高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題06四邊形的綜合問(wèn)題測(cè)試題

專(zhuān)題06四邊形的綜合問(wèn)題

例1.如圖，△力加中，AB=2yf2,乙力加二90。，在月方的同側(cè)作正

△力劭、正△/房和”則四邊形故應(yīng)面積的最大值是__________.

同類(lèi)題型：1.1如圖，力中，力尸=4,BP=3、在.%的同側(cè)作正^

ABD、正44萬(wàn)和正△以"則四邊形也應(yīng)面積的最大值是

同類(lèi)題型：1.2如圖，在LJABCD中,分別以4反為邊向外作等邊

MABE、XADF、延長(zhǎng)”交"于點(diǎn)G,點(diǎn)G在點(diǎn)力、￡之間，連接6

CF、EF、則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是（）

①'CDF^EBC；②乙CDF=LEAF、,③△￡”是等邊三角形；④CG_L

AE.

A.只有①（②B.只有①O③C.只有③④D.①?③④

同類(lèi)題型：1.3,如圖，四邊形力是平行四邊形，點(diǎn)E是邊切上的

一點(diǎn).，且BC=EC,CF上BE交AB于點(diǎn)F,尸是宓延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),下列

蟒?.gBE平分乙CBF；②CF平分乙DCB；③BC=FB；④PF=R.其中

正確的有.（填序號(hào)）

同類(lèi)題型：1.4如圖，在口力時(shí)中，4為5的平分線(xiàn)交切于點(diǎn)瓦交

回的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,乙心彳的平分線(xiàn)交切于點(diǎn)人交/〃的延長(zhǎng)線(xiàn)于

點(diǎn)〃4G與初交于點(diǎn)。，連接龍，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

K.BO=OHB.DF;CEC.DH=CGD.AB=AE

例2.圖甲是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品.該作品由形如圖乙

的矩形圖案拼接而成（不重疊、無(wú)縫隙）.圖乙中左=7，^=4cm.

上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為54頷2,其內(nèi)部菱形由兩組距離相

等的平行線(xiàn)交叉得到，則該菱形的周長(zhǎng)為一

同類(lèi)題型：2.1如圖，在菱形力靦中，力夕=4cm,乙/%=120。，點(diǎn)公

尸同時(shí)由人。兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿力從力方向向點(diǎn)8勻速移動(dòng)（到點(diǎn)

8為止），點(diǎn)￡的速度為Icm/s,點(diǎn)分的速度為2cm/s經(jīng)過(guò)1秒△頌

為等邊三角形，則方的值為.

同類(lèi)題型：2.2如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形力題中，4力=60。，M是AD

邊的中點(diǎn)，片是力8邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將44物V沿力介所在直線(xiàn)翻折得到

△力機(jī)連接4"則4c長(zhǎng)度的最小值是____________.

同類(lèi)題型：2.3如圖，在菱形4?切中，邊長(zhǎng)為10,4力二60。.順次連

接菱形四切各邊中點(diǎn)，可得四邊形山為。為；順次連接四邊形

41仇門(mén)仇各邊中點(diǎn)，可得四邊形力2仞◎力；順次連接四邊形

◎攵各邊中點(diǎn)，可得四邊形43為④加；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，

則四邊形力2017域017。017攵017的周長(zhǎng)是______________.

例3.如圖，在矩形/池中，點(diǎn)￡為力8的中點(diǎn)，EF工EC交AD干點(diǎn)、

尸，連接CF{AD>AE]t下列結(jié)論：①乙力所二乙比F；②

SXCEF=SXEAF+SXCBE；③人收BC>CF；④若劣二算，則^

CzZz乙

CE0XCDF.其中正確的結(jié)論是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論

的序號(hào)）

同類(lèi)題型：3.1如圖，在矩形被力中，/〃=蛆AB,4物〃的平分線(xiàn)

交和于點(diǎn)瓦DH工AE于點(diǎn)H、連接用/并延長(zhǎng)交切于點(diǎn)片連接施

交班'于點(diǎn)0,下列結(jié)論：

①AED=UED；②AB=HF,③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤0E=0D；

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________.

同類(lèi)題型：3.2如圖，在矩形4?切中，氏二蛆AB,乙相。的平分線(xiàn)

交邊優(yōu)于點(diǎn)￡力兒L龍于點(diǎn)耳連接。/并延長(zhǎng)交相邊于點(diǎn)片連接

AE交CF于點(diǎn)、Q給出下列命題：

①/〃=應(yīng)②班=2y[2E嗎MAE"XCF晦HO^AE

乙

其中正確命題的序號(hào)是_________________（填上所有正確命題的序

號(hào)）

同類(lèi)題型：3.3如圖，在矩形力%9中，點(diǎn)月是邊回的中點(diǎn)，AE1BD、

垂足為￡則tan乙位總的值是（）

例4.已知：如圖，在正方形/四9外取一點(diǎn)￡連接他BE、DE.這

點(diǎn)力作招的垂線(xiàn)力?交應(yīng)于點(diǎn)P.若力￡=胎=1,#,下列

結(jié)論：

①△仍白△力"；②點(diǎn)夕到直線(xiàn)四的距離為那,，③EB1ED；

④S匕APD+SXAPB=\+#.⑤點(diǎn)E方形徵=4+鄧.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________________.

同類(lèi)題型：4.1如圖，正方形45徵的邊長(zhǎng)為2,將長(zhǎng)為2的線(xiàn)段QR

的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果點(diǎn)0從點(diǎn)/出發(fā)，

沿圖中所示方向按月——片力滑動(dòng)到力止，同時(shí)點(diǎn)7?從點(diǎn)8出發(fā)，

沿圖中所示方向按正。一匹力一8滑動(dòng)到8止.點(diǎn)4是正方形ABCD

內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)落在線(xiàn)段”的中點(diǎn)，"所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形內(nèi)

的概率記為P，貝()

4-JTJl1JI-1

A.---B.—C.-D.---

4444

同類(lèi)題型：4.2如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形力靦中，四平分4為C,AE

交切于點(diǎn)月CELAEy垂足為點(diǎn)夕EGLCD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)〃在邊

BC上,BH=DF、連接4/、FH,方與力C交于點(diǎn)現(xiàn)以下結(jié)論：

①FH=2BH；②AC1FH；③SRACF=1；④*二1AF]⑤￡心=FG

.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

同類(lèi)題型：4.3如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)〃；劭相交

于點(diǎn)。.有直角乙仍V使直角頂點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，直角邊汽隊(duì)加分

別與“0B重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)乙物雙旋轉(zhuǎn)角為8(0。<8<90。)，

PM、/W分別交力員BC于E、尸兩點(diǎn)，連接〃交仍于點(diǎn)G,則下列結(jié)

論中正確的是.

⑴EF=巾OE；(2)他|邊形在"：業(yè)方形48徵=

1:4；(3)BE+BF=蛆〃；(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△應(yīng)產(chǎn)與△口力

的面積之和最大時(shí)，AE=1;(5)OG.BD=Aa+出.

同類(lèi)題型：4.4如圖，四邊形4W是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)G〃在

邊四上,且於二的二1,點(diǎn)尸是線(xiàn)段⑦上的動(dòng)點(diǎn)，分別以在、PB

為邊在線(xiàn)段四的同側(cè)作正方形4也年和正方形BRQP、

E、尸分別為/僅Q/?的中點(diǎn)，連接防設(shè)跖的中點(diǎn)為G,則當(dāng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D

時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

參考答案

例1.如圖，△力如中，AB=2y[2,乙APB=90。,在4?的同側(cè)作正

△力必、正△加表和△Et則四邊形闈定面積的最大值是.

解:如圖，延長(zhǎng))交回于點(diǎn)￡

乙APB=90°,乙APE=乙BPC=60°,

??./鰭。二150。，

aCPF=1800-150°=30°,

:?PF平分乙BPC、

又?：PB二PC、

???PFLBC,

設(shè)心△?!新中，AP=a,BP=b、貝4水+摩=8,

乙乙

???和△/劭都是等邊三角形，

??.AE=AP,AD=AB,AEAP=ADAB=60°t

/.LEAD=/LPAB.

:?XEAXMPAB(SAS),

.,.ED=PB=CP、

同理可得：△初必△〃%{SAS),

：,EP=AP=CD、

???四邊形微力是平行四邊形，

???四邊形6W的面積二以X⑦==)ab,

乙乙

又「(a-b)之二/一2助+岸NO,

：.2abW*+I?-8,

1

這2

2-a

即四邊形故應(yīng)面積的最大值為2.

同類(lèi)題型：L1如圖，△加為中，AP=4,BP=3、在,仿的同側(cè)作正^

ABD、正△加萬(wàn)和正△出《則四邊形也底面積的最大值是

解：?.?△/勿和△/勿是等邊三角形，

.\AE=AP=4?AB=AD,乙EAP=乙DAB=6。。,

???乙EAD=乙為6二60。-LDAP、

在△協(xié)〃和△為3中

'AE=AP

<乙EAD=乙PAB

、AD=AB

：.XEAg'PAB(SAS),

：,DE=BP,

同理△力即，

:.DC;AP,

?「△加力和△外C是等邊三角形，

:,EP=AP,BP=CP、

:.DE=CP='DC=PE=4,

???四邊形"應(yīng)是平行四邊形，

當(dāng)CPJ.緒時(shí)，四邊形加定的面積最大，最大面積是3x4=12.

同類(lèi)題型：1.2如圖，在UABCD中、分別以力從為邊向外作等邊

XABE、XADF、延長(zhǎng)=交四于點(diǎn)G,點(diǎn)G在點(diǎn)45之間，連接飯

CF、EF,則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是()

①△歐C；②乙CDF二乙EAF;③△位是等邊三角形；④

AE.

A.只有①(zB.只有①(2淳C.只有③?D.①(2)③④

解：?「△4?反△力加是等邊三角形

：.FD=AD,BE=AB

?：AD=B&AB;DC

；.FD=BC、BE=DC

,:乙B=乙以L(fǎng)FDA二LABE

:.乙CDF二，EBC

??.△CDX△EBC、故①正確；

?/ZFAE=ZFAD+ZEAB^LBAD=60°+60°+(180°-LCDA)=300°

-ACDA,

乙FDC=360°-Z/7Z4-乙ADC=300°-LCDA,

：2CDF=jAF、故②正確；

同理可得：乙鹿二乙EAF二人CDF、

?:BC=AD=AF、BE=AE,

:.△EAF^XEBC、

?..乙AEF=乙BEC、

AAEF+乙FEB=乙BEO乙FEB=乙AEB=60。,

「?乙FEC=60°,

vCF=CE,

」.△的是等邊三角形，故③正確；

在等邊三角形力原中，

??,等邊三角形頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、高和垂直平分線(xiàn)是同一條

線(xiàn)段

??.如果C￡L仍則G是"的中點(diǎn)，乙力比=30。，乙仿。二150。，題目

缺少這個(gè)條件，不能求證，故④錯(cuò)誤.

選B.

同類(lèi)題型：L3如圖，四邊形力為必是平行四邊形，點(diǎn)￡是邊切上的

一點(diǎn)，且BC=EC,CF工BE交AB于點(diǎn)F、尸是座延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，下列

結(jié)論:①屬平分乙斯；②CF平分人DCB?，③BC=FB；④）PF=R.其中

正確的有.（填序號(hào)）

解：證明：???優(yōu)二￡源

...乙CEB二人CBE、

?二四邊形/時(shí)是平行四邊形，

S.DC//AB,

，人CEB二乙EBF、

???乙CBE=心EBF、

??.①BE平分乙g正確；

?:BC=EC,CF1BE、

???乙ECF=LBCFy

:.②CF平分乙DCB、正確；

?:DC"AB、

:,乙DCF=/_CFB、

?/人ECF=乙.BCF、

:'乙CFB=乙BCF、

；.BF=BC,

???③正確；

?：FB=BC,CFIBE,

???8點(diǎn)一定在用的垂直平分線(xiàn)上，即如垂直平分FC、

:,PF;PC、故④正確.

答案為①（2③④.

同類(lèi)題型：L4如圖，在口/犯9中，4的8的平分線(xiàn)交切于點(diǎn)￡交

%的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,44/。的平分線(xiàn)交切于點(diǎn)片交力〃的延長(zhǎng)線(xiàn)于

點(diǎn)〃AG與胡交于點(diǎn)、0,連接BE,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.B0=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

解：???四邊形力靦是平行四邊形，

:.AHUBG、AD=BC、

???乙〃二人HBG、

?

??乙HBG=LHBAy

...LHBA,

.,.AH=AB,同理可證%二仍

；,AH=BG,\-AD=BCt

「DH=CG,故C正確，

\'AH=AB,乙OAH二乙（MB,

：.OH=OB,故1正確，

\'DF//AB,

...乙DFH=（ABH,

???乙〃二LABHy

???乙，=乙DFH、

:.DF;DH,同理可證以二微

,:DH=CG、

；.DF=CE,故夕正確，

無(wú)法證明四二小

選D.

例2.圖甲是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品.該作品由形如圖乙

力B6

的矩形圖案拼接而成（不重疊、無(wú)縫隙）.圖乙中方=7-砂二公叫

上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為54cm2,其內(nèi)部菱形由兩組距離相

等的平行線(xiàn)交叉得到，則該菱形的周長(zhǎng)為一

解:如圖乙，〃是〃與加「的交點(diǎn)，取口的中點(diǎn)&連接儂

設(shè)47=6dcm,IjJIJBC=7acm,中間菱形的對(duì)角線(xiàn)口的長(zhǎng)度為xcm,

?「BC=7acm,MN=EF-4cm,

7a+4

2

GH//BC.

GHDG

:'~OT~DC

la-x

21

7a+4=5

2

x-3.5a-2…⑴；

???上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為54cm2,

??,6a.(7與一幻:2=54,

a[la-x)=18…⑵；

由⑴⑵,可得

a=2tx=5t

7a+47x2+4

/.CD-6x2=12(cm),CN----==9(cm),

乙乙

22

.-.JftV=^/12+9=15(cm),

又:DH=7°a+G/=、卜2+2=7.5(cm),

/.^V=15-7.5=7.5(cm),

-AM//FC.

.KN_MN__4__4

,獷而=9-4藍(lán)1

525

HK=-—rx7.5=-(cm),

4+56

2550

」該菱形的周長(zhǎng)為:京_x4=w(cm).

?OJ

同類(lèi)題型：2.1如圖，在菱形力靦中，AB=4cm,乙/%=120。，點(diǎn)￡、

/同時(shí)由人。兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿/從力方向向點(diǎn)*勻速移動(dòng)(到點(diǎn)

5為止)，點(diǎn)￡的速度為lcm/s,點(diǎn)/的速度為2cm/s經(jīng)過(guò)方秒△頌

為等邊三角形，貝IJ￡的值為.

解:延長(zhǎng)四至M使BM=低連接磁

???四邊形力叫9是菱形，LADC=120°

AB=AD.ZJ=G0°,

?；BM=AE,

：,AD=ME,

???△頗為等邊三角形，

二/-DAE-乙DFE=60°,DE-EF-FD,

???LMEF+乙〃5kl2O。，LADE^乙DEA=180°-4力二120。，

「?乙MEF=LADE.

.,.在△加夕和△￡，（昭中，

"AD=ME

<乙MEF=乙ADE

、DE二EF

:、UDAMEMF（必⑼，

:,AE=MF,LM^ZJ=60°,

又?:BM=AE,

△蜀昭是等邊三角形，

??.BF=AE}

,：AE.-t,CF-2ty

BC-CF+BF-2t+t=3t,

,;BC=4、

「.3Z=4,

4

/.t=~.

o

同類(lèi)題型：2.2如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，乙力二60。，，"是4。

邊的中點(diǎn)，A「是力。邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將眥沿助V,所在直線(xiàn)翻折得到

△力也丫連接〃C則4C長(zhǎng)度的最小值是

解:如圖所示：，%’是定值，4c長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即4在北上時(shí),

過(guò)點(diǎn)材作批JL%于點(diǎn)尸，

???在邊長(zhǎng)為2的菱形4??中，乙公60。，，〃為”中點(diǎn)，

:.2MD=AD=CD=2,LFDM=60°,

?..乙FMD=30。,

：.FD=^MD=:,

JJ

FM-〃旅cos30°=

2

??,MC=N)+/=S,

：.AC=MC-MA=yJl-1.

同類(lèi)題型：2.3如圖，在菱形4?w中，邊長(zhǎng)為10,4力二60。.順次連

接菱形4砥？各邊中點(diǎn)，可得四邊形山夕。為；順次連接四邊形

用向各邊中點(diǎn)，可得四邊形42為3攵；順次連接四邊形

題為。攵各邊中點(diǎn)，可得四邊形題為④心；按此規(guī)律繼續(xù)下去…，

則四邊形力2017仞017。017攵017的周長(zhǎng)是_____________.

解：???菱形4式》中，邊長(zhǎng)為10,44二60。，順次連結(jié)菱形力山9各邊

中I占八、、1

是等邊三角形，四邊形力2域。攵是菱形，

.,.山夕=5,,42域=3戈=。仞=42女=5,

1

X

同理可得出：題刃=5xJ,3例=<6142-

期花=5x(-)2,3為=必二(2)2X5，§

5+5P3

?二四邊形42015域0150015攵015的周長(zhǎng)是：標(biāo).

218uuI

例3.如圖，在矩形力a'。中，點(diǎn)￡為力8的中點(diǎn)，跖JL比交力〃于點(diǎn)

F、連接CF(AD>AE),下列結(jié)論：①4二乙優(yōu)F；②

；③人*；④若4=算，則4

S、CEF=S?EAF+S?CBEBC>CFC/〃乙

CEFWXCDF.其中正確的結(jié)論是____________.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論

的序號(hào))

解:延長(zhǎng)編所交于點(diǎn)G

//4AEF+乙BEC=90°,LBEC+Z.BCE=90°,

:.乙AEF=jCE、①正確；

在和△頗中，

ZFAE=乙GBE=90°

vAE=BE1

、乙AEF=乙BEG

:.△AE0XBEG{ASA),

/.AF=BG,EF=EG、

CELEG,

-S/\CEG=S/\CEF,CG=CF,

CEF=EAF+S>CBE,②正確；

..“b+BC=BG+BC=CG=CF、③錯(cuò)誤；

史—理

2'

/.LBCE=30°,:?乙FCE=，F(xiàn)CD=30。、

在△呼和△。如中，

'乙D=LFEC=90°

<乙DCF=乙ECF

s

、CF=CF

：,△CE0/\CDF{AAS),④正確.

同類(lèi)題型：3.1如圖，在矩形力即9中J〃二小AB,乙胡〃的平分線(xiàn)

交比于點(diǎn)瓦熊于點(diǎn)〃連接跖并延長(zhǎng)交切于點(diǎn)片連接原

交即于點(diǎn)0,下列結(jié)論：

①AED=，CED；②AB=HF、③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤OE=OD；

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________.

解：:在矩形4叫9中，AE平分乙BAD,

乙BAE=乙DAE=45°,

阿是等腰直角三角形，

??,AEHAB,

-AD=y/2AB,

.\AE=ADt

(ZBAE=ZDAE

在△45^和△/!//中，{/ABE=4AHD=90。，

[AE=AD

??.BE=DHi

?，,AB=BE=AH=HD,

1、

人ADE=LAED=~(z180°-45°)=67.5°,

乙

???LCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

:.乙AED二乙CED、故①正確；

???乙AHB=1(180°-45°)=67.5°,乙腌二乙/例(對(duì)頂角相等),

乙

:.乙OHE二2AED、

OE;OH,

?//-DOH=90°-67.5°=22.5°,4ODH=67.5°-45°=22.5°,

乙DOH=乙ODH、

OH=OD,

.?.OE=OD=0比故⑤正確；

?:乙EBH=90°-67.5°=22.5°,

“EBH二人OHD、

又BE=DH,2AEB=jDF=45。

(ZEBH=ZOHD

在△順和△吹中|BE二DH

[zAEB=ZHDF

:、△BEgZIDF(ASA)t

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,

:?BC-CF=(CD+HE)-{CD-HE)=2HE、所以④正確；

=AH,

???△/掰不是等邊三角形：

:.AB于BH,

即初六??；故②錯(cuò)誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①O④@.

同類(lèi)題型：3.2如圖，在矩形被力中，BC=yf2AB,乙的平分線(xiàn)

交邊比于點(diǎn)￡4/，原于點(diǎn)〃連接切并延長(zhǎng)交力8邊于點(diǎn)月連接

4?交少于點(diǎn)0,給出下列命題：

①/〃=〃/?②。2A/2E晦NAEMNCF儂HO=4AE

乙

其中正確命題的序號(hào)是（填上所有正確命題的序

號(hào)）

解:在矩形被力中，AD=BC=y[2AB=y12CD,

,：DE平分乙ADC、

AADE=ACDE=45°,

ADVDE,

.?.△4W是等腰直角三角形，

；.AD=心AB,

:.AH=AB=CD、

?.?△〃比是等腰直角三角形，

/.DE=y）2CD、

：,AD=DE,

:.乙AED=67.5°,

乙AEB=180°-45°-67.5。=67.5°,

???/LAED-乙AEB、

-AD//BC,

...乙DAE=SEB、

???LDAE-LAED.

，AD=DE,

故①正確；

設(shè)DH=\、

則/，AD=DE=^,

???2/HE=2蛆六1,

故②錯(cuò)誤；

???乙AEH=67.5°,

:.LEAH=22.5°,

,:DH=CD,AEDC=45°,

:?乙DHC=67.5°,

???乙如4=22.5°,

:.乙OAH=LOHA、

：.OA=OH,

乙AEH=，OHE=bl.5°,

???OH;OE,

1

OH=-AE,

乙

故④正確;

?:AH=DH,CD二CE、

在AAFH與ACHE中、

乙AHF=乙HCE=22.5°

<AFAH=AHEC=45°

、AH=CE

:.△AFgXCHE、

：.5HF=乙HCE、

,;AO=OH,

???乙HAO=乙AHO、

???乙HAO=心BCF,AB=LAHE^90°,

:.[\AE2\CFB、故③正確.

答案為:①?④.

同類(lèi)題型：3.3如圖，在矩形4?切中，點(diǎn)￡是邊8。的中點(diǎn)，AEVBDi

垂足為￡則tan/劭/?的值是（）

A/211J2

A-4B-4C3D-3

解：???四邊形4次力是矩形，

:.AD;BC,AD//BCy

.??點(diǎn)￡是邊力的中點(diǎn)，

11

BE-~乙zBC-~乙AD,

:.XBEF—MDAF、

.”_竺二

??方二拓二51

1

/.EF=~AF,

乙

??.EFJAS,

???點(diǎn)￡是邊用的中點(diǎn)，

?.?由矩形的對(duì)稱(chēng)性得:小二代

EF=|DE,設(shè)EF=x、則DE=3乂

?,.加二1"一/二2蛆x,

°EFx也

tanziBDE=—l^=~r；

DF2px4

選A.

例4.已知：如圖，在正方形力時(shí)外取一點(diǎn)￡連接被BE、龍.過(guò)

點(diǎn)[作至的垂線(xiàn)"交應(yīng)于點(diǎn)夕.若/￡=脛=1,%二乖,下列

結(jié)論：

①△仍與/\力麒；②點(diǎn)8到直線(xiàn)四的距離為短:③EB1ED；

④s△仍?+S[\APB=1+鄧.⑤笠E方形/a?=4+#.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________________.

解：①???乙EAB+乙的夕二90。，乙PAD+乙物尸二90。，

「?LEAB-乙PAD、

又?.FE=AP,AB=AD,

?.?在△//力和△/旗中，

'AE=AP

vZEAB=4PADI

、AB=AD

:,IXAPg'AEB（弘S）；

故此選項(xiàng)成立；

③?：XAPgXAEB、

???乙APD=LAEB.

;人AEB=（AEP+乙BEP,乙APD=乙AEP+乙PAE,

...乙BEP=乙PAE=90°,

：,EB1ED；

故此選項(xiàng)成立；

②過(guò)8作的」仍交延的延長(zhǎng)線(xiàn)于￡

?;AE=AP,LEAP^90°,

???乙AEP=LAPE=45°,

又.：③中EB1ED,BF1AF,

???乙FEB=乙FBE=A50,

又?.?物=弋屋-72=2,

：,BF=EF=y[2,

故此選項(xiàng)正確；

④如圖，連接做在打△力戲中，

?/AE=AP=1,

???EP沖,

又??,PB=#,

:.BE=2、

△APD^AAEB、

：,PD=BE=2、

11

???S/XABP+S/\ADP=S^ABD-S△初二5在方形力靦一~^DPxBE二

113

2-Xi22

故此選項(xiàng)不正確.

⑤?；EF=BF=y[i,

???在〃跖中，AI?=(4￡+砌2+/=5+2艱，

勾E方形/比肥力岸=5+2^2,

故此選項(xiàng)不正確.

答案為:①(2)③.

同類(lèi)題型：4.1如圖，正方形力靦的邊長(zhǎng)為2,將長(zhǎng)為2的線(xiàn)段QR

的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果點(diǎn)。從點(diǎn)力出發(fā)，

沿圖中所示方向按4-外。一人4滑動(dòng)到力止，同時(shí)點(diǎn)/?從點(diǎn)夕出發(fā)，

沿圖中所示方向按?。?AZA滑動(dòng)到〃止.點(diǎn)》是正方形ABCD

內(nèi)任一點(diǎn)，把加點(diǎn)落在線(xiàn)段圖的中點(diǎn)"所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形內(nèi)

的概率記為々貝UP=()

4一萬(wàn)JT1-1

解:根據(jù)題意得點(diǎn)豺到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1,點(diǎn)"所走的運(yùn)動(dòng)

軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，

???點(diǎn)"所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形的面積為正方形力優(yōu)〃的面積減去4

個(gè)扇形的面積.

、90^X12

而正方形/靦的面積為2X2=4,4個(gè)扇形的面積為4X「^—二

oOU

點(diǎn)豺所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形的面積為4-%

.二把"點(diǎn)落在線(xiàn)段”的中點(diǎn)〃所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)圍成的圖形內(nèi)的概率記

4一不

為尸，貝.

選:A.

同類(lèi)題型：4.2如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形力式》中，四平分乙的C,AE

交切于點(diǎn)月CE工但垂足為點(diǎn)￡EGLCD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)〃在邊

比上，BH=DF、連接力〃、FH、勿與力。交于點(diǎn)M以下結(jié)論：

①FH=2BH；②ACIFH;③S/\ACF=1；④)CE=1AF\⑤EC2=FG

?%,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

解:①(2)如圖1,???四邊形4?徵是正方形，

：.AB=AD,乙B=乙D=90。,乙加〃二90。，

?“￡平分乙為。，

:.乙FAD=LCAF=22.5°,

?：BH=DF,

...△48名△血火

.?)〃二1￡乙BAH二4均〃=22.5°,

???乙HAC;乙FAC、

：.HM=FM,ACIFH,

?.?力￡平分乙加。，

??.DF=FM,

:.FH=2DF=2BH、

故選項(xiàng)①(Z正確；

③在打△耳，中，LFCM=45°,

△婷心是等腰直角三角形，

?..正方形的邊長(zhǎng)為2,

AAC=272,MC=DF=272-2,

:.FC=2-DF=2-(2鏡-2)=4-2^2,

1

力〃片

S[\AFC=乙SCF.1,

所以選項(xiàng)③不正確；

④AF=qA/+謂=^22+(26-2)2=2小-29,

XADF—XCEF、

AD_AF

^CE=FC'

2274-2也

??,飛=4-2y[2，

CE=y/4-2y[2,

:?CE*AFt

乙

故選項(xiàng)④正確;

⑤延長(zhǎng)四和交于“如圖2,

?:AE1CE,力￡平分乙

??.CE=EN、

'：EG//DN}

CG=DG,

在RtXFEC中、EG1FC、

=FG.CG、

：.E(?=FG.DG,

故選項(xiàng)⑤正確；

本題正確的結(jié)論有4個(gè)，

故選C.

同類(lèi)題型：4.3如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形力靦的對(duì)角線(xiàn)4G劭相交

于點(diǎn)。.有直角乙仍V使直角頂點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，直角邊切/、PN分

別與如、必重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)乙物雙旋轉(zhuǎn)角為外0。<6<90。)，

PM、4V分別交力從BC于E、尸兩點(diǎn)，連接〃交小于點(diǎn)G,則下列結(jié)

論中正確的是

(1)EF=^20.E\(2)S四邊形施跖：證方形/犯9=

1:4；(3)BE+BF=鏡％;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)XBEF與NCOF

的面積之和最大時(shí)，AE=1；(5)0G.BD=+.

解：⑴???四邊形力靦是正方形,

；.OB=OC、LOBE^LOCF^45°,ABOC=90°,

乙BOF十乙COF=90°,

???乙EOF=90°,

..?LBOF+乙COE=90°,

???乙BOE=乙COF、

在△眥和△C6F中，

'，BOE=LCOF

<OB=OCf

、乙OBE二乙OCF

△比必△C"(ASA),

：,OE=OF、BE=CF、

砂二蛆OE；故正確；

(2)v

1

s四邊形=s△蹴+S^BOE=S/\BOE+S[\COF=S^BOC—怔方形ABCD

?

???S四邊形6?如：s正方形/靦=1:4；故正確；

(3)???BE+BF-BF+CF-BC—地OA；故正確；

(4)過(guò)點(diǎn)、。作OH1BC、

?:BC=1,

OH-,

設(shè)力￡=x,貝IJ掰=6F=l—x,BF=x,

錯(cuò)誤!,

1

???a=--<0,

當(dāng)時(shí)，S[\BEF+SXCOF斡大；

即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△戚與△〃月的面積之和最大時(shí)，4T；故

錯(cuò)誤；

(5)，：乙EOG=LBOE、LOEG^^OBE=45°,

:?'OEG—XOBE、

OE\OB=OG\OEy

OG.OB=01?y

1\[2

\'OB=~BD,OE=^rEF.

乙乙

/.OG.BD=,

???在△座F中，加二班2+房,

:.E於=A及+,

：.OG.BD=A%+C注?故正確.

故答案為：(1),(2),(3),(5).

同類(lèi)題型：4.4如圖，四邊形力頗是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)G〃在

邊四上,且力。=如=1,點(diǎn)尸是線(xiàn)段"上的動(dòng)點(diǎn)，分別以a、PB

為邊在線(xiàn)段/月的同側(cè)作正方形4%#和正方形BRQP、

E、尸分別為腑、。兄的中點(diǎn)，連接防設(shè)跖的中點(diǎn)為&則當(dāng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D

時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

解:如圖,

設(shè)的的中點(diǎn)為S連接做PF、SE、SF、PS,

??/為施的中點(diǎn)，S為用的中點(diǎn)，

??/E,S共線(xiàn)，

尸為胡的中點(diǎn)，S為四的中點(diǎn)，

F、S共線(xiàn),

由XAMES'PQF、得乙SAP=LFPB,

:.ES"PF、

△PNE—2BRF、層乙EPA=/_FBP、

：.PE//FS,

則四邊形所如為平行四邊形，則G為”的中點(diǎn)，

??.G的軌跡為〃的中位線(xiàn)，

CD=AB-AC-BD=6-1-1=4,

???點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)/x4=2.

乙

專(zhuān)題02方程、不等式中的含參問(wèn)題

例L.已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b、。滿(mǎn)足:3a+26+c=5和2a+6-3c

=1,若m=3a+b-7c、則力的最小值為.

x+y+z

同類(lèi)題型：L1已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0,則二二

X十Z

4為+3nl=2

同類(lèi)題型：1.2方程組心心一切的解Xy滿(mǎn)足則力的取值

ox-oy—ni

范圍是)

91019

A./Z7>-B./Z7>-C.ZZ7>—

?LU1.\J

、10

D”>歷

例2關(guān)于x的方程/+勿x-9=0和/-3才+宗+6%=0有公共根,

則力的值為.

同類(lèi)題型：2.1已知5是一元二次方程/-2018x+l=0的一個(gè)根，

則代數(shù)式1-2017》+年藝的值是——

/+1

同類(lèi)題型：2.2已知關(guān)于x的方程（/-1）/+（2A-1）才+1=0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)4的取值范圍為.

同類(lèi)題型：2.3已知￡是方程/-2入-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

+8￡+6的值為（）

A.-1B.2C.22D.30

例3.已知方程x+;二a+\的兩根分別為氏\,則方程

Xaa

x+的根是（）

2x-b

同類(lèi)題型：3.1若關(guān)于x的方程』=3的解是非負(fù)數(shù)，則6的取

值范圍是________.

同類(lèi)題型：3.2觀察分析下列方程:①x+=3；②x+￡=5；③

?AJi

9

12〃乙+刀

x+-=7.請(qǐng).利用它們所蘊(yùn)含的規(guī)律，求關(guān)于x的方程x+——

XX—4

=2/7+5（〃為正整數(shù)）的根，你的答案是.

2a+13a

同類(lèi)題型：3.3已知關(guān)于、的方程-—-=（一）（.2）只

有整數(shù)解，則整數(shù)a的值為.

例4.[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).如，加=3,⑵=2,.[-2.1]

=-3,則下列結(jié)論：

①j]=-3；

②若3二〃，則x的取值范圍是+1；

③當(dāng)一1<X<1時(shí)，[1+x]+[1-切的值為1或2；

?X=-2.75是方程4x—2[x]+5=0的唯一一個(gè)解.

其中正確的結(jié)論有（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

同類(lèi)題型：4.1設(shè)b]表示不大于x的最大整數(shù)，｛3表示不小于x的

最小整數(shù)，(力表示最接近x的整數(shù)(x六〃+0.5,"為整數(shù)).例如

[3.4]=3,{3.4}=4,(3.4)=3.則不等式8W2"[x]+3{x}+4

(x)W14的解為

()

A.0.5WxW2B.0.5<x<1.5或1.5<x

<2

C.0.5<x<1.5D.1.5<%<2

同類(lèi)題型：4.2規(guī)定：[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（x）表示不小于x

的最小整數(shù)，b)表示最接近X的整數(shù)(xX〃+0.5,〃為整數(shù))，例

如：[2.3]:2,(2.3):3,[2.3)=2.則下歹]說(shuō)法正確的是

.(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))

①當(dāng)x=1.7時(shí)，[x]+(x)+1?=6；

②當(dāng)2.1時(shí)，[x]+(x)+[x)=-7；

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為l<x<L5；

④當(dāng)-1<X<1時(shí)，函數(shù)y=[x]+(x)+x的圖象與正比例函數(shù)y

=4x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

同類(lèi)題型：4.3如果關(guān)于*的不等式缶+幼x+2a->>()的解集是

5

x<5,那么關(guān)于x的不等式(。-⑷X+H+26W0的解集是

[x+4x

同類(lèi)題型:4.4若關(guān)于x的不等式組J32解集為才<2,則a

[x-a<0

的取值范圍是__________.

同類(lèi)題型:4.5按如圖的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值x為正數(shù)，最后

輸出的結(jié)果為656,則滿(mǎn)足條件的》的不同值最多有.

參考答案

例1.已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)2b,。滿(mǎn)足:3》+26+o=5和2》+力-3c

=1,若陰=3a+b-7c,則勿的最小值為.

f3a+26+c=5

解:由題意可得極+n,

I/?=3a+b-lc

7.（加+2）11.（卬+2）歷+2

-3,b=7-

解得a二33~3~

由于a.b,。是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),

...心0,620,/0,

5

所以?（最小值）=-y

5

故本題答案為：一,?

x+y+z

同類(lèi)題型：L1已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0,

x-y+z

fx+2y-3z=0①

解：由題意得［2x+3y+5z=0②，

①義2-②得y=llz,

代入①得才二-19z,

x+y+z—19z+llz+z7

庫(kù)式=————=-------------=一

',x-y+z-19z-llz+z29

4x+3m=2

同類(lèi)題型：L2方程組的解X,y滿(mǎn)足則力的取值

OA—6y—m

范圍是（）

9101910

A./?>-B.zz7>-C./?>-D.m>

■LUZJX\J19

［4x+3zz?=2①

解：［8x-3y=@

2-3m2-3勿4一Im

由CD得，代入②得，8X^p-3y=m、y=~I-

2-3R4-7m10

即4>~§一，解得勿,區(qū)?

選D.

例2關(guān)于x的方程/+加-9=0和/-3才+宗+6%=0有公共根，

則R的值為.

解:設(shè)這個(gè)公共根為。.

貝IJ方程/+/〃X-9=0的兩根為4、一加一。；方程./-3x+3+6/27

二0的兩根為.。、3-a,

由根與系數(shù)的關(guān)系有：。（-勿-。）=-9,a（3-。）=/1^+6見(jiàn)

整理得，a2+R。=9①，。2_3。+宗+6卬=0②，

②-①得，〃？+6R-3〃〃=-9,

即（%+3）2-a（加+3）=0,

（加+3）（Z27+3一。）=0,

所以加+3=0或加+3—G=0,

解得亞二一3或4二%+31

把。=0+3代入①得，

（勿+3）2+/（勿+3）=9,

■+6勿+9+/+3/z?=9,

m（2/77+9）=0,

所以加=0或2/77+9=0,

解得勿二0或勿=-4.5,

綜上所述，力的值為-3,0,-4.5.

同類(lèi)題型：2.1已知〃是一元二次方程7-2018才+1=0的一個(gè)根,

則代數(shù)式2017a+當(dāng)當(dāng)?shù)闹凳莀__.

解:由題意，把根a代入/—2018x+l=0,可得:J-20185+1=0,

//-2017a-a+1=0,a2+1=2018a；

-2017a=a-1,

2201820181

ET-2017H+F---=a-1+OA1O=a+--1

a2-.ri2U18aa

9

a+12018d

=------1=------1

aa

=2018-1,

=2017.

同類(lèi)題型：2.2已知關(guān)于x的方程（/-1）/+（2A-1）x+l=0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)4的取值范圍為.

解：由題意知，A六±1,△=（24-1）2-4（岸-1）=5-4Q0

5

A〈彳且A中士1.

同類(lèi)題型：2.3已知a、￡是方程j-2才-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

。3+8￡+6的值為（）

A.-1B.2C.22D.30

解：:。、￡是方程7-2入-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

a+B=2、*-2<z-4=0,

=2a+4

。3+8￡+6=。.+8￡+6

=a.（2。+4）+8￡+6

=2+4。+8￡+6

=2（2。+4）+4。+8￡+6

=8。+8￡+14

=8（。+￡）+1.4=30,

故選D.

例3.已知方程x+2=a+:的兩根分別為氏之，則方程

Xaa

才+—y=a+17的根是（）

X-1a—1

111

A.a,----rB.----;,a-1C._,a-1

a-1a-1a

D.a,

a-\

解:方程x+占=a+W可以寫(xiě)成x-l+占=a-l+六的形

式，

?.?方程x+==a+：的兩根分別為2-.

Xaa

「?方程x-1+ly=a-1+—7的.兩根的關(guān)系式為1=a-1,

x—1a一I

O

x-l=—7,即方程的根為x=a或

a-1a-1

]a

???方程x+丁丁=a+f的根是當(dāng)六.

X-13—13—i

選D.

2x-b

同類(lèi)題型：3.1若關(guān)于x的方程丁丁=3的解是非負(fù)數(shù)，則6的取

X—1

值范圍是________.

解：去分母得，2x-6=3才-3/.x=3-b

?/xNO

**.3—

解得，依3

又'：X-100

Xf1

即3-bKl,b于2

則b的取值范圍是bW3且%2.

同類(lèi)題型：3,2觀察分析下列方程:①x+1=3；②x+==5；③

Jiyl

9

12rT+n

x+-=7.請(qǐng)利用它們所蘊(yùn)含的規(guī)津求關(guān)于x的方程x+—

XX—4

=2/?+5（〃為正整數(shù)）的根，你的答案是.

1x2

解:>+一1=3,解得:x