2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專用)專題8.2兩條直線的位置關(guān)系【九大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題8.2兩條直線的位置關(guān)系【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線的平行與垂直】 3【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】 3【題型3兩直線的交點(diǎn)問題】 4【題型4距離問題】 4【題型5與距離有關(guān)的最值問題】 5【題型6點(diǎn)（或直線）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】 5【題型7點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱】 6【題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】 6【題型9直線系方程】 71、兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直(2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(3)掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離2022年上海卷：第7題，5分2024年北京卷：第3題，4分從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系、距離公式的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)距離公式、對(duì)稱關(guān)系的掌握，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的位置關(guān)系】1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）2．平行的直線的設(shè)法平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0.3．垂直的直線的設(shè)法垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.【知識(shí)點(diǎn)2三種距離公式】1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.【知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系】1．六種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)，關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y).(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,2b-y).(6)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k-y,k-x)，關(guān)于直線x-y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y,x-k).【知識(shí)點(diǎn)4直線系方程】1．直線系方程過直線與的交點(diǎn)的直線系方程為，但不包括直線.【題型1兩條直線的平行與垂直】【例1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線l1:2x+my?1=0，l2:m+1x+3y+1=0，則“m=2”是“l(fā)1//l2”的（

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點(diǎn)M(m,?1)，N(4,m)，且直線MN與直線2x?y+3=0垂直，則m=（

）A．?6 B．73 C．23 【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）“a=0”是“直線l1:x+2ay?2024=0與直線l2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x?3垂直，則（

）A．A=?2B≠0 B．A=2B≠0C．B=?2A≠0 D．B=2A≠0【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】【例2】（2024·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（

）．A．x?y+2=0 B．x?2y+4=0C．x?y?2=0 D．x+2y?4=0【變式2-1】（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）過點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（

A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0C．2x?y+4=0 D．2x+y=0【變式2-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點(diǎn)?2，0與y=x平行的直線方程是（A．x?y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x+y?2=0【題型3兩直線的交點(diǎn)問題】【例3】（2024·海南?？凇ざ＃┤糁本€y=?2x+4與直線y=kx的交點(diǎn)在直線y=x+2上，則實(shí)數(shù)k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線2x?y+6=0與直線x+y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(3，0) B．(?1,4) C．(?3,6) 【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經(jīng)過兩條直線2x?3y+10=0和3x+4y?2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x?y?1=0的直線方程為（

）A．x?2y?6=0 B．x+2y?2=0C．2x?y?3=0 D．2x+y?2=0【變式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直線l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【題型4距離問題】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）平行直線l1:2x+y?5=0與l2A．5 B．25 C．35 【變式4-1】（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）設(shè)A(0,18)，若函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上任意一點(diǎn)P(xA．14 B．12 C．2 【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知方程?x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0，則3b?aa2A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【題型5與距離有關(guān)的最值問題】【例5】（2024·吉林·二模）直線l的方程為λ+2x+λ?1y?3λ=0λ∈R，當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，A．?1 B．?5 C．1 D．5【變式5-1】（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．95 B．185 C．2910 【變式5-2】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，集合A=x,ykx?y+k=0，集合B=x,yy=kx?1，已知點(diǎn)M∈A，點(diǎn)N∈B，記d表示線段MN長度的最小值，則A．2 B．3 C．1 D．2【變式5-3】（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)Mx,y與點(diǎn)NA．210 B．22 C．2+【題型6點(diǎn)（或直線）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】【例6】（23-24高二上·全國·期末）點(diǎn)P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6【變式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點(diǎn)P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則一定在直線l1上的點(diǎn)為（A．(12,32) B．(?1,【變式6-3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古包頭·期末）與直線3x?4y+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．3x+4y?5=0 B．3x+4y+5=0C．3x?4y+5=0 D．3x?4y?5=0【題型7點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱】【例7】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)1,2關(guān)于直線x+y?2=0的對(duì)稱點(diǎn)是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,?1 D．2,1【變式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A?3,0,B0,3，從點(diǎn)P?1,0射出的光線經(jīng)y軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到A．210 B．6 C．25 【變式7-2】（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A?4,1．若將軍從山腳下的點(diǎn)B?3,2處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x?y+3=0，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．2 B．5 C．10 D．2【變式7-3】（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從A1,0出發(fā)，經(jīng)直線x+y+1=0反射后又經(jīng)過點(diǎn)B6,?5，則光線從A到B走過的路程為（A．55 B．214 C．58 D．【題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【例8】（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線l1:x?2y?2=0與l2關(guān)于直線l:2x?y?4=0A．11x+2y?22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y?11=0 D．10x+y?22=0【變式8-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線l1:3x?2y?6=0，直線l2:x?y?4=0，則l1A．3x+2y?14=0 B．2x?3y?14=0C．3x+2y?6=0 D．2x?3y?6=0【變式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)A?2,1射出，經(jīng)直線2x?y+10=0反射，且反射光線所在直線過點(diǎn)B(?8,?3)，則反射光線所在直線的方程是（

A．x?3y?1=0 B．3x?y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【變式8-3】（23-24高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0【題型9直線系方程】【例9】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過兩直線l1:x?3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y?7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x?y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x?y+1=0或x+y+1=0【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）過兩直線2023x?2022y?1=0和2022x+2023y+1=0的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為．【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過直線l1:7x?3y+1=0與l2:x+4y?3=0的交點(diǎn)，且在y軸上截距為1的直線一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:ax+3y?6=0，直線l2:2x+a?1y?4=0，則“l(fā)1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線l1：x+y+1=0，l2：x+y?1=0之間的距離是（A．1 B．2 C．22 3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:x+my+1=0與直線l2:x+(1?2m)y?3=0，則“m∈{1,?2}”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)P?1,0到直線l：3λ+1x+λ+1A．?1 B．1 C．?2 D．25．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l:x+y?1=0，一束光線從原點(diǎn)O出發(fā)沿射線y=kxx≥0向直線l射出，經(jīng)l反射后與x軸交于點(diǎn)M，再次經(jīng)x軸反射后與y軸交于點(diǎn)N.若MN=136，則A．32 B．C．12 D．6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A2,3,B4,1,直線x?2y+4=0與y軸相交于點(diǎn)C,則△ABC中AB邊上的高CEA．x+y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x?y?2=07．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A?3,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)B?1,1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．5 B．3 C．13 D．58．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）直線l1:x+1+a①?a∈R，使得l1//l2；

③?a∈R，l1與l2都相交；

④?a∈R，使得原點(diǎn)到其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④二、多選題9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線l1:x+2y?2=0，直線l2A．直線l2可以與x軸平行 B．直線l2可以與C．當(dāng)l1∥l2時(shí)，k=2 D．當(dāng)l10．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)2,3，且點(diǎn)A?3,2，B5,?4到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（A．4x?y?5=0 B．4x+y?11=0C．3x+4y?18=0 D．3x?4y+6=011．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為2x?y=0，y=0，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)A3,1，軍營所在位置為B6,3，則下列說法錯(cuò)誤的是（A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是5C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是85D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是2三、填空題12．（2024·山東·二模）過直線x+y+1=0和3x?y?3=0的交點(diǎn)，傾斜角為45°的直線方程為.13．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:?2x+a?2y+3=0與直線l2:bx?y?1=0,a>0,b>0，若l114．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)，且被兩條平行直線l1:3x+y+1=0和l2:3四、解答題15．（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知直線l1:2x+a?1(1)若l1//l(2)若l1⊥l16．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線l1:ax?3y+4b=0與直線l2:2x+by?2a=0相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且點(diǎn)M(3,1)到直線l的距離為1，求直線l的方程.17．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知兩直線l1(1)求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y?5=0的直線方程；(2)已知兩點(diǎn)A?1,1,B0,2，動(dòng)點(diǎn)P在直線l18．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(1)求直線l經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若P2,23，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點(diǎn)為K）、AC（反射點(diǎn)為I）反射后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線19．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A(5,1)、B(4,3)與C(0,?1)，直線m:(k+2)x+(k?1)y+k?1=0????(1)求邊AC所在直線l1的傾斜角和邊AC上的高所在直線l(2)記d為點(diǎn)A到直線m的距離，試問:d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，說明理由;專題8.2兩條直線的位置關(guān)系【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線的平行與垂直】 3【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】 4【題型3兩直線的交點(diǎn)問題】 5【題型4距離問題】 7【題型5與距離有關(guān)的最值問題】 9【題型6點(diǎn)（或直線）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】 11【題型7點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱】 12【題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】 15【題型9直線系方程】 171、兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直(2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(3)掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離2022年上海卷：第7題，5分2024年北京卷：第3題，4分從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系、距離公式的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)距離公式、對(duì)稱關(guān)系的掌握，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的位置關(guān)系】1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）2．平行的直線的設(shè)法平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0.3．垂直的直線的設(shè)法垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.【知識(shí)點(diǎn)2三種距離公式】1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.【知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系】1．六種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)，關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y).(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,2b-y).(6)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k-y,k-x)，關(guān)于直線x-y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y,x-k).【知識(shí)點(diǎn)4直線系方程】1．直線系方程過直線與的交點(diǎn)的直線系方程為，但不包括直線.【題型1兩條直線的平行與垂直】【例1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線l1:2x+my?1=0，l2:m+1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行判斷即得.【解答過程】當(dāng)m=2時(shí)，直線l1:2x+2y?1=0，當(dāng)l1//l2時(shí)，所以“m=2”是“l(fā)1故選：C.【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點(diǎn)M(m,?1)，N(4,m)，且直線MN與直線2x?y+3=0垂直，則m=（

）A．?6 B．73 C．23 【解題思路】借助垂直直線斜率的關(guān)系計(jì)算即可得.【解答過程】由題意可得?1?mm?4?2=?1，解得故選：A.【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）“a=0”是“直線l1:x+2ay?2024=0與直線l2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】求出直線平行的充要條件為a=3【解答過程】若l1//l2，則有1×a=2a(a?1)，所以當(dāng)a=0時(shí)，l1:x?2024=0,l2:?x+2024=0當(dāng)a=32時(shí)，所以“a=0”是“l(fā)1故選：D．【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x?3垂直，則（

）A．A=?2B≠0 B．A=2B≠0C．B=?2A≠0 D．B=2A≠0【解題思路】由直線垂直的充要條件即可列式得解.【解答過程】直線y=2x?3的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線Ax+By+C=0的斜率為?1即?AB=?12且A≠0故選：D.【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】【例2】（2024·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（

）．A．x?y+2=0 B．x?2y+4=0C．x?y?2=0 D．x+2y?4=0【解題思路】依題意設(shè)直線l的方程為x?y+m=0，代入0,?2求出參數(shù)的值，即可得解.【解答過程】因?yàn)橹本€l平行于直線x?y=0，所以直線l可設(shè)為x?y+m=0，因?yàn)樵趛軸上的截距是?2，則過點(diǎn)0,?2，代入直線方程得0??2解得m=?2，所以直線l的方程是x?y?2=0.故選：C.【變式2-1】（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）過點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（

A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0C．2x?y+4=0 D．2x+y=0【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【解答過程】直線x+2y+3=0的斜率為?12，故所求直線的斜率為所以，過點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是y?2=2即2x?y+4=0.故選：C.【變式2-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【解題思路】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.【解答過程】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB=1?21?3=又l過C2,3，所以l的方程為y?3=?2整理可得，2x+y?7=0.故選：A.【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點(diǎn)?2，0與y=x平行的直線方程是（A．x?y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x+y?2=0【解題思路】根據(jù)直線與y=x平行設(shè)出直線方程，根據(jù)過點(diǎn)?2，【解答過程】設(shè)直線方程為y=x+b，因?yàn)橹本€過點(diǎn)?2，所以b=2，所以直線方程為x?y+2=0.故選C.【題型3兩直線的交點(diǎn)問題】【例3】（2024·海南海口·二模）若直線y=?2x+4與直線y=kx的交點(diǎn)在直線y=x+2上，則實(shí)數(shù)k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【解題思路】求出直線y=?2x+4與直線y=x+2的交點(diǎn)，再代入求解作答.【解答過程】解方程組y=?2x+4y=x+2，得直線y=?2x+4與直線y=x+2的交點(diǎn)(依題意，83=2所以實(shí)數(shù)k=4.故選：A.【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線2x?y+6=0與直線x+y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(3，0) B．(?1,4) C．(?3,6) 【解題思路】兩個(gè)方程的聯(lián)立，加減消元法計(jì)算即可.【解答過程】2x?y+6=0……①x+y=3……②①+②得：3x=?3?x=?1……③③代入②有：y=4……④由③④得交點(diǎn)坐標(biāo)為：?1,4.故選：B.【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經(jīng)過兩條直線2x?3y+10=0和3x+4y?2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x?y?1=0的直線方程為（

）A．x?2y?6=0 B．x+2y?2=0C．2x?y?3=0 D．2x+y?2=0【解題思路】首先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫方程即可.【解答過程】由題知：2x?3y+10=03x+4y?2=0，解得：x=?2y=2，交點(diǎn)直線2x?y?1=0的斜率為2，所求直線斜率為?1所求直線為：y?2=?12(x+2)故選：B.【變式3-3】（23-24高二下·上?！て谥校┲本€l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】分l1//l2、l1【解答過程】①l1//l2時(shí)，則②l1//l3時(shí)，則③l2//l3時(shí)，則④三條直線交于一點(diǎn)7x+2y+1=0mx+y=0x+my?1=0，解得m=2x=?則實(shí)數(shù)m可取值的集合為72,2故選：D.【題型4距離問題】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）平行直線l1:2x+y?5=0與l2A．5 B．25 C．35 【解題思路】先通過平行求出b，再利用平行線的距離公式求解.【解答過程】因?yàn)閘1∥l2，所以解得b=?12，所以故兩平行直線間的距離d=10?故選：C．【變式4-1】（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）設(shè)A(0,18)，若函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上任意一點(diǎn)P(xA．14 B．12 C．2 【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析運(yùn)算.【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在函數(shù)又因?yàn)閨PA|=x0?0整理得a?2y由于a?2y0=0對(duì)y0恒成立，則故選：C.【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知方程?x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【解題思路】將方程中的a,b看成主元，x看成系數(shù)可得2xa+22b?(x2+2)=0，表示一條直線，直線上的點(diǎn)為(a,b)，根據(jù)a2+【解答過程】由題意知，將方程中的a,b看成主元，x看成系數(shù)，則變成二元一次方程2xa+22該方程可以表示直角坐標(biāo)系中的一條直線，直線上的點(diǎn)為(a,b)，a2+b2的幾何意義是點(diǎn)所以直線上的點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)(0,0)的距離不小于(0,0)到直線的距離，(0,0)到直線2xa+22d=2x?0+2即a2+b又y=x當(dāng)x=0時(shí)，ymin=1即a2+b故選：A.【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0，則3b?aa2A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【解題思路】根據(jù)題意設(shè)直線l：ax+by=0，點(diǎn)A1,?3，利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)A到直線l的距離為d=a?3ba2+b【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)直線l：ax+by=0恒過原點(diǎn)，點(diǎn)A1,?那么點(diǎn)A1,?3到直線l的距離為：因?yàn)閍>0,b<0，所以d=a?3ba2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，d=a?3b當(dāng)OA⊥l時(shí)，dmax所以1<d≤2，即1<a?因?yàn)?b?aa2故選：A.【題型5與距離有關(guān)的最值問題】【例5】（2024·吉林·二模）直線l的方程為λ+2x+λ?1y?3λ=0λ∈R，當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，A．?1 B．?5 C．1 D．5【解題思路】求出直線λ+2x+λ?1y?3λ=0λ∈R所過定點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)OA⊥l時(shí)，原點(diǎn)O到直線【解答過程】直線方程λ+2x+λ?1y?3λ=0由x+y?3=02x?y=0可得x=1所以，直線λ+2x+λ?1y?3λ=0當(dāng)OA⊥l時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離最大，且kOA又因?yàn)橹本€l的斜率為k=?λ+2λ?1=?故選：B.【變式5-1】（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．95 B．185 C．2910 【解題思路】先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.【解答過程】因?yàn)?6將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即|?24?5|62+8故選：C.【變式5-2】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，集合A=x,ykx?y+k=0，集合B=x,yy=kx?1，已知點(diǎn)M∈A，點(diǎn)N∈B，記d表示線段MN長度的最小值，則A．2 B．3 C．1 D．2【解題思路】將集合A,B看作是直線的集合，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案.【解答過程】集合A=x|kx?y+k=0可以看作是表示直線l由kx?y+k=0變形可得，kx+1由x+1=0y=0可得，x=?1所以直線l1:kx?y+k=0過定點(diǎn)集合B=x,yy=kx?1可看作是直線由y=kx?1變形可得，kx?y+1由x=0y+1=0可得，x=0所以，直線l2:y=kx?1過定點(diǎn)顯然，當(dāng)點(diǎn)M,N與點(diǎn)E,F分別重合，且線段MN與直線l1,l2都垂直時(shí)，故選：D.【變式5-3】（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)Mx,y與點(diǎn)NA．210 B．22 C．2+【解題思路】y可看作x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A1,2與點(diǎn)B3,?4的距離之和，可知當(dāng)A，P，B【解答過程】y=x則y可看作x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A1,2與點(diǎn)即PA+PB，則可知當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，即PA+故選：A.【題型6點(diǎn)（或直線）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】【例6】（23-24高二上·全國·期末）點(diǎn)P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求直線l上P1,2的對(duì)稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l【解答過程】由題設(shè)P1,2關(guān)于0,1對(duì)稱的點(diǎn)為(x,y)，若該點(diǎn)必在l∴1+x2=02+y2=1，解得x=?1故選：C.【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6【解題思路】根據(jù)線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱即可得兩直線平行，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱代入求解即可.【解答過程】由于直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，所以兩直線平行，故2a=4，則a=2，由于點(diǎn)(3,0)在直線x+2y?3=0上，(3,0)關(guān)于點(diǎn)A(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(?1,0)，故(?1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得?a+b=0，故b=a=2，故選：A.【變式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點(diǎn)P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則一定在直線l1上的點(diǎn)為（A．(12,32) B．(?1,【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用中點(diǎn)公式即可求直線l上P(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l1【解答過程】由題設(shè)，P(1,2)關(guān)于(0,1)對(duì)稱的點(diǎn)必在l1上，若該點(diǎn)為(x,y)∴{1+x2=02+y2=1，解得故選：C.【變式6-3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古包頭·期末）與直線3x?4y+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．3x+4y?5=0 B．3x+4y+5=0C．3x?4y+5=0 D．3x?4y?5=0【解題思路】設(shè)出所求對(duì)稱直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，代入已知直線方程，即可.【解答過程】設(shè)所求對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?x,?y)，該點(diǎn)在已知的直線上，則?3x+4y+5=0，即3x?4y?5=0.故選：D.【題型7點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱】【例7】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)1,2關(guān)于直線x+y?2=0的對(duì)稱點(diǎn)是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,?1 D．2,1【解題思路】設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列出式子即可求解.【解答過程】解：設(shè)點(diǎn)A1,2關(guān)于直線x+y?2=0的對(duì)稱點(diǎn)是B則有b?2a?1=1a+12+故點(diǎn)1,2關(guān)于直線x+y?2=0的對(duì)稱點(diǎn)是0,1.故選：B.【變式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A?3,0,B0,3，從點(diǎn)P?1,0射出的光線經(jīng)y軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到A．210 B．6 C．25 【解題思路】利用光線反射定理結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可求得光線所經(jīng)過的路程.【解答過程】直線AB的方程為x?y+3=0，P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E(1,0)，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為F(x,y)，則y?0x?1=?1x+12設(shè)點(diǎn)P?1,0射出的光線交y軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)D則光線所經(jīng)過的路程為PC=故選：C.【變式7-2】（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A?4,1．若將軍從山腳下的點(diǎn)B?3,2處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x?y+3=0，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．2 B．5 C．10 D．2【解題思路】找出對(duì)稱點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)特殊情況路徑最短，用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【解答過程】如圖，設(shè)點(diǎn)A?4,1關(guān)于直線x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m,n)，A′B

由軸對(duì)稱性質(zhì)得，n?1m+4=?1，解得m=?2，n=?1，故A′即P與P0則最短路程為AP故選：C.【變式7-3】（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從A1,0出發(fā)，經(jīng)直線x+y+1=0反射后又經(jīng)過點(diǎn)B6,?5，則光線從A到B走過的路程為（A．55 B．214 C．58 D．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱求出C點(diǎn)標(biāo),結(jié)合反射光線的性質(zhì)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求出距離的最小值即可.【解答過程】一束光線從A1,0出發(fā)，經(jīng)直線x+y+1=0反射,與x+y+1=0交于點(diǎn)由題意可得，點(diǎn)A1,0關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C設(shè)Cx0,y0∴C故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是AP+PB=CP+PB=BC=6+1故選：C.【題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題】【例8】（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線l1:x?2y?2=0與l2關(guān)于直線l:2x?y?4=0A．11x+2y?22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y?11=0 D．10x+y?22=0【解題思路】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式，求直線l2【解答過程】聯(lián)立x?2y?2=02x?y?4=0，得x=2取直線l1:x?2y?2=0上一點(diǎn)0,?1，設(shè)點(diǎn)0,?1關(guān)于直線l:2x?y?4=0的對(duì)稱點(diǎn)為a,b，則b+1a直線l2的斜率k=?112，所以直線l整理為：11x+2y?22=0.故選：A.【變式8-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線l1:3x?2y?6=0，直線l2:x?y?4=0，則l1A．3x+2y?14=0 B．2x?3y?14=0C．3x+2y?6=0 D．2x?3y?6=0【解題思路】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M(x,y)，M關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)N(x1,y1)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列出方程組解出x【解答過程】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M(x,y)，M關(guān)于直線l2:x?y?4=0的對(duì)稱點(diǎn)則y?y1x?∵點(diǎn)N(x1,y1∴3y+4?2x?4故選：B.【變式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點(diǎn)A?2,1射出，經(jīng)直線2x?y+10=0反射，且反射光線所在直線過點(diǎn)B(?8,?3)，則反射光線所在直線的方程是（

A．x?3y?1=0 B．3x?y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【解題思路】求出A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對(duì)稱點(diǎn)為C的坐標(biāo)，由B,C都在反射光線所在直線上得直線方程．【解答過程】設(shè)A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對(duì)稱點(diǎn)為C(x,y)，則(x?2)?y+12+10=0y?1x+2所以反射光線所在直線方程為y?3=?3?3?8+6?(x+6)故選：B．【變式8-3】（23-24高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0【解題思路】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【解答過程】因?yàn)橹本€l1：x?2y+m=0m>0與l2所以n=?2×2=?4，又兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0所以|2m+6|4+16=2即直線l1：x?2y+7=0，l2：設(shè)直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱的直線方程為則|?3?7|5=|?3?c|故所求直線方程為x?2y?13=0，故選：A.【題型9直線系方程】【例9】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過兩直線l1:x?3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【解題思路】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，求解即可.【解答過程】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，解得λ=?4故所求直線方程為x?3y+4?45(2x+y+5)=0故選：D.【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y?7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x?y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x?y+1=0或x+y+1=0【解題思路】設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結(jié)果.【解答過程】解：設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6?7λ=0令x=0，得y=7λ?6令y=0，得x=7λ?6由7λ?62+5λ得λ=13或所以直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.故選：C.【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）過兩直線2023x?2022y?1=0和2022x+2023y+1=0的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為4045x+y=0．【解題思路】根據(jù)直線相交設(shè)所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，結(jié)合直線過原點(diǎn)求參數(shù)，即可得方程.【解答過程】令所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，又直線過原點(diǎn)，則?1+λ=0?λ=1，所以所求直線為4045x+y=0.故答案為：4045x+y=0.【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過直線l1:7x?3y+1=0與l2:x+4y?3=0的交點(diǎn)，且在y軸上截距為1的直線l的方程為【解題思路】設(shè)交點(diǎn)系方程，結(jié)合直線過(0,1)求方程即可.【解答過程】由題設(shè)，令直線l的方程為7x?3y+1+λ(x+4y?3)=0，且直線過(0,1)，所以0?3+1+λ(0+4?3)=0?λ=2，故直線l的方程為9x+5y?5=0.故答案為：9x+5y?5=0.一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:ax+3y?6=0，直線l2:2x+a?1y?4=0，則“l(fā)1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系列式求解a，結(jié)合充分條件、必要條件的概念判斷即可.【解答過程】若直線l1:ax+3y?6=0和直線則a×a?1=2×3a×所以“l(fā)1∥l2”是“故選：A.2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線l1：x+y+1=0，l2：x+y?1=0之間的距離是（A．1 B．2 C．22 【解題思路】利用平行直線間的距離公式即可得解.【解答過程】因?yàn)閘1：x+y+1=0，l2：所以它們之間的距離為d=1?故選：B.3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:x+my+1=0與直線l2:x+(1?2m)y?3=0，則“m∈{1,?2}”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由l1⊥l2，計(jì)算得【解答過程】因?yàn)閘1所以1+m(1?2m)=0，解得m=1或m=?1所以“m∈{1,?2}”是“l(fā)1故選：D．4．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)P?1,0到直線l：3λ+1x+λ+1A．?1 B．1 C．?2 D．2【解題思路】先求得直線過的定點(diǎn)，再由點(diǎn)P與定點(diǎn)的連線與直線垂直求解.【解答過程】直線l：3λ+1x+整理得λ3x+y?4由3x+y?4=0x+y?2=0，可得x=1故直線恒過點(diǎn)A1,1點(diǎn)P?1,0到A1,1的距離故kPA直線l：3λ+1x+λ+1y?故?3λ+1λ+1故選：B.5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l:x+y?1=0，一束光線從原點(diǎn)O出發(fā)沿射線y=kxx≥0向直線l射出，經(jīng)l反射后與x軸交于點(diǎn)M，再次經(jīng)x軸反射后與y軸交于點(diǎn)N.若MN=136，則A．32 B．C．12 D．【解題思路】根據(jù)光學(xué)的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱性可先求O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，后求直線AP，可得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由MN=136【解答過程】如圖，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ax則x12+y1由題意知y=kxx≥0與直線l不平行，故k≠?1由y=kxx+y?1=0，得x=1k+1故直線AP的斜率為kAP直線AP的直線方程為：y?1=1令y=0得x=1?k，故M1?k,0令x=0得y=1?1k，故由對(duì)稱性可得由MN=136得(1?k)解得k+1k=136若k=32，則第二次反射后光線不會(huì)與故k=2故選：B.6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A2,3,B4,1,直線x?2y+4=0與y軸相交于點(diǎn)C,則△ABC中AB邊上的高CEA．x+y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x?y?2=0【解題思路】令x=0,得點(diǎn)C坐標(biāo),再根據(jù)CE⊥AB和斜率公式,得直線CE的斜率,結(jié)合點(diǎn)斜式求解即可.【解答過程】∵直線x?2y+4=0與y軸相交于點(diǎn)C,令x=0,得y=2,∴C由題知CE⊥AB,且直線AB的斜率kAB=易知點(diǎn)C在直線CE上,根據(jù)點(diǎn)斜式得y?2=x,即x?y+2=0.故選：C.7．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A?3,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)B?1,1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．5 B．3 C．13 D．5【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、互相垂直直線斜率的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】設(shè)點(diǎn)B?1,1關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的點(diǎn)為C則有?1+x2所以“將軍飲馬”的最短總路程為AC=故選：C.8．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）直線l1:x+1+a①?a∈R，使得l1//l2；

③?a∈R，l1與l2都相交；

④?a∈R，使得原點(diǎn)到其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解題思路】利用兩直線平行可得出關(guān)于a的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實(shí)數(shù)a的值，可判斷②；取a=1可判斷③；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷④.【解答過程】對(duì)于①，若l1//l對(duì)于②，若l1⊥l2，則對(duì)于③，當(dāng)a=1時(shí)，直線l1的方程為x+2y=0，即y=?12x，此時(shí)，對(duì)于④，直線l1的方程為x+若?a∈R，使得原點(diǎn)到l1的距離為2，則a?11+a+1Δ=100?4×3×7>0，方程3故選：C.二、多選題9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線l1:x+2y?2=0，直線l2A．直線l2可以與x軸平行 B．直線l2可以與C．當(dāng)l1∥l2時(shí)，k=2 D．當(dāng)l【解題思路】根據(jù)直線平行和垂直對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過程】當(dāng)k=0時(shí)，直線l2:x=3，此時(shí)直線l2若k=1，則直線l2:y+3=0，此時(shí)直線l2若l1∥l2，則k?2k?1經(jīng)驗(yàn)證可知此時(shí)兩直線不重合，C項(xiàng)正確；若l1⊥l2，則故選：ABC.10．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)2,3，且點(diǎn)A?3,2，B5,?4到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（A．4x?y?5=0 B．4x+y?11=0C．3x+4y?18=0 D．3x?4y+6=0【解題思路】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.【解答過程】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0由已知得?3k?2+3?2kk所以k=4或k=?3所以直線l的方程為4x?y?5=0或3x+4y?18=0.故選：AC.11．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為2x?y=0，y=0，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)A3,1，軍營所在位置為B6,3，則下列說法錯(cuò)誤的是（A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是5C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是85D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是2【解題思路】確定A(3,1)關(guān)于直線m,n對(duì)稱點(diǎn)A1,A2，確定B(6,3)關(guān)于直線【解答過程】對(duì)于A，如圖①所示，設(shè)點(diǎn)A(3,1)關(guān)于直線2x?y=0的對(duì)稱點(diǎn)為A1由y1?1x所以將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C(3對(duì)于B，如圖②所示，因?yàn)辄c(diǎn)A3,1關(guān)于直線y=0的對(duì)稱點(diǎn)為A將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是BA對(duì)于C，如圖③所示，因?yàn)辄c(diǎn)B6,3關(guān)于直線y=0的對(duì)稱點(diǎn)分別為，B點(diǎn)A(3,1)關(guān)于直線2x?y=0的對(duì)稱點(diǎn)為A1所以將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程A1對(duì)于D，如圖④所示，設(shè)點(diǎn)B6,3關(guān)于直線2x?y=0的對(duì)稱點(diǎn)分別為B由y2?3x2?6×2=?1,2×6+x將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是A2故選：ABD.

三、填空題12．（2024·山東·二模）過直線x+y+1=0和3x?y?3=0的交點(diǎn)，傾斜角為45°的直線方程為y=x?2.【解題思路】聯(lián)立直線求解交點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程.【解答過程】聯(lián)立x+y+1=0與3x?y?3=0可得x=1故交點(diǎn)為12,?3故直線方程為y+32=x?故答案為：y=x?2.13．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:?2x+a?2y+3=0與直線l2:bx?y?1=0,a>0,b>0，若l1【解題思路】根據(jù)直線垂直的條件得2=a+2