第五章 數(shù)列教學(xué)課件 (二)

第五章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

1.了解數(shù)列的概念和幾種2020全國I口卷T17⑴（求數(shù)列的通項公考情分析：以考杳S與%的關(guān)系為

簡單的表示方法（列表、圖式）主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱

象、通項公式）2018?全國I卷子式小與用的關(guān)系）點(diǎn)。在高考中以選擇、填空的形式

2.了解數(shù)列是自變量為2016?浙江高考工3（小與S”的關(guān)系）進(jìn)行考查，難度為低檔

正整數(shù)的一類函數(shù)2015?全國I卷子7（遞推、通項、求和）核心素養(yǎng)：邏輯推理

教材回扣基礎(chǔ)自測

自主學(xué)習(xí)?知識積淀

、戰(zhàn)礎(chǔ)會口梳理b?國七*-HB*■修

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照定順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

數(shù)列的通項數(shù)列｛G｝的第股項。？

通項公式如果數(shù)列｛小｝的第，1項為與序號/I之間的關(guān)系能用公式生三皿表示，

這個公式叫做數(shù)列的通項公式

前n項和

數(shù)列｛4〃｝中，Sn=ai+。2~1-------叫做數(shù)列的前n項和

?「?

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性a

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與口”的對應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)（門，a”）畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項

公把數(shù)列的速項用公式表示

公式

式

遞推

法使用初始值a\和=以d）或⑺，a和a?+a”—。等表示數(shù)列的方法

公式2

3.小與S2的關(guān)系

若數(shù)列｛a“｝的前〃項和為Sn,

|Si9n—1,

則a,尸，——

4.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列"“十\>a

項與項間的n

遞減數(shù)列"“十\<Cln其中"巨K

大小關(guān)系

常數(shù)列a”+1=Un

、小虺汆演練

一、常規(guī)題

1.數(shù)歹ijO?1Q,—1,0,1,。，一1,…的一個通項公式a”等于（)

(-1)"+1一以旅

A.2B.cos~2

〃+1〃+2

C.cos~2~71D.cos~2一五

解析令〃=1,2,3,…，逐一驗證四個選項。故選D。

答案D

a?=1"522),貝I］出等于(

2.在數(shù)列｛，“｝中，G)

￡ln-1

A.|R&

D.3

2

D.

c-t3

"守=2,《,="曰7，值=1++=3,"=1+守=半

解析a2=

a.\a?n〃4J

答案D

3.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式為

解析由d=l=5Xl—4,(72=6=5X2—4,=11=5X3—4,…，歸納a”=5題一4

答案5"-4

—、易車昔題

4.（忽視數(shù)列的函教特征）在數(shù)列一1,0,…，巧^中，0.08是它的第項。

解析依題意得普3=言，解得”=10或”=會合）.

答案10

2,

5.（忽視項教為整數(shù)的情況）數(shù)列｛.“｝中，??=-/I+ll/i（nSN）.則此數(shù)列最大項的值是:

解析a?=—n2+Ilw——一當(dāng)"于十3L因為“GN”,所以當(dāng)”=5或〃=6時，取得最大值30。

答案30

6.（忽視”=1的特殊情況）己知數(shù)列｛sj的前n項和S“="2+i,則a“=。

解析當(dāng)”=1時，ai=St=2,當(dāng)rN2時，。”=S“一S“-i=M+i—[5—I）2+1]=2〃-1,G=2不滿足上

上J2,?=1,

式.O故C/M=|,__

1273—1,〃音2,

2,n—1,

答案

271—1,42,nRN

考點(diǎn)例析對點(diǎn)微練

互動課堂?考向探究

考點(diǎn)一歸納數(shù)列的通項公式自主練習(xí)

1.數(shù)列一]，—冷，24^一言，…的一個通項公式為小=（

刀+1〃+1

A.B.

(T)“*5n—2(-'^5^2

M+1"+1

C.(一1尸D.

5+1)2—11產(chǎn)(“+1)J

3+14+1

解析敬列轉(zhuǎn)化為一尋壯p（2奇_「（5+]）2—[9…，所以該教

(3+1)2—］，(44-1)2—r

f]-I-1

列的一個通^頁公式為曰“=（一]尸/12----7。

（K-r1y、—1

答案D

2.（多選）數(shù)列12,1,2,…的通項公式可能為（）

3+（—ir3+（—ir*1

Ak?ctrxrB>Q/ir

2H+I

_3+cOSJ?7l3+sin2兀

-dn>>D.2

與工=1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，%=%'=2,故A中通項公式正確：對

解析對于A,當(dāng)〃為奇數(shù)時

于B,當(dāng)門為奇數(shù)時，m=帶」=2,當(dāng)〃為偶數(shù)時，盤”=與q=1，故B中通項公式不正確：對于C,當(dāng)門

為奇數(shù)時，④=21=1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，a”=3*?=2,故C中通項公式正確；對于D,當(dāng)〃為奇數(shù)時，an

=與1=1,當(dāng)門為偶數(shù)時，&,=8^=2,故D中通項公式正確。故選ACD。

答案ACD

3.己知數(shù)列｛d｝的前5項為坐，當(dāng)惠弓,則｛小｝的一'個通項公式為a〃=

解析因為2,6,12,20,30分別可分解為1X22X3,3X4,4X5,5X6,所以｛&“｝的第n項的分子可表示為

7。5+1）；因為3,5,3,5,3分別減4得一1,1,—1」，一1,所以數(shù)列｛a“｝的第，2項的分母可表示為（-1）"+4。

故數(shù)列｛a“｝的一個通項公式為

公~”5+1)

0藻(―ir+4

4.一[L，，3,一，4,，中，一的一個通項公式是o

解析這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所

以它的一個通項公式是a=(-1)"X/1、，N"0

ri〃(，+1)

答案—=(一1)心仆；])?門巨N"

5.5,55,555,5555,…的一個逋項公式是。

解析將原數(shù)列改寫為^X9,^X99,1x999,…，易知數(shù)列9,99,999,…的一個通項為ICT—1,故所

求的數(shù)列的一個通項公式為6t?=^(i(yj—1)?

答案由=會10”-1)

國曾

由數(shù)列前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策咯

1.常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想《聯(lián)想常見的

數(shù)列)等方法。同時也可以使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項公式

求得所給數(shù)列的通項公式。

2.具體策略：

(1)分式中分子、分母的特征。

(2)相鄰項的變化特征，如遞增時可考慮關(guān)于"的一次遞增或以2工3”等形式遞增。

(3)拆項后的特征。

(4)各項的符號特征和絕對值的特征。

(5)化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系。

(6)對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(一1尸或(一1尸七，來處理。

考點(diǎn)二由數(shù)列的缶與S”的關(guān)系求通項公式

【例1】(1)己知數(shù)列1?。那肮身椇蚐0=，產(chǎn)+2〃+15右1<),貝Ua“=。

(4,w=1,

解析當(dāng)冏N2時，a?=S—S?-i=2,n-^1;當(dāng)〃=1時，a.=5i=4^2X1+1。因此

n[2〃+1,"三2。

答案1[24,”+n1=,1,42

I7

(2)已知數(shù)列｛為｝的前n項和￡=可用+亍則｛小｝的通項公式a?=o

解析當(dāng)n=l時，a\=S\=^a\4-^,所以ai=lo當(dāng)"N2葉，an=Sn—Sn-\=^an—1,所以+^=—4,

所以數(shù)列｛?。秊槭醉棦?I,公比“=一/的等比數(shù)列，故由=(一分一、

答案[一/一‘

n

(3)已知數(shù)列｛?。凉M足+2?2+3a3+…+nan=2,則Jan=。

n

解析當(dāng)H=1時，由已知，可得⑶=2|=2。因為a14-2^2+3^3H----\-natt=2.①。故?+2^2+3/十…

2“一上

,1-1

4-(^—1｝an-1=2(71^2)②，由①一②得以m=2。一2"一|=2"一\所以出=:-。顯然當(dāng)〃=1時不滿足上式。

2,n=1,

所以a?=\2'Li

-^，心2。

2,n—1,

答案\2n~]

Hr，心2

已知S求a“的方法

(Si,n=1r一一

己知S”求為，的常用方法是利用為=｛〃Gw轉(zhuǎn)化為關(guān)于小的關(guān)系式，再求通項公式。主要分

三個步驟完成：

1.先利用G=SI，求得aio

2.用，7—1替換S”中的〃得到一個新的關(guān)系式，利用麼=s“一Sx1Ts22）便可求出當(dāng)以22,"WN”時的

通項公式。

3.對〃=1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合"22,"RN’時小的表達(dá)式，如果符合則可以把數(shù)列的通項

公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分力=1與兩段來寫。

【變式訓(xùn)練】（1）（202，貴陽適應(yīng)性考試）設(shè)￡,為數(shù)列｛由｝的前〃項和，若25”=3為一3,則小等于（）

A.27B.81

C.93D.243

解^9^艮1^居2Sj7—3,可彳導(dǎo)25?+1—3。“十］3,彳尋2z>??+1—3a”+1,即a“十i—3cin,當(dāng)n—I

時，2si=3m—3,解得。i=3,所以散列｛&｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以口=q丁=34=81。

故選Bo

答案B

（2）已知數(shù)列｛仇｝的前〃項和為S“，且滿足"i=l,a“（2S〃-1）=28522,"三N*）,則=°

解析因為當(dāng)打22時，1）=252,an=Stl—Sn-i,所以（S“一￡T>（2S〃一1）=2與，所以S”—1一S?=

2S?-iS?,即^—/—=2,故是以《=1為首項，2為公差的等基數(shù)列，所以!=1+25—1）=2”-1,所以

DwOn-II，"All

I,n==I,

S,=士。因為當(dāng)"=2時,m=S"

Sn-|?所以a?=<2

〃22。

、(2n—1)(2w—3)'

1,n=1,

答案\_________2>

.（2n-l）（2n—3）'〃一9

考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

【彳列2】（1）己知數(shù)列｛a"［中，ai=l,環(huán)+［=a”+2〃+1,則由=。

解析依題意將a“+i—t?n=2n+I,as=cii+（G—“）+（分一。2）+（日4—a3）+（汨—。4）=l+3+5+7+9=25s

答案25

n

（2）若m=1,a“+1=2an,則通項公式an=。

解析由a,,+i=2"a“，得馬-=2”-3：2),所以?！岸?處曰?-"a=2n-1-2n-2?2-1=2,+2+3+-+<"-|,=

CTn-lOn—\Cln-2a\1

Mrt-1）〃"什1）

22o又ai=l適合上式，故。」=22。

Jt（n-I）

答案22

（3）若m=l,%+尸令、，則數(shù)列｛?！埃耐椆健！?

2小11

解析因為+1=?！?2,a,=1,所以a”#0,所以“+1+2'即￡：；一￡=》又.=],則3=1,所

以［之｝是以1為首項”/為公差的等差數(shù)列。所以三=六+（〃—l）X^=^4-^o所以由=1寺j_5EN'）。

2

答案

以十1

已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法

I.當(dāng)出現(xiàn)a”=xa1+W—y為常數(shù)）時，構(gòu)造等比數(shù)列。

2.當(dāng)出現(xiàn)大研時,用累加法求解。

3.當(dāng)出現(xiàn)㈤時，用累乘法求解。

［變式訓(xùn)練］（1）在數(shù)列｛4/中，2=100,%+|=d+3"5右1<）,則通項公式a“=。

解析由a“.j=/+3”5EN.）,得%=3"5RN.）,分別令〃=1,2,3,4,…,n—\（n^2）,得到5-

/J-1

1）個等式：6—a\=3,小一42=3-g—6=3\…，an—an-1=3o將這（門一1）個等式累加得a”=H+3+3?

3rl——3"一。1|Q7I197

H--------卜3“一」=1。0+］_3，=三3”+掾5=2）。顯然m=100適合上式，故通項公式功,=京3”+年，JW.

答案點(diǎn)I3〃十19受7，xEN'

(2)(2021?西安檢測)在數(shù)列｛〃｝中，m=2,且a”+i=ai+2s+3a3-l--------\-nan,〃WK,則通項公式an=

解析對于0J+I=4i+2S2+3GH-------\-nafT,令甩為n—1,彳導(dǎo)至4。7=日1+2。2+3口3+?—F(n—I

1

兩式相減后得■到a〃+i—an=na?(n^2),即。附+1=(睦+l)a”(，N2),即=力+15丈2)(>于是公=3,~=4,-=

anG。3小

5,…，°n=n,將這5—2)個等式累乘起耒，得詈詈,詈=345—1)-/?,即^=g-?冷2:2。在已

dn—1?2?3田d-1。2N

、(2,n=\,

知中令相=1,得s=“=2,所以QzN2),。1=2不適合此式，因此0」=|「z

1〃！，"三2,且。

2,n=1,

答案

nI,/iN2,且，iWN'

考點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)微專題

微考向1：數(shù)列的周期性

【例3】己知數(shù)列｛a”｝滿足">1環(huán)=為一I,6(|=2,則6021=

解析解法一：由已知得，??+|=~~=1-7-r所以。T2=l-------=1---------^—T=--------

a”a”CTn-t-l]__!_cin-1

an

以凄攵列｛cin1的周期為3??由==2,得生=2,由==1*所以“2021=43x673+2="2=5。

=

解法二：由an+ian=an—1,得a2ala\—1,又0=2,所以。2=乞，由202=。2—1,得見=—1,由山。3

:=田—1,將'“4=2,■以數(shù)列｛4萬]的周期為3。于是，6/2021=6/3x673+2=?2=2°

答案!

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。

微考向2：數(shù)列的單調(diào)性

【例4】己知等差數(shù)列｛?,｝的前〃項和為S”，且S“7=—2,S=0,S“+I=3(E、2),則〃S〃的最小值

m

為()

A.-3B.-5

C.—6D.—9

解析由S”T=—2,S“=0,S”+i=3(mN2)，可知a”=2,G-I=3,設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,則d

,.~.n(n-5)n^(n-5)__x^(x-5)

====

1,因為Sm0?所母ct\—q"r=-2,則□“=，？-3,S〃=2*ftSn°)殳，3>0,

3in

則/(*)=襯一5x,x>0,所以力x)的極小值點(diǎn)為x=w，因為n《N*,且貝3)=-9,#4)=—8,所以(〃S“)mM

=—9o

答案D

應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性，判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個

1.利用數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷。

2.對數(shù)列的前后項作差(或作商)，利用比較法判斷。

【題組對點(diǎn)練】

1.(微考向I)數(shù)列｛““｝滿足5=—3,0”=："']:,其前〃項積為T”，則八。2|=()

十I

A.2B.I

C.1D.-3

解析由-=」+■工:,得andn+X-ha,=On+I-1,即缶+口=o又0=-3,所以。2=—。3=!，"4

Cin+1I1r1Cin/J

==

2,?5=3,所以數(shù),列｛an)是>周期數(shù)列，周期為4,且aiaR3a41?所以72gi=74x505+|=乃=卬=-3?！鰅攵

選D。

答案D

2.(微考向2)己知數(shù)列1為｝的通項公式為何=/一2^56N'),則“2vl”是“數(shù)列｛以｝為遞增數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

角辛析若數(shù)列｛。“｝為遞增數(shù)列，貝4—小>0,得2,?+]>22,對任意的N"都成立，于是2<1\>

由/Ivl可推得；1<1,反過來，由；不能得到2V1,因此“2vl”是“數(shù)列｛由｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條

件。故選A。

答案A

3.（微考向2）己知數(shù)列｛%｝的通項公式為以=寫4,若數(shù)列｛?。秊檫f減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為

解析因為。^一m=一拳?=2：工，由數(shù)列｛〃｝為遞減數(shù)列知，對任意。”+1—

3—3/1—k

a?=—2，」+|V0,所以心>3—3〃對任意nRN.恒成立，所以大三（。，+8）。

答案（0,4-oo）

4.（加強(qiáng)練）（多選）己知函數(shù)y（x）=21nx+：,數(shù)列｛呢｝的前〃項和為S“，旦滿足。1=2,外t=大?。āň轓'）,

則下列有關(guān)數(shù)列｛訪｝的敘述正確的是（）

A.a2<a\B.a^>\

C.SooVlOOD.+1v2a”

解析G=21n2Hr^=ln4+^<]n弓+；=2,A正確：因為/（x）=?一2="丁^,所以當(dāng)x>l時（JL）>0,

所以JU）單調(diào)遞增，所以#因為9=2>1,所以為+|=爪由）>1,所以外>1,B正確；因為分>1,

所以S2100,C錯誤；令人⑸=lnx+±—h'（x）=（一表='^>0,所以—（x）在（1,+f單調(diào)遞增，

所以A（x）>力（1）=0,所以111小+卜—貝421na“+看一2乂），所以（21nm十月+券>2,即如+|+，二>2,所以

a田,什|+1>2小，所以D錯誤.故選AE。

答案AB

M教師備用題

2

【例1】（配合例1使用）若數(shù)列｛為｝是正項數(shù)列，且-----b\[^r=n-hn,則皆■十號H-------F-=

22

解析當(dāng)n=1時，A/O?=1+1=2,a\=4（>當(dāng)n^2時，+-----byjan-1=Qn—1）+（M—1）,+

2

—?+-\]an-i-byfa^T=n+n,兩式相減可得/工=2耳，即a“=4/?\又6=4也符合該式，所以a“=4/產(chǎn)，則

號=4",則年十年H-------F^=4X1+4X2+?！狥4/1=2/r-F2n（nN*）<?

答案27產(chǎn)+2,?5eN"）

【例2】（配合例3使用）若0=1,對任意的〃RN"者R有"”>0,且〃a，1一（2，?一1）"1小一2鬲=0。設(shè)

"3表示整數(shù)x的個位數(shù)字，貝ljM（a202]）=o

解析由已知得5%+1+m）（外+1—2?）=0,因為a〃>O,所以a”+i—2。”=0,則°二十'=2,因為.=1,所

raCin

以數(shù)列｛d｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a“=1X2Li=2k[5￡N*）。所以。2=2,s=4,由=8,

￡25=16,416=32,￡17=64,汨=128,…，所以當(dāng)〃、2時，”（a,）依次構(gòu)成以4為周期的敬列。所以“（生舊）

=M（?5）=6,故答案為6。

答案6

【例3】（配合例4使用）己知數(shù)列｛a〃｝滿足m〃+2—（H-+-2）afT=-F2w）,其中.=1,s=2,若a“va”

+i對任意的nWN*恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是o

解析由的十2—5+2）@=〃,產(chǎn)4-2〃）=及5+2）得^^一譽(yù)=/1,所以數(shù)列楞1的奇數(shù)項與偶數(shù)項均是以2

為公差的等差數(shù)列，因為。1=1,出=2,所以當(dāng)門為奇數(shù)時，譽(yù)=]+，[”\1-]；=?21"+1，所以由=-2-

z4-Wo當(dāng)鹿為偶數(shù)時，詈=1，="22+1,所以%="2當(dāng)M為奇數(shù)時，由anVa,*+\,得“2"

/1+.Iv（”+1）2；2（"+1+德+]pp2（W—1）>—2,若"=1,則2ER,若71>1,則》—白]所以2—0。當(dāng)

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n為偶數(shù)時，由仇va”+i,得丁二2+〃<2A+，z+l,即3L4一2,所以尢>一而，即ANO。綜上，

實數(shù)4的取值范圍為10.+°°)?

答案[0,+8)

深度探究素養(yǎng)達(dá)成

課外閱讀?增分培優(yōu)

三類遞推公式求通項公式

一、形如。"+尸二：sP,“為常數(shù)，r>0,p,q,O”X0)的數(shù)列的通項公式的探求

ps，"?q

【例1】在數(shù)列｛瓦｝中，b\=~I,.+口=3匕""2"冏WN',則通項公式兒=。

【思路分析】將遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為an=Aan-^B(n^2,A.B為常數(shù))的形式，即可

輕松解題。

【解析】對遞推公式生+|=二竺)的兩邊同時取倒數(shù),得/~=3紇『即合一=2?9+3,因此/一+3

3瓦+2bn+Rbnbn+ibnEri

=2晝+3),*+3=2,故｛/+3｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是上+3=2?2”一|,可得兒=占占"，

t答案】會不，"RN”

【名師微點(diǎn)】一般地，形如％.1=空(r,p,“是常數(shù)，r>0,p,q,小壬0)結(jié)構(gòu)的遞推公式往往可

P^dn~\q

以通過等式兩邊同時取倒數(shù)變形構(gòu)造出線性遞推公式d=Ab,,T+B5"2,A,B是常數(shù))，進(jìn)而求出原數(shù)列

的通項。

【變式訓(xùn)練1]己知數(shù)列｛?！叮凉M足0=1,。,,+1=渭豆(“仁1\*)。若b=10g2質(zhì)+1).則數(shù)列降”｝的通項

公式是b?=｛)

A.品B.n—1

C.nD.2w

解析由―=心上，得」一