2025年高考數(shù)學復習核心考點(新高考專用)專題5.4復數(shù)【七大題型】特訓(學生版+解析)

專題5.4復數(shù)【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1復數(shù)的概念】 6【題型2復數(shù)的四則運算】 6【題型3復數(shù)的幾何意義】 7【題型4復數(shù)的相等】 7【題型5復數(shù)的?！?7【題型6復數(shù)的三角表示】 8【題型7復數(shù)與方程】 91、復數(shù)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過方程的解，認識復數(shù)

(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義

(3)掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義2022年新高考全國I卷：第2題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第2題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年新高考I卷：第2題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第1題，5分、（理數(shù)）：第1題，5分復數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復數(shù)的概念、運算及其幾何意義，屬于簡單題.預測明年高考復數(shù)依舊以單選題、填空題形式呈現(xiàn)，比較簡單.【知識點1復數(shù)的概念】1．復數(shù)的概念(1)復數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數(shù)集.這樣，方程+1=0在復數(shù)集C中就有解x=i了.(2)復數(shù)的表示復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.(3)復數(shù)的分類對于復數(shù)a+bi，當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0；當b≠0時，它叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即RC.

復數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復數(shù).

2．復數(shù)相等在復數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數(shù)才相等.【知識點2復數(shù)的幾何意義】1．復數(shù)的幾何意義(1)復平面

根據(jù)復數(shù)相等的定義，可得復數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應(yīng).復數(shù)集C中的數(shù)和復平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復數(shù)z=a+bi復平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復數(shù)的一種幾何意義.(3)復數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復數(shù).如圖所示，設(shè)復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復數(shù)z=a+bi平面向量，這是復數(shù)的另一種幾何意義.2．復數(shù)的模向量的模r叫做復數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復數(shù)(1)定義

一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù).4．復數(shù)的模的幾何意義(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數(shù)z=a+bi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數(shù)的模的幾何意義.(2)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【知識點3復數(shù)的運算】1．復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復數(shù)的減法法則.(3)復數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(4)復數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復數(shù).2．復數(shù)加法、減法的幾何意義(1)復數(shù)加法的幾何意義在復平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.(2)復數(shù)減法的幾何意義兩個復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復數(shù)減法的幾何意義.3．復數(shù)運算的常用技巧(1)復數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知識點4復數(shù)有關(guān)問題的解題策略】1．復數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b=0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當且僅當a=0且b≠0.(2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.(3)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數(shù)為，則，即，若，則.2．復數(shù)的運算的解題策略(1)復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復數(shù).3．復數(shù)的幾何意義的解題策略由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.4．復數(shù)的方程的解題策略(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【方法技巧與總結(jié)】1．(1±i)2=±2i；；.2．.3．.4．復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.【題型1復數(shù)的概念】【例1】（2024·湖北·模擬預測）已知z=i?1+2i，則z的虛部為（

）A．2 B．?1 C．2i

D．?【變式1-1】（2024·寧夏銀川·一模）已知復數(shù)z=m2?1+m+iA．1 B．?1 C．1或?1 D．2【變式1-2】（2024·吉林白山·一模）復數(shù)z=i+2i2+3A．2i B．?2i C．2 【變式1-3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知復數(shù)z=m2?7m+6+m2A．±6 B．1或6 C．?6 D．1【題型2復數(shù)的四則運算】【例2】（2024·西藏·模擬預測）已知復數(shù)z=2?i，則zz?zA．?12+i B．12?【變式2-1】（2024·河南·三模）已知i為虛數(shù)單位，1+i31?A．1+i B．1?i C．?1+i【變式2-2】（2024·陜西西安·三模）已知復數(shù)z=3+i，則z?iz?1A．?3 B．?35 C．3 【變式2-3】（2024·北京·三模）若復數(shù)z=a?1+5a+1i為純虛數(shù)，其中a∈R，i為虛數(shù)單位，則a+iA．i B．?i C．1 D．【題型3復數(shù)的幾何意義】【例3】（2024·江西上饒·模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)z=12+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】（2024·重慶·二模）若復數(shù)z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內(nèi) B．第二象限內(nèi)C．第三象限內(nèi) D．第四象限內(nèi)【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內(nèi)A,B,C三點所對應(yīng)的復數(shù)分別為1?i,2?i,3+i，若四邊形ABCDA．2 B．2+i C．1 D．【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知z1=2?i，z2=a?2i（a∈R，i為虛數(shù)單位）．若z1，z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，A．1 B．－1 C．4 D．－4【題型4復數(shù)的相等】【例4】（2023·全國·三模）已知i3=a?bia,b∈R，則A．?1 B．0 C．1 D．2【變式4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知x+yi1+i=2?i，x,y∈A．2 B．3 C．4 D．5【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)a(1+i)+b=?i，其中a，bA．a(chǎn)=?1,b=?1 B．a(chǎn)=?1,b=1 C．a(chǎn)=1,b=1 D．a(chǎn)=1,b=?1【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知i為虛數(shù)單位，x,y為實數(shù)，若x+yi+2=3?4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【題型5復數(shù)的模】【例5】（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知復數(shù)z=i1?i，z表示z的共軛復數(shù)，則zA．24 B．12 C．22【變式5-1】（2024·河北·模擬預測）若復數(shù)z=3?4i，則z?i?A．2 B．5 C．52 D．【變式5-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知a∈R，若z=a+i2i?1A．2 B．2 C．1 D．1【變式5-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知復數(shù)z1,z2,z1≠z2，若A．1 B．3 C．2 D．2【題型6復數(shù)的三角表示】【例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i?sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式6-1】（2024·廣東·模擬預測）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinA．?ω B．1ω C．ω D．【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，設(shè)r=OZ,θ是以x軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+bi=rcosθ+isinθ，把rcosθ+isinθA．2cosπ12C．62cos5【變式6-3】（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數(shù)z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcosθ+isinθ．棣莫弗定理是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個復數(shù)z1=r1A．12 B．12+32【題型7復數(shù)與方程】【例7】（2024·山西陽泉·三模）已知2+i是實系數(shù)方程x2+px?q=0的一個復數(shù)根，則p+q=A．?9 B．?1 C．1 D．9【變式7-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）在復數(shù)范圍內(nèi)方程x2?2x+2=0的兩個根分別為x1，x2，則A．1 B．5 C．7 D．10【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一個根，則m=A．－2 B．2 C．i D．－1【變式7-3】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程x2+ix+1=0（其中i為虛數(shù)單位）的兩根分別為z1A．z12=z22>0 B．一、單選題1．（2024·北京大興·三模）已知m?i2為純虛數(shù)，則實數(shù)m=（A．0 B．1 C．?1 D．±12．（2024·新疆·三模）復數(shù)z滿足z+2i=z，則zA．?i B．i C．?1 D．3．（2024·陜西西安·模擬預測）若復數(shù)z=10i1?3iA．5 B．10 C．5 D．104．（2024·浙江·模擬預測）若復數(shù)z滿足z+2z=3+i（i為虛數(shù)單位)，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024·浙江·模擬預測）已知z=?1+3i2，則A．1 B．3 C．2 D．36．（2024·四川內(nèi)江·模擬預測）若復數(shù)z滿足z2?2z+4=A．3 B．2 C．5 D．27．（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數(shù)z滿足3?iz?i=3，則復數(shù)A．12?32i B．128．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，cosA．?1 B．0 C．1 D．i二、多選題9．（2024·江蘇無錫·模擬預測）設(shè)z1,zA．z1z2C．若z1=z2，則z1210．（2024·湖北荊州·三模）已知復數(shù)z=m2?1+A．若z為純虛數(shù)，則m=±1B．若z為實數(shù)，則z=0C．若z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=2x上，則m=?1D．z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限11．（2024·浙江舟山·模擬預測）已知復數(shù)z1,z2是關(guān)于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈三、填空題12．（2024·山東青島·二模）已知復數(shù)z滿足(z+2)i=2z?1，則復數(shù)z13．（2024·上?！と＃┰O(shè)z=m2?1+m?1i（i為虛數(shù)單位），若z14．（2024·江蘇南通·模擬預測）復數(shù)2?3i與?1+i分別表示向量OA與OB，記表示向量AB的復數(shù)為z，則z四、解答題15．（2024·甘肅蘭州·一模）實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z=m+3+(m?3)i(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？16．（2024·河南·模擬預測）已知復數(shù)z=2(1)若復數(shù)2z?m2?2m(2)若z2，2z+z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為B，C，求17．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知復數(shù)z=m?i（m∈R），且z?1+3i為純虛數(shù)（（1）設(shè)復數(shù)z1=m+2（2）復數(shù)z2=a?18．（2024·上?！つM預測）已知關(guān)于x的方程x2?3ax?3a=0a∈R的虛數(shù)根為x（1）求x1（2）若x1?x19．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）歐拉（1707-1783），他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e，圓周率π(1)將復數(shù)eπ3i+eπi表示成(2)求eπ(3)若zn=1，則z=zkk=0,1,2,?,n?1，這里zk=cos2kπn+isin2kπ專題5.4復數(shù)【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1復數(shù)的概念】 6【題型2復數(shù)的四則運算】 7【題型3復數(shù)的幾何意義】 8【題型4復數(shù)的相等】 9【題型5復數(shù)的?！?10【題型6復數(shù)的三角表示】 11【題型7復數(shù)與方程】 131、復數(shù)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過方程的解，認識復數(shù)

(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義

(3)掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義2022年新高考全國I卷：第2題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第2題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年新高考I卷：第2題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第1題，5分、（理數(shù)）：第1題，5分復數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復數(shù)的概念、運算及其幾何意義，屬于簡單題.預測明年高考復數(shù)依舊以單選題、填空題形式呈現(xiàn)，比較簡單.【知識點1復數(shù)的概念】1．復數(shù)的概念(1)復數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數(shù)集.這樣，方程+1=0在復數(shù)集C中就有解x=i了.(2)復數(shù)的表示復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.(3)復數(shù)的分類對于復數(shù)a+bi，當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0；當b≠0時，它叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即RC.

復數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復數(shù).

2．復數(shù)相等在復數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數(shù)才相等.【知識點2復數(shù)的幾何意義】1．復數(shù)的幾何意義(1)復平面

根據(jù)復數(shù)相等的定義，可得復數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應(yīng).復數(shù)集C中的數(shù)和復平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復數(shù)z=a+bi復平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復數(shù)的一種幾何意義.(3)復數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復數(shù).如圖所示，設(shè)復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復數(shù)z=a+bi平面向量，這是復數(shù)的另一種幾何意義.2．復數(shù)的模向量的模r叫做復數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復數(shù)(1)定義

一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù).4．復數(shù)的模的幾何意義(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數(shù)z=a+bi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數(shù)的模的幾何意義.(2)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【知識點3復數(shù)的運算】1．復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個復數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復數(shù)的減法法則.(3)復數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(4)復數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復數(shù).2．復數(shù)加法、減法的幾何意義(1)復數(shù)加法的幾何意義在復平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.(2)復數(shù)減法的幾何意義兩個復數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點Z對應(yīng)的復數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這是復數(shù)減法的幾何意義.3．復數(shù)運算的常用技巧(1)復數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知識點4復數(shù)有關(guān)問題的解題策略】1．復數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b=0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當且僅當a=0且b≠0.(2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.(3)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數(shù)為，則，即，若，則.2．復數(shù)的運算的解題策略(1)復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復數(shù).3．復數(shù)的幾何意義的解題策略由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.4．復數(shù)的方程的解題策略(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【方法技巧與總結(jié)】1．(1±i)2=±2i；；.2．.3．.4．復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.【題型1復數(shù)的概念】【例1】（2024·湖北·模擬預測）已知z=i?1+2i，則zA．2 B．?1 C．2i

D．?【分析】直接計算可得z=?2?i【詳解】由于z=i?1+2i=?i故選：B.【變式1-1】（2024·寧夏銀川·一模）已知復數(shù)z=m2?1+m+iA．1 B．?1 C．1或?1 D．2【分析】根據(jù)題意結(jié)合復數(shù)的相關(guān)概念列式求解即可.【詳解】因為z=m若復數(shù)z表示純虛數(shù)，則m2?1=0m?1≠0故選：B.【變式1-2】（2024·吉林白山·一模）復數(shù)z=i+2i2+3A．2i B．?2i C．2 【分析】根據(jù)虛數(shù)單位i的乘方運算規(guī)律將復數(shù)化簡，即得其虛部.【詳解】由z=i+2i2+3i3故選:D．【變式1-3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知復數(shù)z=m2?7m+6+m2A．±6 B．1或6 C．?6 D．1【分析】根據(jù)實部為零，虛部不為零列式計算.【詳解】由題意可得：m2?7m+6=0且m2故選：D.【題型2復數(shù)的四則運算】【例2】（2024·西藏·模擬預測）已知復數(shù)z=2?i，則zz?zA．?12+i B．12?【分析】根據(jù)共軛復數(shù)和除法法則進行計算，得到答案.【詳解】因為z=2?i，所以z所以zz?故選：A．【變式2-1】（2024·河南·三模）已知i為虛數(shù)單位，1+i31?A．1+i B．1?i C．?1+i【分析】根據(jù)復數(shù)乘法、除法運算化簡即可.【詳解】1+i故選：D.【變式2-2】（2024·陜西西安·三模）已知復數(shù)z=3+i，則z?iz?1A．?3 B．?35 C．3 【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法化簡z?i【詳解】因為z=3+i，所以z?iz?1=3故選：B.【變式2-3】（2024·北京·三模）若復數(shù)z=a?1+5a+1i為純虛數(shù)，其中a∈R，i為虛數(shù)單位，則a+iA．i B．?i C．1 D．【分析】由復數(shù)概念求出參數(shù)，結(jié)合復數(shù)四則運算即可求解.【詳解】由z=a?1+5a+1i是純虛數(shù)可知a=1，所以故選：A.【題型3復數(shù)的幾何意義】【例3】（2024·江西上饒·模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)z=12+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，得到z=2【詳解】由復數(shù)的運算法則，可得復數(shù)z=1復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(2故選：D.【變式3-1】（2024·重慶·二模）若復數(shù)z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內(nèi) B．第二象限內(nèi)C．第三象限內(nèi) D．第四象限內(nèi)【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義解出a，利用復數(shù)的幾何意義求解．【詳解】∵復數(shù)z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R復數(shù)z+a=3i+2在復平面上的對應(yīng)點為故選：A．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復平面內(nèi)A,B,C三點所對應(yīng)的復數(shù)分別為1?i,2?i,3+i，若四邊形ABCDA．2 B．2+i C．1 D．【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，利用向量相等即可求解.【詳解】由題意知A,B,C三點的坐標為A(1,?1),B(2,?1),C(3,1)，設(shè)復平面內(nèi)點D(x,y)，則AB=(1,0),DC又四邊形ABCD是復平面內(nèi)的平行四邊形，則AB=DC，則3?x=11?y=0，解得x=2故選:B．【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知z1=2?i，z2=a?2i（a∈R，i為虛數(shù)單位）．若z1，z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，A．1 B．－1 C．4 D．－4【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得OZ1=【詳解】由題意，得OZ1=2,?1，所以O(shè)Z1?故選:B．【題型4復數(shù)的相等】【例4】（2023·全國·三模）已知i3=a?bia,b∈R，則A．?1 B．0 C．1 D．2【分析】由復數(shù)相等的充要條件可得a,b的值.【詳解】因為i3=a?bi由復數(shù)相等的充要條件得a=0,b=1，所以a+b=1.故選：C.【變式4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知x+yi1+i=2?i，x,y∈A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)條件得出x+yi=1+i2?【詳解】解：∵x+yi1+∴x=3，y=1，∴x+y=4.故選：C.【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)a(1+i)+b=?i，其中a，bA．a(chǎn)=?1,b=?1 B．a(chǎn)=?1,b=1 C．a(chǎn)=1,b=1 D．a(chǎn)=1,b=?1【分析】利用復數(shù)相等即可求出結(jié)果.【詳解】因為a(1+i)+b=?i則a=?1a+b=0，即a=?1故選：B.【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知i為虛數(shù)單位，x,y為實數(shù)，若x+yi+2=3?4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【分析】由復數(shù)相等可列出方程組求解.【詳解】由題意x+yi所以x+2=3y=2y?4，解得x=1,y=4，所以x+y=5故選：D.【題型5復數(shù)的?！俊纠?】（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知復數(shù)z=i1?i，z表示z的共軛復數(shù)，則zA．24 B．12 C．22【分析】利用復數(shù)的除法運算求出z，再利用共軛復數(shù)及復數(shù)模的意義求解即得.【詳解】z=i1?i所以|z故選：C.【變式5-1】（2024·河北·模擬預測）若復數(shù)z=3?4i，則z?i?A．2 B．5 C．52 D．【分析】由共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的運算化簡z?i【詳解】因為z=3?4i，所以zz?i所以z?i故選：A.【變式5-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知a∈R，若z=a+i2i?1A．2 B．2 C．1 D．1【分析】先對z=a+i2i?1【詳解】z=a+若z為純虛數(shù)，則a?2=0且2a+1≠0，即a=2.則z=?i故選：C.【變式5-3】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知復數(shù)z1,z2,z1≠z2，若A．1 B．3 C．2 D．2【分析】設(shè)z=x+yix,y∈R，根據(jù)|z|=1和|z?1|=|z?【詳解】設(shè)z=x+yix,y∈R，則z?1=由|z|=1和|z?1|=|z?i所以x2+y即x2+y2=1且x=y所以z1=22+22則z1?z所以z1故選：C.【題型6復數(shù)的三角表示】【例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i?sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】cosπ在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為?1故選：B.【變式6-1】（2024·廣東·模擬預測）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinA．?ω B．1ω C．ω D．【分析】利用棣莫弗公式及三角函數(shù)的特殊值，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式即可求解.【詳解】依題意知，ω=cos由棣莫弗公式，得ω4=(所以ω4故選：C.【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為Z，設(shè)r=OZ,θ是以x軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+bi=rcosθ+isinθ，把rcosθ+isinθA．2cosπ12C．62cos5【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形及運算，利用復數(shù)相等可得z=6【詳解】設(shè)z=rcos則z3所以r=62，3θ=2kπ所以z=故k=2時，θ=17π12，故z故選：D.【變式6-3】（2023·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數(shù)z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcosθ+isinθ．棣莫弗定理是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個復數(shù)z1=r1A．12 B．12+32【分析】將z=12+【詳解】由題意可得z=1故z2023所以z=1故選：B.【題型7復數(shù)與方程】【例7】（2024·山西陽泉·三模）已知2+i是實系數(shù)方程x2+px?q=0的一個復數(shù)根，則p+q=A．?9 B．?1 C．1 D．9【分析】根據(jù)虛根成對原理2?i也是實系數(shù)方程x【詳解】因為2+i是實系數(shù)方程x則2?i也是實系數(shù)方程x所以?p=2+i+2?i所以p+q=?9.故選：A.【變式7-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）在復數(shù)范圍內(nèi)方程x2?2x+2=0的兩個根分別為x1，x2，則A．1 B．5 C．7 D．10【分析】先求出兩復數(shù)根，再根據(jù)復數(shù)的加法運算及復數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得x?12∴x?1=±i，即x=1±當x1=1?i，x∴x當x1=1+i，x∴x綜上，x1故選：D.【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一個根，則m=A．－2 B．2 C．i D．－1【分析】法一:將復數(shù)代入二次方程，利用復數(shù)相等求解；法二：利韋達定理求解.【詳解】方法1：由題意知(1+2i)2+m(1+2i方法2：根據(jù)虛根成對知1－2i也是方程的根，由韋達定理得(1+2i)+(1?2i故選:A.【變式7-3】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程x2+ix+1=0（其中i為虛數(shù)單位）的兩根分別為z1A．z12=z22>0 B．【分析】設(shè)方程x2+ix+1=0的根為z=a+bi，將其代入方程中的x中，根據(jù)復數(shù)相等的條件，構(gòu)造方程組，解出a【詳解】設(shè)方程x2+i代入方程，(a+bi)2故a2?b不妨令z1=?1+對于A：因為z12=對于B：z1對于C:1+z1+z因此，1+z對于D：z1故選:D.一、單選題1．（2024·北京大興·三模）已知m?i2為純虛數(shù)，則實數(shù)m=（A．0 B．1 C．?1 D．±1【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘方運算化簡m?i2，再根據(jù)實部為0，虛部不為【詳解】因為m?i又m?i2為純虛數(shù)，所以m2故選：D.2．（2024·新疆·三模）復數(shù)z滿足z+2i=z，則zA．?i B．i C．?1 D．【分析】設(shè)z=a+bi，根據(jù)模長公式列出方程，求出b=?1【詳解】設(shè)z=a+bi且a,b∈R，則因為z+2i=z，所以a2+b+22故選：C.3．（2024·陜西西安·模擬預測）若復數(shù)z=10i1?3iA．5 B．10 C．5 D．10【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復數(shù)模的計算方法，即可求解.【詳解】由復數(shù)z=10i1?故選：C.4．（2024·浙江·模擬預測）若復數(shù)z滿足z+2z=3+i（i為虛數(shù)單位)，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復數(shù)的運算法則求出z，再根據(jù)復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對應(yīng)的點，進而求解．【詳解】設(shè)z=a+bi,(a,b∈R)則a+bi+2a?bi=3+i，即解得a=1，b=?1，故z=1?i，對應(yīng)的點1,?1故選：D．5．（2024·浙江·模擬預測）已知z=?1+3i2，則A．1 B．3 C．2 D．3【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法、減法運算和復數(shù)的模計算得到結(jié)果.【詳解】由題得z2則z2答選：B.6．（2024·四川內(nèi)江·模擬預測）若復數(shù)z滿足z2?2z+4=A．3 B．2 C．5 D．2【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算以及復數(shù)模的計算公式即可求解.【詳解】因為z2所以(z?1)2解得z=1±3所以|z|=1+3故選：B.7．（2024·陜西安康·模擬預測）已知復數(shù)z滿足3?iz?i=3，則復數(shù)A．12?32i B．12【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)z，由共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：由題意，z=3則復數(shù)z的共軛復數(shù)z=故選：A.8．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，cosA．?1 B．0 C．1 D．i【分析】把θ=π【詳解】eiπ故選：B.二、多選題9．（2024·江蘇無錫·模擬預測）設(shè)z1,zA．z1z2C．若z1=z2，則z12【分析】設(shè)z1【詳解】設(shè)z1對于選項A：因為z1所以z1且z1z2對于選項B：因為z1則z1所以z1對于選項C：若z1=z2，例如但z12=1+i對于選項D：若z1<z2，則若z1?z2<0但z1綜上所述：“z1<z故選：ABD.10．（2024·湖北荊州·三模）已知復數(shù)z=m2?1+A．若z為純虛數(shù)，則m=±1B．若z為實數(shù)，則z=0C．若z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=2x上，則m=?1D．z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限【分析】首先得到復數(shù)的實部與虛部，再根據(jù)復數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷C、D.【詳解】復數(shù)z=m2?1+m+1i復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為m2對于A：若z為純虛數(shù)，則m2?1=0m+1≠0對于B：若z為實數(shù)，則m+1=0