考研數(shù)學二常微分方程

考研數(shù)學二常微分方程

1.【單項選擇題】

設(shè)P(l)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù),且以T為周期,則「P("心=0是方程

Jo

強+P(1)y=0(*)

有解y=y(x)W0且以T為儲期的

A.必要非充分條件.

B.充分非必要條件.

C.充分且必要條件.

D.既不充分也不必要條件.

正確答案：C

f1r

先求題設(shè)一階線性方程的全部解.兩邊乘J~“得

參考解析：)=。

積分得

y=c/*'c為任意常數(shù).

fl

■/.,>方程的解y(x)豐0,且以T為周期㈢)=Ce〔J”岫且C#0,

r

/IT、/、nVP"岫-[P(f)dz-i

y(i+T)一,(工)=C[e—e

=a-伊.I]

=0/加"[屋仙描一1]=0

㈡『。(力山=0.故選9).

Jo

y=cJ刖",Cr0以T為周期㈢『PSd/以T為周期㈢/P⑺力=0.

JoJo

故選(C).

2.【單項選擇題】

設(shè)丁=3(N)是y"+8'+c1y=0的解，其中b,c為正的常數(shù),則limy(z)

r?+c?二

A.與解y(x)的初值y(0),〕(0)有關(guān)，與b,c無關(guān).

B.與解y(x)的初值y(0),：'(0)及b,c均無關(guān).

C,與解y(x)的初值y(0),〕'(0)及c無關(guān)，只與b有關(guān).

D.與解y(x)的初值y(0),〕'(0)及b無關(guān)，只與c有關(guān).

正確答案：B

參考解析：

/+加'+4=0是二階線性常系數(shù)齊次微分方程,其特征方程是

X+從+c=0,特征根為幾2=(-H"^77)/2.

它們或為相異實根.或為重實根,或為共策復根,但不論哪種情形，在京為正數(shù)的條件下特征

根的實部總是負的.

注意當常數(shù)a〉0時,lime-w=0,lim.re"=0.lim『cos*—0.limearsin^r=0.

??f??■I???

因此對，'+獷+Q=0的任一解y=J(J)均有l(wèi)imy(x)=0.

/f+8

故應選(B).

3.【單項選擇題】已知丫*=不斗&2+幻h是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

y''+ay'+by=(cx+d)ex的一個解，則方程中的系數(shù)a與b以及非齊次項中的常數(shù)

c和d分別是

A.a=l,b=-2,c=6,d=2.

B.a=l,b=2,c=6,d=-2.

C.a=l,b=-2,c=-6,d=2.

D.a=l,b=-2,c=6,d=-2.

正確答案：A

參考解析：由二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)知，相應的齊次方程

x

y''+ay'+by=0有兩個線性無關(guān)的解：y^e^,y2=e,于是相應的特征根是人尸-

2,入2=1,特征方程是(入+2)(入-1)=0,即入~+入-2=0。故a=l,b=-2,y*=x2ex

是方程y''+y'-2y=(cx+d)e*的解,y*'=(x?+2x)■y*''=(x?+4x+2)e"代入得

y*''+y*'-2y*=(6x+2)e*=(cx+d)e*可推出c=6,d=2A正確。

4.【單項選擇題】已知曲線y=y(x)經(jīng)過原點，且在原點的切線平行于直線2x-

y-5=0,而y(x)滿足微分方程】“-6y'+9y=e3x,則此曲線的方程為

A.y=sin2x.

v-+sin2.r.

Bn.,2

y=+4)eir.

D.y=(x2cosx+sin2x)e'!x.

正確答案：C

參考解析：

由題設(shè)知y=丁(工)是，'-6y'+9y=e"滿足y(0)=0?/(0)=2的特解.對

應的特征方程為X-6什9=。,特征根A,=A.=3.從而對應的齊次微分方程的通解為

)'=因非齊次項/(工)=e",從而可設(shè)非齊次微分方程/-67+9j=e"具

有形式為V=Ar%"的特解.代人原方程可確定常數(shù)A=),即原方程的通解為

3/

y=(C,+C2j4-|rje

由y(0)=O.y(O)=2可確定C,=O,C,=2,故所求曲線的方程為

y=(2j+y?)eb=*(z+4)e"

應選(C).

5.【單項選擇題】設(shè)明(x),<b2(x),4>3(x)為二階非齊次線性方程

y''+a(x)y'+a?(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，則該方程的通解為().

A.A[e1(x)+62(x)]+C24>3(x)

B.Ci[<1>?(x)-4)2(x)]+C2<1>3(x)

C.G[61(x)+62(x)]+C2[1(x)-4)3(x)]

D.Ci4(i(x)+C262(x)+C363(x),其中Ci+Cz+C3=l

正確答案：D

參考解析:因為*(x),@2(x),636)為方程丫"+由&)丫'+22?)丫=￡6)的三個

線性無關(guān)解，所以6i(x)-?3(x),@2(x)-@3(x)為方程y''+a“x)y'+a2(x)y=0

的兩個線性無關(guān)解，于是方程y''+a.(x)y*+a2(x)y=f(x)的通解為的61(x)-6

3(x)]+C2[<I>2(x)-3(x)]+4)3(x),SPCi4)1(x)+C24)2(x)+C33(x),其中

Ci+C2+C3=l,D正確。

6.【單項選擇題】若y=(x+l)er是線性微分方程丫〃+2丫'+6丫飛&+12*的解，則

().

A.a=-2,b=l,c=0

B.a=-2,b=l,c=l

C.a=2,b=l,c=0

D.a=2,b=l,c=-l

正確答案：C

參考解析：畝線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)知，y=(x+l)eF應為對應的齊次線性微分

方程的解,所以c=0.將y=(x+l)er代入方程并整理,得(l-a+b)x+(b-l)=O.比

較等式兩端對應的系數(shù)，得l-a+b=0,b-l=0,解得a=2,b=l.故選(C).

7.【單項選擇題】設(shè)y'+P(x)y=O的一個特解為y=cos2x,則該方程滿足

y(0)=2的特解為().

A.2cosx

B.2cos2x

C.cos2x

D.cos2x+l

正確答案：B

將y-cos2上代入y'+P(jr)y-0.解得P(x)-2tan21.故

參考解析：、,’?(2tan2.r)v0.

解此一階線性齊次微分方程?得y=Ce7G-=Ce-6?"=Ceos2上

由y(0)=2?得C=2.故y=2cos2z,B正確.

8.【單項選擇題】微分方程y+2,-3y=e~+z的一個特解形式為

A.aex+bx+c

B.axe'x(bx+c)

C.axex+bx+c

D.aex+x(bx+c)

正確答案：A

參考解析：

y+2y'—3y=eJ+x的特解為兩個微分方程y+2y—3y=cT1與y+2y—3y=

z?e一的兩個特解之和.

特征方程為>+2r—3=0.得n=1.r;=-3,A=-1與久=0均不是特征根?故y”+

2/-3j=er有形如ae，的特解~"+2,-3y=/有形如任+c的特解,所以原方程的

特解形式為ae'+Za+c,A正確.

9.【單項選擇題】設(shè)％(x),y?(x)是y'+P(x)y=0的兩個不同特解,其中P(x)

在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，且P(x)不恒為0,則下列結(jié)論中錯誤的是().

A.yi(x)-y2(x)=常數(shù)

B.C[y,(x)-y2(x)]是方程的通解

C.yi(x)-y2(x)在任一點不為0

二行般，"；)

D.

正確答案：A

參考解析：依題意?,>1/>-\|/|It\-Pi)的第,

當P(T)不忸為0時.非零常畋不可能是y*P(x)y=0的解.故選A.

D選項正確.因為y'+P(i)y=0的通解為y=Ce卜心.所以任意兩個解相差一個禽

數(shù)因子.

C選項正確,因+=0的個不同的解不能滿足相同的初的條件.

學實上?假設(shè)存在r,使得*(r)=y；(右)?令V=y(i)—上(工).則y.(i)是諛方題

的解?且滿足初始條件*5)=0?椎據(jù)W分方程解的存在唯一性定理.知“⑺恒為*?故

Vi(x)=與已何條件不■盾.

10.【填空題】設(shè)yXG+xE+Cze-x是y〃+ay'+by=gecx的通解,則常數(shù)a,b,c,

g分別是，,,.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0,-1,1,2

【解析】

1與-1是兩個特征根，故特征方程為1=0,原方程為y''-y=ge1將非齊次方

程的一個解y=xe*代入，比較兩邊系數(shù)，可求得c=l,g=2,從而知a,b,c,g

分別為0,T,L2o

11.【填空題】

設(shè)a>0是常數(shù),連續(xù)函數(shù)/(x)滿足lim/(z)=b,y=)(外是微分方程

y+ay=f(x)

的解，則limj(x)=.

請查看答策解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

b

參考解析：a

【解析】

先求出一階線性微分方程的解，用積分因子法，方程兩邊同乘e"=e"得

(針山‘=e"/Cx)

積分得ea,=y(O)+e"/(z)ck

J0

》/(,)也

=?(0丁+三一-——

e

'/八力山

于是lim,y(x)=limy(O)ew+lim------------

Jf?'1OO1■?JI.+oOC

=0+lim"2=2

a?a

-c方程孚的通解為

12.【填空題】axx-Fjy-------

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析1=》(9+')，。為任意常數(shù).

【解析】

在方程半=—=1中，對］是一次的，以y為自變量,?！為未知函數(shù)變形得

dx工+y

dz_1+

dyy

und.r*1_3

即彳r-7=y.

這是一個線性方程.兩邊乘〃(山=e人切絲!得

.仔)7

積分得通解x=^(1/+c).

或代公式由線性方程通解公式得

x=/獨(/?edy+C)=_y(卜'dy+C)=y(?'+0)

13.【填空題】

方程-2y=(6z+2)e，滿足y(0)=3,/(0)=0的特解y,=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(〉+2)e，+e2，

【解析】

題設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的特征方程是￥+入一2=0,特征根是九=1與

么:=一2,從而對應的齊次線性微分方程有線性無關(guān)的兩個特解e，與e%,且對應于方程非齊

次項/(工)=(6i+2)e\可考慮非齊次微分方程具有形狀為/=x(Ai+B)e=(A?+

Bx)e的特解.

把y'=(Ar2+Hr)eS(j,)/=(Ar2+Rr+2Ar+B)e2與(y')”=(A/+Bz+4Ar

+2B+24)一代人方程可得

(y,-2y'=[3(2Ar+B)+2A]eJ-(6x+2)eJ

可確定常數(shù)A=1,B=0,故非齊次方程具有特解/=

按通解結(jié)構(gòu)定理,應設(shè)通解為y=Ce+Ge2其中Ci與C,是兩個任意常數(shù),利

用初值y(0)=3和y'(0)=0可得

x2ji/

>(0)=(Cie+C：e~+xe)=C)+C2=3

y(0)=[Ge'-2GeT'+(?+2i)e']=0-2C?=0

解之即得C|=2C=1,故所求特解『=(9+2)e，+e-“.

14.【填空題】

設(shè)“=〃(&+y)(r=A2+y>0)有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且滿足

:2

o.?,u-4,-（）u，——1—a—”it

2=/+y

（）JC2t）yxdx

則u(\/x:+y)=________.

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正確答案：

參考解析：

C.cos3+y2+c2sin"+/十二+y?-2(g,c?均為任意常數(shù))

【解析】

w(/r+7)是一元函數(shù)"="(r)與二元函數(shù)r=+:的復合函數(shù)，由復

合函數(shù)求導法則得

3uduOrxdu

dr3irdr

/ud2x:,dw/1x2\

萬二M必/擊F

也=理￡+業(yè)儀一4

辦2dr2rdr\rr31

_1___1_dw

xdirdr

于是原方程化為二階線性常系數(shù)微分方程

d:w,1du1du,

7~7I；-----j-+“=r

drrdrrdr

d2?,■)

TT+W=r

dr

通解為2

u=C)cosr+C2sinr+r-2

因此

M("一)/)=('icosQf+3+C?sin&+爐+/-f-/-2

15.【填空題】

微分方程需+Cr+$in必罰=0滿足初值條件y(0)=0,y'(0)=|的特解

是.

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正確答案：

參考解析：i=e'_e、_：siny

【解析】

由反函數(shù)的導數(shù)公式知，

d2x

dy_1d2j=_曠

dzdr.dz2/d.r\3,

d.y\dv/

原方程可化為i關(guān)于y的二階常系數(shù)線性方程.將上面兩式代人原方程,原方程化為曾一［=$iny.

ay

解得了關(guān)于y的通解為X=C)ey+C2ey-ysiny.(*)

當I=0時,y=0,代人式(*),得0=。+Cz.

再將式(*)兩邊對y求導，有

cLr廠v—?1

丁=—Qe——cosv?

■dvZ

當工=o時,坐=1=、代人上式，有、=q_a_3，解得q=i,c2=-1.

dydy222

dz

于是得特解J=￡.?-->-jy1

e2Sn)

16.【填空題】方程y"-3y'+2y=10e-xsinx滿足當x->+8時，y(x)-0的特解

為.

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正確答案：

參考解析：<-17ni'(*?>i).

特怔方程3r+2-0的特征極力r-l,r=2,故對應的齊次微分方W的通

解為y=C，+Ge”.

由非齊次項10?-'而上?知一1士i不型特征根?故令原方程的將修為<-e*(A?nJ-

Bcosz),將其代入原方程,可解得A=8=】?所以原方程的通解為

y*Ge'+Ge"+cr(stnx+cosjr).

當x——時-0,而e，——8,e"8.因此右C=G=?！龉仕筇匦逓?/p>

v-e'(sinx+cosx).

17.【填空題】方程(1-*2)丫'‘r丫'=0滿足丫(0)=0,丫’(0)=1的特解為—

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正確答案：

參考解析：y=arcsinx(-l<x<l).

已知方程為不顯含y的可降階方程.令y'=/>,則/=入原方程變?yōu)?/p>

zx

(1-x)p—xp-0,即p-----p=0(J-H土1),為一階線性微分方程，有p=

I-1

qefe7".即

p=Ge-W=-J.

一工，

由/>(0)=y'(0)=1,得C|=1,故y=|p(x)dx=.=arcsini+(；.

JJVl-ar2

又由y(0)=0?得C?=0,所以-y=arcsinJT(-1<x<1).

18.【填空題】.分方程、、號中（'不為"函如的通解為——■

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正確答案：

參考解析：'=、（'+21nI”一!+C）（C為任意常數(shù)）.

【解析】

原方程不是可分離變量方程，不是線性微分方程，也不是齊次微分方程，需要

變形

為$一Lr=?+1）：為一階線性微分方程,通解為

dyyy

Z=e[J.1）：.e-J/'dy+C1

=），（y+21n|y|一（+C）（C為任意常數(shù)）.

19.【填空題】*分方程八忐』的通.為——?

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正確答案：

參考解析：y2=C（x+1）-（x+1）In|x+11-1（C為任意常數(shù)）,

解

原月粵變形為2yyr-J—yl=—一.由2"’=（爐）'.令uyl?則方程變?yōu)?/p>

J—匚上“=一丁上一?為一階線性微分方程通解為

1+x1-JT

y=i4e.-0|―i：才j?ei“dj+C

11+"[-Jrn?77tL^勺

=C（J+1）—Q+l）ln/+li-】（C為任意常數(shù)）.

20.【填空題】

微分方程y1ec'y+1:'lany=x滿足1y（0）=0的特解為，

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正確答案：

tany=J八+r----一:\.

參考解析：''V」-，'

【解析】

由（lanN）'=.V'M，C[\?.令u=tan、，.則胡方程為-—-,uHi.為一階線性微

分方程?故通解為

tnny=〃=e(J/L-(Lr+C)=j，一『+—(1+/

由y(0)=0.得('=一!?故所求特解為3<1尸-%+t：——；1i

ssi/-U/

21.【填空題】微分方程y''+y=x+cosx的通解為.

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正確答案：

參考解析.y=Ge。、J-(’sin/-?I+萬八in/((1.(；為任意常數(shù)).

1解析】

特征方程為r+1=0?得r=±i,故時應齊次謾分方程的通解為

y=cosj+C：5in1?

令/+y=?r的特解為y；■?Ax?則(>:),-A.(y*)*■。?故

0+Ar=A■L

令『+y=cosi的將解為y；=JT(BCOSI+Ginr),代入方程解得B=0,C=亨,故

其特解為城=；nini.所以原方程的通解為

y—Cico#j+('；sinJT+I+J-rsinJ(C|?(：為任意常敢).

22.【填空題】微分方程y''-y=sin2x的通解為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：y-—?嗜C"為任苣常數(shù)).

【解析】

特征方程為r'1=0.r=±l.故對應齊次做分方程的通解為YC,e.

乂非下次承為

方程『一》■:加/一，?一史盧的特解分別令為

y：=A.y；=Bco*Zx+(sin2J.

將發(fā)分別代入上兩個方程?可求得八?一J，B=R,C=0,所以y；=一春和<=然

Z10L10

故原方程的通解為Y=CV+Cc'-!+WT?(G?C為任意常數(shù)).

23.【填空題】

設(shè)人力有連續(xù)導數(shù),對任意。滿足/G+G=「?”，；+】)山+/3?且/⑴

JifU)

伍?則人力=.

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正確答卷

Hi

參考解析：:J.

【解析】

將z=0代入已知等式?有f(a)=197K?山十八0).

J0/I')

上式兩邊同時對。求導，得1(a)=當井?故2/(a)/(a)=2a+2a.積分，得

j2/(a)//(a)da=|(2a+2a1)da?故［/(a)了=a：+--a'+C.

由/⑴=夜.得C=故〃］)="(>+1)(由/⑴=夜,知開方取正).

24.【解答題】

求」y"Y”=0過點內(nèi)1?0)?且在點/3與丫=/1相切的積分曲線.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：依?設(shè).有\(zhòng){1)-O.，")=L

2

方程x，-y"=0不顯含y，令1y'=/>?/=2'.代人原方程,得/“一"=。，分離變成

并積分，得］=2?+G.由y(i)=1,得G=0,故/>=半=工,積分得,y=4?彩+G.

PxdrZ

又由y(l)=0?褥G■，故所求積分曲線為yh-

25.【解答題】

設(shè)/(x)可導?對任何實數(shù)i.y清足，(i+_y)=+eV(i)?fl/(O)=。?求

Ax).

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

由已知條件“0)-0?由號數(shù)定義?有

參考解析：IJ/(1)+八I)-<，+/(I).

即，(公一八工)-e'L為一階線性微分方程,故

又由/《0》?0JSC=0.所以/(x)-xez*1.

設(shè)/(?)有二階連續(xù)導數(shù)?w-/("+y；)滿國

26.【解答題】"

求z的表達式.

請查看答案解析反對主題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：="，則

U-

由：=/(JTV7)關(guān)于人.、，具有輪換對你性.知翼?0/3)+將真代人

dyuit

V:?W/*(■)+—/(a).“:,即

a工’tt

ut(M)+J(if)MIt'?'"/")]二■'?

!,1.A1

積分得丁/+C.故t(if)?7/+二?枳分?用/(it)=—n*4,C1In■+(：?故

44at16

R(/+y)，+c/n-S+G(C.G為任意常數(shù)》.

I

27.【解答題】

設(shè)/G)滿足/Gr+y)=巴：分；.且八0)存在?求/(力及/Gr“

請查看答案解析后對本題進行旃斷：'答對了答錯了

參考解析：C知等式中?今，'?用/(:工由才敢的定義?中

f(r)-f-/(Ar)

/(AJ)」+/(1)

iimll+P(x/J，1.?lim:-TTT:~r

iXril-/G)/3)

g[1+/(工)]，”)?

印/(J>-[i+(o).d

①式變形為?，￥).、-r(o)?兩邊同時枳分,傅

i+r(i)

arctan/(J)=j(0)J4-C.

由f(0)=0"UC=0.故arctan/(x)./(O)x.Klf(x)=t?nff*(O)xl.

28.【解答題】設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

v+ay+6v=(ar+d)e“有特解yH

2e(JDJ.求讀方程的通解?并求a.，，”"的值，

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：方程的通解為y=Gyi(x)+C2y2(x)+y*(x),①

其中M(工),”(外是對應齊次微分方程的兩個線性無關(guān)的解?<(外是非齊次微分方程的

特解.

若<(工)=(Ar+8)/.則人=2不是特征根；

若<Cr)="Ar+B)e*則；1=2是單特征根.

由二知特解，=2/+(>-1)/=2/—/+//,應為9式中取定常數(shù)所得,從而

可知yi(x)=e*,yt(x)=e",y'(x)=jr'e”.

因此r=l,r=2為特征根?由根與家數(shù)的關(guān)系,知a=-(1+2)=-3.6=1X2=2?所

以原方程的通解為y=+fe〉(G，G為任意常數(shù)).

將，=工％，代人原方程.可得

ei4(4j2+8j+2)-3eJ*(2xJ+2x)4-2x2eu=(a+d)e”，

即2z+2=cz+d.得c=2.d=2.

綜上可得，a=-3.6=2.c—2,4=2.

29.【解答題】

設(shè)y(i)在［r?+，)上有一階連續(xù)號數(shù).且limb'(-r)-y(i)：-3求limy(j).

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了'

令/(1)+、(》=八］).則由一階線性微分方程的通解公式?得

rf,e7(/)df+C

公土丘734Lv(.r)=e-,rt(z)df+C.lim。lim-------------------.

參考解析：「LJ%」，…了<

當jrT時.若「ej⑺山?.則由洛必達法則.知

lim>(x)=lim?！?；匚?limf(工〉?ki

g?IM

當1一時.若l'//(，)山不已于.則必<1(二0?故

lim^(x),lime*?|+c]=0=4.

30.【解答題】

設(shè)/(x).g(x)滿足f(x)=g(x)?g(x)=[1-/(/)]dr+1,且/(0)=1.求

Jo

/=e-，[g(工)—/(x)]dr.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

由已知?有/(x)一/(”)一I一/(J)./(0)-K(0);1?故

I/*(X)+fix)=1?

參考解析：“II/111:.

研土還》程?招f(x)=C|COS-r+CfSin工+L

由/(O)=/*(0)=1?得C1=0>C：=l?故/(x)=sinjr+1?所以

rfrf

I■,IcrCx(x)—/(x)jdx.[e'*[/(/)-/(x)JcLr

-Ia。，/(X)]-e*/(x)j-2e，一1?

設(shè)》=yCr)有一階連續(xù)導數(shù),y(0)=1，且滿足

31.【解答題】y(x)+3￡y(/)d/+2xJj(,rM)du-e-=0,

求y=y(x).

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

(y(t)一山

參考解析：yJ*M)du

故原方程化為

y'(jr)+3y(，)d，+2y(，)d，+e'=0?

①式兩邊同時對i求導.用

y(x)+3y(z)+Z>(x)■e?②

且y(0)=I.y'(0)=T?特征方程為>+3r+2=0,得匕=-1?匕=-2,令特解

/Are，.代人②式可得A■1?故方程：)的通解為

y=CjC+C】e?'+?re

又由y(0)=Ih-1?得G?OtC：=1?故v?y(i),e'+“e.

32【解生題】"有二階連Ml導數(shù)?且/(/)=［/('r)d/?1.求，

請查看答基解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：已知方程兩邊同時對X求導，得f'(x)=f(『x),①

兩邊再冏時對/求導?得r(x)-q

由①式,得/《】工)=/［】-(】外］■/《X)，代人②式.用/*(x)=-/(x).

由原方程?有/(0)=1?在力式中令i=0.得/⑹=/(】).解初值向小

+/(X)=0?

1/(0)=1/(0)M/(I).

可得通斛為/(x)=Geos1?Jinx.

由f(0)=1?福(\:1?即fix,)-co*1-Gsin/,故/(x)。一?inxCeos/.

再由X(0)=f(1)?得C-/(x)=cosj+r---sinx.

1—sin11—sin1

33.【解答題】設(shè)尸y(x)是向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點(x,y)處的曲率為

,且此曲線上點(0,1)處的切線方程為y=x+l,求該曲線的方程.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：由已知，y''<0,于是曲率為

(l+y，)++y”

化筒Hy?-(l+yb.

由已知?y(0)-Ly(0)=I.令y'=p.Y"H斐,代人士方程,田丁蛆7-dr.積分,

(LrI+〃

fl?p=m1>((：-幻?由/0)=】.得c=5.故

dv?Iv

(-T<x<T).

枳分用.y=Ines(：再由y(0)=UgC；=】+；ln2?故所求曲線為

y=incos(y-x)1+l+-1-ln2.-j<x<y,

34.【解答題】(I)

設(shè)a(r)在［0,+8)上是非負連續(xù)函數(shù)，證明：當且僅當［.(，)出發(fā)散時,微

分方程*4"a(z)x=0的每一個解工(,)滿足limx(z)=Oj

(H),

設(shè)a>0J("在［0,+8)上連續(xù)有界,證明：方程與+or=/(r)(f>0)的所有

解在［0?+8)上有界.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(I)

■+°(八1=0的通解可表示為1(，)=Ce03?當口僅斗|力力山發(fā)

散時，一a(s)dsf-8(/?+8),

故有l(wèi)imx(/)=0.

(n)‘夜方程的通解為

■r，

x(/)=e*-C+eMf(s)ds(f>0),

■J0」

滿足x(0)=j-o的解為Xo(Z)=e-.r0+「e-/(s)d5Ct>0).

當［0.+)時.由Li知,設(shè)f(t)則叫目

Ifl:p\［

ij(z)WIu+|e'/(j)d?x+M|e*f'ds&x,|+—.

35.【解答題】

設(shè)曲線y=3(］)有二階連續(xù)導數(shù).『(I)〉。,其上任意一點(八》)處的曲率K=

"—(cosa>0)，其中a為該曲線在相應點處的切線的傾角?且該曲線在點(1,1)處取得

極小值，求曲線y=.y(x).

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

由曲率公式及v”(r>>0,知K-——三一一.又。為切線的慎角,所以

(1+V1)t

一，、

cosa=*—1■――1c-os。j>

參考解析：-1,??na.1-

由巳知條件?得一?L—7=---------H---y^

(14-V*>T2/.—1—Zv

vl+y

化簡得2yxy"=(l+y：)：.①

又y-y(x)在點(1.1)處取得救小值?如y")二1r'(1)?0?方程①為不顯才力的

可降階方勒?令/p.W/0?￥,代人①?得2y>?￥=(I4。)：?分離變It,得

dydy

八聯(lián)1=架機分帶y=<>+】)(1+*).

<1+/>)y

由yd)==0?得c=0,故y=/>：+1,即￥=±斤7,分離變量.耨

(Lr

-----'=dr(由>*(x)>0■知yW1)?根分得±2/1+G.由y(I)?1?得

±vy-T

C=-1.故土2v/r--T=J-1?即y=1+y(x-1);.

36.【解答題】一架質(zhì)量為4.5噸的殲擊機以600km/h的航速開始著陸，在

減速傘的作用下滑跑500m后速度減為100km/h,設(shè)減速傘的阻力與飛機的速度

成正比，忽略飛機所受的其他外力，求減速傘的阻力系數(shù).若保障飛機安全著

陸，跑道長度至少應為多少？

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析.由牛頓第二〃心,故由已知條件.有一A=”庠乂

At筆=”加表示位移八

故-A=加?a半,即du=一0業(yè),積分得

axm

k介

v=Vo--x,

m

..,/n(vo-v)

將團=4500kg?v0=600kmh?v=100km/h.?r=0,5km代人上式?得/=

4.5X10ekg/h.

由①，有?工，令。=解得工=即跑道至少應為

v=604n0tJU0,0.6km,600m.

37.【解答題】求微分方程(l-x2)y〃-xy'=0滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=1的

特解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯］

尹孝向〃獷由(1—=°得?〃+213=°，

參考解析：工—1

解得/=ge

一工2

由*'(0)=1得C]=1.從而yf—丁--二?

71-x2

于是y=arcsinjr+C2,再由y(。)=0得C2=。，故丁=arcsiTir.

38.【解答題】

y"+y=z,工

求微分方程?；-滿足條件y=0，，=0且在處可導

,"+4)=0,，j?oZ

的特

解.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

,y"+Iy=z，

先求解當工《m?時的初值問題

參考解析：\y(Q)=y'(0)=0.

易知，方程y"+y=i的通解為了=C)cosx+C2sin1+工根據(jù)條件y(0)=y(0)=0可解彳導

C=OC=-1,所以相應的特解為

x-sin午卜

此時，有A1/=1.

廠”7

進一步,￡時，欲使所求的解在Z=y處可導（因而必連續(xù)），這就歸結(jié)為求解新的初值

*14

y"+4y=0,

問題.身知，方程j"+4y=0的通解為丁=Gcos21+Gsin2工再由

=1.1

Ai-

初值條件y=——1?V1可解得。=1-=一所以相應的特解為

42JWM

1-yjcos2z-jsin2rk>j).

)'=2

因此,原方程滿足所給條件的特解為

工《亨,

M

.y=S

1