陜西省榆林市2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題 附答案VIP

榆林市2022~2023年度高三第二次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（理科）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是（）A．－6 B．－4 C．4 D．63．已知，，，則（）A． B． C． D．4．某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營(yíng)銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營(yíng)銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是，且被抽到參加體檢的員工中，營(yíng)銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（）A．90 B．96 C．120 D．1445．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是（）A．1 B． C．2 D．36．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且，若，則雙曲線C的離心率是（）A． B． C． D．7．如圖，在正三棱柱中，，D是棱BC的中點(diǎn)，E在棱上，且，則異面直線AD與BE所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．已知，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則m的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知函數(shù)在和上都是單調(diào)的，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．7第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．已知向量，，若，則______．14．某工廠從其所生產(chǎn)的某種配件中隨機(jī)抽取了一部分進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，其某項(xiàng)質(zhì)量測(cè)試指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，且X落在區(qū)間內(nèi)的配件個(gè)數(shù)為1359，則可估計(jì)所抽取的這批配件共有______萬個(gè)．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．15．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．16．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)（點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)）射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點(diǎn)Q，若直線OA與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，則直線BD的斜率為______；若，且PB平分∠ABQ，則p=______．（本題第一空2分，第二空3分）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）通過市場(chǎng)調(diào)查，現(xiàn)得到某種產(chǎn)品的資金投入x（單位：百萬元）與獲得的利潤(rùn)y（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：資金投入x24568利潤(rùn)y34657（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（2）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（3）現(xiàn)投入資金1千萬元，求獲得利潤(rùn)的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，四邊形ABCD是菱形，，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）證明：平面ABCD．（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（12分）已知橢圓C：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，試問直線，的斜率之和是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)的最大值是m．（1）求m的值；（2）若，求的最小值．榆林市2022~2023年度高三第二次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案（理科）1．A由題意可得，，則．2．D因?yàn)椋詮?fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別是4和2，故復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是．3．B因?yàn)?，，，所以?．C設(shè)參加體檢的人數(shù)是n，則，解得．5．C畫出可行域，如圖所示，且，，，表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，故．6．B不妨設(shè)P在雙曲線C的右支上，由題意可得，則．因?yàn)椋?，．因?yàn)椋裕?，則，故雙曲線C的離心率．7．B取棱靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F，取棱的中點(diǎn)H，連接，DH，，DF．易證．則是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）．設(shè)，則，從而，，，，，故，，．在中，由余弦定理可得．8．C因?yàn)?，所以，所以，則，故．9．B作出的圖象（圖略），由圖可知．10．D當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)時(shí)，，則，解得．綜上，a的取值范圍是．11．A設(shè)外接圓的半徑為r，則．設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)槿忮F體積的最大值是，所以，解得，故球O的表面積是．12．D因?yàn)?，所以．由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可畫出的大致圖象（圖略）．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，．不妨設(shè)，則，，，從而無實(shí)數(shù)根或有1個(gè)實(shí)數(shù)根或有2個(gè)實(shí)數(shù)根，有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根或有4個(gè)實(shí)數(shù)根或有5個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，，則有2個(gè)實(shí)數(shù)根，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故有3個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則有1個(gè)實(shí)數(shù)根．綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是1或3或4或5．13．由題意可得，則，解得．14．1因?yàn)閄服從正態(tài)分布，所以，，則．因?yàn)閄在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為1359，故可估計(jì)所抽取的這批配件共有1萬個(gè)．15．因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)?，所以，所以，則，即．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，則，故，即的取值范圍是．16．0；2設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組，得，則，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)橹本€OA的方程為，所以直線OA與拋物線C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，所以直線BD的斜率為0．因?yàn)镻B平分∠ABQ．所以，所以．因?yàn)椋裕?，得?7．解：（1）由題意得，．因?yàn)?，，所以，，，故．?），，故線性回歸直線方程為．（3）當(dāng)時(shí)，百萬元．18．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，即．?dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，所以，則是首項(xiàng)和公比都為3的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可得，故是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，故．19．（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以．因?yàn)?，AC，平面PAC，且，所以平面PAC．因?yàn)槠矫鍼AC，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)锳B，平面ABCD，且，所以平面ABCD．（2）解：取棱CD的中點(diǎn)F，連接AF，易證AB，AF，AP兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，故，，．因?yàn)椋?，則．設(shè)平面ACE的法向量為，則，令，得．平面PAB的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PAB與平面ACE所成的銳二面角為，則，整理得，解得或（舍去）．故存在實(shí)數(shù)，使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是．20．解：（1）由橢圓的對(duì)稱性可知，，在橢圓C上．由題意可得，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，則不妨令，．因?yàn)?，所以，，故．?dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則由，得，，．因?yàn)?，，所以．綜上，直線，的斜率之和是定值，且該定值為121．解：（1）由題意可得．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則．由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則．由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要使有兩個(gè)零點(diǎn)，需至少滿足，即．當(dāng)時(shí)，，，則在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，即符合題意．當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，則不符合題意．當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，，則在上恒成立．由（1）可知在上單調(diào)遞增或先遞減后遞增，則不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，即不