材料固態(tài)相變與擴(kuò)散-第2章-菲克定律應(yīng)用(3學(xué)時(shí))

第2章Fick定律的應(yīng)用

2.1Fick第一定律及應(yīng)用

一在單相系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散1一維擴(kuò)散dm/dt＝常數(shù).對(duì)Fick第一定律積分，積分限為：y1,y2,C1,C2

2二維擴(kuò)散

二維穩(wěn)態(tài)時(shí)所有半徑方向上的流量均相同,如圖所示.設(shè)內(nèi)徑為r1，濃度c1，外徑為r2，濃度c2，則：3三維擴(kuò)散如圖為一球殼，內(nèi)徑為r1，濃度C1，外徑為r2，濃度C2。

二、在兩相系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散

假設(shè)有兩組元組成一體系，一層是α相，擴(kuò)散系數(shù)為Dα，另一層為β相，擴(kuò)散系數(shù)為Dβ。有兩種情況：（1）兩層厚度與擴(kuò)散物質(zhì)的出現(xiàn)無(wú)關(guān)；（2）兩相存在決定于擴(kuò)散物質(zhì)，且兩相層的相對(duì)厚度取決于擴(kuò)散過(guò)程1．兩層厚度與擴(kuò)散物質(zhì)出現(xiàn)無(wú)關(guān)

如圖，事先給出兩層厚度分別用lα和lβ表示（例碳鋼/A不銹鋼），擴(kuò)散物質(zhì)用H表示（例氫氣），H在穩(wěn)態(tài)建立后，在界面上的活度可用下式表示：圖兩相擴(kuò)散層中的活度和濃度分布α/γα/γ擴(kuò)散物質(zhì)的流量主要決定于具有最大值的那個(gè)相，這個(gè)相對(duì)擴(kuò)散具有最大的阻力，這就象雙層墻的熱傳導(dǎo)那樣，其散熱主要取決于最好的絕熱層。所以，有：2．兩相存在與擴(kuò)散過(guò)程有關(guān)

研究B組元通過(guò)A-B合金墻的擴(kuò)散。在墻的一側(cè)，B的活度很高，例與純B的氣相保持平衡,而在墻的另一側(cè)B的活度很低。如下圖圖B組元在A-B合金中擴(kuò)散時(shí)的濃度分布整個(gè)厚度是恒定的，但α/β厚隨擴(kuò)散而變化的，可求得：設(shè)墻厚為l,在建立穩(wěn)態(tài)后，

因此，可知道擴(kuò)散元素的流量主要決定于具有最大D·ΔC的相，就是對(duì)擴(kuò)散具有最小阻力的相。當(dāng)Dβ＜＜Dα?xí)r,三晶界薄膜的沉淀

A-B二元合金，在T1的均勻相冷至T0時(shí)有相析出。設(shè)晶界是平面直線形，且當(dāng)晶界上開始有β相析出時(shí)，沿晶界鋪展極快，形成一層薄膜。由相圖可畫出濃度分布。圖晶界薄膜沉淀時(shí)的濃度分布

β相的長(zhǎng)大主要取決于B原子在α相中的擴(kuò)散。B原子向β相薄膜擴(kuò)散，在其附近α相中有一濃度梯度。經(jīng)擴(kuò)散，在dt時(shí)間內(nèi)增加了dlβ厚，則流量可得：

近似地?。?/p>

Δx為過(guò)飽和度。S可由兩塊陰影面積來(lái)估計(jì)。四新相在原兩舊相間形核長(zhǎng)大

這種情況如鋼的加熱轉(zhuǎn)變奧氏體化。作為一般討論，設(shè)A-B二元系，有中間相β。在一定溫度時(shí)，可以在界面上形成一層β相，并以一定速率長(zhǎng)大，其長(zhǎng)大速率決定于通過(guò)β相層的擴(kuò)散速率。如圖所示。建立局部平衡時(shí)濃度分布曲線。β相形成時(shí)的濃度分布B原子擴(kuò)散方向相界移動(dòng)主要方向

Fe-C相圖中在溫度T時(shí)的平衡濃度值

采用穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的近似方法，估算β相中的濃度梯度：使B原子由β/γ界面遷移到α/β界面的速率為：設(shè)dt時(shí)間,在α/β相界面上，增厚,在β/γ相界面上增厚

,因?yàn)?根據(jù)質(zhì)量平衡，在α/β界面上有：同理在β/γ相界面上也有：兩側(cè)的長(zhǎng)大對(duì)β相均有貢獻(xiàn)，所以：2.2Fick第二定律及應(yīng)用各種表達(dá)式：(設(shè)D為常數(shù))三維直角坐標(biāo)：三維柱坐標(biāo)：三維球坐標(biāo)：一維球坐標(biāo)：一維柱坐標(biāo)：幾個(gè)重要解：高斯（Gauss）解：誤差解：正弦（Sine）解：一維球坐標(biāo)高斯方程解:(t=0時(shí)，濃質(zhì)集中在r=0處)平方平均值:用數(shù)學(xué)方法都可證明上述解都符合Fick第二定律。1高斯解及應(yīng)用

分布規(guī)律是：寬度B隨t而增寬，而A隨t增加而衰減，B、A的匹配變化保持總面積不變，如圖。當(dāng)t=0時(shí)，B=0，A→∞。說(shuō)明起始時(shí)，所有原子都集中在一起。→適合于表面涂覆的擴(kuò)散。當(dāng)t>0時(shí)，所有原子對(duì)擴(kuò)散都有貢獻(xiàn)?！c事實(shí)不符。一般表達(dá)式：寬度振幅試件單面涂覆:利用迭加原理和反射原理有：高斯解中S的物理意義為擴(kuò)散組元的總量：注意的是:實(shí)際情況只是高斯圖象的一半。所以在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),S值為已知量的2倍。高斯解的平方平均值:=結(jié)果表明:高斯解遵循了拋物線規(guī)律。對(duì)偶函數(shù):令:2誤差函數(shù)解

應(yīng)用迭加原理使用高斯解積分可得

一般表達(dá)式：

圖將擴(kuò)散組元分割成厚dh的截面

每個(gè)截面擴(kuò)散物質(zhì)的量是S=C0dh,設(shè)擴(kuò)散組元分布在0→+∞之間，從高斯解方程式得：令,再經(jīng)過(guò)積分變換,可得到定義誤差函數(shù)：

(erfc稱為補(bǔ)（余）誤差函數(shù)。)所以一般表達(dá)式為：適用于半無(wú)限長(zhǎng)的擴(kuò)散。

【例2.7】有一厚d的板，若使表面保持C0的濃度，則板內(nèi)濃度將如何？解：因兩邊都有擴(kuò)散，所以要使用兩個(gè)誤差函數(shù)。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在板中心,則：根據(jù)邊界條件求A、B、C的值：當(dāng)t=t,y=-d/2時(shí)：當(dāng)t=t,y=d/2時(shí)：當(dāng)t=0,-d/2＜y＜d/2時(shí)：A、B、C這三個(gè)參數(shù)并不是與t總是無(wú)關(guān)的，所以，有些情況下只能是近似解。

估計(jì)一下誤差：兩邊的原子剛好擴(kuò)散到板的中間時(shí),可解得：A=2C0,B=-C0,C=C0。所以近似解為：設(shè)t→∞時(shí)，則由上式可得，C=2C0這顯然是不符合事實(shí)的，應(yīng)該是：C→C0

誤差函數(shù)解適合于處理半無(wú)限長(zhǎng)的問(wèn)題。

4瓦格納（Wagner）解法在一般情況下，兩相接觸狀態(tài)如圖

圖在初始均質(zhì)相1的表面生成新相2時(shí)濃度分布

假定擴(kuò)散系數(shù)與成分無(wú)關(guān)，在平衡時(shí)界面兩邊的濃度關(guān)系為線性關(guān)系C1=KC2。在一定條件時(shí)K是定值。當(dāng)界面達(dá)到平衡時(shí)，根據(jù)質(zhì)量平衡原理，進(jìn)入或離開界面的擴(kuò)散物質(zhì)的凈流率等于依靠界面移動(dòng)附加到相中的溶質(zhì)。即：1)初始均質(zhì)的第一相表面上生成第二相

最常見的是在723℃~910℃溫度范圍內(nèi)，γ-Fe脫碳而在表面生成α-Fe,或α-Fe滲碳而在表面生成γ-Fe.

應(yīng)用第二定律，設(shè)某合金含C量為Ci,外界的碳勢(shì)為Cs，初始條件：C(x,0)=Ci,C(0,t)=Cs。所以x>l

:x<l

:將邊界條件代入誤差函數(shù)解方程可得：

式中B1、B2為積分常數(shù)。x=時(shí),誤差函數(shù)的引數(shù)必為常數(shù)。因而：

式中β為一已確定的無(wú)量綱參數(shù)。在界面處x=l。綜合以上各關(guān)系式得到:

式中，

Φ=D2/D1消去上式中的B1、B2

。得到

通過(guò)嘗試法找出參數(shù)β。在數(shù)學(xué)上，β是誤差函數(shù)的引數(shù);在物理上,

β是拋物線長(zhǎng)大規(guī)律的常數(shù)。函數(shù)f(β)和f(σ)可以查有關(guān)圖,也可以計(jì)算。式中,【例2.8】有一含0.40%C的合金鋼薄殼在與0.01%C相平衡的CO和CO2氣氛中進(jìn)行800℃溫度下的奧氏體化處理。在這些條件下表面生成一些α相。問(wèn)：經(jīng)30分鐘后，生成的α相層有多厚？已知在800℃時(shí)，Dα=2×10-6cm2/s，Dγ=3×10-8cm2/s0.40.240.020.01解：在這里，Ci=0.40,Cs=0.01；從Fe-C相圖得到C1=0.24,C2=0.02。D1=Dγ,D2=Dα,所以Φ=D2/D1=66.6。如計(jì)算出β后,可得到α的厚度，這里采用嘗試法:將有關(guān)數(shù)值代入公式，有：又若令β=0.1,則f(β)=0.0195;σ=0.816,f(σ)=0.70這樣β值大體上已定出范圍，再嘗試得β=0.105計(jì)算結(jié)果：經(jīng)30分鐘后，生成的α相層為0.126mm利用嘗試法計(jì)算：若令β=0.15,f(β)=0.0457;

σ=βΦ1/2=1.224,f(σ)=0.81現(xiàn)在我們用前面介紹的兩相中新相長(zhǎng)大公式（經(jīng)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散近似處理）來(lái)計(jì)算。因?yàn)棣料嘀挥性讦孟嘀虚L(zhǎng)大,且忽略了γ相中的擴(kuò)散,則根據(jù)式（2.31）有：

穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散近似處理方法和Wagner較精確解法的計(jì)算結(jié)果還是比較接近的。若直接用脫碳公式:

則

誤差較大

2)由原始兩相混合物生成單相原始狀態(tài)為二相混合物時(shí)（如鋼的滲碳和脫碳）可能有四種情況。分析0<x<l，邊界條件：C2(0,t)=CS。界面l處，局部平衡為：

在界面處的質(zhì)量平衡為：先求得β，若D、t已知，就能計(jì)算l值。和前面同樣的方法根據(jù)初始條件和邊界條件得：4正弦函數(shù)解

一般式為：設(shè)周波長(zhǎng)為，振幅，則擴(kuò)散引起的衰減函數(shù)為：

圖正弦分布的濃度曲線隨時(shí)間的變化【例2.10】有兩相同材料的試樣，組織呈正弦分布.把其中一個(gè)試樣進(jìn)行塑性變形，使厚度變?yōu)樵瓉?lái)的1/10，其濃度變化的波長(zhǎng)也被壓縮為原來(lái)的1/10。這兩試樣在某溫度下經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后，發(fā)現(xiàn)經(jīng)塑性變形試樣的濃度振幅已衰減為原來(lái)的1/10。那么另一個(gè)試樣的振幅下降多少？解：設(shè)原試樣濃度波長(zhǎng)為a，經(jīng)壓縮變形試樣的振幅是：取對(duì)數(shù):計(jì)算結(jié)果說(shuō)明沒有經(jīng)過(guò)變形的試樣，其濃度振幅只下降了2.3%。另一個(gè)試樣的濃度振幅下降為：【例2.11】已知有一錳鋼，在退火前錳的偏析程度為0.6%。若枝晶偏析平均距離l=0.02cm。希望將錳的偏析程度降低到0.4%，問(wèn)在1100℃擴(kuò)散退火需多長(zhǎng)時(shí)間？解：由有關(guān)圖或數(shù)據(jù)查得在1100℃錳在鋼中的擴(kuò)散系數(shù)為：因?yàn)樗浴纠?.12】一種低含碳量的18-8型奧氏體不銹鋼試樣在1000℃進(jìn)行熱處理，不幸在開始的一分鐘內(nèi)保護(hù)氣氛失效，以致于在鋼的表面發(fā)生了滲碳。假設(shè)氣氛為恒定的碳勢(shì)，滲碳對(duì)不銹鋼表面的碳含量可達(dá)到1.2%（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）。但在不銹鋼中允許的碳含量應(yīng)小于0.04%。已知碳的擴(kuò)散系數(shù)為D（1000℃）=3×10-7cm2/s。

1）假設(shè)原含碳量為0，由于碳的有害作用是由表向里的，試求滲碳一分鐘后，使試樣表面層的性能受到損害的深度是多少?2）在一分鐘后，保護(hù)氣氛立即恢復(fù)了作用，保護(hù)氣氛與不銹鋼之間沒有碳的交換。在1000℃長(zhǎng)期保溫后，開始一分鐘內(nèi)所吸收的碳會(huì)擴(kuò)散到鋼的內(nèi)部。問(wèn)：在保溫期間，使鋼表面層內(nèi)含碳量達(dá)0.04%的最大深度是多少?

3）若使碳在表層中的有害作用完全消除，問(wèn)至少要保溫多長(zhǎng)時(shí)間?解：

1）因?yàn)榧僭O(shè)是在恒定碳勢(shì)下滲碳一分鐘，所以就可以用誤差函數(shù)解來(lái)求得深度。

計(jì)算結(jié)果：滲碳一分鐘后，使試樣表面層的性能受到損害的深度是0.127mm。

2）長(zhǎng)期保溫時(shí)，表面吸收的碳會(huì)向內(nèi)部擴(kuò)散。但在一定范圍內(nèi)，在x1深度處的濃度值是變化的。若令，則可求得達(dá)到最高濃度時(shí)所需的時(shí)間。然后，再可求得最高濃度值與深度之間的關(guān)系，從而求得最大深度。擴(kuò)散時(shí)的表層濃度變化如圖所示。圖經(jīng)過(guò)不同t處理后的濃度分布圖經(jīng)過(guò)不同t后在x1處的濃度值

0.04根據(jù)實(shí)際情況,可近似用高斯解來(lái)求解這問(wèn)題.因此,S值可由前述的公式積分求得：近似處理，可直接用平均擴(kuò)散距離x2=2Dt代入高斯解求得

代入有關(guān)數(shù)據(jù)后，可得：

計(jì)算結(jié)果：在保溫期間，使鋼表面層內(nèi)含碳量達(dá)0.04%的最大深度是0.7mm。比剛開始時(shí)的0.127mm增大了幾倍.注意計(jì)算S時(shí)的時(shí)間t0為1min.3）若使表層中碳的有害作用完全消除，則要求x=0處的碳濃度要小于0.04%。隨著擴(kuò)散的進(jìn)行，表層的碳濃度逐漸下降，只要表層碳濃度小于0.04%，則其它地方就沒有問(wèn)題了。仍然用高斯解，并且設(shè)x=0，所以：代入數(shù)據(jù)后，計(jì)算可得t=21875s=6.08h。計(jì)算結(jié)果：使碳在表層中的有害作用完全消除，至少要保溫6小時(shí)。

5、Fick定律在相變中的應(yīng)用脫溶沉淀相的拋物線長(zhǎng)大規(guī)律圖晶界薄膜沉淀時(shí)的濃度分布對(duì)α相可用下式解：

邊界條件為：,(K=?).代入上式

得對(duì)于y→∞,x=A+B=xα∞.與上式相減,所以現(xiàn)在有A/B/K三個(gè)未知數(shù),還得尋找關(guān)系式.因?yàn)棣孪嚅L(zhǎng)大,A式根據(jù)質(zhì)量平衡原理,這些B原子是由α相通過(guò)與β相長(zhǎng)大反方向的擴(kuò)散提供的。所以,α相中擴(kuò)散流量為:因?yàn)棣料嘀?/p>