廣東省陽(yáng)江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題 含解析

機(jī)密★啟用前2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高一期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合,，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】寫(xiě)出集合，按照補(bǔ)集的運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題得，又，所以．故選：B2.設(shè)，則“”是“或”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分不必要條件的定義即可得解.【詳解】一方面：或；另一方面：或，但此時(shí)不滿足；所以“”是“或”的充分不必要條件.故選：B.3.若，，且，則的最小值是（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本（均值）不等式，可求和的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以（?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.故選：D4.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，為方程的兩根，由此求出的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的值域，從而得解.【詳解】由關(guān)于的不等式的解集為，得，為方程的兩根，即，整理得，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)，，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】通過(guò)賦值，構(gòu)造方程即可求解.【詳解】分別令和得到：，解得：，故選：B6.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸知識(shí)求解即可；【詳解】由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D.7.已知函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，則，判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用作商法比較的大小，進(jìn)而可得大小關(guān)系.【詳解】由，令，則，由，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，，因?yàn)椋?，所以，所以，所?所以即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，得出，是解決本題的關(guān)鍵.8.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，及在區(qū)間上的單調(diào)性，可知，又函數(shù)與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的圖象與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)于三角函數(shù)中的取值范圍問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲盗嘘P(guān)于的不等式，從而求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的最小值是B.的最大值是C.的最小值是D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，即（?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”），故A項(xiàng)正確；對(duì)B：因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”），故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”），故C項(xiàng)正確；對(duì)D：由，所以，由B知：成立，故D項(xiàng)正確故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)榍?B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.在內(nèi)有最小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)偶函數(shù)的定義可得選項(xiàng)B正確；分離參數(shù)，利用分式型函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng)C正確；利用函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.得，故的定義域?yàn)?，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴為偶函數(shù)，選項(xiàng)B正確.C.當(dāng)時(shí)，，∵在上為減函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，選項(xiàng)C正確.D.由選項(xiàng)C得在上為增函數(shù)，由為偶函數(shù)可得在上為減函數(shù)，∴在上無(wú)最小值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A.為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，進(jìn)而利用三角函數(shù)的對(duì)稱性判斷A，同時(shí)判斷B，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與整體法判斷C，利用三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，則，所以為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，對(duì)于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知，的與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的解集為或得到，進(jìn)而根據(jù)解一元二次不等式即可.【詳解】由題意得的兩個(gè)根為，，，則，則，即，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.13.已知，且，則__________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合即可求解.【詳解】，則則有，若，則故答案為：14.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求解即可.【詳解】，故，因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)椋遥时赜?，如圖所示，則故故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分兩種情況討論，即可求得結(jié)果；（2）先將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，解得；綜上的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，整理可得，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，當(dāng)，即時(shí)，解為；當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，解得或；綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.16.在中，角所對(duì)的邊分別為是的面積，且滿足.（1）證明：；（2）若，求角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式可得，再代入余弦定理可得，最后由正弦定理和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.（2）由得，代入，結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，，可?由余弦定理可得，即.由正弦定理得，即所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由得.因?yàn)?，所以，所以，展開(kāi)得，，，，，，可得.17.“守護(hù)碧水藍(lán)天，共治污水之源”，重慶市某自來(lái)水廠決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量．經(jīng)測(cè)算，水廠擬安裝一種新的污水凈化設(shè)備．這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2，預(yù)計(jì)安裝后該水廠需繳納的總水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為，將該水廠的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）．（1）要使不超過(guò)11.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；（2）設(shè)備占地面積為多少平方米時(shí)，的值最小，并求出此最小值．【答案】（1）（2）設(shè)備占地面積為25平方米時(shí)，的值最小，最小值為11萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）由題意得，解不等式即可；（2）將變形為，再利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，令，即，整理得，即，解得，所以設(shè)備占地面積的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以設(shè)備占地面積為25平方米時(shí)，的值最小，最小值為11萬(wàn)元.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；（2）若，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求出的單調(diào)性，求出在區(qū)間上的最小值；（2）由題意得在的值域包含于在的值域，分、和三種情況并結(jié)合單調(diào)性求解.【小問(wèn)1詳解】，令，，所以，在單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上的最小值為；小問(wèn)2詳解】由題意得在的值域包含于在的值域，由二次函數(shù)的性質(zhì)得的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，為對(duì)勾函數(shù)，，所以，，此時(shí)，所以，又，可知無(wú)解；綜上，.19.已知函數(shù)在的最小值為．（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題分類討論得函數(shù)單調(diào)性從而可得函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)的解析式確定函數(shù)單調(diào)性從而解不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)