北京市西城區(qū)2024-2025學年高二上冊10月月考數(shù)學學情檢測試卷（含答案）

北京市西城區(qū)2024-2025學年高二上學期10月月考數(shù)學學情檢測試卷一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)1．已知點，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．2．已知向量，，且，那么（

）A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐中，是的中點，若，，，則等于（

）A． B．C． D．4．已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個四棱錐的側(cè)棱長為（

）A． B． C． D．5．如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點，則和所成的角等于（

）A． B．C． D．6．已知是兩條不重合的直線，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題,其中正確的是（

）①若，，則；②若，則；③若，，，則；④若是異面直線，，則．A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④7．在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．如圖，在平行六面體中，，,,，則（

）A． B． C． D．9．如圖，在長方體中，為棱的中點，為四邊形內(nèi)（含邊界）的一個動點，且，則動點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．10．如圖，在直三棱柱中，，點在棱上，點在棱上，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．三棱錐的體積的最大值為B．點到平面的距離為C．點到直線的距離的最小值為D．的最小值為二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分.)11．已知向量，，若，則.12．已知正方體的棱長為，則點到直線的距離為.13．如圖，的二面角的棱上有，兩點，線段，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知,,,則的長為.14．在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，為的中點，則點到平面的距離為.第13題圖第14題圖15．如圖，在正方體中，點在棱上運動，則下列結(jié)論正確的是．①直線平面；②三棱錐的體積為定值；③異面直線與所成角的取值范圍是；④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.三、解答題(本大題共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.)16．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，,分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)若,平面,求證：平面.17．如圖，在直三棱柱中，，、分別為、的中點，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點為棱上的點，平面與棱交于點.(1)求證：；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大小.條件①：；條件②：平面平面；條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.19．在梯形中，，，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將△沿折起到△位置，使得（如圖2）.

(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.答案一、選擇題題號12345678910答案DACCBDADBD填空題312.13.14.215.①②④三、解答題16．（1）證明：連接，∵底面是平行四邊形，且是的中點，∴是的中點，∵E為PC的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.證明：∵平面,平面,∴AB⊥PA,∵PA⊥AD,AB∩AD=A，AB,AD面ABCD,∴PA⊥面ABCD,∵EF//PA,∴EF⊥面ABCD.（1）證明：∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，又∵，為中點，∴，∵，∴平面，∵平面，∴．（2）方法1：解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,∴,∵,∴,∵，，∴，∵，∴平面．∵∴AB⊥BC,∵，，∴平面，連結(jié)，即為直線與平面所成角．∵，∴，，.∴與平面所成角的正弦值為．方法2：解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,∴,∵,∴,∵，，∴，∵，∴平面．∵∴BC⊥AB,如圖所示，以B為原點，以BA,BC,BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系B-xyz,∵A1（2,0,2）C（0,2,0）B（0，0，0），∴（2，-2,2）（0,2,0），∵BC⊥面ABB1A1，∴為平面ABB1A1的一個法向量，設(shè)與平面所成角為θ，∴，∴與平面所成角的正弦值為．（3）解：設(shè)A1到平面BEF的距離為d，∵E（1,1,0），F(xiàn)（0,2,1），A1（2,0,2）,∴,設(shè)為平面BEF的一個法向量，∴即,令x=1,則,,因此點A1到平面BEF的距離為.（1）證明：∵底面是正方形，∴，∵平面，平面,∴平面，又∵平面與交于點，平面，平面平面∴.（2）選條件①②解：∵側(cè)面為等腰直角三角形，且∴，,∵平面平面，平面平面，平面,∴平面，∵為正方形，∴.以點為坐標原點，以所在直線分別為軸,軸,軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則∵，∴,∴BE=,∴點為的中點，∴,∴，設(shè)平面的一個法向量為：，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為：，則，，令，可得，所以，則兩平面所成的銳二面角為.選條件①③∵側(cè)面為等腰直角三角形，且∴∵，∴平面，∵平面，∴.又∵，∴平面∵平面∴∵，∴為等腰三角形，∴點為的中點又∵，∴為等腰直角三角形，下面同①②選條件②③∵側(cè)面為等腰直角三角形，且，∴∵平面平面，平面平面，平面,∴平面為正方形，∴.又∵，∴平面，∵平面∴∵，∴為等腰三角形∴點為的中點.下面同①②.（1）證明：∵在梯形中，，，，為的中點，∴，，BC=DP,∴是正三角形，四邊形為菱形，∴，，∵，又∵平面ABC,∴平面ABC,∵平面,∴平面⊥平面ABC.解：存在.