2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)壓軸題

-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期壓軸拔高卷一、解答題1．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師提出如下問題，如圖1，三角形和，，，求證：．①小創(chuàng)同學(xué)從“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”出發(fā)，延長交于點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明．②小新同學(xué)從“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”出發(fā)，連接，將問題轉(zhuǎn)化為證．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；也可以利用圖1用不同于上面兩位同學(xué)的方法進(jìn)行解答．【變式探究】（2）張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都是在兩條平行線間搭建“截線”，將問題轉(zhuǎn)化，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，張老師接著提出如下問題，請(qǐng)你解答．如圖4，，點(diǎn)，分別在直線和上，，點(diǎn)在上，，平分，求證：．【拓展延伸】（3）如圖5，，平分，，．若平面內(nèi)有一點(diǎn)，且，，請(qǐng)用含有的式子直接寫出的度數(shù)．2．【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接，DE，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)【類比探究】請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點(diǎn)E在上，，請(qǐng)你說明；（把下面的解答補(bǔ)充完整）解：因?yàn)樗裕?/p>

）因?yàn)椋?/p>

）又因?yàn)樗裕?/p>

）即所以由（1）知∴(3)【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)為．3、問題情境：如圖1，是一副三角尺，三角尺中，，三角尺中，∠D＝90°，．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一副三角尺展開了探究活動(dòng)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)可以用平行線的知識(shí)計(jì)算三角尺擺放過程中出現(xiàn)的一些角度，和探究一些角之間的數(shù)量關(guān)系．

已知：直線．（1）如圖2，若三角尺按如圖2擺放，當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)．智慧小組的解法如下：解：過點(diǎn)作．．

（依據(jù)1）平分又（依據(jù)2）反思交流：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：；問題拓展：（2）如圖3，若三角尺，三角尺按如圖3擺放，求的度數(shù)；問題探究：（3）如圖4，若將圖3中三角尺固定，三角尺中的點(diǎn)位置不動(dòng)，重新擺放三角尺，當(dāng)線段與三角尺的直角邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．4．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣，一個(gè)問題：如圖1：在△ABC中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．【問題初探】：第一小組經(jīng)過合作交流，得到如下解決方法：如圖2延長至E．使得，連接．利用三角形全等將線段轉(zhuǎn)移到線段，這樣就把線段，，集中到中．利用三角形三邊的關(guān)系即可得到中線的取值范圍，第二小組經(jīng)過合作交流，得到另一種解決方法：如圖3過點(diǎn)B作的平行線交的延長線于點(diǎn)F，利用三角形全等將線段轉(zhuǎn)移到，同樣就把線段，，集中到中，利用三角形三邊的關(guān)系即可得到中線的取值范圍．（1）請(qǐng)你選擇一個(gè)小組的解題思路．寫出證明過程【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件時(shí)，可考慮將中線延長一倍或者作一條邊的平行線．構(gòu)造出“平行八字型”全等三角形；這樣就把分散的已知條件和所證的結(jié)論集中到一個(gè)三角形中，順利解決問題【類比分析】（2）如圖4：在△ABC中，∠B＝90°，，是的中線，，且．求的長度．【思維拓展】（3）如圖5：在△ABC中，于點(diǎn)F在右側(cè)作，且，在的左側(cè)作，且，連接，延長交于點(diǎn)O，證明O為中點(diǎn)．5．【背景】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種，分別是平行和相交，在相交這種位置關(guān)系中，包括垂直這種特殊位置關(guān)系．【應(yīng)用】（1）如圖1，，，分別在，上，平分交于點(diǎn)，為點(diǎn)右側(cè)的直線上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．①當(dāng)，，求和的度數(shù)；②如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)度，度，請(qǐng)求出與的關(guān)系式；【拓展】（2）中歐班列是高質(zhì)量共建一帶一路的互聯(lián)互通大動(dòng)脈，中歐班列為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了，兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖，假定主道路是平行的，即．連結(jié)AB，且．燈發(fā)出的射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈發(fā)出的射線BD自BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是度秒．若它們同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)燈射線從轉(zhuǎn)至AB的過程中，與BD互相垂直時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)的值．6．【閱讀理解】我們經(jīng)常過某個(gè)點(diǎn)作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質(zhì)來解決問題．例如：如圖1，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)在直線、之間，設(shè)，，求證：．證明：如圖2，過點(diǎn)作，∴，∵，，∴，∴，∴．即．可以運(yùn)用以上結(jié)論解答下列問題：【類比應(yīng)用】(1)如圖3，已知，已知，，求的度數(shù)；(2)如圖4，已知，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上方，連接、．設(shè)、，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)如圖5，已知，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上方，連接、，的角平分線與的角平分線所在直線交于點(diǎn)，求的度數(shù)．7．【問題初探】數(shù)學(xué)課上，老師和學(xué)生做數(shù)學(xué)書39頁的做一做的內(nèi)容如圖，打臺(tái)球時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)姆较驌舸虬浊?，白球反彈后擊打紅球，紅球會(huì)直接入袋，此時(shí)，，.（1）若，則______；（2）的余角是______；（3）與的數(shù)量關(guān)系是______，依據(jù)是__________________；（4）圖中互余的角有______對(duì)，互補(bǔ)的角有______對(duì)；【類比探究】（5）如圖，在長方形的臺(tái)球桌面上，選擇適當(dāng)?shù)慕嵌却驌舭浊?，可以使白球?jīng)過兩次反彈后將黑球直接撞入袋中，此時(shí)，，并且，；如果黑球與洞口的連線和臺(tái)球桌面邊緣的夾角，那么______度才能保證黑球準(zhǔn)確入袋；【學(xué)科融合】（6）小明提出新的問題情境，在物理學(xué)中，光的反射跟臺(tái)球的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.光線反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射光線與法線的夾角（反射角）等于入射光線與法線的夾角（入射角）；如圖①，為一鏡面，為入射光線，入射點(diǎn)為點(diǎn)，為法線（過入射點(diǎn)且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時(shí)反射角等于入射角．現(xiàn)有一激光反光裝置，、是兩塊可以分別繞、兩點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的鏡面，點(diǎn)是激光發(fā)射裝置．由點(diǎn)發(fā)出的激光照射在點(diǎn)和點(diǎn)處，、是兩束反射光線．、處于同一水平高度，已知入射光線和與水平線的夾角分別是和，鏡面與立桿的夾角，則反射光線與水平面夾角______°；通過調(diào)節(jié)的角度，當(dāng)______°時(shí)，反射光線和平行．8．【動(dòng)手操作】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，范老師引導(dǎo)同學(xué)們探究畫平行線的方法，小明經(jīng)過折紙等動(dòng)手操作，探究出一種畫平行線的方法：步驟一：如圖1，在紙上畫出直線與交于點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，過點(diǎn)折疊紙片，使折痕交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上．步驟二：用量角器測(cè)量出和的度數(shù)，計(jì)算．步驟三：再以點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，就得到直線．（1）如圖1，，求證：．【問題初探】小明繼續(xù)折紙操作，探究與的數(shù)量關(guān)系：步驟四：如圖2，再次將紙折疊兩次，使與重合，與重合，折痕直線，交于點(diǎn)．（2）如圖2，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【類比探究】（3）①小明發(fā)現(xiàn)按照步驟一操作時(shí)，將“在線段上取點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上”改為“在線段的延長線上取點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上”，其他條件不變；再按照步驟二、三進(jìn)行操作，他發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)的位置發(fā)生改變，，，的數(shù)量關(guān)系也發(fā)生改變，仍能畫出直線．請(qǐng)畫出圖形，直接寫出當(dāng)，，滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線．②如圖3，在步驟四的操作中，過點(diǎn)分別折疊，使折痕分別落在和中，且交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．（用含有的代數(shù)式表示）9．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1是一副三角尺，在三角尺中，，在三角尺中，，．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一副三角尺展開了探究活動(dòng)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)可以用平行線的知識(shí)計(jì)算三角尺擺放過程中出現(xiàn)的一些角度，和探究一些角之間的數(shù)量關(guān)系．

如圖，將一副三角尺如圖擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)，求的度數(shù)．

智慧小組的解法如下：解：如圖2，過點(diǎn)作．∵，∴（依據(jù)1）．∵，∴．又，∴（依據(jù)2）．∴．∴．反思交流：(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：_________________________________________________________；依據(jù)2：_________________________________________________________；(2)如圖，將兩個(gè)三角尺如圖擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)用平行線的知識(shí)求的度數(shù)；

(3)如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線上，使，三角尺的頂點(diǎn)也在直線上，與相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，探究與的位置關(guān)系，并證明．

10．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點(diǎn)分別在上，．求的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：“∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過一點(diǎn)作平行線來解決問題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：(3)如圖，，點(diǎn)分別在上，平分若請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．11．問題情境：已知：，于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線的同側(cè)．（）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______，此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．探究證明：（）如圖，在直線上取點(diǎn)，使，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．拓展延伸：（）在直線任取一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，作于點(diǎn)，寫出在圖，圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．在中，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、O、B重合），過點(diǎn)P的直線經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接．

【問題探究】如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）線段與相等嗎？請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】（3）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)G，通過分析發(fā)現(xiàn)的大小是一個(gè)定值，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)：（4）的延長線交直線于點(diǎn)G，若，，則的面積為__________．13．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，，，是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)________可以判定________，得出________．這樣就能把線段，，集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍是________．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，使問題解決．【問題解決】（2）如圖，在△ABC中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)，求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，△ABC中，∠B＝90°，，是△ABC的中線，，，且，直接寫出的長．14．【方法回顧】在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)，我們?cè)脙煞N不同的方法，表示同一個(gè)長方形的面積，進(jìn)而得到單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，也曾經(jīng)用兩種不同的方法，表示同一個(gè)正方形的面積來驗(yàn)證和解釋乘法公式，我們將這種方法稱為“等積法”．它的基本思想是：將同一個(gè)量從兩個(gè)不同角度計(jì)算兩次，我們常用“等積法”列出等量關(guān)系、求線段長度或線段之間的數(shù)量關(guān)系．【方法應(yīng)用】（1）如圖1，正方形是由長為，寬為的4個(gè)全等小長方形拼擺而成的，我們可以利用該正方形面積的不同表示方法驗(yàn)證一個(gè)與完全平方公式相關(guān)的等量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這個(gè)等量關(guān)系；【方法遷移】（2）如圖2，長方形是由8個(gè)長為，寬為的全等的小長方形拼擺而成的，請(qǐng)你根據(jù)“等積法”計(jì)算兩次的基本思想，解答下列問題：①求a，b之間的數(shù)量關(guān)系；②若長方形的寬，求小長方形的面積．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在△ABC中，是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，求點(diǎn)到邊的距離．15．請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．【認(rèn)識(shí)“倍長”】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常采用倍長中線法添加輔助線．所謂倍長中線法，即延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，以便構(gòu)造全等三角形、從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的一種方法．如圖1，在中，是邊上的中線，延長到點(diǎn)．使．連接，易證（依據(jù)），進(jìn)一步可得到等結(jié)論．任務(wù)：（1）上述材料中的依據(jù)是_____________；（2）如圖2，在△ABC中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，求證：．【啟發(fā)拓展】如圖3，愛思考的小軒受到啟發(fā)，把和邊的中點(diǎn)和連接起來，得到線段，線段叫做三角形的中位線．下面是小軒的證明方法：延長到點(diǎn)，使，連接易證，得到，即，進(jìn)而得到，因此可知，最終得到．通過推理，小軒總結(jié)得到這樣的結(jié)論：如果點(diǎn)和點(diǎn)分別為和邊中點(diǎn)，那么是△ABC的中位線，且．“幾何語言”：和分別為和的中點(diǎn)是△ABC的中位線．【舊知新論】已知△ABC和，，，，連接和，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．請(qǐng)直接應(yīng)用【啟發(fā)拓展】中的結(jié)論，合理猜想與的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．16．【問題背景】在四邊形中，，，，分別是、上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，則可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．【探索延伸】在四邊形中如圖，，，分別是、上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里小時(shí)的速度，前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，此時(shí)兩艦艇之間的距離是______海里．若此時(shí)兩個(gè)艦艇，同時(shí)接到命令，都以海里小時(shí)的速度前進(jìn)并盡快匯合，最短需要______小時(shí)．17．某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：項(xiàng)目主題：測(cè)量某水潭的寬度．問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測(cè)量水潭的寬度？組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測(cè)量，需要借助一些工具來測(cè)量，比如自制的直角三角形硬紙板，米尺，測(cè)角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測(cè)量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算水潭的寬度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的兩種測(cè)量方案：方案方案①方案②測(cè)量示意圖圖①圖②測(cè)量說明如圖①，測(cè)量員在地面上找一點(diǎn)C，在連線的中點(diǎn)D處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出發(fā)，沿著與平行的直線向前走到點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)A、D在一條直線上，測(cè)出的長度如圖②，測(cè)量員在地面上找一點(diǎn)C，沿著向前走到點(diǎn)D處，使得，沿著向前走到點(diǎn)E處，使得，測(cè)出D、E兩點(diǎn)之間的距離測(cè)量結(jié)果，，，，請(qǐng)你選擇上述兩種方案中的一種，計(jì)算水潭的寬度．18．問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)三角形全等的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)重合兩個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生一對(duì)新的全等三角形．如圖1，中，，，點(diǎn)在邊上，連接，以為邊作△ADE，使，，請(qǐng)連接圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，直接寫出一對(duì)全等三角形和的度數(shù)．問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線．（1）證明：．（2）探索線段，，三者間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由．問題拓展：經(jīng)過上面的探究，小明聯(lián)想到幾天前一道不會(huì)的題，請(qǐng)你幫小明再想一想，是否有新的發(fā)現(xiàn)．如圖3，邊長為的等邊△ABC中，D是中點(diǎn)，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作等邊，連接，求周長的最小值（用含，的代數(shù)式表示），并直接寫出取最小值時(shí)的度數(shù)．

19．【操作發(fā)現(xiàn)，激發(fā)興趣】如圖1，把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形紙板△ABC和如圖放置，連接．我們發(fā)現(xiàn)：和的關(guān)系是______．【猜想論證，深入再探】如圖2，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．①以上發(fā)現(xiàn)是否依然成立？若成立，請(qǐng)借助圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；②在旋轉(zhuǎn)過程中，始終有______（填“”或“”或“”），請(qǐng)說明理由．【拓展探究，特殊位置】如圖3，將沿著直線水平移動(dòng)得到，點(diǎn)在平行于的直線上，所在的直線與所在的直線相交于點(diǎn)，連接、，與的延長線相交于點(diǎn).在水平移動(dòng)過程中，若，在備用圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)，補(bǔ)全圖形并證明此時(shí)．20、按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡）(1)【“兩定一動(dòng)”型（同側(cè)）】如圖，已知點(diǎn)，在直線同側(cè)，在直線上求作一點(diǎn)，使最短；(2)(3)(4)【“一定兩動(dòng)”型】如圖，內(nèi)有一點(diǎn)，分別在，邊上各取一點(diǎn)，使的周長最?。?5)【“兩定兩動(dòng)”型（異側(cè)）】如圖，，是兩個(gè)村莊，中間有一條河，現(xiàn)準(zhǔn)備在河上造一座橋，使得通過橋到兩村的距離和最短；（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）(6)(7)(8)【“兩定兩動(dòng)”型（同側(cè)）】如圖，的長度為定值，在直線上分別取點(diǎn)，，使，連接，，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)，的位置．21、探究（一）如圖①，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，到兩村莊距離相等？請(qǐng)通過尺規(guī)作圖表達(dá)你的觀點(diǎn)．

探究（二）如圖②，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，到兩村莊距離和最短？請(qǐng)借助刻度尺、直角三角板或圓規(guī)等，通過畫圖表達(dá)你的觀點(diǎn)；也可以文字?jǐn)⑹瞿愕淖龇ǎ骄浚ㄈ┤鐖D③，為了支持山莊經(jīng)濟(jì)開發(fā)，政府派出免費(fèi)車為山莊A和山莊B向山外運(yùn)農(nóng)產(chǎn)品，免費(fèi)車只能在公路l上行駛，你認(rèn)為停在哪里，最大？請(qǐng)借助刻度尺、直角三角板或圓規(guī)等，通過畫圖表達(dá)你的觀點(diǎn)；也可以文字?jǐn)⑹瞿愕淖龇ǎ?/p>

拓展應(yīng)用如圖④，△ABC中，，，，E是的中點(diǎn)，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________；22、【背景材料】對(duì)稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，比如圖1．同時(shí)，對(duì)稱在解決生活中的實(shí)際問題時(shí)，也往往有很大的作用．【問題提出】某小區(qū)要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？該問題給牛奶公司造成了困擾，現(xiàn)向居民們征求意見．【問題解決】小明同學(xué)將小區(qū)和街道抽象出的平面圖形，并用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題．如圖2，作A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線m交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．（1）請(qǐng)你在下列閱讀、應(yīng)用的過程中，完成解答并填空：證明：如圖3，在直線m上另取任一點(diǎn)D，連結(jié)，，，∵直線m是點(diǎn)A，的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，D在m上，∴，，∴．在中，∵，∴．∴，即最?。?）如圖4，在等邊中，E是上的點(diǎn)，是的平分線，P是上的點(diǎn)，若，則的最小值為．【拓展應(yīng)用】（3）“龍舟水”來勢(shì)洶洶，深圳“雨雨雨”模式開啟，深圳某學(xué)校的志愿者們?cè)诓殚喌貓D后，畫出了平面示意圖5．其中，點(diǎn)A表示龍?zhí)豆珗@，點(diǎn)B表示寶能廣場(chǎng)，點(diǎn)C表示萬科里，點(diǎn)D表示萬科廣場(chǎng)，點(diǎn)E表示龍城廣場(chǎng)地鐵站．如圖6，志愿者計(jì)劃在B寶能廣場(chǎng)和D萬科廣場(chǎng)之間擺放一批共享雨傘，使得共享雨傘的位置到B寶能廣場(chǎng)、C萬科里、D萬科廣場(chǎng)和E龍城廣場(chǎng)地鐵站的距離的和最?。酎c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，請(qǐng)你用尺子在上畫出“共享雨傘”的具體擺放位置(用點(diǎn)G表示)．1．（1）見解析

（2）見解析

（3）或【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)解題即可；（2）延長交于點(diǎn)Q，利用平行線的判定和性質(zhì)得到，然后根據(jù)角平分線的定義證明即可；（3）過點(diǎn)E作，則可根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到，即可得到，然后分兩種情況作圖計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：①如圖2，延長交于點(diǎn)，，，，，；②如圖3，連接，，，即，，即，；（2）延長交于點(diǎn)Q，，，，，，，，，，平分，，；（3）解：∵，∴，又∵平分，∴，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，∵，∴∠HEF=90°，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，∵，∴∠HEF=90°，∴；綜上所述，的度數(shù)為或．2．（1）依據(jù)1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；依據(jù)2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）；（3）【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】兩直線平行同位角相等、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、平行公理的應(yīng)用、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)與性質(zhì)判斷即可；（2）過點(diǎn)作，如圖所示，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求出，再求出，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解即可；（3）分在直線上方和下方兩種情形討論求解即可．【詳解】解：（1）依據(jù)1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；依據(jù)2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行；（2）過點(diǎn)作，如圖，

∴∵∴∴∵∴∵∴即又∴∴；（3）①在直線上方時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)如圖，

由（2）知∵∴∵，∴又∴∴∴∴又；當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，如圖，

則∵∴又∴∴；②當(dāng)在直線下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，延長，交于點(diǎn)，如圖，

∵∴∵∴∴∴∴∴∵∴；當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，如圖，

則又∵∴∴，綜上，的度數(shù)為：3．(1)，理由見解析(2)見解析(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、角平分線的有關(guān)計(jì)算、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線及（1）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1），理由如下：過點(diǎn)E作，如圖：∵，∴，∴，∴，即；（2）因?yàn)樗裕▋芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椋ㄆ浇堑亩x）又因?yàn)樗裕ǖ冉堑难a(bǔ)角相等）即所以有由（1）知：所以．（3）∵∴，∵即，∴由（1）可知，，∵平分，平分，∴，又∵，∴∴，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（1）見解析（2）16（3）見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、確定第三邊的取值范圍【分析】（1）選擇第一個(gè)小組的解題思路：延長到點(diǎn)，使，證明，得到，再根據(jù)在中，，即，求解即可；選擇第二個(gè)小組的解題思路：過點(diǎn)B作的平行線交的延長線于點(diǎn)F，先證明，得到，，則，再根據(jù)在中，，即，求解即可；（2）延長到點(diǎn)F，使，連接，先證明，得到，，再證明E、C、F三點(diǎn)共線，得到，然后證明，得到解決問題；（3）過點(diǎn)E作交延長線于M，先證明，得到，再證明，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）選擇第一個(gè)小組的解題思路：如圖2，延長到點(diǎn)，使，是的中點(diǎn)，，，，，中，，，；選擇第二個(gè)小組的解題思路：如圖3，過點(diǎn)B作的平行線交的延長線于點(diǎn)F，是的中點(diǎn)，，，，，∴，∴，，∴，在中，，，；（2）延長到點(diǎn)F，使，連接，如圖4，∵是的中點(diǎn)，，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴E、C、F三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）證明：過點(diǎn)E作交延長線于M，如圖4，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴O為中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握倍長中線，構(gòu)造出“平行八字型”全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（1）①，；②y=2x；（2）【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、垂線的定義理解【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義；（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的定義可得，求得②設(shè)，，根據(jù)角平分線的定義，以及垂直的定義，得出y=2x；（2）分三種情況討論，①當(dāng)BD，未相遇時(shí)，設(shè)射線交于點(diǎn)，射線BD交于點(diǎn)，②當(dāng)返回時(shí)，③當(dāng)BD第次從出發(fā)，與垂直時(shí)，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：（1）①，平分，，．．又平分，②平分，平分．，設(shè)，；，則，（）①當(dāng)BD，未相遇時(shí)，設(shè)射線交于點(diǎn)，射線BD交于點(diǎn)，與BD互相垂直時(shí)，解得：②如圖所示，當(dāng)返回時(shí)，解得：③當(dāng)BD第次從出發(fā)，與垂直時(shí)，如圖所示，解得：綜上所述，時(shí)，與BD互相垂直6．(1)(2)，理由見解析(3)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、平行公理推論的應(yīng)用【分析】（1）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得；（3）設(shè)，，先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)（2）的結(jié)論可得，根據(jù)材料的結(jié)論可得，然后代入計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（2）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（3）解：設(shè)，，∵平分，平分，∴，，∴，由（2）可知，，由材料的結(jié)論可知，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（1）30；（2），；（3）相等，等角的補(bǔ)角相等；（4）4，4；（5）40；（6）；【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，理解反射角等于入射角，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)及角度的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．問題初探：（1）（2）（3）（4）根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念，結(jié)合圖形解答即可；類比探究：（5）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度數(shù)；（6）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，依題意得，，，，，則，再由，得，再根據(jù)可得，進(jìn)而得，據(jù)此可得的度數(shù)；設(shè)，則，進(jìn)而得，則，然后根據(jù)得，則，由此解出即可得的度數(shù)．【詳解】解：問題初探：由題意得，，，，（1）若，則；故答案為：30；（2）的余角是：，；故答案為：，；（3）與的數(shù)量關(guān)系是相等，依據(jù)是等角的補(bǔ)角相等；故答案為：相等，等角的補(bǔ)角相等；（4）圖中互余的角有______對(duì)，互補(bǔ)的角有______對(duì).和、和、和、和互為余角，和、和、和、和互為補(bǔ)角．∴圖中互余的角有4對(duì)，互補(bǔ)的角有4對(duì)；故答案為：4，4；類比探究：（5）如圖，過點(diǎn)作，由題意可得：，，，，，，．答：等于40度時(shí)，才能保證黑球能直接入袋．故答案為：40；（6）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如圖所示：根據(jù)反射角等于入射角得：，，依題意得：，，，，，，，，，，，，，，，；設(shè)，則，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，．即．故答案為：；．8．（1）見解析；（2）猜想：，證明見解析；（3）①或；②【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、三角形的外角的定義及性質(zhì)、折疊問題【分析】（1）由三角形外角的定義及性質(zhì)結(jié)合已知推出，即可得證；（2）由折疊的性質(zhì)可得：，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形外角的定義及性質(zhì)即可得出答案；（3）①由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合鄰補(bǔ)角即可得出答案；②由平行線的性質(zhì)可得，由，結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)分別表示出與，即可得解．【詳解】（1）證明：，，，；（2）解：，證明如下：由折疊的性質(zhì)可得：，由（1）可得，，，，；（3）①關(guān)系為：或，證明如下：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：，由題意得：，，，，，；②由（1）可得，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．9．(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行(2)；(3)，理由見解析【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可．【詳解】（1）解：依據(jù)1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；依據(jù)2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行；（2）解：如圖，過點(diǎn)作．

∴．∴；（3）解：．證明：如圖，過點(diǎn)作，則．

∵，∴，．∴．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．在運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理時(shí)，一定要找準(zhǔn)同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．10．（1）過點(diǎn)作；（2）30；（3）．【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】兩直線平行同位角相等【分析】（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過點(diǎn)作，故答案為：過點(diǎn)作（2）如圖2，過點(diǎn)作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設(shè)，過點(diǎn)作，∵，即．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（1），；（2）；（3）；．【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明、同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用【分析】（）由余角性質(zhì)可得，進(jìn)而由即可證明，得到，進(jìn)而得到，，據(jù)此可得；（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，同理（）可得，得到，由等腰三角形三線合一得到，即得；（）如圖，作于點(diǎn)，作，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，可得四邊形和四邊形是長方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，進(jìn)而得到；如圖，作于點(diǎn)，同理（）得到，，即得，，進(jìn)而可得；本題考查了余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，故答案為：，；（），理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，同理（）可得，∴，∵，，∴，∴；（）如圖，作于點(diǎn)，作，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形是長方形，∴，，同理（）可得，，∴，，∴，∴，即；如圖，作于點(diǎn)，同理（）可得，，∴，，∴，即．12．（1）見解析；（2），理由見解析；（3）；（4）9或25【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于壓軸題．（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）結(jié)論：，證明，推出，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）結(jié)論．證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（4）分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：，，，，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，．（3）解：①同（1）可證，，，，，，，，，，，，，，，，即，，；②當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長交于點(diǎn)G．∵由（1）知，，∴，，∴由（2）知，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；當(dāng)P點(diǎn)在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長交于點(diǎn)G．同理可得，，則的面積為9或25．13．（1）；（2）詳見解析；（3）8【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的方法解決問題．（1）延長到點(diǎn)，使，根據(jù)定理證明，可得結(jié)論；（2）根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，得到，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明等于．（3）延長交于，證明，則，所以，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得的長．【詳解】（1）解：如圖1，延長到點(diǎn)，使，∵是的中點(diǎn)，，，，，在中，，，，故答案為：；（2）證明：如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接．∵是邊上的中線(已知)，∴，在和中，，，又，，，，，即：，．（3）解：如圖3，延長交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵是中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴．14．（1）；（2）①；②；（3）2【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積、角平分線的性質(zhì)定理、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【分析】本題主要考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，三角形面積的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合熟練掌握整式混合運(yùn)算法則．（1）根據(jù)正方形的面積公式和大正方形可以看作四個(gè)長方形和中間一個(gè)小正方形面積之和，得出等量關(guān)系即可；（2）①用兩種方法表示長方形的面積，得出等式，即可得出a，b之間的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)長方形的寬得出，結(jié)合，求出a、b的值，然后得出小長方形的面積即可；（3）設(shè)點(diǎn)到邊的距離為h，根據(jù)點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，得出點(diǎn)P到邊的距離為h，到邊的距離為h，求出，根據(jù)得出，求出h即可．【詳解】解：（1）大正方形的邊長為：，面積為；小正方形的邊長為，面積為，4個(gè)長方形的面積之和為，∴；（2）①∵長方形的面積為：，小長方形面積為，∴，即，∴，即，∵，∴，∴；②∵，∴，∴，解得：，∴，∴小長方形的面積為；（3）設(shè)點(diǎn)到邊的距離為h，∵點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P到邊的距離，到邊的距離都等于點(diǎn)到邊的距離，即點(diǎn)P到邊的距離為h，到邊的距離為h，∵在中，，∴，∵，∴，解得：，即點(diǎn)到邊的距離為2．15．（1）（2）見解析（3），證明見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問題【分析】（1）根據(jù)題意，證明即可得解；（2）延長到點(diǎn)．使．連接，證明．利用等腰三角形的判定和性質(zhì)證明即可．（3）延長到點(diǎn)．使．連接，構(gòu)造運(yùn)用三角形中位線定理，證明即可．【詳解】（1）∵是邊上的中線，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．故答案為：．（2）延長到點(diǎn)．使．連接，∵是邊上的中線，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．（3）．理由如下：延長到點(diǎn)．使．連接，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴直線是線段的垂直平分線，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用，平行線的判定和應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．初步探索：；探索延伸：結(jié)論仍然成立，理由見解析；結(jié)論運(yùn)用：，．【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題【分析】【初步探索】延長到，使連接，先證明，再證明則可得到結(jié)論；【探索延伸】延長到，使，連接，證明，再證明則可得到結(jié)論；【結(jié)論運(yùn)用】連接，延長交于點(diǎn)，利用已知條件得到四邊形中，且符合具備的條件,則；本題主要考查了四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】【初步探索】延長到，使連接，如圖，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案為：；【探索延伸】結(jié)論仍然成立：，證明：延長到，使，連接，如圖，∵，，∴，在△ABE和△ADG中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；【結(jié)論運(yùn)用】連接，延長交于點(diǎn)，如圖，∵，，∴，∵，，∴四邊形中，，且∴四邊形符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論成立，即（海里），此時(shí)兩個(gè)艦艇，同時(shí)接到命令，都以海里小時(shí)的速度前進(jìn)并盡快匯合，最短需要（小時(shí)），故答案為：；．17．見解析【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；選擇方案①：先證明，結(jié)合，，可得，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；選擇方案②：直接利用證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；【詳解】解：選擇方案①；∵，∴，∵，，∴，而，∴，∴水潭的寬度為；選擇方案②：∵，，，∴，而，∴，∴水潭的寬度為；18．問題發(fā)現(xiàn)：，；問題探究：（1）證明見解析；（2），理由見解析；問題拓展：周長的最小值為，此時(shí)．【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段問題(軸對(duì)稱綜合題)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的性質(zhì)【分析】問題發(fā)現(xiàn)：由，，得到，可證明，推出，由中，，，可得，得到，即可求解；問題探究：（1）由和是等邊三角形，得到，，，推出，即可證明；（2）由可得，推出；問題拓展：證明，得到，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，延長至點(diǎn)，使得，推出點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，以直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，得到，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，令與交于點(diǎn)，則有，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)推出，得到，可求出周長的最小值；延長交于點(diǎn)，由可求出此時(shí)的度數(shù)．【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：，，，即，在和中，，，，中，，，，，；問題探究：（1）和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2），理由如下：，，，；問題拓展：連接CF，和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，如圖3，延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，以直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，，，令與交于點(diǎn)，則有，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，，又，，；，，延長交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，又，，，綜上所述，周長的最小值為，此時(shí)．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識(shí)．19．操作發(fā)現(xiàn)，激發(fā)興趣：，；猜想論證，深入再探：①成立，理由見解析；拓展探究，特殊位置：見解析【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】操作發(fā)現(xiàn)，激發(fā)興趣：延長交于，證明，得出，，再求出，即可得證；猜想論證，深入再探：①令、交于，、交于，證明，得出，，再證明，即可得證；②作交的延長線于，交于，則，證明得出，結(jié)合，，即可得證；拓展探究，特殊位置：作的角平分線交于，證明，得出，，求出，由作圖可得：，再證明，得出，推出，即可得證．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)，激發(fā)興趣：，，如圖，延長交于，，∵、都是等腰直角三角形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；猜想論證，深入再探：①令、交于，、交于，，∵、