然后解方程得到參數(shù)的估計(jì)值。矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，但它的缺點(diǎn)是估計(jì)的精度不高。最大似然估計(jì)法1原理選擇使樣本似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)法是一種常用的點(diǎn)估計(jì)方法，它的原理是選擇使樣本似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是估計(jì)的精度比較高，但它的缺點(diǎn)是計(jì)算比較復(fù)雜。估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1無(wú)偏性2有效性3均方誤差為了評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞，我們需要一些評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。常用的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)包括無(wú)偏性、有效性和均方誤差。無(wú)偏性是指估計(jì)量的期望等于總體參數(shù)。有效性是指在無(wú)偏的估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量。均方誤差是估計(jì)量與總體參數(shù)的差的平方的期望，它綜合考慮了估計(jì)量的偏差和方差。無(wú)偏性如果估計(jì)量的期望等于總體參數(shù)，則稱該估計(jì)量是無(wú)偏的。無(wú)偏性是估計(jì)量的一個(gè)重要性質(zhì)，它保證了估計(jì)量不會(huì)系統(tǒng)地偏離總體參數(shù)。有效性定義在無(wú)偏的估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量稱為有效的。意義有效的估計(jì)量具有更高的估計(jì)精度。均方誤差定義估計(jì)量與總體參數(shù)的差的平方的期望，綜合考慮了估計(jì)量的偏差和方差。公式MSE=E((θ?-θ)2)=Var(θ?)+(E(θ?)-θ)2。區(qū)間估計(jì)定義用一個(gè)區(qū)間來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的概率。置信水平區(qū)間包含總體參數(shù)的概率，通常用1-α表示。單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)1方差已知利用正態(tài)分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。2方差未知利用t分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。單個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)方法利用卡方分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)，我們可以利用卡方分布來(lái)進(jìn)行?？ǚ椒植嫉淖杂啥葹闃颖救萘繙p1。通過(guò)查卡方分布表，我們可以得到置信水平為1-α的區(qū)間估計(jì)。假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念定義對(duì)總體參數(shù)或分布形式提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過(guò)程。假設(shè)檢驗(yàn)是對(duì)總體參數(shù)或分布形式提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過(guò)程。假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要的內(nèi)容，它可以幫助我們進(jìn)行科學(xué)的決策。顯著性水平與p值1顯著性水平事先給定的一個(gè)較小的概率值，表示拒絕原假設(shè)的最大允許概率，通常用α表示。2p值在原假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率，用于判斷是否拒絕原假設(shè)。顯著性水平是事先給定的一個(gè)較小的概率值，表示拒絕原假設(shè)的最大允許概率。p值是在原假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果p值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)；否則，不拒絕原假設(shè)。單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1方差已知利用Z檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。2方差未知利用t檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)，如果方差已知，則可以利用Z檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行；如果方差未知，則可以利用t檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。Z檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)都是常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法。單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)，我們可以利用卡方檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。卡方檢驗(yàn)是一種常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法，它可以用于檢驗(yàn)總體方差是否等于某個(gè)給定的值。兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)方差已知利用Z檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。方差未知但相等利用t檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。對(duì)于兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，如果方差已知，則可以利用Z檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行；如果方差未知但相等，則可以利用t檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。Z檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)都是常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法。兩正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)方法利用F檢驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。對(duì)于兩正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)，我們可以利用F檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。F檢驗(yàn)是一種常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法，它可以用于檢驗(yàn)兩個(gè)總體的方差是否相等。非參數(shù)檢驗(yàn)定義不需要對(duì)總體分布做出任何假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)方法。常用方法符號(hào)檢驗(yàn)、秩和檢驗(yàn)等?；貧w分析的基本概念1定義研究變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。2類型一元線性回歸、多元線性回歸等。一元線性回歸模型模型y=β?+β?x+ε，其中y是因變量，x是自變量，β?和β?是回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)誤差。一元線性回歸模型是回歸分析中最簡(jiǎn)單的一種模型，它描述了因變量y和自變量x之間的線性關(guān)系。模型中的回歸系數(shù)β?和β?需要通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)與顯著性檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)利用最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)β?和β?。1顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否顯著不為0，判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。2在一元線性回歸模型中，我們需要利用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)回歸系數(shù)β?和β?。常用的估計(jì)方法是最小二乘法。估計(jì)出回歸系數(shù)后，我們還需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響。常用的顯著性檢驗(yàn)方法是t檢驗(yàn)?；貧w方程的預(yù)測(cè)1點(diǎn)預(yù)測(cè)利用回歸方程計(jì)算給定自變量值對(duì)應(yīng)的因變量的預(yù)測(cè)值。2區(qū)間預(yù)測(cè)給出一個(gè)區(qū)間，并給出該區(qū)間包含真實(shí)值的概率?；貧w方程建立后，我們可以利用它來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)分為點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)。點(diǎn)預(yù)測(cè)是利用回歸方程計(jì)算給定自變量值對(duì)應(yīng)的因變量的預(yù)測(cè)值。區(qū)間預(yù)測(cè)是給出一個(gè)區(qū)間，并給出該區(qū)間包含真實(shí)值