現(xiàn)代控制理論第六章2010 學(xué)習(xí)課件

第六章?tīng)顟B(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2極點(diǎn)配置6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制6.4狀態(tài)觀測(cè)器6.5帶狀態(tài)觀測(cè)器的反饋系統(tǒng)2/28/20256.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律2/28/2025則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為：B-uy+Cv+的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2/28/2025狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時(shí)，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反饋就等價(jià)于輸出反饋。2/28/2025①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)191頁(yè)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2/28/2025②若，則的狀態(tài)空間表達(dá)式為：則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為：B-uy+Cv2/28/2025①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見(jiàn)書(shū)191頁(yè)）(2)D=0時(shí)，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2/28/2025②時(shí)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖輸出反饋：a到b前向通道：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣為：2/28/2025-yv閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：2/28/2025證

注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線(xiàn)性組合表示。

定理6.1.1

對(duì)于任何實(shí)常量矩陣，系統(tǒng)充要條件是系統(tǒng)完全能控。完全能控的2/28/2025的列向量可以由()的的線(xiàn)性組合表示。列向量依此類(lèi)推，不難看出≤這意味著

的列向量可以由的列向量的線(xiàn)性組合表示。2/28/2025系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋而獲得的，

因此，同理有于是定理得證。所以系統(tǒng)的能控性等價(jià)于系統(tǒng)的能控性，2/28/2025

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)2/28/2025

：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀測(cè)。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/28/20256.2極點(diǎn)配置6.2.1極點(diǎn)配置定理6.2.2單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置6.2.3討論2/28/2025

定理6.2.1給定系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充完全能控。要條件6.2.1極點(diǎn)配置定理2/28/2025證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng)能控，故通過(guò)等價(jià)變換必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)形

這里，為非奇異的實(shí)常量等價(jià)變換矩陣，且有，

2/28/2025引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/28/2025

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為2/28/2025同時(shí)，由指定的任意個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)

可求得期望的閉環(huán)特征方程通過(guò)比較系數(shù)，可知2/28/2025由此即有又因?yàn)樗?/28/2025且對(duì)任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必2/28/20256.2.2單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置yB-u-C+-Buy-C+開(kāi)環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)2/28/2025閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)原系統(tǒng)的極點(diǎn)2/28/2025關(guān)鍵：怎樣計(jì)算反饋向量K？2/28/2025算法1：按能控標(biāo)準(zhǔn)形求

K1、求A的特征多項(xiàng)式2、求閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式3、計(jì)算2/28/20254、計(jì)算2/28/20254、計(jì)算5、計(jì)算2/28/2025算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

其中,是反饋矩陣的函數(shù)2)計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求2/28/2025算法2：直接法利用方程兩邊S的各次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等2/28/2025例6.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為Friday,February28,2025解：因?yàn)橄到y(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋控制律能任意配置閉環(huán)特征值。2/28/2025算法1：利用規(guī)范化方法配置極點(diǎn)設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣為1）閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為得2/28/20252)期望的特征多項(xiàng)式得3)2/28/20254)5)6)2/28/2025算法2：直接法因?yàn)榻?jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣為2/28/2025根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點(diǎn)，可求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:

與例6.2.1結(jié)果相同2/28/2025狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會(huì)降低，這是由分子分母的公因子被對(duì)消所致。(1)6.2.3討論對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會(huì)移動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。2/28/2025(4)系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點(diǎn)，移到

s平面的左半部，這一過(guò)程稱(chēng)為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

只有的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。2/28/20256.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制（自學(xué)）6.3.1問(wèn)題的提出6.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論2/28/20256.3.1問(wèn)題的提出

考慮MIMO系統(tǒng)

(6.3.1)在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)描述：

(6.3.2)2/28/2025式(6.3.2)可寫(xiě)為2/28/2025：

1)即系統(tǒng)的輸出個(gè)數(shù)等于輸入個(gè)數(shù)；每一個(gè)輸入控制著多個(gè)輸出，而每一個(gè)輸出被多少個(gè)輸入所控制我們稱(chēng)這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。一般說(shuō)來(lái)，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個(gè)輸出受且只受一個(gè)輸入的控制，這必將大大的簡(jiǎn)化控制實(shí)現(xiàn)這樣的。控制稱(chēng)為解耦控制，或者簡(jiǎn)稱(chēng)為解耦。三個(gè)基本假定2/28/20252)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的

圖6.3.1+-2/28/2025解耦控制問(wèn)題:尋找一個(gè)輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對(duì),使得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣顯然，經(jīng)過(guò)解耦的系統(tǒng)可以看成是由個(gè)獨(dú)立單變量子系統(tǒng)所組成。2/28/2025圖

6.3.22/28/20256.3.2實(shí)現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論

定義兩個(gè)特征量并簡(jiǎn)要介紹它們的一些性質(zhì)。1)已知傳遞函數(shù)陣其中都是嚴(yán)格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差2/28/2025此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態(tài)反饋不改變2/28/2025例6.3.1給定系統(tǒng)其中:2/28/2025其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:2/28/2025因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。2/28/2025定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，2/28/2025證：對(duì)等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知2/28/2025當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時(shí)，由方程組可唯一確定出和在狀態(tài)反饋下,有:2/28/2025輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證在狀態(tài)反饋下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:2/28/2025

其傳遞函數(shù)矩陣為:2/28/20256.3.3算法和推論

算法：

1)求出系統(tǒng)的2)構(gòu)成矩陣，若非奇異，則可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態(tài)反饋控制律。2/28/2025例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實(shí)現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。2/28/2025解：1)在例6.3.1中已求得

2)因?yàn)闉榉瞧娈惖?所以可狀態(tài)反饋解耦.3)因?yàn)樗杂?/28/2025于是4)反饋后，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有2/28/2025推論：1)能否態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。3)系統(tǒng)解耦后，每個(gè)SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為重積分形式。須對(duì)它進(jìn)一步施以極點(diǎn)配置。2/28/20254)要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2/28/20256.4狀態(tài)觀測(cè)器6.4.1狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件6.4.2全維狀態(tài)觀測(cè)器2/28/2025一、觀測(cè)器的設(shè)計(jì)思路狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)狀態(tài)估計(jì)器（或動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器），它是利用被控對(duì)象的輸入變量u和輸出y對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)x進(jìn)行估計(jì)，從而解決某些狀態(tài)變量不能直接測(cè)量的難題。2/28/2025問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造一個(gè)新的系統(tǒng)

(或者說(shuō)裝置)，利用原系統(tǒng)中可直接測(cè)量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號(hào)，并使其輸出信號(hào)滿(mǎn)足2/28/20256.4.1狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件定理6.4.1給定線(xiàn)性系統(tǒng)若此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，則狀態(tài)向量x可由輸入u和輸出y的相應(yīng)信息構(gòu)造出來(lái)。2/28/2025證:因?yàn)?/28/2025即所以,只有當(dāng)時(shí)，上式中的才能有唯一解即只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)時(shí),狀態(tài)向量才能由以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合構(gòu)造出來(lái)。2/28/20256.4.2全維狀態(tài)觀測(cè)器開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器：(1)構(gòu)造一個(gè)與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置2/28/2025圖6.4.12/28/2025從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測(cè)量。這種開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)器存在如下缺點(diǎn)：每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對(duì)估計(jì)器實(shí)施設(shè)置；①②在

有正實(shí)部特征值時(shí)，最終總要趨向無(wú)窮大。2/28/2025(2)閉環(huán)全維狀態(tài)觀測(cè)器因?yàn)?/p>

其解為若,則有狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程可寫(xiě)為：由于,觀測(cè)器中的特征值配置問(wèn)題等價(jià)與對(duì)偶系統(tǒng)中極點(diǎn)配置問(wèn)題。2/28/2025圖6.4.22/28/2025定理6.4.2

若n維線(xiàn)性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完能觀，則存在狀態(tài)觀測(cè)器其估計(jì)誤差滿(mǎn)足在負(fù)共軛特征值成對(duì)出現(xiàn)的條件下，可選擇矩陣來(lái)任意配置的特征值。2/28/2025例6.4.1為例6.2.1的系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器，并使觀測(cè)器的極點(diǎn)為，。解:系統(tǒng)完全能觀測(cè)的，可構(gòu)造任意配置特征值全維狀態(tài)觀測(cè)器。1)由,得；2)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為得2/28/20253)4)5)6)2/28/2025得全維狀態(tài)觀測(cè)器2/28/2025其模擬結(jié)構(gòu)如圖為圖6.4.3返回2/28/20256.4.3降維觀測(cè)器思路：利用輸出的q個(gè)分量直接產(chǎn)生q個(gè)狀態(tài)變量，其余的