2023屆新高考物理重點突破：第08講-圓周運動

第08講圓周運動知識圖譜圓周運動的運動學問題知識精講圓周運動各物理量之間的關系二．共軸轉動如圖所示，A、B兩點在一個圓盤上，繞同一個軸O轉動時,它們屬于共軸轉動。特點：繞同一轉動軸轉動的各點角速度相等。根據(jù)圓周運動公式可知：在一定的時，與成正比。由此可知上圖中：三．皮帶傳動如圖所示，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣上的點，兩個輪子用皮帶連起來，并且皮帶不打滑。其中，提供動力的為主動輪，不提供動力的為從動輪。1.特點（1）和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等。（2）根據(jù)圓周運動公式可知：在一定的時，與成反比。由此可知上圖中：2.常見模型四．齒輪傳動如圖所示，齒輪傳動是指主動輪與從動輪的輪齒直接嚙合得轉動裝置。1.特點（1）兩個齒輪的輪齒嚙合點的線速度大小相等，但它們的轉動方向恰好相反。（2）根據(jù)圓周運動公式可知：在一定的時，與成反比。2.常見模型三點剖析課程目標理解圓周運動各物理量之間的關系；熟悉幾種常見的傳動方式中物理量之間的關聯(lián)。常見傳動方式的線速度、角速度及周期關系例題1、如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪B和C同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣的質點，且其半徑RA=RC=2RB，則三質點的向心加速度之比aA：aB：aC等于（）A.4：2：1B.2：1：2C.1：2：4D.4：1：4例題2、如圖所示，甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑，其半徑分別為r1、r2、r3．若甲輪的角速度為ω1，則丙輪的角速度為（）A.B.C.D.例題3、水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖所示（俯視圖），三圓輪的半徑之比為RA︰RB︰RC＝3︰2︰1，當主動輪C勻速轉動時，在三輪的邊緣上分別放置一小物塊P（可視為質點），P均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設小物塊P所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊P與輪A、B、C接觸面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB，μC，A、B、C三輪轉動的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則（）A.μA︰μB︰μC＝2︰3︰6B.μA︰μB︰μC＝6︰3︰2C.ωA︰ωB︰ωC＝1︰2︰3D.ωA︰ωB︰ωC＝6︰3︰2例題4、某新型自行車，采用如圖1所示的無鏈傳動系統(tǒng)，利用圓錐齒輪90°軸交，將動力傳至后軸，驅動后輪轉動，杜絕了傳統(tǒng)自行車“掉鏈子”問題。如圖2所示是圓錐齒輪90°軸交示意圖，其中A是圓錐齒輪轉軸上的點，B、C分別是兩個圓錐齒輪邊緣上的點，兩個圓錐齒輪中心軸到A、B、C三點的距離分別記為rA、rB和rC（rA≠rB≠rC）。下列有關物理量大小關系正確的是（）A.B點與C點的角速度：ωB＝ωCB.C點與A點的線速度：C.B點與A點的線速度：D.A點和C點的線速度：例題5、如圖所示，一個不透明的小球以角速度沿順時針方向勻速圓周運動，圓的直徑MN與光屏PQ垂直，延長線交PQ于O點。以O點為坐標原點，以QP方向為正方向建立x軸。O時刻小球運動到M點，平行光束沿垂直于PQ的方向照到光屏上，在O點顯示出小球的影。試求任意時刻t影的坐標x。隨練1、如圖所示，一個球繞中心軸線OO′以角速度ω轉動，則（）A.若θ=30°，則vA：vB=1：2 B.若θ=30°，則vA：vB=2：1C.A、B兩點的角速度相等 D.A、B兩點的線速度相等隨練2、如圖所示是自行車傳動結構的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的牙盤（大齒輪），Ⅱ是半徑為r2的飛輪（小齒輪），Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設腳踏板的轉速為n（r／s），則自行車前進的速度為（）A.B.C.D.圓周運動學公式的應用例題1、如圖所示，一根長為L的輕桿OA，O端用鉸鏈喧固定，輕桿靠在一個高為h的物塊上，某時桿與水平方向的夾角為θ，物塊向右運動的速度v，則此時A點速度為（）A.B.C.D.例題2、一個有一定厚度的圓盤，可以繞通過中心垂直于盤面的水平軸轉動，圓盤加速轉動時，角速度的增加量△ω與對應時間△t的比值定義為角加速度β．我們用電磁打點計時器、米尺、游標卡尺、紙帶、復寫紙來完成下述實驗：（打點計時器所接交流電的頻率為50Hz，A、B、C、D…為計數(shù)點，相鄰兩計數(shù)點間有四個點未畫出）①如圖甲所示，將打點計時器固定在桌面上，將紙帶的一端穿過打點計時器的限位孔，然后固定在圓盤的側面，當圓盤轉動時，紙帶可以卷在圓盤側面上；②接通電源，打點計時器開始打點，啟動控制裝置使圓盤勻加速轉動；③經(jīng)過一段時間，圓盤停止轉動和打點，取下紙帶，進行測量．（1）如圖乙所示，圓盤的直徑d為________cm；（2）由圖丙可知，打下計數(shù)點D時，圓盤轉動的角速度為________rad／s．（3）角加速度是角速度變化的快慢，則圓盤轉動的角加速度β大小為________rad／s2．例題3、一水平放置的圓盤繞豎直軸轉動，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為的均勻狹縫．將激光器與傳感器上下對準，使二者間連線與轉軸平行，分別置于；圓盤的上下兩側，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動，激光器接收到一個激光信號，并將其輸入計算機，經(jīng)處理后畫出相應圖線．圖（）為該裝置示意圖，圖（）為所接收的光信號隨時間變化的圖線，橫坐標表示時間，縱坐標表示接收到的激光信號強度，圖中，（1）利用圖（）中的數(shù)據(jù)求時圓盤轉動的角速度；（2）說明激光器和傳感器沿半徑移動的方向；（3）求圖（）中第三個激光信號的寬度．例題4、如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現(xiàn)有一個旅行包（視為質點）以速度v0=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.6．皮帶輪與皮帶之間始終不打滑，g取10m/s2．討論下列問題：（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B點時，人若沒有及時取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點距B端的水平距離為多少？（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，若皮帶輪的角速度ω1=40rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又為多少？（3）設皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉動，畫出旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．（第（3）問要求作圖準確，標出相應的坐標數(shù)值，但不要求寫出計算步驟）隨練1、轉筆是一項以手指來轉動筆的休閑活動，深受廣大中學生的喜愛，其中也包含了許多的物理知識，如圖所示，假設某轉筆高手能讓筆繞其手上的某一點O做勻速圓周運動，下列有關該同學轉筆中涉及到的物理知識的敘述正確的是（）A.筆桿上的點離O點越近的，線速度越小B.筆桿上的點離O點越近的，角速度越小C.筆桿上的點離O點越近的，周期越小D.筆桿上的點離O點越近的，向心加速度越小隨練2、繩索套馬原是蒙古牧民的生產方式，近些年來逐漸演化為體育活動。套馬過程可簡化為如圖所示的物理模型，套馬者騎在馬背上以速度v追趕提前釋放的烈馬，同時揮動套馬圈使套馬圈圍繞套馬者在水平面內做角速度為ω，半徑為r的勻速圓周運動，追逐一段時間后套馬者和烈馬的距離s保持不變，待套馬圓周運動烈馬正后方時，套馬者松開套馬圈，最終成功套住烈馬，已知運動過程中，套馬者和烈馬進行路線平行，松手后套馬圈在空中的運動可以看成平拋運動，重力加速度為g，下列說法正確的是（）A.套馬圈平拋運動的時間為B.套馬圈平拋運動的時間為C.套馬圈平拋運動的初速度為v＋rωD.套馬圈平拋運動的初速度為圓周運動的動力學分析知識精講一．向心加速度的推導1．用矢量圖表示速度變化量（1）曲線運動速度的變化和不在同一直線上時，仍可以代表兩矢量的箭頭端作出。例如：平拋運動中，以平拋，經(jīng)時間t（物體未落地），則矢量關系如圖所示。做圓周運動物體的速度變化量，如圖所示。AABo2．勻速圓周運動的加速度的推導如圖所示，質點沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動，線速度的大小為v，設經(jīng)時間，質點由A點沿圓周運動到B點，線速度的變化量的大小為，由速度矢量三角形與相似可求得：?v/v=l/r（指弦長）當很小時，AB弦長與AB弧長近似相等，由線速度的定義式得，從而得，又因，故。AABO方向：在時間內，設質點由A點運動到B點轉過的圓心角為，由速度矢量三角形可知，當時，，速度的變化量的方向與線速度v的方向垂直，即加速度a的方向與線速度v的方向垂直且指向圓心。3．非勻速圓周運動的加速度非勻速圓周運動物體的加速度并不指向圓心，而是與半徑有一個夾角，我們可以把加速度a分解為沿半徑方向的和沿切線方向的，如圖所示，則描述速度方向改變的快慢，描述速度大小改變的快慢，其中就是向心加速度，仍滿足。二．勻速圓周運動的向心加速度和向心力1．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量，方向時刻指向圓心。單位：2．向心力：作用效果是產生向心加速度，只改變線速度方向，不改變線速度大小，方向時刻指向向圓心。單位：N線速度、角速度、周期之間的關系： 3．向心力的確定 （1）向心力的來源：向心力是幾個力的合力，或者某個力的分力。 （2）確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置； （3）分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。三．常見圓周運動的向心力來源圖示 四．兩類圓周運動的具體分析1．拱橋與凹橋模型（1）凹橋最低點：，汽車處于超重狀態(tài)。（2）拱橋最高的：，汽車處于失重狀態(tài)。若，則，汽車將脫離橋面做平拋運動。2．火車轉彎問題若，車輪與內外軌道均無擠壓，即。（1）當火車轉彎時，車輪對外側軌道有擠壓。（2）當火車轉彎時，車輪對內側軌道有擠壓。五．近心運動和離心運動當時，物體做勻速圓周運動；當時，物體沿切線飛出；當時，物體做離心運動；當時，物體做近心運動。三點剖析課程目標1．理解圓周運動的基本動力學規(guī)律 2．學會分析常見圓周運動的受力與運動常見模型的動力學分析例題1、兩根長度不同的細線下面分別懸掛兩個小球，細線上端固定在同一點，若兩個小球以相同的角速度，繞共同的豎直軸在水平面內做勻速圓周運動，則兩個擺球在運動過程中，相對位置關系示意圖正確的是（）A.B.C.D.例題2、某校學生驗證向心力公式的實驗中，設計了如下實驗：第1步：先用粉筆在地上畫一個直徑為2L的圓；第2步：通過力傳感器，用繩子綁住質量為m的小球，人站在圓內，手拽住繩子離小球距離為L的位置，用力甩繩子，使繩子離小球近似水平，帶動小球做勻速圓周運動，調整位置，讓轉動小球的手肘的延長線剛好通過地上的圓心，量出手拽住處距離地面的高度為h，記下力傳感器的讀數(shù)為F；第3步：轉到某位置時，突然放手，讓小球自由拋出去；第4步：另一個同學記下小球的落地點C，將通過拋出點A垂直于地面的豎直線在地面上的垂足B與落地點C連一條直線，這條直線近似記錄了小球做圓周運動時在地面上的投影圓的運動方向，量出BC間距離為S；第5步：保持小球做圓周運動半徑不變，改變小球做圓周運動的速度，重復上述操作。試回答：（用題中的m、L、h、S和重力加速度g表示）（1）放手后，小球在空中運動的時間t＝________。（2）在誤差范圍內，有F＝________。（3）小球落地時的速度大小為v＝________。例題3、如圖所示，某同學用硬塑料管和一個質量為m的鐵質螺絲帽研究勻速圓周運動，將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平方向做半徑為r的勻速圓周運動，則只要運動角速度合適，螺絲帽恰好不下滑，假設螺絲帽與塑料管間的動摩擦因數(shù)為μ，認為最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．則在該同學手轉塑料管使螺絲帽恰好不下滑時，下述分析正確的是（）A.螺絲帽受的重力與最大靜摩擦力平衡B.螺絲帽受到桿的彈力方向水平向外，背離圓心C.此時手轉動塑料管的角速度D.若桿的轉動加快，螺絲帽有可能相對桿發(fā)生運動例題4、用如圖所示的裝置來探究小球做圓周運動所需向心力的大小F與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系．兩個變速輪塔通過皮帶連接，轉動手柄使長槽和短槽分別隨變速輪塔勻速轉動，槽內的鋼球就做勻速圓周運動．橫臂的擋板對鋼球的壓力提供向心力，鋼球對擋板的反作用力通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標尺，標尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個鋼球所受向心力的比值．如圖是探究過程中某次實驗時裝置的狀態(tài)．（1）在研究向心力的大小F與質量m關系時，要保持________相同．A．ω和rB．ω和mC．m和rD．m和F（2）圖中所示是在研究向心力的大小F與________的關系．A．質量mB．半徑rC．角速度ω（3）若圖中標尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球所受向心力的比值為1︰9，與皮帶連接的兩個變速輪塔的半徑之比為________．A．1︰3B．3︰1C．1︰9D．9︰1（4）實驗得到的“向心力大小F與質量m、角速度ω和半徑r”之間的關系表達式：________．隨練1、在“用圓錐擺驗證向心力的表達式”實驗中，如圖甲所示，懸點剛好與一個豎直的刻度尺零刻度線對齊。將畫著幾個同心圓的白紙置于水平桌面上，使鋼球靜止時剛好位于圓心。用手帶動鋼球，設法使它剛好沿紙上某個半徑為r的圓周運動，鋼球的質量為m，重力加速度為g。①用秒表記錄運動n圈的總時間為t，那么小球做圓周運動中需要的向心力表達式為Fn＝________。②通過刻度尺測得小球軌道平面距懸點的高度為h，那么小球做圓周運動中外力提供的向心力表達式為F＝________；③改變小球做圓周運動的半徑，多次實驗，得到如圖乙所示的關系圖象，可以達到粗略驗證向心力表達式的目的，該圖線的斜率表達式為________。隨練2、向心力演示器如圖所示．轉動手柄，可使變速塔輪和及長槽和短槽隨之勻速轉動．皮帶分輥套在塔輪和上的不同圓盤上，可使兩個槽內的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動．小球做圓周運動的向心力由橫臂的擋板對小球的壓力提供，球對擋板的反作用力，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒下降，從而露出標尺，標尺上露出的紅白相間等分格子的多少可以顯示出兩個球所受向心力的大?。F(xiàn)將小球分別放在兩邊的槽內，為探究小球受到的向心力大小與角速度的關系，下列做法正確的是（）A.在小球運動半徑相等的情況下，用質量不同的鋼球做實驗B.在小球運動半徑相等的情況下，用質量相同的鋼球做實驗C.在小球運動半徑不等的情況下，用質量不同的鋼球做實驗D.在小球運動半徑不等的情況下，用質量相同的鋼球做實驗圓周運動的實例分析例題1、[多選題]火車轉彎可近似看成是做勻速圓周運動。當火車以規(guī)定速度通過時，內外軌道均不受側向擠壓?，F(xiàn)要降低火車轉彎時的規(guī)定速度，須對鐵路進行改造，從理論上講以下措施可行的是（）A.減小內外軌的高度差 B.增加內外軌的高度差C.減小彎道半徑 D.增大彎道半徑例題2、國家的惠民政策使私家車數(shù)量快速增長，高級和一級公路的建設也正加速進行。為了防止在公路彎道部分由于行車速度過大而發(fā)生側滑，常將彎道部分設計成外高內低的斜面。如果某品牌汽車的質量M＝104kg汽車行駛時彎道部分的半徑r＝20m，汽車輪胎與路面的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，路面設計的傾角為θ，如圖所示。（已知sinθ＝0.6．cosθ＝0.8．重力加速度g取10m／s2）求為使汽車轉彎時不發(fā)生側滑，彎道部分汽車行駛的最大速度是多少？例題3、某物理小組的同學設計了一個測量玩具小車通過凹形橋最低點時速度的實驗。所用器材有：玩具小車m、壓力式托盤秤、凹形橋模擬器m橋（圓弧部分的半徑為R=0.20m）。完成下列填空：（1）將凹形橋模擬器靜置于托盤秤上，如圖（a）所示，托盤秤的示數(shù)m橋為1.00kg；（2）將玩具小車靜置于凹形橋模擬器最低點時，托盤秤的示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)m橋+m車為_____kg；（3）將小車從凹形橋模擬器某一位置釋放，小車經(jīng)過最低點后滑向另一側，此過程中托盤秤的最大示數(shù)為m；多次從同一位置釋放小車，記錄各次的m值如下表所示：序號序號12345m（kg）1.801.751.851.751.90（4）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可求出小車m車經(jīng)過凹形橋最低點時對橋的壓力為_____N；小車通過最低點時的速度大小為_______m/s。（重力加速度大小取9.80m/s2，計算結果保留2位有效數(shù)字）隨練1、如圖所示，一個質量為m的物體（體積可忽略）在半徑為R的光滑半球面頂點處以水平速度v0運動。則下列結論中正確的是（）A.若，則物體m對半球面頂點壓力為mgB.若，則物體m對半球面頂點壓力小于mgC.若v0＝0，則物體m對半球面頂點壓力小于mgD.若，物體m在半球面頂點處于失重狀態(tài)隨練2、如圖，一個質量為m＝0.6kg的小球，在左側平臺上運行一段距離后從邊緣A點以m/s水平飛出，恰能沿圓弧切線從P點進入固定在地面上的豎直的圓弧管道，并繼續(xù)滑行。已知圓弧管道口內徑遠小于圓弧半徑R，OP與豎直方向的夾角是θ＝37°，平臺到地面的高度差為h＝1.45m。若小球運動到圓弧軌道最低點時的速度大小是v1＝10m/s。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：（1）小球從A點運動到P點所需的時間t；（2）P點距地面的高度△h和圓弧半徑R；（3）小球對圓弧軌道最低點的壓力FN大??；（4）若通過最高點Q點時小球對管上壁的壓力大小9N，求小球經(jīng)過Q點時的速度v2大小。圓周運動的水平臨界問題知識精講水平面內圓周運動的臨界問題關于水平面內的勻速圓周運動的臨界問題，主要是臨界速度和臨界力的問題，常見的是與繩子的拉力，彈簧的拉力，接觸面的彈力，和摩擦力相關的問題。通過受力分析來確定臨界狀態(tài)和臨界條件，是較常用的解題方法。處理臨界問題的解題步驟判斷臨界狀態(tài)如果題目中有“剛好，恰好，正好”，則說明題目中存在臨界點；如果題目中有“取值范圍，多長時間，多大距離”，說明物體運動中存在“起止點”，而這些“起止點”往往也是臨界狀態(tài)；若題目中有“最大，最小，至少”等字眼，說明物體運動中存在極值點，這個極值點也往往是臨界狀態(tài)。確定臨界條件判斷物體運動過程中存在臨界狀態(tài)之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學的形式表達出來。選擇臨界規(guī)律當確定物體運動的臨界狀態(tài)和臨界條件后，要分別對于不同的運動過程和現(xiàn)象，選擇相應的物理規(guī)律，然后列方程求解。常見水平面內圓周運動的臨界問題1．彈力和摩擦力提供向心力 2．由于彈力突變引發(fā)的臨界問題 在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在，以及這個力存在時的方向（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。舉例說明，如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ＝30°，一條長度為L的繩（質量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看質點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。（1）當時，求繩對物體的拉力；（2）當時，求繩對物體的拉力。解析：設小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為，則有：解得當時，，則：（2）當時，小球離開錐面，設繩與軸線夾角為，則3．由于摩擦力突變引發(fā)的臨界問題摩擦力突變引發(fā)的臨界問題也很常見，需要考慮摩擦力的大小、方向的變化。下面舉例說明。如圖所示，細繩一端系著質量M＝0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質量m＝0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動，問角速度ω在什么范圍m會處于靜止狀態(tài)？（g?。┙馕觯阂筸靜止，M也應與平面相對靜止。而M與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：當ω為所求范圍最小值時，M有向著圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N；此時，對M運用牛頓第二定律：當ω為所求范圍最大值時，M有背離圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于最大靜摩擦力2N。再對M運用牛頓第二定律：所以，題中所求ω的范圍是：。三點剖析課程目標1．學會應用受力分析解決水平面內的臨界問題由于彈力突變引起的臨界問題例題1、如圖所示，把一個質量m＝1kg的物體通過兩根等長的細繩與豎直桿上A、B兩個固定點相連接，繩a、b長都是1m，AB長度是1.6m，直桿和球旋轉的角速度等于多少時，b繩上才有張力？（g＝10m/s2）例題2、如圖所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O，一根輕繩穿過小孔，一端連接質量為m＝1kg的小球A，另一端連接質量為M＝4kg的重物B，已知g＝10m/s2，則：（1）當A球沿半徑r＝0.1m的圓周做勻速圓周運動，其角速度ω1為多大時，B物體處于將要離開、而尚未離開地面的臨界狀態(tài)？（2）當小球A的角速度為ω2＝10rad/s時，物體B對地面的壓力為多大？例題3、用一根細線一端系一小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示，設小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為ω，細線的張力為FT，則FT隨ω2變化的圖象是下圖中的（）A.B.C.D.例題4、如圖所示，小球A可視為質點，裝置靜止時輕質細線AB水平，輕質細線AC與豎直方向的夾角θ＝37°.已知小球的質量為m，細線AC長L，B點距C點的水平和豎直距離相等。裝置BO'O能以任意角速度繞豎直軸O'O轉動，且小球始終在BO'O平面內，那么在ω從零緩慢增大的過程中（）（g取10m/s2，sin370＝0.6，cos37°＝0.8）A.兩細線張力均增大B.細線AB中張力一直變小，直到為零C.細線AC中張力先不變，后增大D.當AB中張力為零時，角速度可能為隨練1、[多選題]如圖所示，在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細繩相連的質量均為m的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心距離分別為，，與盤間的動摩擦因數(shù)相同，當圓盤轉速加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（）A.此時繩子張力為B.此時圓盤的角速度為C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動隨練2、如圖所示，輕繩上端固定在O點，下端系一小球（可視為質點），開始時在光滑的水平地面上，輕繩伸直且繩長大于O點離地面的高度。設小球繞豎直軸OO′做勻速圓周運動的角速度為ω，輕繩的拉力大小為F，則下列四幅圖中，能正確反映F隨ω2變化規(guī)律的是（）A.B.C.D.由于摩擦力突變引起的臨界問題例題1、A、B、C三個完全相同的物塊隨轉動的圓盤一起運動，如圖所示，且物塊相對于圓盤靜止。當圓盤的轉速逐漸增大時，哪個物塊最先離開原位置（）A.AB.BC.CD.同時離開例題2、如圖，在圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質量相等的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉軸的距離為R＝20cm，與圓盤的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力（已知π2＝g）則（）A.物塊A一定會受圓盤的摩擦力B.當轉速n＝0.5r/s時，A不受摩擦力C.A受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上D.當圓盤轉速n＝1r/s時，摩擦力方向沿半徑背離圓心例題3、[多選題]如圖所示，在水平圓盤上，放著用細線相連的質量均為m的兩個物體A和B，它們位于圓心同側的一條半徑上，與圓心距離RA＝r，RB＝2r，兩個物體與盤的動摩擦因數(shù)均為μ，現(xiàn)讓圓盤由靜止開始繞通過圓心的豎直軸轉動，并逐漸加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動，在這一過程中，下列說法正確的是（）A.B所受摩擦力一直增大B.A所受摩擦力先增大后減小再增大C.此時繩子張力為D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動例題4、如圖所示，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內運動，圓柱半徑為R，甲、乙兩物體的質量分別為M和m（M＞m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的μ倍，兩物體用長為L的輕繩連在一起，L＜R．若將甲物體放在轉軸位置上，甲、乙連線正好沿半徑方向拉直，要使兩物體與圓盤不發(fā)生相對滑動，則圓盤旋轉的角速度最大不得超過：（兩物體看作質點）（）A.B.C.D.隨練1、如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為和，筒內壁點的高度為筒高的一半，內壁上有一質量為的小物塊，求：（1）當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁點受到的摩擦力和支持力的大?。?）當物塊在點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度．隨練2、為確保彎道行車安全，汽車進入彎道前必須減速。如圖所示，AB為進入彎道前的平直公路，BC為水平圓弧形彎道。已知AB段的距離SAB＝14m，彎道半徑R＝24m。汽車到達A點時速度vA＝16m／s，汽車與路面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.6，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m／s2．要確保汽車進入彎道后不側滑。求汽車（1）在彎道上行駛的最大速度；（2）在AB段做勻減速運動的最小加速度；（3）為提高BC處轉彎的最大速度，請?zhí)岢龉方ㄔO時的合理建議。圓周運動的繩和桿臨界問題知識精講一．豎直平面內的圓周問題豎直平面內的圓周運動是典型的變速圓周運動，中學物理中常研究物體通過最高點和最低點的兩種情況。下面將對這類臨界狀態(tài)問題進行綜合分析。1．輕繩類問題繩或光滑圓軌道的內側，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時均沒有物體支撐著小球。下面討論小球（質量為m）在豎直平面內做圓周運動（半徑為R）通過最高點時的情況：（1）臨界條件小球到達最高點時受到繩子的拉力恰好等于零，這時小球做圓周運動所需要的向心力僅由小球的重力來提供。根據(jù)牛頓第二定律得，，臨界速度。這個速度可理解為小球恰好通過最高點或恰好通不過最高點時的速度，也可認為是小球通過最高點時的最小速度，通常叫臨界速度。（2）小球能通過最高點的條件：當時，小球能通過最高點，這時繩子對球有作用力，為拉力；當時，小球剛好能通過最高點，此時繩子對球不產生作用力。（3）小球不能通過最高點的條件：當時，小球不能通過最高點，實際上小球還沒有到達最高點就已經(jīng)脫離了軌道。（如圖）2．輕桿類模型桿和光滑管道，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時有物體支撐著小球。下面討論小球（質量為m）在豎直平面內做圓周運動（半徑為R）通過最高點時的情況：（1）臨界條件由于硬桿的支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度是：；此時，硬桿對物體的支持力恰等于小球的重力mg。（2）如上圖所示的小球通過最高點時，硬桿對小球的彈力情況為：當時，硬桿對小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg；當時，桿對小球的支持力豎直向上，大小隨速度的增加而減小，其取值范圍為；當時，F(xiàn)N＝0，這時小球的重力恰好提供小球做圓周運動的向心力。當時，硬桿對小球有指向圓心（即方向向下）的拉力，其大小隨速度的增大而增大。 （3）其他桿問題如果是帶電小球，且空間存在電磁場，臨界條件則是重力、電場力或洛侖茲力的合力為向心力，此時臨界速度，需要具體問題具體分析。二．豎直面內圓周運動的求解思路定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同。在最高點繩模型中小球的最小速度是；而輕桿模型中小球在最高點時的最小速度為零。確定臨界點：對輕繩模型來說是能否通過最高點的臨界點，而對輕桿模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點（）（因為輕繩不能有支撐力，桿可有支撐力）。研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。受力分析：對物體在最高點或最低點時進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，。過程分析：應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。三點剖析課程目標1．學會分析輕繩、輕桿、管道在豎直平面內的圓周運動的臨界問題圓周運動中繩的臨界問題例題1、[多選題]質量為M的支架（包含底座）上有一水平細軸，軸上套有一長為L的輕質細線，繩的另一端拴一質量為m（可視為質點）的小球，如圖?，F(xiàn)使小球在豎直面內做圓周運動，已知小球在運動過程中底座恰好不離開地面、且始終保持靜止。忽略一切阻力，重力加速度為g。則（）A.小球運動到最高點時底座對地壓力最大B.小球運動過程中地面對底座始終無摩擦力C.小球運動至右邊與O點等高時，地面對底座的摩擦力向左D.小球運動到最高點時細線拉力大小為Mg例題2、如圖所示，小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕細一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為，重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。（1）若想小球在豎直平面內做完整的圓周運動，其通過最高點的速度v1至少應為多少？（2）求繩斷時球的速度大小v2和球落地時的速度大小v3。（3）輕繩能承受的最大拉力多大？隨練1、雜技演員表演的“水流星”如圖所示。細長繩一端系著盛了水的容器。以繩的另一端為圓心，使容器在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。N為圓周的最高點，M為圓周的最低點。若“水流星”通過最高點時沒有水流出，則其在最高點的速度至少為（）A.B.C.D.隨練2、如圖所示，長為l的懸線固定在O點，在O點正下方的C點處有一釘子。把一端懸掛的小球拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放，小球擺到懸點正下方懸線碰到釘子時，此時小球（）A.線速度突然增大B.向心加速度突然增大C.角速度保持不變D.懸線拉力保持不變隨練3、如圖1所示，在某星球表面輕繩約束下的質量為m的小球在豎直平面內做圓周運動，小球在最低點與最高點所受輕繩的拉力之差為△F，假設星球是均勻球體，其半徑為R，已知萬有引力常量為G．不計一切阻力．（1）求星球表面重力加速度；（2）求該星球的密度；（3）如圖2所示．在該星球表面上，某小球以大小為v0的初速度平拋，恰好能擊中傾角為θ的斜面，且位移最短．試求該小球平拋的時間．圓周運動中桿的臨界問題例題1、質量為m的小球在豎直平面內的圓管軌道內運動，小球的直徑略小于圓管的直徑，如圖所示。已知小球以速度v通過最高點時對圓管的外壁的壓力大小恰好為mg，則小球以速度通過圓管的最高點時（）A.小球對圓管的內、外壁均無壓力B.小球對圓管的外壁壓力等于C.小球對圓管的內壁壓力等于D.小球對圓管的內壁壓力等于mg例題2、如圖所示，ABC為豎直平面內的金屬半圓環(huán)，AC連線水平，AB為固定在A、B兩點間的直的金屬棒，在直棒上和圓環(huán)的BC部分分別套著兩個相同的小環(huán)M、N，現(xiàn)讓半圓環(huán)繞對稱軸以角速度ω做勻速轉動，半圓環(huán)的半徑為R，小圓環(huán)的質量均為m，棒和半圓環(huán)均光滑，已知重力加速度為g，小環(huán)可視為質點，則M、N兩環(huán)做圓周運動的線速度之比為（）A.B.C.D.例題3、如圖，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO′轉動，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α＝45°。兩質量均為m＝0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為L＝1.2m、能承受最大拉力Fmax＝4.5N的輕質細線連接。環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍。當桿以角速度ω轉動時，細線始終處于水平狀態(tài)，取g＝10m／s2。（1）求桿轉動角速度ω的最小值；（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，寫出此過程中細線拉力隨角速度變化的函數(shù)關系式。例題4、如圖所示，在水平面內有一平臺可繞豎直的中心軸以角速度ω=3.14rad/s旋轉。在平臺內沿半徑方向開兩個溝槽，質量為0.01kg的小球A放置在粗糙的溝槽內，球與溝槽的動摩擦因數(shù)為0.5；質量為0.04kg的小球B放置在另一光滑的溝槽內。長度為1m的細線繞過平臺的中心軸，其兩端與兩球相連。設平臺中心軸是半徑可忽略的細軸，且光滑，球A始終相對圓盤保持靜止。（g=3.142m/s2．最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）求：（1）球A到軸O的距離多大時，小球A恰好不受摩擦力？（2）球A到軸O的最大距離為多少？隨練1、如圖所示，長為L的輕桿，一端固定在水平轉軸O上，另一端固定一個質量為m的小球．現(xiàn)讓桿繞轉軸O在豎直平面內勻速轉動，角速度為ω，重力加速度為g．某時刻桿對球的作用力方向恰好與桿垂直，則此時桿與水平面的夾角θ滿足（）A.B.C.D.隨練2、如圖所示，長為0.4m的輕質細桿，一端固定有一個質量為1kg的小球，另一端由電動機帶動，使桿繞O點在豎直平面內做勻速圓周運動，小球的速率為1m／s．g取10m／s2，下列說法正確的是（）A.小球通過最高點時，對桿的拉力大小是12.5NB.小球通過最高點時，對桿的壓力大小是7.5NC.小球通過最低點時，對桿的拉力大小是7.5ND.小球通過最低點時，對桿的壓力大小是12.5N拓展1、如圖所示，當時鐘正常工作時，時針、分針和秒針轉動的角速度之比為（）A.1︰12︰720B.1︰60︰86400C.1︰60︰3600D.1︰60︰432002、某品牌的機械鼠標內部構如圖所示，機械鼠標中的定位球的直徑是2.0cm，某次操作中將鼠標沿直線勻速移動12cm需要1s，則定位球的角速度為（）A.B.C.6rad/sD.12rad/s3、未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態(tài)，為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，有人設想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉艙”，如圖所示，當旋轉艙繞其軸線勻速旋轉時，宇航員站在旋轉艙內圓柱形側壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力。為達到上述目的，下列說法正確的是（）A.旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越大B.旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越小C.宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越大D.宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越小4、如圖是自行車傳動機構的示意圖，其中Ⅰ是半徑為R1的大鏈輪，Ⅱ是半徑為R2的小飛輪，Ⅲ是半徑為R3的后輪，假設腳踏板的轉速為n（單位：r/s），則自行車后輪邊緣的線速度為（）A.B.C.D.5、[多選題]如圖所示，M、N是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內筒半徑比R小很多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空。兩筒以相同的角速度ω繞其中心軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉動。設從M筒內部可以通過窄縫S（與M筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率v1和v2的微粒，從S處射出時的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上。如果R、v1和v2都不變，而ω取某一合適的值，則（）A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a處一條與S縫平行的窄條上B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與S縫平行的窄條上C.有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和c處與S縫平行的窄條上D.只要時間足夠長，N筒上將到處都落有微粒6、如圖所示，半圓形光滑圓環(huán)，豎直放置，環(huán)繞y軸以恒定角速度ω轉動，一小球套在環(huán)上，若小球可在環(huán)上任意位置相對環(huán)靜止，圓的方程為x2＋y2＝a2（a為常量），則下列ω的值正確的是（）A.B.C.D.7、如圖所示，“旋轉秋千”中座椅（可視為質點）通過輕質纜繩懸掛在旋轉圓盤上。當旋轉圓盤以角速度ω勻速轉動時，不計空氣阻力，纜繩延長線與豎直中心軸相交于O點，夾角為θ，O點到座椅的豎直高度為h，則當ω增大時（）A.h不變B.θ減小C.ω2h不變D.ω2h增大8、[多選題]如圖所示，兩個相同的小球A，B用長度分別為l1，l2的細線（l1＜l2）懸于在天花板的O1，O2點，兩球在水平面內做勻速圓周運動，兩根細線與豎直軸夾角均為θ．設A，B兩球的線速度分別為vA，vB，角速度分別為ωA，ωB加速度分別為aA，aB，兩根細線的拉力分別為FA，F(xiàn)B，則（）A.vA＞vBB.ωA＞ωBC.aA＝aBD.FA＜FB9、[多選題]質量為m的物體沿著半徑為R的半球金屬球殼滑到最低點時的速度大小為v，如圖所示，若物體與球殼之間的摩擦因數(shù)為μ，則物體在最低點時的（）A.向心加速度為B.向心力為C.對球殼的壓力為D.受到的摩擦力為10、汽車在水平地面上轉彎，地面對車的摩擦力已達到最大值．當汽車的速率加大到原來的二倍時，若使車在地面轉彎時仍不打滑，汽車的轉彎半徑應（）A.增大到原來的二倍B.減小到原來的一半C.減小到原來的四分之一D.增大到原來的四倍11、[多選題]兩根長度不同的細線下面分別懸掛著小球，細線上端固定在同一點，若兩個小球以相同的角速度，繞共同的豎直軸在水平面內做勻速圓周運動，球運動情況如下圖示，圖A中兩根系球的繩與豎直線夾角相同，圖B中兩球運動軌跡在同一水平面內，圖C中兩球做圓周運動半徑相同，圖D中下面的圓半徑小一些，則關于兩個小球在運動過程情況不可能的是（）A.B.C.D.12、[多選題]如圖，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為L，b與轉軸的距離為2L．木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g．若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（）A.a、b所受的摩擦力始終相等B.b一定比a先開始滑動C.是b開始滑動的臨界角速度D.當時，a所受摩擦力的大小為kmg13、[多選題]如圖所示，A、B、C三個物體放在水平圓臺上，與圓臺的動摩擦因數(shù)均為μ，A的質量為2m，B、C的質量均為m，A、B離軸的距離為R，C離軸的距離為2R，當圓臺勻速旋轉時（A、B、C都沒有相對滑動），則（）A.物體A的向心力比物體B的向心力大B.物體B受到的摩擦力比物體C受到的摩擦力小C.當圓臺轉速增大時，A將最先滑動D.當圓臺轉速增大時，C將最先滑動14、如圖，豎直環(huán)半徑為，固定在木板上，木板放在水平地面上，的左右兩側各有一擋板固定在地上，不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放有一小球，、、的質量均為，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度，小球會在環(huán)內側做圓周運動，為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起（不計小球與環(huán)的摩擦阻力），小球在最高點的瞬時速度必須滿足（）A.最大值B.最大值C.最大值D.最大值15、[多選題]如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉動軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能量后，桿和球在豎直面內轉動。在轉動的過程中，忽略空氣的阻力，若球B運動到最高點時，球B隊桿恰好無作用力，則下列說法正確的是（）A.球B在最高點時速度為零B.此時球A的速度大小為C.球B轉到最高點時，桿對水平軸的作用力為1.5mgD.球B轉到最高點時，桿對水平軸的作用力為3mg16、如圖所示，輕桿長2l，中點裝在水平軸O點，兩端分別固定著小球A和B，A球質量為m，B球的質量為2m，兩者一起在豎直平面內繞轉O軸做圓周運動，已知重力加速度取g。（1）若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，求此時O軸的受力大小和方向；（2）若B球到最高點時的速度等于第（1）問中A球到達最高點時的速度，則B球運動到最高點時，O軸的受力大小和方向又如何？（3）在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能，則求出此時A、B球的速度大小。

答案解析圓周運動的運動學問題常見傳動方式的線速度、角速度及周期關系例題1、【答案】C【解析】由于B輪和A輪是皮帶傳動，皮帶傳動的特點是兩輪與皮帶接觸點的線速度的大小與皮帶的線速度大小相同，故vA=vB，∴vB：vA=1：1由于C輪和B輪共軸，故兩輪角速度相同，即ωC=ωB，故ωC：ωB=1：1由角速度和線速度的關系式v=ωR可得vC：vB=RC：RB=2：1∴vA：vB：vC=1：1：2又因為RA=RC=2RB根據(jù)a=得：aA：aB：aC=1：2：4故選C．例題2、【答案】D【解析】由甲、乙、丙三個輪子依靠摩擦傳動，相互之間不打滑知三者線速度相同，其半徑分別為r1、r2、r3則ω1r1＝ω2r2＝ω3r3故。例題3、【答案】A【解析】小物塊P水平方向只受最大靜摩擦力，提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而，ABC三輪邊緣的線速度大小相同，所以∝，所以μA︰μB︰μC＝2︰3︰6；由v＝Rω可知，∝，所以ωA︰ωB︰ωC＝2︰3︰6．例題4、【答案】B【解析】A、由圖可知，B與C點屬于齒輪傳動，兩點的速度是相等的，由于rB≠rC，則ωB≠ωC；故A錯誤；BCD、由圖可知，A與B點屬于同軸傳動，具有相等的角速度，即ωB＝ωA；由v＝ωr，所以：，或：．故B正確，CD錯誤。例題5、【答案】Rsinωt【解析】設0－t時間內小球所經(jīng)的弧所對的圓心角為θ，有θ＝ωt①，根據(jù)幾何關系得：x＝Rsinθ②，①②聯(lián)立得：x＝Rsinωt。答：任意時刻t影的坐標x為Rsinωt。隨練1、【答案】C【解析】共軸轉動的各點角速度相等，故A、B兩點的角速度相等；A點的轉動半徑為Rcos30°=R，B點的轉動半徑為R，根據(jù)v=rω公式，線速度之比為：vA：vB=RA：RB=：2=：4；故ABD錯誤，C正確；故選：C．隨練2、【答案】C【解析】轉速為單位時間內轉過的圈數(shù)，因為轉動一圈，對圓心轉的角度為2π，所以ω＝2πnrad／s，因為要測量自行車前進的速度，即車輪III邊緣上的線速度的大小，根據(jù)題意知：輪I和輪II邊緣上的線速度的大小相等，據(jù)v＝Rω可知：r1ω1＝R2ω2，已知ω1＝2πn，則輪II的角速度．因為輪II和輪III共軸，所以轉動的ω相等即ω3＝ω2，根據(jù)v＝Rω可知，。圓周運動學公式的應用例題1、【答案】C【解析】如圖所示根據(jù)運動的合成與分解可知，接觸點B的實際運動為合運動，可將B點運動的速度vB＝v沿垂直于桿和沿桿的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsinθ＝vsinθ為B點做圓周運動的線速度，v1＝vBcosθ為B點沿桿運動的速度。當桿與水平方向夾角為θ時，，由于B點的線速度為v2＝vsinθ＝OBω，所以，所以A的線速度，故C正確。例題2、【答案】（1）4.00（2）1.945（3）29.5【解析】（1）由圖可知，圓盤的直徑d＝6.00－2.00cm＝4.00cm．（2）D點的瞬時速度，則圓盤轉動的角速度．（3）根據(jù)Δx＝aT2，運用逐差法得，，角加速度，，可知．例題3、【答案】（1）（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動（3）【解析】（1）由圖可知，轉盤的轉動周期，角速度（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動，理由是：由于脈沖寬度在逐漸變小，表明光信號能通過狹縫的時間逐漸減少，即圓盤上對應探測器所在位置的線速度逐漸增大，因此激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動（3）設狹縫寬度為，激光器沿半徑方向運動的速度為，激光器所在處離軸為，該處圓盤的線速度為，則，又，可得，，，所以．例題4、【答案】（1）包的落地點距B端的水平距離為0.6m（2）旅行包落地點距B端的水平距離又為2.4m（3）【解析】（1）旅行包做勻減速運動，有：a=μg=6m/s2旅行包到達B端速度為：包的落地點距B端的水平距離為：（2）當ω1=40rad/s時，皮帶速度為：v1=ω1R=8m/s當旅行包的速度也為v1=8m/s時，在皮帶上運動了位移為：以后旅行包做勻速直線運動，所以旅行包到達B端的速度也為：v1=8m/s包的落地點距B端的水平距離為：（3）如圖所示，隨練1、【答案】AD【解析】筆上各點同軸轉動角速度相同A、筆桿上的點離O點越近的，半徑越小，根據(jù)v＝ωr可知，線速度越小，故A正確；B、筆上各點同軸轉動，角速度相同，故B錯誤；C、根據(jù)可知，周期相同，故C錯誤；D、根據(jù)a＝ω2r可知，筆桿上的點離O點越近的，半徑越小，向心加速度越小，故D正確．隨練2、【答案】C【解析】A、平拋運動水平方向做勻速直線，水平位移，套馬圈相對于烈馬的水平速度v0＝rω，則套馬圈做平拋運動的時間為，故AB錯誤；C、依據(jù)題意可知，套馬圈轉到烈馬正后方時，運動速度與烈馬同向，則套馬圈平拋運動的初速度v′＝v＋rω，故C正確，D錯誤。圓周運動的動力學分析常見模型的動力學分析例題1、【答案】B【解析】暫無解析例題2、【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）小球飛出后做平拋運動，根據(jù)得，小球在空中運動的時間。（2）繩子的拉力等于小球做圓周運動的向心力，小球的線速度，則拉力。（3）落地時的豎直分速度，根據(jù)平行四邊形定則知，小球落地的速度。例題3、【答案】A【解析】A、螺絲帽受到豎直向下的重力、水平方向的彈力和豎直向上的最大靜摩擦力，螺絲帽在豎直方向上沒有加速度，根據(jù)牛頓第二定律得知，螺絲帽的重力與最大靜摩擦力平衡。故A正確。B、螺絲帽做勻速圓周運動，由彈力提供向心力，所以彈力方向水平向里，指向圓心。故B錯誤。C、根據(jù)牛頓第二定律得：N＝mω2r，fm＝mg，又fm＝μN，聯(lián)立得到．故C錯誤。D、若桿的轉動加快，角速度ω增大，螺絲帽受到的彈力N增大，最大靜摩擦力增大，螺絲帽不可能相對桿發(fā)生運動。故D錯誤。例題4、【答案】（1）A（2）C（3）B（4）F＝mω2r【解析】在研究向心力的大小F與質量m、角速度ω和半徑r之間的關系時，需先控制某些量不變，研究另外兩個物理量的關系，該方法為控制變量法．（1）根據(jù)控制變量法的原理可知，在研究向心力的大小F與質量m關系時，要保持其他的物理量不變，其中包括角速度與半徑，即保持角速度與半徑相同．（2）圖中所示兩球的質量相同，轉動的半徑相同，則研究的是向心力與角速度的關系．（3）根據(jù)F＝mω2r，兩球的向心力之比為1︰9，半徑和質量相等，則轉動的角速度之比為1︰3，因為靠皮帶傳動，變速輪塔的線速度大小相等，根據(jù)v＝rω，知與皮帶連接的變速輪塔對應的半徑之比為3︰1．（4）實驗得到的“向心力大小F與質量m、角速度ω和半徑r”之間的關系為向心力與質量成正比，與角速度的平方成正比，與運動的半徑成正比，表達式是F＝mω2r．隨練1、【答案】①②③【解析】①根據(jù)向心力公式：，而，得：；②如圖由幾何關系可得：；③由上面分析得：，整理得：故斜率表達式為：。隨練2、【答案】B【解析】根據(jù)，可知若研究小球受到的向心力大小與角速度的關系，需控制小球的質量和半徑不變，故B正確．圓周運動的實例分析例題1、[多選題]【答案】AC【解析】暫無解析例題2、【答案】20m／s【解析】（1）受力分析如圖所示，豎直方向：FNcosθ＝mg＋Ffsinθ；水平方向：又Ff＝μFN，可得代入數(shù)據(jù)可得：v＝20m／s。答：為使汽車轉彎時不發(fā)生側滑，彎道部分汽車行駛的最大速度是20m／s例題3、【答案】1.40，7.9（7.9±0.1），1.4（1.4±0.1）【解析】暫無解析隨練1、【答案】D【解析】A、在頂點，若，根據(jù)牛頓第二定律得，，解得支持力N＝0，則物體m對半球面頂點的壓力為零，故A錯誤。B、若，則物體會脫離半球面，故B錯誤。C、若v0＝0，則物體m對半球面頂點壓力等于mg，故C錯誤。D、若，由于合力方向向下，加速度方向向下，物體處于失重狀態(tài)，故D正確。隨練2、【答案】（1）0.5s（2）0.2m；1m（3）66N（4）5m/s【解析】（1）對P點的速度矢量分解，有：代入數(shù)據(jù)得：t＝0.5s；（2）豎直方向小球做自由落體運動，由：由幾何關系，P點高度：h2＝h－h(huán)1＝0.2m有幾何關系：代入數(shù)據(jù)得：R＝1m；（3）在最低點，支持力與重力的和提供小球的向心力，得：代入數(shù)據(jù)得：FN1＝66N由牛頓第三定律得小球對圓弧軌道最低點的壓力：FN1′＝FN1＝66N；（4）由，代入數(shù)據(jù)得：v2＝5m/s．圓周運動的水平臨界問題由于彈力突變引起的臨界問題例題1、【答案】【解析】抓住臨界條件，當b繩剛好伸直還無張力時的角速度為球旋轉的最小角速度．已知a、b繩長均為1m，如圖所示即AC＝BC＝1m，．在△AOC中，得，．設小球做圓周運動的軌道半徑為r，小球做圓周運動的軌道半徑．．b繩被拉直但無張力時，小球所受的重力mg與a繩拉力FTa的合力F提供向心力，其受力分析如圖所示，由圖可知，小球的向心力為：．根據(jù)牛頓第二定律得：．計算得出直桿和球的角速度為．當直桿和球的角速度時，b中才有張力．例題2、【答案】（1）（2）B對地面的壓力為30N，方向豎直向下【解析】（1）當B對地面恰好無壓力時，有：Mg＝FT′，拉力FT′提供小球A所需向心力，則：FT′＝mrω12則有：．（2）對小球A來說，小球受到的重力和支持力平衡．因此繩子的拉力提供向心力，則：FT＝mrω2＝1×0.1×102N＝10N，將FT＝10N代入可得：FN＝（4×10－10）N＝30N由牛頓第三定律可知，B對地面的壓力為30N，方向豎直向下．例題3、【答案】C【解析】設繩長為L，錐面與豎直方向夾角為θ，當ω＝0時，小球靜止，受重力mg、支持力N和繩的拉力FT而平衡，F(xiàn)T＝mgcosθ≠0，所以A項、B項都不正確；ω增大時，F(xiàn)T增大，N減小，當N＝0時，角速度為ω0。當ω＜ω0時，由牛頓第二定律得，F(xiàn)Tsinθ－Ncosθ＝mω2Lsinθ，F(xiàn)Tcosθ＋Nsinθ＝mg，解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ；當ω＞ω0時，小球離開錐子，繩與豎直方向夾角變大，設為β，由牛頓第二定律得FTsinβ＝mω2Lsinβ，所以FT＝mLω2，此時圖象的反向延長線經(jīng)過原點。可知FT－ω2圖線的斜率變大，所以C項正確，D錯誤。例題4、【答案】CD【解析】當靜止時，受力分析如右圖，由平衡條件TAB＝mgtan37°＝0.75mg，，若AB中的拉力為0，當ω最小時繩AC與豎直方向夾角θ1＝37°，受力分析如右圖，mgtanθ1＝m（lsinθ1）ωmin2，得．當ω最大時繩AC與豎直方向夾角θ2＝53°，mgtanθ2＝mωmax2lsinθ2，得．所以ω取值范圍為．繩子AB的拉力都是0．由以上的分析可知，開始時AB是拉力不為0，當轉速在時，AB的拉力為0，角速度再增大時，AB的拉力又會增大，故AB錯誤；當繩子AC與豎直方向之間的夾角不變時，AC繩子的拉力在豎直方向的分力始終等于重力，所以繩子的拉力繩子等于1.25mg；當轉速大于后，繩子與豎直方向之間的夾角增大，拉力開始增大；當轉速大于后，繩子與豎直方向之間的夾角不變，AC上豎直方向的拉力不變當水平方向的拉力增大，AC的拉力繼續(xù)增大；故C正確；由開始時的分析可知，當ω取值范圍為．繩子AB的拉力都是0．故D正確．隨練1、[多選題]【答案】BC【解析】ABC．兩物塊A和B隨著圓盤轉動時，合外力提供向心力，則，B的半徑比A的半徑大，所以B所需向心力大，繩子拉力相等，所以當圓盤轉速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，B的靜摩擦力方向指向圓心，A的最大靜摩擦力方向指向圓外，有相對圓盤沿半徑指向圓內的運動趨勢，根據(jù)牛頓第二定律得：，，解得：，，故A錯誤，BC正確．D．此時燒斷繩子，A的最大靜摩擦力不足以提供向心力，則A做離心運動，故D錯誤．隨練2、【答案】D【解析】當小球與地面間的支持力為零時，根據(jù)牛頓第二定律得，，解得，當ω＜ω0時，小球與地面間有支持力，有：Fsinθ＝mLsinθω2，即F＝mLω2，F(xiàn)與ω2成正比，當ω＞ω0時，小球離開地面，有：Fsinα＝mLsinαω2，即F＝mLω2，F(xiàn)與ω2成正比。故D正確，A、B、C錯誤。由于摩擦力突變引起的臨界問題例題1、【答案】A【解析】物體A做勻速圓周運動，相對于圓盤的運動趨勢方向沿圓心與A的連線向外，受到的靜摩擦力指向圓心，提供向心力，三個物體的角速度相同，設角速度為ω，則三個物體受到的靜摩擦力分別為：，，，由圖可知，A的半徑最大，所以A需要的向心力最大，由于它們與地面間的最大靜摩擦力相同，故增大轉速時，A最選發(fā)生滑動，A正確．例題2、【答案】D【解析】要使A物塊相對靜止，則繩子的拉力一直為mg，即繩子的拉力不變，當摩擦力為零時，重力提供向心力：，代入數(shù)據(jù)解得：，故AB錯誤；A受摩擦力方向與半徑在一條直線上，指向圓心或背離圓心，故C錯誤；當圓盤轉速n＝1r/s時，即，有沿半徑向內運動的趨勢，所以摩擦力方向沿半徑背離圓心，故D正確。所以D正確，ABC錯誤。例題3、[多選題]【答案】CD【解析】AB、剛開始轉到時，AB都靠靜摩擦力提供向心力，根據(jù)向心力公式F＝mω2r可知，B先達到最大靜摩擦力，角速度繼續(xù)增大，繩中出現(xiàn)拉力，當A所受摩擦力達到最大靜摩擦力時，開始滑動，所以B受到的摩擦力方向一直向左，大小是先增大后不變，A所受的摩擦力一直增大，故AB錯誤。C、當兩物塊剛好還沒發(fā)生相對滑動時，有：μmg－T＝mrω2，μmg＋T＝m?2rω2，解得，故C正確。D、燒斷繩子后，A的最大靜摩擦力大于向心力，A仍相對盤靜止，B的最大靜摩擦力小于向心力，B做離心運動，故D正確。例題4、【答案】D【解析】當繩子的拉力等于甲的最大靜摩擦力時，角速度達到最大，有T＋μmg＝mLω2，T＝μMg．所以，故D正確。隨練1、【答案】（1）；（2）【解析】（1）設圓錐母線與水平方向的夾角為，當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁點時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡；由平衡條件得，摩擦力的大?。海С至Φ拇笮。海?）當物塊在點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設筒轉動的角速度為有：．由幾何關系得，聯(lián)立計算得出．隨練2、【答案】（1）12m／s（2）4m／s2（3）BC彎道路面建成外高內低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大【解析】（1）在BC彎道，由牛頓第二定律得：代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝12m／s（2）汽車勻減速至B處，速度減為12m／s時，加速度最小，由運動學公式得：代入數(shù)據(jù)解得：amin＝4m／s2（3）BC彎道路面建成外高內低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大。圓周運動的繩和桿臨界問題圓周運動中繩的臨界問題例題1、[多選題]【答案】CD【解析】A、小球運動到最高點時，底座對地面的壓力恰好為零，可知球運動到最高點時底座對地壓力最小，故A錯誤。B、當繩子的方向處于水平時，應用小球做圓周運動需要外力提供向心力，此時繩子對小球的拉力沿水平方向，繩子對軸的拉力也沿水平方向，所以小球運動過程中地面對底座有時有摩擦力，故B錯誤。C、小球運動至右邊與O點等高時，繩子對小球的拉力方向向左，則繩子對底座的拉力方向向右，底座要想保持判斷，則地面對底座的摩擦力向左，故C正確。D、小球運動到最高點時，底座對地面的壓力恰好為零，可知繩子最底座的向上的拉力等于Mg，則繩子對小球的拉力大小也是Mg，故D正確。例題2、【答案】（1）（2）；（3）【解析】（1）若想小球在豎直平面內做完整的圓周運動，其在最高點時，滿足，解得：；（2）設繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律，知，在水平和豎直兩方向上分別有：豎直：，水平：d＝v2t，解得：，落地時其豎直分速度為：，落地時速度為：；（3）設繩子承受的最大拉力為FT，這也是球受到繩的最大拉力球做圓周運動的半徑為：，在最低點時球受到的合力提供向心力，即：解得：。隨練1、【答案】D【解析】對水研究，受重力和容器的支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有：；當水恰好不流出時：N＝0，解得隨練2、【答案】B【解析】A、碰到釘子的瞬間，根據(jù)慣性可知，小球的速度不能發(fā)生突變，即線速度不變，故A錯誤；B、小球的向心加速度，r減小，故小球的向心加速度增大，故B正確；C、根據(jù)可知，半徑減小，線速度不變，所以角速度增大，故C錯誤；D、設釘子到球的距離為r，則，故繩子的拉力，因r小于L，故有釘子時，繩子上的拉力變大，故D錯誤。隨練3、【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）在最高點，重力和拉力的合力提供向心力，故：再最低點，重力和拉力的合力提供向心力，故：根據(jù)動能定理，有：聯(lián)立解得：F2－F1＝6mg根據(jù)題意，有：小球在最低點與最高點所受輕繩的拉力之差為△F，故：（2）在星球表面，重力等于萬有引力，故：聯(lián)立解得：（3）位移最短，說明位移方向與斜面垂直，故位移偏轉角為，故：x＝v0t聯(lián)立解得：圓周運動中桿的臨界問題例題1、【答案】C【解析】以小球為研究對象，小球通過最高點C時，根據(jù)牛頓第二定律得mg＋mg＝①當小球以速度通過圓管的最高點，根據(jù)牛頓第二定律得：mg＋N＝②由①②解得：，負號表示圓管對小球的作用力向上，即小球對圓管的內壁壓力等于，故C正確。例題2、【答案】A【解析】M點的小球受到重力和桿的支持力，在水平面內做勻速圓周運動，合力的方向沿水平方向，所以：Fn=mgtan45°=mω?vM所以：…①同理，N點的小球受到重力和桿的支持力，在水平面內做勻速圓周運動，合力的方向沿水平方向，設ON與豎直方向之間的夾角為，F(xiàn)n′=mgtanθ=mωvN所以：…②又：…③r=Rsinθ…④聯(lián)立②③④得：…⑤所以：例題3、【答案】（1）桿轉動角速度ω的最小值為3.33rad／s（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，此過程中細線拉力隨角速度變化的函數(shù)關系式為；（5rad／s＜ω＜10rad／s）【解析】（1）角速度最小時，fmax沿桿向上，此時繩處于松弛狀態(tài)則豎直方向由平衡條件得FNsin45°＋fmaxcos45°＝mg，水平方向由牛頓第二定律得FNcos45°－fmaxsin45°＝mω12r，且fmax＝0.2FN，，解得；（2）當fmax沿桿向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，有豎直方向由平衡條件得FNsin45°＝fmaxcos45°＋mg，水平方向由牛頓第二定律得FNcos45°＋fmaxsin45°＝mω22r，解得ω2＝5rad／s此后，拉力隨ω的增大而變大，當細線拉力剛達到最大時，有FNsin45°－fmaxcos45°＝mgFmax＋FNcos45°＋fmaxsin45°＝mω32r，解得ω3＝10rad／s因此在ω2～ω3間，所以拉力隨角速度的函數(shù)關系式為：；（5rad／s＜ω＜10rad／s）。例題4、【答案】（1）0.8m（2）0.9m【解析】（1）小球A恰好不受摩擦力時，由細線的拉力提供向心力，由向心力公式得：對A，有T=mAω2rA。對B，有T=mBω2（L﹣rA）聯(lián)立解得：rA=0.8m（2）當A球到軸O的距離最大時，A受到的靜摩擦力沿軸心向內，且靜摩擦力達到最大值，則對A，有：f+T′=mAω′2rA′。對B，有：T′=mBω′2（L﹣rA′）聯(lián)立解得：rA′=0.9m故球A到軸O的最大距離為0.9m。故：（1）球A到軸O的距離0.8m時，小球A恰好不受摩擦力。（2）球A到軸O的最大距離為0.9m。隨練1、【答案】A【解析】小球所受重力和桿子的作用力的合力提供向