2024-2025學(xué)年河南省洛陽市高二上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省洛陽市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間四邊形中，（）A. B. C. D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，E為的重心，若，，，則（）A. B.C. D.4.設(shè)，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（）A.1 B.－1 C.－1或1 D.25.已知為平面內(nèi)一點，若平面的法向量為，則點到平面的距離為（）A.2 B. C. D.16.已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A B. C.3 D.7.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C D.8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動點，為線段上的動點，且，則線段長度的最小值為（）A.2 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.10.如圖，四邊形，都是邊長為2正方形，平面平面，，分別是線段，的中點，則（）A.B.異面直線，所成角為C.點到直線的距離為D.的面積是11.在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若點在平面內(nèi)，則 B.若，則C.當(dāng)時，三棱錐的體積為 D.當(dāng)時，長度的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，若，則____________.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，，，，若四點共面，則___________.14.如圖，在三棱錐中，點G為底面的重心，點M是線段上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱，，于點D，E，F(xiàn)，若，，，則_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知空間向量.（1）求；（2）判斷與以及與位置關(guān)系.16.已知正四面體的棱長為2，點G是的重心，點M是線段的中點.（1）用，，表示，并求出；（2）求.17.如圖，在長方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點.（1）證明：，，，四點共面；（2）若點在棱，且平面，求的長度.18.如圖，四棱柱的底面為矩形，為中點，平面平面．（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值．19.在三棱臺中，平面，，D，E分別為CA，CB的中點.（1）證明：平面；（2）已知，F(xiàn)為線段AB上的動點（包括端點）.①求三棱臺的體積；②求與平面所成角的正弦值的最大值.2024-2025學(xué)年河南省洛陽市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間四邊形中，（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減法運算即可得解.【詳解】.故選：B．2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)中點的對稱規(guī)則判斷即可.【詳解】點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為.故選：C．3.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，E為的重心，若，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】連接AE并延長交CD于點F，則F為CD的中點，利用向量的加減運算得答案【詳解】連接AE并延長交CD于點F，因為E為的重心，則F為CD的中點，且.故選：B．4.設(shè)，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（）A.1 B.－1 C.－1或1 D.2【正確答案】C【分析】借助向量夾角公式求解即可.【詳解】因為法向量，所成的角與兩平面所成的角相等或互補，所以，得t＝±1．故選：C．5.已知為平面內(nèi)一點，若平面的法向量為，則點到平面的距離為（）A.2 B. C. D.1【正確答案】B【分析】計算，直接利用點到平面的距離公式計算得到答案.【詳解】，面的法向量為，則點到平面的距離為.故選：B.6.已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【正確答案】D【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計算可得.【詳解】因為，，，所以，，則，，，所以，又因為，所以，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選：D7.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D.8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動點，為線段上的動點，且，則線段長度的最小值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因為正三棱柱中，有，所以為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為是棱上一動點，設(shè)，且，因，且，所以，于令，所以，，又函數(shù)在上增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即線段長度的最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】AB【分析】由空間中基底的概念以及共面定理逐項分析即可.【詳解】設(shè)，所以，無解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；設(shè)，則，所以，無解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；因為，所以是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；因為，所以是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤．故選：AB．10.如圖，四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點，則（）A.B.異面直線，所成角為C.點到直線的距離為D.的面積是【正確答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷A、B、C；再由，可得到的距離即為到的距離，最后由面積公式判斷D.【詳解】因為四邊形，都是邊長為2的正方形，平面平面，所以，又平面平面，平面，所以平面，由題意知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，，又，分別是線段，的中點，所以，，所以，，又，不共線，所以，故A正確；，，設(shè)異面直線，所成角為，則，又，所以，即異面直線，所成角為，故B錯誤；由，，得，所以點P到直線DF的距離為，故C正確；因為，所以到的距離即為到的距離，所以的面積，故D錯誤.故選：AC．11.在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若點在平面內(nèi)，則 B.若，則C.當(dāng)時，三棱錐的體積為 D.當(dāng)時，長度的最小值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運算可得，，進而結(jié)合即可求解判斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點，進而可得當(dāng)時，到平面的距離為，進而結(jié)合三棱錐的體積公式求解判斷C；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運算律可得，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解判斷D.【詳解】對于選項A，若點平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對于選項B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對于選項C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點，則為的中心，易得，．當(dāng)時，到平面的距離為，所以，故C錯誤；對于選項D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以長度的最小值為，故D正確．故選：ABD．關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線性運算進行轉(zhuǎn)化問題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問題進行解決.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，若，則____________.【正確答案】4【分析】根據(jù)空間向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0計算即可.【詳解】因，所以，即，解得.故413.在空間直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，，，，若四點共面，則___________.【正確答案】6【分析】先由點的坐標(biāo)求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.【詳解】由題意，得，又四點共面，則存在，使得，即，即，解得，所以.故6.14.如圖，在三棱錐中，點G為底面的重心，點M是線段上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱，，于點D，E，F(xiàn)，若，，，則_______.【正確答案】##4.5【分析】由空間向量基本定理得，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，，使，所以，所以，所以所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知空間向量.（1）求；（2）判斷與以及與的位置關(guān)系.【正確答案】（1）（2）；.【分析】（1）直接利用向量線性運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.（2）利用向量垂直和平行的判定直接判斷即可.【小問1詳解】由題知，，所以.【小問2詳解】因為，所以，所以；因為，所以，所以.16.已知正四面體的棱長為2，點G是的重心，點M是線段的中點.（1）用，，表示，并求出；（2）求.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）首先根據(jù)空間向量的線性運算得到，再求其模長即可.（2）根據(jù)展開求解即可.【小問1詳解】因為點M是線段的中點，點G是的重心，所以，因為，所以，∴.【小問2詳解】.17.如圖，在長方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點.（1）證明：，，，四點共面；（2）若點在棱，且平面，求的長度.【正確答案】（1）證明見解析（2）3【分析】（1）連接，，，先可得到四邊形為平行四邊形，進而得到，結(jié)合即可得到，進而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接，，，因為，，，分別為棱，，，的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點共面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別為棱，，，的中點，可得，，，，則，，設(shè)，即，則，由平面，故，即，解得，所以.18.如圖，四棱柱的底面為矩形，為中點，平面平面．（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得，由勾股定理的逆定理可得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點，連接，由已知可證得兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：因為底面是矩形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，連接，又底面為矩形，所以，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以．由（1）知平面，所以是平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則．設(shè)二面角的平面角為，則由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．19.在三棱臺中，平面，，D，E分別為CA，CB的中點.（1）證明：平面；（2）已知，F(xiàn)為線段AB上的動點（包括端點）.①求三棱臺的體積；②求與平面所成角的正弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析（2）①；②.【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，再由線面平行的判定定理得解；（2）①證明四邊形為菱形，從而可得出棱臺的高，再由棱臺體積公式求解；②建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法，結(jié)合二次函數(shù)最