湖南省岳陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷2

第1頁/共1頁湖南省岳陽市20232024學年高二上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷本試卷分試題卷和答題卷兩部分，請將答案填（涂）在答題卷上，考試結(jié)束后只交答題卷.本試卷共5頁，有22道題.全卷滿分150分，考試用時120分鐘.一、選擇題.（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求．【詳解】由已知得，所以，故選C．【點睛】本題主要考查交集、補集的運算．滲透了直觀想象素養(yǎng)．使用補集思想得出答案．2.復數(shù)的虛部為（）A. B.2i C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】先化簡計算，再根據(jù)復數(shù)虛部的定義可得結(jié)論.【詳解】因為，所以復數(shù)的虛部為.故選：D.3.設l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分，必要條件的定義判斷可得結(jié)論.【詳解】因為m，n在平面內(nèi)，，根據(jù)線面垂直的定義，可得且，所以“”是“且”的充分條件，當時，由m，n在平面，且，得不出，所以“”是“且”的不必要條件，所以“”是“且”的充分不必要條件.故選：A.4.，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】，所以.故選：B5.若，則事件與事件的關(guān)系是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件對立C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件互斥又獨立【答案】C【解析】【分析】計算出，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以事件與事件相互獨立、事件與事件不互斥，故不對立.故選：C.6.為拋物線的焦點，直線與拋物線交于A，B兩點，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，，利用兩點間的距離公式及余弦定理即可求解.【詳解】由題意得，直線與拋物線交于兩點，所以，所以，，所以，所以.故選：C7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺，黃昏時從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知將軍從山腳下的點處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】確定關(guān)于的對稱點，設飲馬點為，利用求最短路程.【詳解】若是關(guān)于的對稱點，則，設飲馬點為，如下圖示，由圖知：，當且僅當共線時等號成立，所以.故選：C8.如圖，正四面體的長為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以、、為基底表示，然后利用向量的數(shù)量積計算公式計算即可.【詳解】.故選：D二、選擇題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.若在上的投影向量為【答案】AD【解析】【分析】先利用向量減法運算的坐標運算可判斷A；求得向量的模判斷B；利用向量夾角坐標表示求得向量的夾角判斷C；利用投影向量的運算公式求解可判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；由已知可得，，故B錯誤；因為，又，所以，故C錯誤；在上的投影向量為，故D正確.故選：AD.10.已知圓，點是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于直線對稱 B.直線與圓相交所得弦長為C.若，則距離的最大值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線是否過圓心判斷A，利用點到直線的距離公式和垂徑定理判斷B，利用三角形三邊的關(guān)系列不等式判斷CD.【詳解】由題意可得圓的標準方程為，圓心為，半徑，選項A：因為圓心在直線上，所以圓關(guān)于直線對稱，說法正確；選項B：圓心到直線的距離，所以由垂徑定理可得弦長為，說法錯誤；選項C：因為，所以點在圓外，又因為點是上的動點，所以，當且僅當三點共線且在第三象限時等號成立，所以距離的最大值為，說法正確；選項D：因為點是上的動點，所以，，當且僅當三點共線且點在軸正方向上時等號成立，所以的最小值為，說法錯誤.故選：AC11.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，點是雙曲線上的點（異于、），則下列結(jié)論正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.若，則面積為D.點到、兩點的連線斜率乘積為【答案】BC【解析】【分析】求出、、的值，利用雙曲線的離心率公式可判斷A選項；求出該雙曲線的漸近線方程，可判斷B選項；利用雙曲線的定義、勾股定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷C選項；利用斜率公式結(jié)合雙曲線的方程可判斷D選項.【詳解】在雙曲線中，，，則，對于A選項，該雙曲線的離心率為，A錯；對于B選項，該雙曲線的漸近線方程為，B對；對于C選項，因為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，故，C對；對于D選項，設點，其中，且，可得，易知點、，則，D錯.故選：BC.12.在棱長為2的正方體中為CD的中點，是的中點，是側(cè)面內(nèi)的一動點（不包含四個頂點），則下列結(jié)論正確的是：（）A.點到平面的距離為 B.三棱錐體積是定值，定值為1C.存在點，使得平面 D.存在點，使得且【答案】ACD【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量結(jié)合點到平面距離判斷A,應用等體積結(jié)合三棱錐體積公式計算判斷B,設點的坐標，應用線面平行的向量關(guān)系及線線垂直的向量關(guān)系分別計算求解判斷C,D.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，設平面的法向量，則，取，得，所以點到平面距離為，A選項正確；，B選項錯誤；設，，，則，，則設平面的法向量，則，取，得，當，即時，平面,C選項正確；因為，則，，則所以，當時滿足得且，D選項正確；故選：ACD.三、填空題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點為，則________________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義直接代入計算可得結(jié)果.詳解】由題意可知，所以可得.故答案為：14.若直線與圓相切，則________________.【答案】9【解析】【分析】利用點到直線距離公式求出值.【詳解】圓，即的圓心，半徑，依題意，，解得.故答案為：915.若，且，則的最小值等于________________.【答案】8【解析】【分析】利用指數(shù)運算并由基本不等式中“1”妙用計算可得結(jié)果.【詳解】由可得，因此；又，所以；當且僅當時，即時，等號成立；所以的最小值等于8.故答案為：816.斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為________________.【答案】##【解析】【分析】首先發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)的規(guī)律，并計算接下來的圓弧所在圓的半徑和圓弧長，進而可得所求圓錐的底面半徑.【詳解】由斐波那契數(shù)可知，從第3項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)的和，所以接下來的一段圓弧所在圓的半徑是，對應的弧長是，設圓錐的底面半徑是，，解得：.故答案為：.四、解答題.（本題共6個小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最大值.【答案】（1）（2），最大值【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出的通項公式；（2）利用等差數(shù)列的求和公式可得出的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得出的最大值.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為為等差數(shù)列的前項和，，，即，所以，，所以，.【小問2詳解】，故當時，故有最大值.18.2020年1月15日教育部制定出臺了“強基計劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校考過程中通過筆試，進入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機抽取了100名同學的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計這100名同學面試成績的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1），（2）估計眾數(shù)為70，分位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由第三、四、五組的頻率之和為0.7，各組頻率之和為，建立方程組求解；（2）由頻率分布直方圖可知最高的矩形組為第三組，取中點可得眾數(shù)，求前兩組與前三組頻率之和，確定第分位數(shù)所在組，再由比例關(guān)系求解；（3）由抽樣比可得兩組選取人數(shù)，列舉法得，，再由古典概型概率公式可求.【小問1詳解】由題意可知：，，解得，；【小問2詳解】由頻率分布直方圖估計眾數(shù)為，前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，則估計第分位數(shù)為；【小問3詳解】根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設為和則在這5人中隨機抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有共10個，即，記事件“兩人來自不同組”，則事件包含的樣本點有共4個，即，所以.19.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，且的面積為3，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可得解；（2）利用余弦定理及面積公式求出、，即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，為外接圓的半徑，∴．∵，∴．又，∴．【小問2詳解】由（1）知，又∵，由余弦定理，得①，由題意知，即②，聯(lián)立①②得，所以，故．20.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】四邊形為矩形，，為中點，，又，，；平面，平面，；，平面，平面.【小問2詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一個法向量為，，即平面與平面夾角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）令可求出的值，再令由可得出，兩式作差可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論求出數(shù)列的通項公式，可求出，利用錯位相減法和分組求和法可求得.【小問1詳解】因為數(shù)列的前項和為，且，所以①，當時，，解得，當時，②，①②得，所以，即，即，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，則，所以，，所以，，則，令③，所以，④，③④得，所以，，故.22.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點，