《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案一、教材版本、冊(cè)數(shù)、章節(jié)及類(lèi)型教材為人教B版選修22，第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，這是關(guān)于章節(jié)小結(jié)類(lèi)型的導(dǎo)學(xué)案。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)能夠準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的定義，像背自己喜歡的歌詞一樣熟練掌握導(dǎo)數(shù)的公式，例如，對(duì)于函數(shù)\(y=x^n\)，其導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=nx^{n1}\)，要能快速準(zhǔn)確地運(yùn)用。熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，就像熟練使用手機(jī)刷短視頻一樣自然。比如，知道導(dǎo)數(shù)大于零的區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減。會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，把求極值和最值當(dāng)成尋找寶藏一樣，通過(guò)導(dǎo)數(shù)這個(gè)“尋寶工具”準(zhǔn)確找到。2、過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)同學(xué)們從特殊到一般的思維能力，就像從認(rèn)識(shí)一個(gè)朋友的某個(gè)特點(diǎn)，推廣到了解他的整體性格一樣。在解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，就像在游戲中不斷升級(jí)打怪，每解決一個(gè)問(wèn)題就升一級(jí)。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)感受導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性和魅力，就像發(fā)現(xiàn)原來(lái)數(shù)學(xué)不是枯燥的數(shù)字，而是能像魔法一樣解決很多實(shí)際問(wèn)題的神奇工具。在小組合作學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神，大家一起探討導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，就像一起搭積木，每個(gè)人出一份力，就能搭出一個(gè)超級(jí)棒的作品。三、學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，這是導(dǎo)數(shù)知識(shí)大廈的基石，一定要打牢。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，這就像抓住了函數(shù)這個(gè)“小怪獸”的命門(mén)。2、難點(diǎn)對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念有點(diǎn)抽象，就像理解一種新的外星語(yǔ)言一樣，需要同學(xué)們多花點(diǎn)時(shí)間。導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，把數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)有時(shí)候就像在兩個(gè)不同的世界建立橋梁，需要大家仔細(xì)思考和練習(xí)。四、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）知識(shí)回顧1、導(dǎo)數(shù)的定義首先，我們來(lái)回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義。設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量\(x\)在\(x_0\)處取得增量\(\Deltax\)（點(diǎn)\(x_0+\Deltax\)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)f(x_0)\)；如果\(\Deltay\)與\(\Deltax\)之比當(dāng)\(\Deltax\to0\)時(shí)的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)，記作\(f^\prime(x_0)\)，即\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\)。同學(xué)們可以想一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，比如\(y=x^2\)，按照這個(gè)定義來(lái)求一下在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)，感受一下這個(gè)過(guò)程。2、導(dǎo)數(shù)的基本公式我們有一些基本的導(dǎo)數(shù)公式要牢記哦。比如，\((C)^\prime=0\)（\(C\)為常數(shù)），這就像一個(gè)靜止的物體，速度為零一樣。\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，這是一個(gè)很常用的公式，就像游戲中的常用技能。\((\sinx)^\prime=\cosx\)，\((\cosx)^\prime=\sinx\)，這就像三角函數(shù)的小秘密，要記好。\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，\((e^x)^\prime=e^x\)，這些公式在解決很多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)都會(huì)用到，一定要像記自己的生日一樣清楚。3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則如果\(u=u(x)\)，\(v=v(x)\)都可導(dǎo)，那么\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)，這就像兩個(gè)人分別做事情，他們的效率相加或相減一樣。\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，這個(gè)法則有點(diǎn)像合作完成一件事情的效率計(jì)算。\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)，這是除法形式的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，要注意分母不能為零哦。（二）典型例題1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性例1：求函數(shù)\(y=x^33x^29x+5\)的單調(diào)區(qū)間。首先，我們對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^26x9\)。然后令\(y^\prime=0\)，即\(3x^26x9=0\)，我們可以將方程左邊因式分解為\(3(x^22x3)=3(x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或者\(yùn)(x=1\)。接下來(lái)，我們把定義域分成三個(gè)區(qū)間\((\infty,1)\)，\((1,3)\)，\((3,+\infty)\)。當(dāng)\(x\in(\infty,1)\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞增。當(dāng)\(x\in(1,3)\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\in(3,+\infty)\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)\(y\)單調(diào)遞增。同學(xué)們可以自己再找一個(gè)類(lèi)似的函數(shù)，比如\(y=x^42x^2\)，按照這個(gè)步驟求一下它的單調(diào)區(qū)間。2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值例2：求函數(shù)\(y=x^33x\)的極值。先求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^23\)。令\(y^\prime=0\)，得到\(3x^23=0\)，即\(x^2=1\)，解得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)；當(dāng)\(1<x<1\)時(shí)，\(y^\prime<0\)；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)。所以\(x=1\)時(shí)，函數(shù)\(y\)取得極大值，把\(x=1\)代入原函數(shù)\(y=(1)^33\times(1)=2\)。\(x=1\)時(shí)，函數(shù)\(y\)取得極小值，把\(x=1\)代入原函數(shù)\(y=1^33\times1=2\)?，F(xiàn)在大家可以試著求一下函數(shù)\(y=x^44x^3\)的極值。3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值例3：求函數(shù)\(y=x^33x^2+6\)在區(qū)間\(1,3\)上的最值。先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^26x\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3x(x2)=0\)，解得\(x=0\)或者\(yùn)(x=2\)。然后我們把\(x=1\)，\(x=0\)，\(x=2\)，\(x=3\)分別代入原函數(shù)\(y\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=(1)^33\times(1)^2+6=2\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=6\)。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=2^33\times2^2+6=2\)。當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=3^33\times3^2+6=6\)。所以函數(shù)在區(qū)間\(1,3\)上的最大值是\(6\)，最小值是\(2\)。那同學(xué)們來(lái)求一下函數(shù)\(y=x^22x+3\)在區(qū)間\(0,4\)上的最值吧。（三）小組合作探究1、探究一：導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用問(wèn)題：已知一物體做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其位移\(s\)與時(shí)間\(t\)的關(guān)系為\(s=t^32t^2+3t\)，求物體在\(t=2\)時(shí)的瞬時(shí)速度。首先，我們要知道速度是位移的導(dǎo)數(shù)。對(duì)\(s=t^32t^2+3t\)求導(dǎo)，得到\(s^\prime=3t^24t+3\)。把\(t=2\)代入\(s^\prime\)，得到\(s^\prime(2)=3\times2^24\times2+3=128+3=7\)。所以物體在\(t=2\)時(shí)的瞬時(shí)速度是\(7\)。小組討論：大家還能想到哪些物理量是用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示的呢？比如加速度，它和位移的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？2、探究二：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用問(wèn)題：某產(chǎn)品的成本函數(shù)為\(C(x)=x^2+10x+50\)，其中\(zhòng)(x\)為產(chǎn)量，求邊際成本函數(shù)，并求當(dāng)產(chǎn)量\(x=10\)時(shí)的邊際成本。邊際成本就是成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對(duì)\(C(x)=x^2+10x+50\)求導(dǎo)，得到\(C^\prime(x)=2x+10\)。當(dāng)\(x=10\)時(shí)，\(C^\prime(10)=2\times10+10=30\)。小組討論：邊際成本在企業(yè)生產(chǎn)決策中有什么重要意義呢？如果邊際成本大于產(chǎn)品價(jià)格，企業(yè)應(yīng)該怎么做？（四）課堂小結(jié)1、請(qǐng)同學(xué)們回顧一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，我們從導(dǎo)數(shù)的定義開(kāi)始，到導(dǎo)數(shù)的基本公式、運(yùn)算法則，再到導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值中的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)在物理和經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。2、大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中有哪些收獲呢？是對(duì)某個(gè)概念有了更深刻的理解，還是在解題技巧上有了提高？3、有沒(méi)有遇到什么困難或者疑惑呢？比如在求導(dǎo)過(guò)程中容易出錯(cuò)的地方，或者在實(shí)際應(yīng)用中不知道如何建立導(dǎo)數(shù)模型的問(wèn)題。（五）課后作業(yè)1、基礎(chǔ)題求函數(shù)\(y=2x^33x^212x+5\)的導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)\(y=\sinx\cosx\)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)\(y=x^36x^2+9x\)的極值。2、提高題已知函數(shù)\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)在\(x=2\)處取得極值\(9\)，在\(x=2\)處取得極值\(15\)，求\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)的值。一工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為\(C(x)=500+2x+\frac{1}{2}x^2\)，收入函數(shù)為\(R(x)=10x\frac{1}{10}x^2\)，求利潤(rùn)函數(shù)\(L(x)\)，并求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大。3、拓展題研究函數(shù)\(y=e^xax\)的單調(diào)性與極值情況，其中\(zhòng)(a\)為常數(shù)。設(shè)函數(shù)\(f(x)=\lnx\frac{1}{2}ax^2bx\)，若\(x=1\)是函數(shù)\(f(x)\)的極大值點(diǎn)，求\(a\)，\(b\)的取值范圍。答案：1、基礎(chǔ)題答案對(duì)于函數(shù)\(y=2x^33x^212x+5\)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)和求導(dǎo)運(yùn)算法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，可得\(y^\prime=6x^26x12\)。對(duì)于函數(shù)\(y=\sinx\cosx\)，求導(dǎo)得\(y^\prime=\cosx+\sinx\)。令\(y^\prime>0\)，即\(\cosx+\sinx>0\)，\(\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})>0\)，解得\(2k\pi\frac{\pi}{4}<x<2k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\inZ)\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((2k\pi\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})(k\inZ)\)；令\(y^\prime<0\)，解得\(2k\pi+\frac{3\pi}{4}<x<2k\pi+\frac{7\pi}{4}(k\inZ)\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((2k\pi+\frac{3\pi}{4},2k\pi+\frac{7\pi}{4})(k\inZ)\)。對(duì)于函數(shù)\(y=x^36x^2+9x\)，求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^212x+9=3(x1)(x3)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)或者\(yùn)(x=3\)。當(dāng)\(x<1\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(1<x<3\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>3\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=1\)時(shí)函數(shù)取得極大值\(y=1^36\times1^2+9\times1=4\)；\(x=3\)時(shí)函數(shù)取得極小值\(y=3^36\times3^2+9\times3=0\)。2、提高題答案對(duì)函數(shù)\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3ax^2+2bx