2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新高考專用)重難點34概率與統(tǒng)計的綜合問題【九大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

重難點34概率與統(tǒng)計的綜合問題【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1概率的綜合問題】 3【題型2超幾何分布與二項分布的綜合應(yīng)用】 4【題型3正態(tài)分布的綜合問題】 6【題型4概率與其它知識的交匯問題】 7【題型5決策型問題】 9【題型6頻率分布直方圖與分布列的綜合問題】 11【題型7回歸模型與分布列的綜合問題】 14【題型8獨立性檢驗與分布列的綜合問題】 17【題型9概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題】 201、概率與統(tǒng)計的綜合問題概率與統(tǒng)計是高考的重點、熱點內(nèi)容，概率與統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點錯綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，往往多個知識點結(jié)合考查.從近幾年的高考情況來看，題量通常為“兩小一大”，選擇題、填空題考查比較全面，側(cè)重基礎(chǔ)知識，難度不大；解答題重點考查概率統(tǒng)計主干知識，主要涉及古典概型、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、回歸分析、獨立性檢驗等內(nèi)容，試題難度中等；復(fù)習(xí)時加強這部分內(nèi)容的練習(xí)，靈活求解.【知識點1概率問題及其解題策略】1．古典概型中基本事件的求解方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.2．求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得.3．利用全概率公式的解題思路(1)按照確定的標(biāo)準，將一個復(fù)合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算.【知識點2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【知識點3離散型隨機變量及其分布的解題策略】1．離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率；(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列；(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.2．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值的定義求E(ξ).(5)由方差的定義求D(ξ).【知識點4二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布的解題策略】1．判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點：

(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.2．超幾何分布的應(yīng)用

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.3．正態(tài)分布問題的解題策略解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x=μ；(2)標(biāo)準差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.【知識點5回歸分析、獨立性檢驗的解題策略】1．回歸分析的三大常用結(jié)論(1)求解經(jīng)驗回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點的中心.(2)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程計算的值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值.(3)根據(jù)的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.2．獨立性檢驗的應(yīng)用問題的解題策略解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計算；(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.【題型1概率的綜合問題】【例1】（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）現(xiàn)有1000個蘋果，其中900個是大果，100個是小果，現(xiàn)想用一臺水果分選機篩選出來．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽出一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（

）A．855857 B．8571000 C．171200【變式1-1】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：PA|B=PA．4951000 B．9951000 C．1011【變式1-2】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為34，小郅勝小睿的勝率為1(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.【變式1-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）有編號為1,2,?,n的n個空盒子n≥2,n∈N，另有編號為1,2,?,k的k個球2≤k≤n,k∈N，現(xiàn)將k個球分別放入n個盒子中，每個盒子最多放入一個球．放球時，先將1號球隨機放入n個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個．記k號球能放入k號盒子的概率為(1)求P3,3(2)當(dāng)n≥3時，求Pn,3(3)求Pn,k【題型2超幾何分布與二項分布的綜合應(yīng)用】【例2】（23-24高二下·江蘇泰州·期末）已知20條試題中有8條選擇題，甲無放回地依次從中抽取5條題，乙有放回地依次從中抽取5條題，甲、乙每次均抽取一條試題，抽出的5條題中選擇題的條數(shù)分別為ξ1,ξ2，ξ1,ξA．Eξ1=EC．Eξ1<E【變式2-1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結(jié)果，估計盒子中的有獎券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【變式2-2】（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有m個紅球.(1)若n=5,m=3，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機變量X，求X的方差D(X)(2)從袋中有放回地摸取小球N次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量Y，若Y的期望E(Y)=12，方差D(Y)=2.4，求N;(3)若n=100，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若m=30，求紅球占比估計值的誤差不超過10%的概率p參考數(shù)據(jù):k0123456789100.30.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）某超市購進一批同種類水果，按照果徑大小分為四類：不達標(biāo)果?標(biāo)準果?精品果?禮品果.質(zhì)檢技術(shù)人員從該批水果中隨機選取100個，按果徑大小分成5組進行統(tǒng)計：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（單位：mm）.統(tǒng)計后制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑低于65mm為不達標(biāo)果，在65mm到75mm之間為標(biāo)準果，在75mm到(1)現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從選取的100個水果中抽取10個，再從這10個水果中隨機抽取2個，記禮品果的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)以頻率估計概率，從這批水果中隨機抽取nn≥2個，設(shè)其中恰有2個精品果的概率為Pn.當(dāng)Pn【題型3正態(tài)分布的綜合問題】【例3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量ξ~Bn,p，則當(dāng)np>5且n1?p>5時，ξ可以由服從正態(tài)分布的隨機變量η近似替代，且ξ的期望與方差分別與η附：若：η~Nμ,σ2，則Pμ?σ<η<μ+σ≈0.6827A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【變式3-1】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差Xn～N0,2n，要控制XA．141 B．128 C．288 D．512【變式3-2】（2024·河南·三模）某教學(xué)研究機構(gòu)從參加高考適應(yīng)性考試的20000名優(yōu)秀考生中隨機抽取了200人對其數(shù)學(xué)成績進行了整理分析，作出了如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，求得這200名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為x=110．據(jù)此估計這20000名優(yōu)秀考生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準差s(2)根據(jù)以往經(jīng)驗，可以認為這20000名優(yōu)秀考生的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中參數(shù)μ和σ可以分別用（1）中的x和s來估計.記考生本次考試的各科總成績?yōu)閅，若Y=5X?10另：6≈2.4若X?Nμ,σ2，則P【變式3-3】（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網(wǎng)銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了增強同學(xué)們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.(1)已知該校參加本次競賽的學(xué)生分數(shù)η近似服從正態(tài)分布N80,25，若某同學(xué)成績滿足μ?σ≤η≤μ+2σ，則該同學(xué)被評為“反詐標(biāo)兵”；若η>μ+2σ（i）試判斷分數(shù)為88分的同學(xué)能否被評為“反詐標(biāo)兵”；（ii）若全校共有40名同學(xué)被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學(xué)生人數(shù)（四舍五入后取整）.(2)已知該學(xué)校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現(xiàn)從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX參考數(shù)據(jù)：若ξ～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤ξ≤μ+σ【題型4概率與其它知識的交匯問題】【例4】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）2024年誕生的首個網(wǎng)紅城市，非哈爾濱莫屬．從“爾濱”“濱子”“南方小土豆”“廣西砂糖橘”這些雙方間親密、趣味的稱呼和各方的好評可以看出，哈爾濱在這個冰雪季推出的活動很受歡迎和認可．統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，今年元旦假期，擁有900多萬常住人口的哈爾濱累計接待游客超過300萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59億元，雙雙達到歷史峰值．為了能夠讓游客感到賓至如歸的服務(wù)，某校號召學(xué)生利用周末從事志愿活動，高三（2）班某學(xué)習(xí)小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、旅游宣傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為12；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為1(1)在有女生參加活動的條件下，求恰有一名女生參加活動的概率；(2)記隨機變量X為隨機選取的兩人得分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式4-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調(diào)查，隨機調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度?（單位：cm)(1)估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間30,45的概率；(3)已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為3%，果苗高度位于區(qū)間40,50的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的20%.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間【變式4-2】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個人通過初賽，進入決賽.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為p1，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為p2，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為(1)決賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負者積0分，首先累計到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)p1（?。┣笕丝偡e分為2分的概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束時，三人總積分X的分布列與期望(2)若p1【變式4-3】（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是23，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為13，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為(1)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；(2)記該同學(xué)第n天選擇綠豆湯的概率為Pn，證明：P(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù)．【題型5決策型問題】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）在某項體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現(xiàn)甲、乙兩位運動員對局，第一局甲勝的概率為12；若前一局甲負，則下一局甲勝的概率是12；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為(1)求甲在第3局中獲勝的概率；(2)現(xiàn)設(shè)置300萬元獎金，若甲在前3局中已經(jīng)勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎金的23，如果再繼續(xù)比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎金的34，第4局甲失敗，甲拿走獎金的【變式5-1】（2024·廣西·模擬預(yù)測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）．若將這100臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布；(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=17與n=18之中選其一，應(yīng)選用哪個？并說明理由．【變式5-2】（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為12；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為13,35(1)若m=2(2)招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過乙公司的筆試時，求m的取值范圍．【變式5-3】（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為p0<p<1，有3個選項正確的概率為1?p(1)小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若p=1【題型6頻率分布直方圖與分布列的綜合問題】【例6】（2024·遼寧遼陽·一模）根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄.2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當(dāng)日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，

(1)求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；(2)估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；(3)設(shè)這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為p1，小于80分的頻率為p2，若甲、乙2名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A，B影片的概率分別為p2，1?p2，乙觀看A，B影片的概率分別為p1，1?p1，當(dāng)天甲、乙觀看哪部電影相互獨立，記甲、乙這2名觀影者中當(dāng)天觀看【變式6-1】（2024·山西晉城·一模）某果園種植了一種水果，現(xiàn)隨機抽取這種水果的成熟果實200個，統(tǒng)計了這200個果實的果籽數(shù)量，得到下列頻數(shù)分布表：果籽數(shù)量1234水果數(shù)100504010(1)求這200個果實的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)與平均數(shù)．(2)已知這種水果的成熟果實的果籽數(shù)量會影響其市場售價，每個果實的果籽數(shù)量與果實的價格如下表所示：果籽數(shù)量1234價格/元201286以這200個果實的果籽數(shù)量各自對應(yīng)的頻率作為該果園這種成熟果實的果籽數(shù)量各自對應(yīng)的概率，從該果園的這種成熟果實中任選2個，在被選的成熟果實中至少有1個的果籽數(shù)量為1的前提下，設(shè)這2個果實的市場售價總和為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【變式6-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當(dāng)日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100）．(1)求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；(2)估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；(3)設(shè)這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為p1，小于80分的頻率為p2，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A，B影片的概率分別為p2，1?p2，乙觀看A，B影片的概率分別為p1，1?p【變式6-3】（2024·云南·二模）《密室逃脫》是一款實景逃脫類游戲，參與者被困在房間內(nèi)，需要根據(jù)提示尋找線索，在規(guī)定時間內(nèi)依次打開每一扇房門則游戲完成，否則失?。幻苁业曛鹘y(tǒng)計了400個顧客參與A主題密室逃脫的時間，得到顧客完成逃脫用時的頻率分布直方圖如圖：(1)若顧客用時均值大于60分鐘，且標(biāo)準差小于10分鐘，則認為該主題密室逃脫成功難度大．請判斷A主題的成功難度；（參考數(shù)據(jù)：方差s2(2)店主計劃至少80%的顧客能在規(guī)定時間m分鐘內(nèi)完成逃脫，試計算m(3)為吸引顧客，該店推出如下游戲規(guī)則：①在（2）的條件下，參加單人任務(wù)，在規(guī)定時間m分鐘內(nèi)完成則獎勵1元；②組團參與者可購買一份10元組團券，3人同時進入A主題的不同房間，若60分鐘內(nèi)所有人完成逃脫，則每人可獲10元獎勵，2人完成逃脫，則每人可獲7元獎勵，1人完成逃脫，則每人可獲3元獎勵．用頻率估計概率，若你是顧客，會選擇哪種方案？【題型7回歸模型與分布列的綜合問題】【例7】（2024·全國·模擬預(yù)測）20世紀80年代初，隨著我國的改革開放，經(jīng)濟體制和經(jīng)營體制逐漸靈活，市場上的商品日益豐富，城市和農(nóng)村出現(xiàn)小賣部．小賣部主營生活日用商品，有著經(jīng)營成本小、規(guī)模小、商品種類少、分布廣等特點．近幾年，市場商品極大的豐富，人們的生活水平達到了新的高度，實體小賣部逐漸被應(yīng)運而生的大小超市所取代．為適應(yīng)市場，某小賣部經(jīng)營者欲將經(jīng)營規(guī)模擴大，將小賣部發(fā)展成生鮮綜合超市，現(xiàn)將2013～2022年的年利潤（單位：萬元）統(tǒng)計如下：年限12345678910年利潤（萬元）28912101315161718其中，1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此類推，10表示2022年．(1)若年利潤y（單位：萬元）與小賣部營業(yè)年限x成正相關(guān)關(guān)系，在不改變經(jīng)營狀態(tài)的情況下，預(yù)測該小賣部2023年的年利潤．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)該小賣部經(jīng)營者從2013～2022年中年利潤不低于12萬元的年限里隨機抽取3個，記這3個年限中年利潤超過14萬元的有X個，求X的分布列和期望．附：線性回歸方程y=bx+a中，b=【變式7-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)；(2)為進一步提升該商場的人氣，提高營業(yè)額，該商場進行了摸球中獎回饋客戶活動，商場在出口處準備了三個編號分別為1，2，3的不透明箱子，每個箱子中裝有除顏色外大小和形狀均相同的24個小球（其中1號箱子中有18個紅球，6個白球；2號箱子中有16個紅球，8個黃球；3號箱子中有12個紅球，12個藍球）且含有自動攪拌均勻裝置．規(guī)則如下：在該商場購物的顧客憑購物小票均有一次參加此活動的機會，從三個箱子里各摸出一個小球（摸完后再依次放回），若摸出的3個小球顏色相同便中獎．若小明和他的3個朋友購物后均參加了該活動，且每人是否中獎相互獨立，記這4人中中獎的人數(shù)為X，求X的分布列與期望．（參考公式：回歸方程y=bx+a，其中【變式7-2】（2024·青海·一模）某公司自去年2月份某項技術(shù)突破以后，生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量得到改進與提升，經(jīng)過一年來的市場檢驗，信譽越來越好，因此今年以來產(chǎn)品的市場份額明顯提高，業(yè)務(wù)訂單量明顯上升，如下表是2023年6月份到12月份的訂單量數(shù)據(jù)．月份6789101112月份代碼t1234567訂單量y（萬件）4.75.35.65.96.16.46.6(1)試根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單量y與t的線性相關(guān)性強弱（0.75≤r?≤1，則認為y與t的線性相關(guān)性較強；r<0.75，則認為(2)建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2024年3月份接到的訂單數(shù)量；(3)為進一步拓展市場，該公司適時召開了一次產(chǎn)品觀摩與宣傳會，在所有參會人員（人數(shù)很多）中隨機抽取部分參會人員進行問卷調(diào)查，其中評價“產(chǎn)品質(zhì)量很好”的占50%，“質(zhì)量良好”、“質(zhì)量還需改進”的分別各占30%，20%，然后在所有參會人員中隨機抽取5人作為幸運者贈送禮品，記抽取的5人中評價“產(chǎn)品質(zhì)量很好”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與期望．附參考公式：r=i=1nxi?參考數(shù)據(jù)：i=17yi?y【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實施力度，促進居民收入增長的各項措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟社會發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居民人均可支配收入，將其繪制成散點圖（如圖1），發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（數(shù)據(jù)來源于重慶市統(tǒng)計局2023-05-06發(fā)布）.年份201420152016201720182019202020212022全體居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666參考數(shù)據(jù)：i=19參考公式:對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2(1)設(shè)年份編號為x（2014年的編號為1，2015年的編號為2，依此類推），記全體居民人均可支配收入為y（單位：萬元），求經(jīng)驗回歸方程y=(2)為進一步對居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進行分析，某分析員從2014～2022中任取3年的數(shù)據(jù)進行分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【題型8獨立性檢驗與分布列的綜合問題】【例8】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）為了檢測A、B兩種型號的抗甲流病毒疫苗的免疫效果，某醫(yī)療科研機構(gòu)對100名志愿者注射A型號疫苗，對另外100名志愿者注射B型號疫苗，一個月后，檢測這200名志愿者他們血液中是否產(chǎn)生抗體，統(tǒng)計結(jié)果如下表：疫苗抗體情況有抗體沒有抗體A型號疫苗8020B型號疫苗7525(1)根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗，判斷能否認為A型號疫苗比B型號疫苗效果好?(2)志愿者中已產(chǎn)生抗體的不用接種第二針，沒有產(chǎn)生抗體的志愿者需接種原型號抗甲流病毒疫苗第二針，且第二針接種A型號疫苗后每人產(chǎn)生抗體的概率為12，第二針接種B型號疫苗后每人產(chǎn)生抗體的概率為23，用樣本頻率估計概率，每名志愿者最多注射兩針．現(xiàn)從注射A、B型號抗甲流病毒疫苗的志愿者中各隨機抽取1人，X表示這2人中產(chǎn)生抗體的人數(shù)，求參考公式：χ2=n【變式8-1】（2024·云南·模擬預(yù)測）為了引導(dǎo)學(xué)生閱讀世界經(jīng)典文學(xué)名著，某學(xué)校舉辦“名著讀書日”活動，每個月選擇一天為“名著讀書日”，并給出一些推薦書目．為了了解此活動促進學(xué)生閱讀文學(xué)名著的情況，該校在此活動持續(xù)進行了一年之后，隨機抽取了校內(nèi)100名學(xué)生，調(diào)查他們在開始舉辦讀書活動前后的一年時間內(nèi)的名著閱讀數(shù)量，所得數(shù)據(jù)如下表：不少于5本少于5本合計活動前3565100活動后6040100合計95105200(1)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析舉辦該讀書活動對學(xué)生閱讀文學(xué)名著是否有促進作用；(2)已知某學(xué)生計劃在接下來的一年內(nèi)閱讀6本文學(xué)名著，其中4本國外名著，2本國內(nèi)名著，現(xiàn)從6本名著中隨機抽取3本在上半年讀完，求上半年讀完的國內(nèi)名著本數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：χ2=n臨界值表：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）近期一個被網(wǎng)友戲稱為“科目三”的魔性舞蹈橫空出世，歡快的場景、強烈的節(jié)奏加上夸張、土味的肢體動作，成為年輕人爭相模仿學(xué)習(xí)的舞蹈新寵.然而任何事物都有其兩面性，絲滑魔性的舞蹈動作在吸引人模仿的同時，腳踝的循環(huán)內(nèi)翻、外翻這個動作，如果平衡節(jié)奏把握不當(dāng)，就容易引起腳踝處的損傷：為了解小學(xué)生是否知道“科目三”舞蹈會帶來損傷，志愿者隨機走訪了90名小學(xué)生，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：知道不知道總計低年齡段142640高年齡段351550總計494190(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析“知道‘科目三’舞蹈會帶來損傷”與“學(xué)生的年齡段”是否有關(guān)；(2)為了解小學(xué)生們對待新鮮事物的態(tài)度，按低年齡段、高年齡段進行分層，用分層隨機抽樣的方式從上述走訪的知道“科目三”舞蹈會帶來損傷的學(xué)生中邀請了7名學(xué)生，從這7名學(xué)生中隨機抽取3名填寫調(diào)查表，記X為這3名學(xué)生中為高年齡段的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式：α0.10.050.010.050.001x2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n【變式8-3】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）2024年2月17日晚上八點，中華人民共和國第十四屆冬季運動會開幕式在內(nèi)蒙古冰上運動訓(xùn)練中心舉行，開幕式以“燃情冰雪

筑夢北疆”為主題，全程共80分鐘，分為開幕儀式和文體展演兩部分．開幕式融合“簡約、安全、精彩”的辦賽要求，整場參與表演的演員僅有約800人，通過數(shù)字技術(shù)并結(jié)合利用AR虛擬視效，將內(nèi)蒙古大地的“豪情、豪邁、豪放”呈現(xiàn)給全國人民．多首耳熟能詳?shù)膬?nèi)蒙古優(yōu)秀歌曲，以及那達慕、安代舞、馬頭琴等民俗、歌舞、器樂等表演元素，都在開幕式上呈現(xiàn)．文體展演之后，進行了“十四冬”主火炬點火儀式．隨機調(diào)查了某社區(qū)100人觀看第十四屆冬季運動會開幕式的情況，得到如下所示的2×2列聯(lián)表．看開幕式未看開幕式合計男551065女152035合計7030100(1)根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析觀看第十四屆冬季運動會開幕式是否與性別有關(guān)；(2)將頻率視為概率，用樣本估計總體．繼續(xù)從未觀看開幕式居民中抽取3人進一步的分析，記被抽取到的男性居民的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望Eξ與方差D附表及公式：P0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828其中χ2=n【題型9概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題】【例9】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球．從兩個盒子中各任取一個球交換，記為一次操作．重復(fù)進行nn∈N*次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率為(1)求隨機變量X1(2)求數(shù)列an(3)求證：i=1n【變式9-1】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）籃球運動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》SFSA全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進行13站比賽.(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進行調(diào)查，得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？(2)某?；@球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第n次觸球的概率為Pn，則P（i）證明：數(shù)列Pn（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式9-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）甲?乙?丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)投擲n次骰子后n∈N*，記球在乙手中的概率為pn(3)設(shè)dn=2【變式9-3】（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論.根據(jù)專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強大，在高壓的控制下，川渝地區(qū)上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).川東北某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況.星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經(jīng)計算可得：y=16i=16(1)因為優(yōu)惠券銷售火爆，App平臺在周六時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為13，選擇B套餐的概率為23，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為Pn(3)請依據(jù)下列定義，解決下列問題：定義：如果對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N0，使得當(dāng)n>N0時，an?a<ε（運用：記（2）中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列Pnn∈N?參考公式：b=i=1n一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若隨機變量X~Nμ,σ2，則當(dāng)σB．在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)R2刻畫模型回歸效果，RC．一元線性回歸模型中，如果相關(guān)系數(shù)r=0.98，表明兩個變量的相關(guān)程度很強D．在2×2列聯(lián)表中，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則χ2不變（χ2=2．（2024·全國·模擬預(yù)測）投擲6次骰子得到的點數(shù)分別為1，2，3，5，6，x，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（

）A．16 B．13 C．123．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)模考中，從甲?乙兩個班各自抽出10個人的成績，甲班的十個人成績分別為x1?x2?A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小4．（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為27，則下列說法正確的是（

A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系”5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）有mm≥3個盲盒，其中有n1≤n<m?1個內(nèi)有獎品.若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時組織方（知道盲盒內(nèi)部是否有獎品）打開了一個沒有獎品的盲盒，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為p1；若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時有個未選的盲盒因被風(fēng)吹掉而意外打開，且抽獎?wù)甙l(fā)現(xiàn)其內(nèi)部沒有獎品，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為p2，則對任意符合題意的m，A．p1<p2 B．p1=p2 6．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表一和下表二所示；表一X678910P0.070.220.380.300.03表二Y678910P0.090.240.320.280.07概率分布條形圖如下圖三和圖四所示：則以下對這兩名同學(xué)的射擊水平的評價，正確的是（

）A．EX>EY B．EX<EY7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p(0<p<1)，她擲了k次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使P(X=10)最大的N值估計N的取值并計算E(X).(若有多個N使P(X=10)最大，則取其中的最小N值).下列說法正確的是（

）A．E(X)>10 B．E(X)<10C．E(X)=10 D．E(X)與10的大小無法確定8．（2024·福建寧德·三模）2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華?福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當(dāng)?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動現(xiàn)場，為了解不同時段的入口游客人流量，從上午10點開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個小時反饋一次.指揮中心統(tǒng)計了前5次的數(shù)據(jù)i,yi，其中i=1,2,3,4,5,yi為第i次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程y=blogA．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0二、多選題9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）投擲一枚骰子，向上點數(shù)共有1-6六種可能，每一種情況的發(fā)生是等可能的，則下列說法正確的是（

）A．事件A“點數(shù)為1或2”和事件B“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件；B．每一局投兩次，記較大點數(shù)為該局得分，則每局得分的數(shù)學(xué)期望為4；C．事件C“點數(shù)為1或2或3”和事件B“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件；D．連續(xù)投擲40次，記出現(xiàn)6點的次數(shù)X，則隨機變量X的分布列中，X=6時概率最大．10．（2024·福建泉州·一模）為了研究青少年長時間玩手機與近視率的關(guān)系，現(xiàn)從某校隨機抽查600名學(xué)生，經(jīng)調(diào)查，其中有40%的學(xué)生近視，有20%的學(xué)生每天玩手機超過1小時，玩手機超過1小時的學(xué)生的近視率為50%（附：χ2=nα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828A．如果抽查的一名學(xué)生近視，則他每天玩手機超過1小時的概率為1B．如果抽查的一名學(xué)生玩手機不超過1小時，則他近視的概率為9C．根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，可認為每天玩手機超過1小時會影響視力D．從該校抽查10位學(xué)生，每天玩手機超過1小時且近視的人數(shù)的期望為511．（2024·海南·模擬預(yù)測）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用2n+1局n+1勝的賽制，其中n∈N?，即先贏n+1局者獲得最終冠軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為p，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則（A．若n=3，p=12B．若n=1，p=13，記決賽進行了XC．若n=2，p=34，記決賽進行了YD．若n=1比n=2時對甲更有利，則0<p<三、填空題12．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用m50?m50未服用80?mm?3050合計8020100取顯著性水平α=0.05，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則m(m≥40,m∈N)的最小值為．(參考公式：χ2=n13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在[60,+∞)內(nèi)就認為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認為身體素質(zhì)良好，在[84,+∞)內(nèi)就認為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值xi(i=1,2,3,…,100)，經(jīng)計算i=1100xi參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.682714．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）高三開學(xué)，學(xué)校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學(xué)，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學(xué)的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.四、解答題15．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）課外閱讀對于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長t（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘．時長t0,2020,4040,6060,8080,100學(xué)生人數(shù)5010020012525(1)估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在0,20和20,40的兩組中共抽取6人進行問卷調(diào)查，并從6人中隨機選取2人進行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時長在0,20的概率．16．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）A,AA,BB,AB,B王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，PM>0，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：17．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某工廠為了提高精度，采購了一批新型機器，現(xiàn)對這批機器的生產(chǎn)效能進行測試，對其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進行測量，統(tǒng)計繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值x和方差s2(2)以頻率估計概率，若在這批零件中隨機抽取4個，記內(nèi)徑在區(qū)間2.45,2.55內(nèi)的零件個數(shù)為Z，求Z的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)已知這批零件的內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布Nμ,σ2，現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)x作為μ的估計值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準差s作為σ的估計值，則在這批零件中隨機抽取200個，記內(nèi)徑在區(qū)間2.285,2.705上的零件個數(shù)為Y參考數(shù)據(jù)：0.011≈0.105，若X～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ18．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）某高校統(tǒng)計的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：樣本號i12345第xi12345參觀人數(shù)y2.42.74.16.47.9并計算得，i=15(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測第10天入校參觀的人數(shù)；(2)已知該校開放1號，2號門供參觀者進出，參觀者從這兩處門進校的概率相同，且從進校處的門離校的概率為13，從另一處門離校的概率為2附：回歸直線方程y=bx+19．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）中國共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強文化自信，發(fā)展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動，學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下：男女合計了解20不了解2040合計(1)將列聯(lián)表補充完整；(2)根據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對該宣傳活動的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)？(3)若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從了解該活動的學(xué)生中隨機抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2=P0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828重難點34概率與統(tǒng)計的綜合問題【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1概率的綜合問題】 3【題型2超幾何分布與二項分布的綜合應(yīng)用】 7【題型3正態(tài)分布的綜合問題】 11【題型4概率與其它知識的交匯問題】 14【題型5決策型問題】 19【題型6頻率分布直方圖與分布列的綜合問題】 24【題型7回歸模型與分布列的綜合問題】 29【題型8獨立性檢驗與分布列的綜合問題】 35【題型9概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題】 401、概率與統(tǒng)計的綜合問題概率與統(tǒng)計是高考的重點、熱點內(nèi)容，概率與統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點錯綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，往往多個知識點結(jié)合考查.從近幾年的高考情況來看，題量通常為“兩小一大”，選擇題、填空題考查比較全面，側(cè)重基礎(chǔ)知識，難度不大；解答題重點考查概率統(tǒng)計主干知識，主要涉及古典概型、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、回歸分析、獨立性檢驗等內(nèi)容，試題難度中等；復(fù)習(xí)時加強這部分內(nèi)容的練習(xí)，靈活求解.【知識點1概率問題及其解題策略】1．古典概型中基本事件的求解方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.2．求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得.3．利用全概率公式的解題思路(1)按照確定的標(biāo)準，將一個復(fù)合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算.【知識點2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【知識點3離散型隨機變量及其分布的解題策略】1．離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義；(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率；(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列；(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.2．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值的定義求E(ξ).(5)由方差的定義求D(ξ).【知識點4二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布的解題策略】1．判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點：

(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.2．超幾何分布的應(yīng)用

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.3．正態(tài)分布問題的解題策略解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x=μ；(2)標(biāo)準差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.【知識點5回歸分析、獨立性檢驗的解題策略】1．回歸分析的三大常用結(jié)論(1)求解經(jīng)驗回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點的中心.(2)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程計算的值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值.(3)根據(jù)的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.2．獨立性檢驗的應(yīng)用問題的解題策略解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計算；(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.【題型1概率的綜合問題】【例1】（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）現(xiàn)有1000個蘋果，其中900個是大果，100個是小果，現(xiàn)想用一臺水果分選機篩選出來．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽出一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（A．855857 B．8571000 C．171200【解題思路】法一：設(shè)抽取的果是大果為事件A，經(jīng)過分選機篩選后是“大果”為事件B，利用全概率公式求得PB法二：具體到有1000個蘋果，計算出真正的“大果”的個數(shù)和篩選出的“大果”的個數(shù)，由古典概型得到所求概率.【解答過程】法一：設(shè)抽取的果是大果為事件A，經(jīng)過分選機篩選后是“大果”為事件B，則由題意可知P(A)=0.9,P(B∣A)=1?0.05=0.95,P(A所以P(B)=P(BA)+P(BA所以這顆“大果”是真的大果的概率為P(A∣B)=P(AB)法二：根據(jù)題意，從1000個蘋果中機器篩選出的大果有900×0.95+100×0.02=857個，而這些機選“大果"中真正的大果有下900×0.95=855個，所以這顆“大果”是真的大果的概率為：855857故選：A．【變式1-1】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：PA|B=PA．4951000 B．9951000 C．1011【解題思路】設(shè)出事件，利用條件概率和全概率公式得到PAB【解答過程】設(shè)檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件A，此人患病為事件B，PABP=4.75%+1?0.05則PB故選：C.【變式1-2】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為34，小郅勝小睿的勝率為1(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.【解題思路】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式求解即可.（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨立事件概率乘法公式求解即可.（3）法一：利用條件概率求解即可；法二：根據(jù)事件的含義利用互斥事件概率加法公式和獨立事件概率乘法公式求解即可.【解答過程】（1）第一場比賽小郅獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小睿獲勝，滿足題意；第一場比賽小睿獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小郅獲勝，滿足題意；所以需要下第四場比賽的概率為1（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下，當(dāng)小金第一場輪空，第一場小郅勝小睿輸，第二場小金勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，此時13第一場小睿勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時13則小金獲勝P1當(dāng)小金第一場不輪空，第一場小郅勝小金輸，第二場小睿勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時13第一場小金勝小郅輸，第二場小睿勝小金輸，第三場小郅勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時13第一場小金勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，此時13所以第一場小郅與小金比賽，小金獲勝概率為P2同理，第一場小睿與小金比賽，小金獲勝概率為P3故小金獲勝概率為P=（3）法一：設(shè)A：小金最終獲勝；B：小郅第一場未輪空且獲勝，則PA|B結(jié)合（2）知PAB=1∴P法二：第一場小睿輪空時，小金最終獲勝概率為13第一場小金輪空時，小金最終獲勝概率為2×1P【變式1-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）有編號為1,2,?,n的n個空盒子n≥2,n∈N，另有編號為1,2,?,k的k個球2≤k≤n,k∈N，現(xiàn)將k個球分別放入n個盒子中，每個盒子最多放入一個球．放球時，先將1號球隨機放入n個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個．記k號球能放入k號盒子的概率為(1)求P3,3(2)當(dāng)n≥3時，求Pn,3(3)求Pn,k【解題思路】（1）分類討論1號球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計算；（2）分類討論1號球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計算；（3）分三類討論1號球放入的盒子，1號球放入j2≤j≤k?1號盒中等效于將編號為1,2,?,k?j+1的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號為1,2,?,n?j+1的盒中Pn?j+1,k?j+1，做差運算可得【解答過程】（1）1號球放入1號盒中的概率為131號球放入2號盒中的概率為13,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為11號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：P3,3（2）1號球放入1號,4號，5號，,n號盒中的概率為n?2n1號球放入2號盒中的概率為1n,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號，4號，5號，n號盒中，概率為n?21號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：P（3）1號球放入1號，k+1號，k+2號，k+3號，...,n號盒中的概率為n?k+1n,此時k號球可放入k1號球放入j2≤j≤k?1號盒中的概率為1n,此時2號，3號，剩下編號為j,j+1,j+2,?,k的球和編號為1,j+l,j+2,?,n的空盒，此時j號盒非空，j號球在所有空盒中隨機選擇一個放入，此時要讓k號球放入k號盒中的放法總數(shù)等效于將編號為1,2,?,k?j+1的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號為1,2,?,n?j+1的盒中（1號球仍然隨機選擇一個盒子放入）,所以概率為P1號球放入k號盒中時，此時k號球不能放入k號盒中：所以Pn,k整理得：nPn,k分別用n?1和k?1替換n和k，可得：n?1P由①②式相減，整理得：P從而Pn,kPn?k+2,2等于1號球不放在2號盒的概率，即P所以Pn,k【題型2超幾何分布與二項分布的綜合應(yīng)用】【例2】（23-24高二下·江蘇泰州·期末）已知20條試題中有8條選擇題，甲無放回地依次從中抽取5條題，乙有放回地依次從中抽取5條題，甲、乙每次均抽取一條試題，抽出的5條題中選擇題的條數(shù)分別為ξ1,ξ2，ξ1,ξA．Eξ1=EC．Eξ1<E【解題思路】隨機變量ξ1服從超幾何分布,隨機變量ξ【解答過程】由題意可知，ξ1的可能取值為0,1,2,3,4,5，ξ2的可能取值為隨機變量ξ1服從超幾何分布，隨機變量ξ根據(jù)超幾何分布的均值方差公式得：n=5,N=20,M=8，即E(ξD(ξ根據(jù)超二項分布的均值方差公式得：n=5,p=820D(ξ所以E(ξ1)=E(故選：A.【變式2-1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結(jié)果，估計盒子中的有獎券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【解題思路】根據(jù)題意，計算盒子中獎券數(shù)量對應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.【解答過程】設(shè)中獎的概率為p，30天中獎的天數(shù)為X，則X～B若盒子中的有獎券有1張，則中獎的概率為p=CEX若盒子中的有獎券有2張，則中獎的概率為p=CEX若盒子中的有獎券有3張，則中獎的概率為p=CEX若盒子中的有獎券有4張，則中獎的概率為p=CEX根據(jù)題意盒子中的有獎券有2張，更有可能30天中獎11天，故選：B.【變式2-2】（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個小球，其中有m個紅球.(1)若n=5,m=3，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個小球，其中紅球的個數(shù)為隨機變量X，求X的方差D(X)(2)從袋中有放回地摸取小球N次，每次摸出一個小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機變量Y，若Y的期望E(Y)=12，方差D(Y)=2.4，求N;(3)若n=100，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，若m=30，求紅球占比估計值的誤差不超過10%的概率p參考數(shù)據(jù):k0123456789100.30.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【解題思路】（1）根據(jù)題意X服從超幾何分布，先計算概率，再計算期望代入方差公式即可.（2）有放回的摸球，所以Y服從二項分布，利用期望，方差公式聯(lián)立求出N.（3）有放回的摸球，每次摸一個球，摸10次，紅球出現(xiàn)的次數(shù)k是服從二項分布的，想利用摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，當(dāng)紅球有30個時，紅球?qū)嶋H的比例為310如果紅球占比估計值的誤差不超過10%，|k10?【解答過程】（1）X的取值有0，1，2.且服從超幾何分布.因此P(X=0)=C22C3分布列如下：X012P133E(X)=0×1D(X)=(0?（2）因為有放回地摸取1個小球N次，每次摸到紅球的概率是mn，所以E(Y)=N·mn=12，D(Y)=N·mn所以N=15.（3）設(shè)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個小球中紅球出現(xiàn)k次，所以摸出紅球的頻率為k10，當(dāng)n=100，m=30紅球所占比例為310，如果以摸出紅球的頻率估計袋中紅球所占比例，且誤差不超過10%，因此：|k10?310|≤【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）某超市購進一批同種類水果，按照果徑大小分為四類：不達標(biāo)果?標(biāo)準果?精品果?禮品果.質(zhì)檢技術(shù)人員從該批水果中隨機選取100個，按果徑大小分成5組進行統(tǒng)計：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（單位：mm）.統(tǒng)計后制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑低于65mm為不達標(biāo)果，在65mm到75mm之間為標(biāo)準果，在75mm到(1)現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從選取的100個水果中抽取10個，再從這10個水果中隨機抽取2個，記禮品果的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)以頻率估計概率，從這批水果中隨機抽取nn≥2個，設(shè)其中恰有2個精品果的概率為Pn.當(dāng)Pn【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求得a，進而求出禮品果的個數(shù)，求出X的可能取值及對應(yīng)的概率，得到X的分布列，代入期望公式求解期望；（2）根據(jù)Pn?1Pn=5【解答過程】（1）由題意(0.004+0.016+0.060+0.080+a)×5=1，所以a=0.040，所以這100個水果中禮品果的個數(shù)為0.040×5×100=20，采用分層隨機抽樣的方法從選取的100個水果中抽取10個，其中禮品果有20100故隨機變量X的所有可能取值為0,1,2，則P(X=0)=C82C10所以X的分布列為X012P28161期望E(X)=0×28（2）由頻率分布直方圖知，從該批水果中隨機抽取1個，是精品果的概率為0.080×5=0.4，則Pn所以Pn?1要使Pn最大，則Pn?1P解得4≤n≤5，因為P4所以P4=P5，所以當(dāng)Pn最大時，【題型3正態(tài)分布的綜合問題】【例3】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量ξ~Bn,p，則當(dāng)np>5且n1?p>5時，ξ可以由服從正態(tài)分布的隨機變量η近似替代，且ξ的期望與方差分別與η附：若：η~Nμ,σ2，則Pμ?σ<η<μ+σ≈0.6827A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【解題思路】先得到ξ~B2500,12，滿足np>5且n【解答過程】骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率p=12，故顯然np=n1?p=2500×12>5故η～N1250,則μ+2σ=1250+50=1300，由正態(tài)分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為0.5+1故選：D.【變式3-1】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差Xn～N0,2n，要控制XA．141 B．128 C．288 D．512【解題思路】根據(jù)題意得PXn≥【解答過程】根據(jù)題意得PXn≥即P?因為μ=0，所以P?3σ≤X≤+3σ所以3σ≤14，所以2n所以至少要測量的次數(shù)為288次，故選：C.【變式3-2】（2024·河南·三模）某教學(xué)研究機構(gòu)從參加高考適應(yīng)性考試的20000名優(yōu)秀考生中隨機抽取了200人對其數(shù)學(xué)成績進行了整理分析，作出了如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，求得這200名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為x=110．據(jù)此估計這20000名優(yōu)秀考生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準差s(2)根據(jù)以往經(jīng)驗，可以認為這20000名優(yōu)秀考生的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中參數(shù)μ和σ可以分別用（1）中的x和s來估計.記考生本次考試的各科總成績?yōu)閅，若Y=5X?10另：6≈2.4若X?Nμ,σ2，則P【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)為x=110，利用方差的計算公式可得方差s2=150，利用所給數(shù)據(jù)6（2）由題目提示可得X～N110,150，σ≈12，利用正態(tài)分布的性質(zhì)可得P122≤X≤134=0.1359，又因為Y=5X?10【解答過程】（1）抽取的200名考生數(shù)學(xué)成績的方差估計值為s2=80?1102×0.02+故估計這20000名考生數(shù)學(xué)成績方差為150，標(biāo)準差s=150（2）由（1）知μ可用x=110來估計，σ2可用s2σ=150又==0.9545?0.6827故P122≤X≤134又Y=5X?10，所以P600≤Y≤660故這20000名考生中成績在［600,660]的人數(shù)服從二項分布B20000,0.1359，約為【變式3-3】（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網(wǎng)銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了增強同學(xué)們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.(1)已知該校參加本次競賽的學(xué)生分數(shù)η近似服從正態(tài)分布N80,25，若某同學(xué)成績滿足μ?σ≤η≤μ+2σ，則該同學(xué)被評為“反詐標(biāo)兵”；若η>μ+2σ（i）試判斷分數(shù)為88分的同學(xué)能否被評為“反詐標(biāo)兵”；（ii）若全校共有40名同學(xué)被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學(xué)生人數(shù)（四舍五入后取整）.(2)已知該學(xué)校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現(xiàn)從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX參考數(shù)據(jù)：若ξ～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤ξ≤μ+σ【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到μ=80，σ=5，結(jié)合75<88<90，得出結(jié)論；（ii）設(shè)全校參與本次競賽的人數(shù)為n，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，得到“反詐達人”的概率Pη>μ+2σ（2）根據(jù)題意，得到男生和女生了解“反詐”知識的概率，以及X的所有可能取值，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【解答過程】（1）解：（i）由題意知，該校參加本次競賽的學(xué)生分數(shù)η近似服從正態(tài)分布N可得μ=80，σ=5，因為75<88<90，則該同學(xué)能被評為“反詐標(biāo)兵”.（ii）設(shè)全校參與本次競賽的人數(shù)為n，“反詐達人”的概率為：P則40n=0.02275，解得n≈1758，所以參與本次知識競賽的學(xué)生人數(shù)約為（2）解：由題意知，男生了解“反詐”知識的概率為34，女生了解“反詐