青島版（2024）數(shù)學(xué)七上第2章有理數(shù)的運(yùn)算2.1有理數(shù)的加法與減法課件

2.1有理數(shù)的加法與減法第2章有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)的加法11.有理數(shù)加法法則(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.(2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.(3)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).2.有理數(shù)加法運(yùn)算的各種情況如下表和用字母表示符號(hào)絕對(duì)值同號(hào)兩數(shù)相加取相同的符號(hào)相加若a>0，b>0，則a＋b＝＋(|a|＋|b|)若a<0，b<0，則a＋b＝－(|a|＋|b|)續(xù)表：異號(hào)兩數(shù)相加絕對(duì)值不相等取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)相減(大減小)若a>0，b<0，且|a|>|b|，則a＋b＝＋(|a|－|b|)若a<0，b>0，且|a|>|b|，則a＋b＝－(|a|－|b|)互為相反數(shù)0若a>0，b<0，且|a|＝|b|，則a＋b＝0一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)a＋0＝a3.

有理數(shù)加法法則的記憶口訣同號(hào)相加一邊倒；異號(hào)相加“大”減“小”，符號(hào)跟著“大”的跑；絕對(duì)值相等“零”正好；加數(shù)如果遇到零，和是自身要記牢.注：“大”或“小”是指兩個(gè)加數(shù)絕對(duì)值的大小.特別提醒若a＋b＝0，則a＝－b.若a＋b＝0，且a≥0，b

≥0，則a＝b＝0.特別解讀1.若兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)加數(shù)有三種可能：(1)兩個(gè)都是正數(shù)；(2)一個(gè)是正數(shù)、一個(gè)是負(fù)數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；(3)一個(gè)是正數(shù)、一個(gè)是0.2.若兩個(gè)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)加數(shù)有三種可能：(1)兩個(gè)都是負(fù)數(shù)；(2)一個(gè)是正數(shù)、一個(gè)是負(fù)數(shù)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大于正數(shù)的絕對(duì)值；(3)一個(gè)是負(fù)數(shù)、一個(gè)是0.例1

解題秘方：先確定兩個(gè)數(shù)相加的類型，然后根據(jù)法則計(jì)算.

1-1.[月考·淄博張店區(qū)]已知|a|＝3，|b|＝4，并且a>b，那么a＋b的值為(

)A.＋7 B.－7C.±1 D.－7或－1D

解：(－19)＋(－91)＝－(19＋91)＝－110.(－2.4)＋(＋2.4)＝0.列式計(jì)算：(1)求比－18大－30的數(shù)；(2)求絕對(duì)值大于2.6而小于5.3的所有負(fù)數(shù)之和.例2解題秘方：根據(jù)題意列式計(jì)算，理解題意是解題的關(guān)鍵.解：(1)(－18)＋(－30)＝－(18＋30)＝－48.(2)(－3)＋(－4)＋(－5)＝－(3＋4＋5)＝－12.

(2)從水面開(kāi)始，某潛水員先潛入水下61m，然后又上升30m，這時(shí)潛水員在什么位置？解：由題意，可將潛入水下61m記作－61m，上升30m記作＋30m，則－61＋30＝－(61－30)＝－31(m)．所以這時(shí)潛水員在水下31m處．知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)的加法運(yùn)算律21.有理數(shù)的加法運(yùn)算律運(yùn)算律文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言加法交換律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a＋b＝b＋a加法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.有理數(shù)加法運(yùn)算律的運(yùn)用技巧靈活運(yùn)用有理數(shù)的加法運(yùn)算律，能使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，通常有以下規(guī)律：①互為相反數(shù)的兩數(shù)先相加—“相反數(shù)結(jié)合法”；②符號(hào)相同的數(shù)先相加—“同號(hào)結(jié)合法”；③分母相同的數(shù)先相加—“同形結(jié)合法”；④相加能得到整數(shù)的數(shù)先相加—“湊整法”；⑤帶分?jǐn)?shù)相加時(shí)，先拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的和，再利用加法的運(yùn)算律進(jìn)行相加—“拆項(xiàng)結(jié)合法”.特別提醒1.有理數(shù)的加法運(yùn)算律不但適用于兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)相加，而且適用于三個(gè)以上有理數(shù)相加.2.利用有理數(shù)的加法交換律時(shí)，要適當(dāng)加括號(hào)，如－6.6＋2＋(－3.4)＝2＋(－6.6)＋(－3.4).3.根據(jù)需要靈活運(yùn)用加法運(yùn)算律，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

解題秘方：先找相反數(shù)，然后利用加法的交換律和結(jié)合律將相反數(shù)結(jié)合計(jì)算.例3

同分母相結(jié)合.3-1.計(jì)算：(1)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；(2)(－3)＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2；(3)143＋(－87)＋27＋(－143).解：原式＝[25.7＋(－13.7)]＋[(－7.3)＋7.3]＝12＋0＝12.原式＝(－3)＋[(－2)＋2]＋[(－1)＋1]＋0＝－3.原式＝[143＋(－143)]＋[(－87)＋27]＝0＋(－60)＝－60.計(jì)算：43＋(－77)＋37＋(－23)

.例4解題秘方：先把正數(shù)、負(fù)數(shù)分別結(jié)合，再計(jì)算.解：原式＝(43＋37)＋[(－77)＋(－23)]＝80＋(－100)＝－20.4-1.計(jì)算：(1)18＋(－17)＋7＋(－8)；(2)23＋(－17)＋6＋(－22).解：原式＝(18＋7)＋[(－17)＋(－8)]＝25＋(－25)＝0.原式＝(23＋6)＋[(－17)＋(－22)]＝29＋(－39)＝－10.

解題秘方：將同分母的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起計(jì)算.例5

例6

解：原式＝[(－3.14)＋2.14]＋[4.96＋(－7.96)]＝(－1)＋(－3)＝－4.

例7

解題秘方：從分析材料中的計(jì)算方法，先將帶分?jǐn)?shù)拆分為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，然后重新組合分組(整數(shù)一組，分?jǐn)?shù)一組)，最后分別計(jì)算求值.

公路養(yǎng)護(hù)小組開(kāi)車沿南北公路巡視維護(hù)，某天早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地，規(guī)定向北為正方向，當(dāng)天的行駛記錄如下(單位：km)：＋18，－9，＋7，－14，＋15，－6，－8.例8(1)問(wèn)B地在A地的哪個(gè)方向，距離多少千米？解題秘方：直接把原數(shù)相加，和為正，則在A地的北邊；和為負(fù)，則在A地的南邊.解：(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋15)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋15)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝(＋40)＋(－37)＝3(km).故B地在A地的北邊3km處．(2)若汽車每千米耗油aL，求該天共耗油多少升.解題秘方：把原數(shù)的絕對(duì)值相加，再乘a.解：(|＋18|＋|－9|＋|＋7|＋|－14|＋|＋15|＋|－6|＋|－8|)×a＝(18＋9＋7＋14＋15＋6＋8)×a＝77a(L).故該天共耗油77a

L．8-1.某氣象員為了掌握某一周內(nèi)天氣的變化情況，測(cè)量了這周從星期一到星期日的最低氣溫.下表是這周內(nèi)的最低氣溫的變化情況(正數(shù)表示比前一日最低氣溫上升,負(fù)數(shù)表示比前一日最低氣溫下降)：星期氣溫變化/℃一2二－1三－2四4五－2.5六1日0.5試分析這周內(nèi)最低氣溫的總體變化情況.解：2＋(－1)＋(－2)＋4＋(－2.5)＋1＋0.5＝[2＋(－2)]＋[(－1)＋1]＋4＋[(－2.5)＋0.5]＝0＋0＋4＋(－2)＝2(℃)．所以這周內(nèi)最低氣溫總體上升了2℃.知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)的減法31.有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).用字母表示：a－b＝a＋(－b)，其中a，b表示任意有理數(shù).特別提醒：有理數(shù)的減法是有理數(shù)的加法的逆運(yùn)算，進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，常將減法轉(zhuǎn)化為加法再計(jì)算，轉(zhuǎn)化過(guò)程中，應(yīng)注意“兩變一不變”.“兩變”是指運(yùn)算符號(hào)“－”號(hào)變成“＋”號(hào)，減數(shù)變成它的相反數(shù)；“一不變”是指被減數(shù)不變.特別解讀有理數(shù)的減法，需要先將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按有理數(shù)的加法法則和運(yùn)算律計(jì)算.有理數(shù)的減法在轉(zhuǎn)化為加法之前，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能改變.2.兩數(shù)相減差的符號(hào)(1)較大數(shù)－較小數(shù)＝正數(shù)，即若a>b，則a－b>0.(2)較小數(shù)－較大數(shù)＝負(fù)數(shù)，即若a<b，則a－b<0.(3)相等的兩個(gè)數(shù)的差為0，即若a＝b，則a－b＝

0.

例9解題秘方：將減法轉(zhuǎn)化為加法，然后利用加法法則計(jì)算.

被減數(shù)大于減數(shù)，差為正數(shù);被減數(shù)小于減數(shù)，差為負(fù)數(shù).交換被減數(shù)與減數(shù)的位置，差互為相反數(shù).0減去一個(gè)數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù).9-1.[中考·臨沂]計(jì)算(－7)－(－5)的結(jié)果是()A.－12 B.12C.－2 D.2C

解：(－18)－(＋12)＝－18＋(－12)＝－30.(－47)－(－84)＝(－47)＋84＝37.

下列說(shuō)法中正確的有()①減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)；②正數(shù)減負(fù)數(shù)，差為正數(shù)；③0減去一個(gè)數(shù)，仍得這個(gè)數(shù)；④兩數(shù)相減，差小于被減數(shù)；⑤兩數(shù)相減，差不一定小于被減數(shù)；⑥互為相反數(shù)的兩數(shù)相減差一定為0.A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)例10解題秘方：根據(jù)有理數(shù)減法法則逐一分析即可.解：根據(jù)有理數(shù)減法法則可知，減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)，故①正確；正數(shù)減負(fù)數(shù)等于正數(shù)加正數(shù)，因此差為正數(shù)，故②正確；0減去一個(gè)數(shù)，得這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，故③不正確；兩數(shù)相減，差不一定小于被減數(shù)，只有減數(shù)是正數(shù)時(shí)差才小于被減數(shù)，故④不正確，⑤正確；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和一定為0，但是它們的差不一定為0，故⑥不正確.所以正確的說(shuō)法是①②⑤.答案：B10-1.如果a－b<0，且a＋b<0,那么一定正確的是()A.a為正數(shù),且|b|>|a| B.a為負(fù)數(shù),且|b|<|a|C.b為負(fù)數(shù),且|b|>|a| D.b為正數(shù),且|b|<|a|B10-2.[期中·青島市北區(qū)]下列結(jié)論不正確的是()A.若a>0，b>0，則a＋b>0B.若a>0，b<0，則a－b>0C.若a<0，b>0，則a－b<0D.若a<0，b<0，且|a|<|b|，則a－b<0D知識(shí)點(diǎn)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算41.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法(1)運(yùn)用減法法則，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，轉(zhuǎn)化為加法后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式.(2)運(yùn)用加法交換律、加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.2.省略和式中的加號(hào)和括號(hào)將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算時(shí)，在和式里可以把加號(hào)及加數(shù)的括號(hào)省略不寫(xiě)，以簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以寫(xiě)成－20－3＋2－5.這個(gè)式子有兩種讀法：(1)按加法的結(jié)果來(lái)讀：負(fù)20、負(fù)3、正2、負(fù)5的和；(2)按運(yùn)算來(lái)讀：負(fù)20減3加2減5.3.

有理數(shù)加減混合運(yùn)算的一般步驟(1)將有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算；(2)省略括號(hào)及括號(hào)前面的加號(hào)；(3)按照有理數(shù)的加法運(yùn)算律和加法法則進(jìn)行運(yùn)算.方法點(diǎn)撥1.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的關(guān)鍵兩步：第1步統(tǒng)一為加法；第2步運(yùn)用加法運(yùn)算律.2.改寫(xiě)算式時(shí)，運(yùn)算符號(hào)中的加號(hào)可以省略，但必須保留性質(zhì)符號(hào).

例11解題秘方：本題首先運(yùn)用減法法則把加減混合運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，然后再寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式.解：(1)－6－(－3)＋(－2)－(＋6)－(－7)＝－6＋(＋3)＋(－2)＋(－6)＋(＋7)＝－6＋3－2－6＋7.讀法一：負(fù)6、正3、負(fù)2、負(fù)6、正7的和；讀法二：負(fù)6加3減2減6加7.

11-1.下列式子可讀作“負(fù)1、負(fù)3、正6、負(fù)8的和”的是()A.－1＋(－3)＋(＋6)－(－8)B.－1－3＋6－8C.－1－(－3)－(－6)－8D.－1－(－3)－6－(－8)B11-2.把(＋5)－(＋3)＋(－2)－(－7)寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式是()A.－5＋3－2＋7B.5－3－2－7C.5－3－2＋7D.5＋3－2－7C

例12解題秘方：結(jié)合題目的特征，巧用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.解：(1)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)＝2.7－8.5－3.4＋1.2＝(2.7＋1.2)＋(－8.5－3.4)＝3.9－11.9＝－8.同號(hào)結(jié)合法

湊整法相反數(shù)結(jié)合法

解：原式＝25.3－7.3－13.7＋7.3＝7.3－7.3＋25.3－13.7＝11.6.

12-2.列式計(jì)算，