北京市第四中學2024-2025學年九年級下學期開學測試數(shù)學試題（含答案）

北京市第四中學2024-2025學年九年級下學期開學測試數(shù)學試題學生須知1．本練習卷共8頁，共28道小題，滿分100分．練習時間120分鐘．2．在練習卷和答題卡上準確填寫班級、姓名和學號，3．答案一律填寫在答題紙上，在練習卷上作答無效．4．選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答．一、選擇題（共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.2.若，則下列比例式中正確的是（）A. B. C. D.3.若函數(shù)的圖象在每個象限內y的值隨x值的增大而增小，則m的取值范圍是（）．A. B. C. D.4.觀察下列表格，估計一元二次方程的正數(shù)解在（）0123451323A.和0之間 B.0和1之間 C.1和2之間 D.2和3之間5.如圖,過點、，圓心在等腰的內部,，，，則的半徑為（）A. B. C. D.6.教練將某射擊運動員次的射擊成績錄入電腦，計算得到這個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是．后來教練核查時發(fā)現(xiàn)其中有個數(shù)據(jù)錄入有誤，一個錯錄為環(huán)，實際成績應是環(huán)；另一個錯錄為環(huán)，實際成績應是環(huán)．教練將錯錄的個數(shù)據(jù)進行了更正，更正后實際成績的平均數(shù)是，方差是，則（）A.， B.，C.， D.，7.如圖，拋物線與x軸交于點，其中，下列四個結論：①；②；③；④不等式的解集為．其中正確結論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.48.點M為等邊三角形內的一點，于點，于點，于點，記的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，的內切圓半徑為．給出下面三個結論：①②③上述結論中，一定正確的序號是（）A.① B.①② C.①③ D.①②③二、填空題（共16分，每小題2分）9.分解因式：__________．10.已知二次函數(shù)的圖象上兩點，若，則_________．11.已知，均為銳角，且，則___．12.若關于x的方程的解是，，則關于y的方程的解是___________．13.在平面直角坐標系xOy中，直線與雙曲線交于點和點B，則點B的坐標為__________．14.某校學生會在同學中招募志愿者作為校慶活動講解員，并設置了“即興演講”“朗誦短文”“電影片段配音”三個測試項目，報名的同學通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一項進行測試．甲、乙兩位同學報名參加測試，恰好都抽到“即興演講”項目的概率是______．15.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1，A、B、C、D均落在格點上．（1）______；（2）點P為BD的中點，過點P作直線，過點B作于點M，過點C作于點N，則矩形BCNM的面積為______．16.圖1是放在水平桌面上的高腳杯的截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計），點C是該拋物線的頂點，是的中點．當高腳杯中裝滿紅酒時，液面，此時最大深度（液面到最低點的距離）為．現(xiàn)將高腳杯繞點F緩緩傾斜倒出部分紅酒，當傾斜角時停止，此時液面為，如圖2所示，則此時酒杯內紅酒的最大深度是___________．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）17.計算：．18.解方程：．19.已知正數(shù)a，b，c，滿足．（1）________；（2）如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長分別為，求這三張正方形紙片的面積之和．20.已知：如圖，中，，，點D是邊上的一個動點（不與B、C點重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．21.已知拋物線．（1）直接寫出該拋物線與x軸的交點坐標為___________；（2）畫出它的圖象；（3）若在拋物線上，且，直接寫出n的取值范圍是___________．22.如圖，在四邊形中，于點F，交于點E，連結，若平分．（1）求證：；（2）若，求的長．23.在四張完全相同的卡片正面寫上數(shù)字1、2、3、4，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將抽得卡片上的數(shù)字記為；不透明的袋子中裝有標號為1、2、3的三個小球，這些球除標號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號記為b．（1）先抽取一張卡片，再摸一個球，求的概率：（2）若規(guī)定：當時，甲獲勝；否則，乙獲勝．這樣的規(guī)則公平嗎？請說明理由．如果不公平，能否只將袋子中一個球的標號調整為另一個整數(shù)，使得規(guī)則公平？寫出一個調整方案．24.如圖，是的直徑，M是的中點，弦于點M，過點D作交的延長線于點E．（1）連接，求的度數(shù)；（2）求證：與相切；（3）點F在弧上，，交于點N．若，求的長．25.某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．下面是小紅的探究過程，請補充完整：（1）經過測量，得出了d和h的幾組對應值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，________是自變量，________是這個變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標系中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為_______米；②公園欲開設游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為_______米．（精確到0.1米）26.已知拋物線過點，頂點在拋物線上．（1）當n取最小值時，___________；（2）用含m的式子表示a；（3）已知點在拋物線上，且，求m的取值范圍．27.在中，，，繞點C順時針旋轉角度（）得到DC．（1）如圖1，若，連接交于點E，若，求的長；（2）如圖2，若，平分交于點F，連接，過點C作，在射線上取點G使得，連接，請用等式表示線段、、之間的數(shù)量關系并證明；（3）如圖3，若，點P是線段上一動點，將繞點P逆時針旋轉得到，連接，M為的中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．28.在平面直角坐標系中，已知點．對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度得到點，點繞點逆時針旋轉得到點，稱點為點關于點的“平移旋轉點”．已知點．備用圖（1）若點，點為點關于點“1平移旋轉點”，則點的坐標為___________；（2）若點，點為點關于點的“平移旋轉點”，求點的坐標；（3）若的半徑為，是上一點，點為點關于點的“平移旋轉點”，直接寫出長的最大值與最小值．參考答案1-8.【答案】A【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】B【答案】C【答案】D9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】，13.【答案】14.【答案】15.【答案】①.②.7.516.【答案】17.【答案】18.【答案】，19.【答案】（1）2（2）720.【小問1詳解】證明：∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，由（1）知為等腰直角三角形，∴，，設，則，由（1）知，∴，∴，解得：，∴．21.【小問1詳解】解：當時，，解得，，，可得，拋物線與x軸交點為，；【小問2詳解】解：當時，，拋物線與y軸交點為，由（1）可知，拋物線與x軸交點為，；對稱軸為直線，當時，，∴頂點為，順次連接各點即可得到拋物線圖象．【小問3詳解】解：由（2）可知，拋物線對稱軸為直線，當時，，解得，，由圖可知時，．故答案為：．22.【小問1詳解】證明：∵平分，，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：由（1）可知：，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．23.【答案】（1）（2）不公平，理由見解析；將標有數(shù)字1的小球改成4，理由見解析24.【小問1詳解】解：如圖，連接，，是的直徑，，垂直平分，是中點，，，，又，是等邊三角形，．故答案為：60；【小問2詳解】證明：，是的直徑，，是的中點，，又，，，，，，∵是半徑，與相切．【小問3詳解】解：如圖，連接，，于，是中點，，，，，，由（1）可知，，在中，，，，，在中，，，，，由（1）知，，在中，，，，．25.【小問1詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；故答案為：d，h；【小問2詳解】解：描點，連線，畫出圖象如圖：；【小問3詳解】解：①觀察圖象，橋墩露出水面的高度AE為0.88米；故答案為：0.88；②設根據(jù)圖象設二次函數(shù)的解析式為h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．26.【小問1詳解】解：∵頂點在拋物線上，∴，∴當n取最小值時，，，∴頂點坐標為，∴，，將點代入得，，故答案為：2；【小問2詳解】解：∵拋物線的頂點，∴拋物線解析式為，將點代入得，，當時，過頂點，但此時又過點，矛盾，∴∴；【小問3詳解】解：∵點在拋物線上，∴，，，∵，∴，整理得，∴，整理得a2m+3>0當a=2?m2m?12>0時，，由a2m+3>0當時，或，且，由a2m+3>0am<0可得2m+3<0m>0，不等式組無解；綜上所述，．27.【小問1詳解】解：由旋轉可得，，，，，，，在中，，，，；【小問2詳解】解：；證明：連接，與交于點，如圖2，由旋轉可得，，，，平分，，∴，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，、、三點共線，且是等腰直角三角形，，，整理得；【小問3詳解】解：如圖3，過作交于，交于，過作交于，延長交于，延長至，使，過作交于，將繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，，，，設，，，，，，，四邊形是矩形，點在上，，，四邊形是正方形，，，，，，，，為的中點，為的中點，與重合，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，當、、三點共線時取得最小值，此時，，，，，，．28.【小問1詳解】解：如圖，∵點，點為點關于點“1平移旋轉點”，∴點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到點，∵點繞點M順時針旋轉得到點Q，∴點的坐標為，故答案為：；【小問2詳解】解：設點M的坐標為，，∵點為點關于點的“平移旋轉點”，則由（1）可得，如圖所示，過點作水平