立體幾何綜合復(fù)習(xí)課程 教案

11

高中數(shù)學(xué)適用年級高二

1適用

11

1學(xué)科1

1

適用區(qū)域人教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）2課時(shí)

:知識點(diǎn)1.空間圖形（柱、推、臺、球）等表面積與體積的計(jì)算公式；:

11

■

■

1

■

1.空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；：

■12

■

1?

11

■

11

13.用線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、線線角、線面角、二面角以及三垂:

11

11

■1

11

11

1線定理、逆定理；;

1

■

\教學(xué)目標(biāo)

1.能對不規(guī)則立體圖形求體積求表面積。

1

1

2.掌握立體幾何的基本證明方法，理解線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、

1

11

1線線角、線面角、二面角

1

1

12.掌握立體幾何的基本證明方法，理解線、平面平行、垂直的判定和性質(zhì)、j

11

1

線線角、線面角、二面角

■1i

!教學(xué)重點(diǎn)1.立體幾何表面積及體積的計(jì)算

I

I1

■

1

>

12.立體幾何的基本證明

11

,

1

1教學(xué)難點(diǎn)

1.立體幾何的證明

2.線面夾角，二面角的求解

2.線面夾角，二面角的求解____________________I

1

【教學(xué)建議】

1.了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，熟背面積公式，體積公式.

2.了解基本兒何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系

3.熟背判定定理和性質(zhì)定理

4.熟記求二面角的方法

【知識導(dǎo)圖】

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入

我們都知道一棵大樹它的枝干是組成大樹必不可少的條件，但是要使一棵大樹

能夠茁壯成長，根基也是相當(dāng)重要的。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此，我們有了一定

的知識積累，但是更重要的是能夠講行運(yùn)用。在學(xué)習(xí)的前面立體幾何的四講之后,

我們有了“大樹的枝干”那么接下來這節(jié)課，我們將合理運(yùn)用大樹的“根基”讓

立體幾何這棵大樹茁壯的成長起來。

復(fù)習(xí)

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖

2.空間幾何體的表面積和體積

3、空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平面平行判定和性質(zhì)

4.直線平面垂直判定和性質(zhì)

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖

1.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四

邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體.

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱.

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形;

側(cè)樓平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面

所圍成的幾何體.

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐.

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比

等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.

(3)棱臺：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的

部分.

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺.

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原

棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面

所圍成的幾何體.

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④

側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所

圍成的幾何體.

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.

(6)圓臺：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的

部分.

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖

是一個(gè)弓形.

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾

何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2.空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長

度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬

度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.

3.空.間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長

度不變：

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半.

考點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，1為母線）

S直棱柱側(cè)面積=ch“柱［則=2mhS正枝錐側(cè)面積=5C”

5圓錐側(cè)面積=mi

S正板臺側(cè)面積=/（J+G）〃'S回臺燦積=（/+尺）加

=

SJHI柱表2為+/）=療（r+/）S陽臺表=兀（/+〃+山+箱）

(3)柱體、錐體、臺體的體積公式

%=Shvm=Sh=^rh％極="%

%=-(S++S)h%臺=：(S'+VFs+S)力=:乃(產(chǎn)+水+R?)h

3JJ

（4）球體的表面積和體積公式：VS

考點(diǎn)3空間點(diǎn)直線平面的關(guān)系，直線平面平行判定和I生質(zhì)

（1）點(diǎn)與平面的關(guān)系

點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線1上，記作：AE1；

點(diǎn)A在直線1外，記作A1；

直線與平面的關(guān)系：直線1在平面a內(nèi)，記作1a；直線I不在平面

a內(nèi)，記作1a.

（2）公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的

點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：

（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確

定一平面.

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合

的依據(jù)

（4）公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一

條過該點(diǎn)的公共直線.

符號：平面a和8相交，交線是，記作aAB=a.

符號語言:

①公理3的作用：

②它是判定兩個(gè)平面相交的方法.

它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn).

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù).

（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交.

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線

是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面宜線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線

a'〃a,b'〃b,則把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a

和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線

所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.

（7）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)[相交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）（平行——沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號表示：aaaCla=Aa,7a

（8）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直

線平行，則該直線與此平面平行.

線線平行=線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，

經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.

線面平行=線線平行

考點(diǎn)4直線平面垂直判定和性質(zhì)

（1）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線

垂直這個(gè)平面.

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

（2）直線與直線所成的先

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為.

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線

所成的角.

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)0,分別作與兩條異面直線a,b平

行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做

兩條異面直線所成的角.

（3）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為.

②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為.

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳

角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作別影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,

在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）

過斜線.卜?的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線.

（4）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這

條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于

棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如

果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角.

三、例題精析

類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)，直觀圖和三視圖

1.若?個(gè)兒何體的三視圖如圖所示

（1）求側(cè)視圖的面積：（2）求幾何體的表面積

S=1x2xV3=V3S.=2G+18

【解析】⑴2(2)

【總結(jié)與反思】空間幾何體的三視圖是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)必考點(diǎn)，考生在做此類題時(shí)首先

要能夠?qū)⑺o的三視圖進(jìn)行還原原立體圖形，此外必須熟記立體幾何圖形的表面積體積求

解公式.

某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（）

1.2

Fv

正視圖左視圖

侑視圖

A.B.

C.D.[:.1

【答案】A

【解析】由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐

的一半，且底面向上放置.所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半，和軸截面的面積組成.

由俯視圖可得底面半圓半徑，所以底面半圓面積，幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半，

由正視圖可得圓錐的母線，所以側(cè)面面積，軸截面為三角形，底為2（側(cè)視圖），高為

2（正視圖）所以可得面積，所以該幾何體的表面積為.

一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底長均為1的等腰梯

形，則這個(gè)平面圖形的面積是（）

C.1+

【答案】D

【解析】設(shè)直觀圖為O'A'B'C',建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測畫法的規(guī)則，在

原來的平面圖形中0C_L0A,且0C=2,BC=1,0A=l+2X=1+,故其面積為X（1+1

+）X2=2+.

【總結(jié)與反思】

1.解決有關(guān)“斜二測畫法”問題時(shí)，一般在原圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡

量取原圖形中互相垂直的線段所在直線或圖形的對稱軸為坐標(biāo)釉，圖形

的對稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系.

2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系：

⑴S位觀圖="5甲圖形.

（2）S原圖形=2Sr或圖.

一個(gè)幾何體的三視圖及其尺T（單位：cm）,如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為cm2.

正主視圖側(cè)I左:視圖

俯視圖

【解析】通過三視圖可判斷出該幾何體為正四棱椎，所以只需計(jì)算出一個(gè)側(cè)面三角形的面積,

乘4即為側(cè)面積.通過三視圖可得側(cè)面三角形的底為8（由俯視圖可得）,高為5（左側(cè)面

的高即為正視圖中三角形左腰的長度），所以面積為cm2,所以側(cè)面積為cm2.

已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（正方形邊長為），則該fl何體的體積為（）

【答案】B

【解析】由三視圖可知：該兒何體為正方體挖去了一個(gè)四棱錐?

17

X]X-=

28

故選：B

【總結(jié)與反思】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對

正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；

俯視圖的長是幾何體的長，竟是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.

類型2:空間直線平面的關(guān)系

如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn).

(1)證明:0

(2)求四面體N-BCM的體積.

【解析】(1)

由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，即又，即故四邊形為

平行四邊形，于是因?yàn)樗?/p>

(2)因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA,取BC的中點(diǎn)

E,連接AE,由AB=AC=3得AEBC,AE=,由AM〃BC得M到BC的距離為，故，所以四面

體N-BCM的體積為

如圖，在直角梯形ABCP中，CP//AB,CP1CB,AB=BC=CP=2,D是CP的中點(diǎn)，將PAD沿AD

折起，使得PD_L平面ABCD.

(I)求證：平面PAD_L平面；

(II)若E是PC的中點(diǎn)，求三棱錐A-PEB的體積.

【解析】

(1)證明：：J■底面、：..

乂由于CP〃AB,,,

...為正方形，.

乂，故平面，

因?yàn)槠矫?，所以平面平?

(II)解：AD〃BC,乂平面，平面，

所以AD〃平面，

???點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離.

又???，是的中點(diǎn)，

由(I)知平面，所以有.

由題意得AD//BC,故.

于是，由，可得平面.

又：平面，，

AD//BC,

如圖，己知中，，，且

(1)求證：不論為何值，總有

(2)若求三極錐的體積.

【解析】

(1)證明:因?yàn)锳B_L平面BCC,所以AB_LCD,

又在4BCD中，ZBCD=900,所以，BC±CD,又ABGBC=B,

所以，CD_L平面ABC,

又在aACD,E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，

AEAF-八八

且---=----=4(0<4<1)

ACAD

(2)所以，不論為何值，EI7/CD,總有EF_L平面ABC

解：在aBCD中，ZBCD=900,

BC=CD=1,

所以，BD=,

又AB_L平面BCD,所以，AB_LBD,

又在RtAABD中，.\AB=BDtan

由⑴知EF_L平面ABE,

聲1

J/o2224

所以，三棱錐A-BCD的體積是

【總結(jié)與反思】在解決線面垂直的證明題時(shí)，往往是線面垂直的性質(zhì)和判定的一

個(gè)混合應(yīng)用過程.

如圖，己知三棱錐A—BPC中，AP_LPC,AC±BC,M為AB的中點(diǎn),

D為PB的中點(diǎn)，且△PVB為正三角形.

(1)求證:DM〃平面APC；

⑵求證：BC_L平面APC：

⑶若BC=4,AB=20,求三棱錐D—BCM的體積.

【解析】(1)由已知得，MD是AABP的中位線，所以MD〃AP.

因?yàn)镸DQ平面APC,APc平面APC,所以MD〃平面APC.

(2)因?yàn)椤鱌MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以MD_LPB所以APJ_PB.又因?yàn)锳P_LPC,且

PBHPC=P,所以AP_L平面PEC

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以AP_LBC.

又因?yàn)锽C_LAC,且ACAAP=A,所以BC_L平面APC

⑶因?yàn)镸DJ_平面PBC,所以MD是三棱錐M—DBC的高,且MD=5,

又在直角三角形PCB中，由PB=10,BC=4,可得PC=2

SABCI)=SABCP=2,(12分)所以VD—BCM=VM—DBC==10

【總結(jié)與反思】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直

類型3:空間角

(1)AC與平面BQ)所成角的大小

(2)二面角A-BC-D的正切值

(3)異面直線A8和CO的角

A

【解析】（1）如圖，:RtZkBCD中,BC=1,CD=

:.BD==TO是RtZkBCD斜邊中點(diǎn)，

.*.OB=OC=OD=,

VA在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O,

.??AO_L平面BCD,

...AC與平面BCD所成角為/ACO,

VcosZACO==

.??NACO=30°,

AAC與平面BCD所成角的大小為30°.

（2）由（1）得AO=

tAB=AC=1=BC,

???△ABC是正三角形

取BC中點(diǎn)E,則AE_LBC,DE_LBC,AE=,OE=,DC=

則/AEO是二面角A-BC-D的平面角，

tanZAEO==

...二面角A-BC-D的正切值為

（3）取AC的中點(diǎn)，連接EF,OE,0F,

因?yàn)镋,F分別為中點(diǎn)，所以AB與CD所成的角即為EF與E0所成的角即/OEF,所

以在AEFO中，EF=E0CD=,0F=AC=,

所以Al汴0為等腰直角三角形，所以NOEF=

如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的菱形，，，面面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得面，并說明理由：

（2）當(dāng)二面角D-FOB的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角.

【解析】：（1）在棱上存在點(diǎn)，使得面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

理由如下：

取的中點(diǎn)，連結(jié)、

由題意，且，且，

故AEHFQ且AE=FQ.

所以，四邊形為平行四邊形.

所以，,又平面，平面，

所以，平面.

(2)由題意知為正三角形，所以，亦即，

又，

所以，且面面，面面，

所以面，

設(shè)，取DC的中點(diǎn)M,過M作FC的垂線MN,交FC于N,連接MN,所以NBNM即為日

-FC-D的二面角.在直角ABMN中，BM=x/lMN=分

由二面角的余弦值C。80=禰N=任，

所以=,

所以，

由于面，所以在平面內(nèi)的射影為

所以為直線與平面所成的角a,

易知在中，從而，

所以直線股與平面A8CQ所成的角為45.

如圖，在平行六面體

ABCD-AIBICIDI中，AAI上平面ABCD,

且AB=AD=2,AA1=,ZBAD=120°.

(1)求異面直線MB與AG所成角的余弦值:

⑵求二面角B-AID-A的正弦值.

【解析】在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)A作AE_LAD,交BC于點(diǎn)E.

因?yàn)锳A1_L平面ABCD,所以AA1_LAE,AA1_LAD.如圖，以｛,,｝為正交基底，建立空間

直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

因?yàn)锳B=AD=2,AA1=,ZBAD=120°,

則A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),Al(0,0,),Cl(,1,).(1)

=(,一1,一)，=(,1,).

則COS〈，)===一.

因此異面直線AB與/IG所成角的余弦值為g.

(2)可知平面AIDA的一個(gè)法向量為=(,0,0).

設(shè)m=(x,y,z)為平面BAID的一個(gè)法向量，

又=(,—1,—)

__

m,AiB=0,■\)3x—y—y[3z=0,

則＜即<

^3x+3y=0.

BD=0.

不妨取x=3,則丫=,z=2,

所以m=(3,,2)為平面BAID的一個(gè)法向量,

從而cos<,m)===.

設(shè)二面角B-AID-A的大小為。，則|cos0|=.

因?yàn)?e[0,n],所以sin0=

因此二面角B-A^A的止弦值為平.

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為菱形且NDAB=60°,0為AD中點(diǎn).

(I)若PA=PD.求證：平面POB_L平面PAD：

(H)若平面PAD_L平面ABCD,且PA=PD=AD=2,試問在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使二面角

M—B0—C的大小為60°,如存在，求的值，如不存在，說明理由.

【解析】(1)VPA=PD0為AD中點(diǎn)APOIAD

又TABCD為菱形且NDAB=60°AOB±AD

VP0A0B=0.?.AD_L而POB,VAD面PAD.?.面POB_L面PAD

⑵二,面PADliBlABCD且而PADAffl]ABCD=ADAPOlifilABCD,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OP為x、y、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系

???°（0,0,0）、P（（）,0,錯(cuò)誤!未找到引用源。）、B（0,錯(cuò)誤!未找到引用源。，0）、C（-2,錯(cuò)誤!

未找到引用源。，①

設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。=錯(cuò)誤!未找到引用源。（0＜入＜1）錯(cuò)誤!未找到引用

源。L錯(cuò)誤!未找到引用源。（■入））

?.?平面CBO的法向量為n.=（0,0.錯(cuò)誤!未找到引用源。）

設(shè)平面MOB的法向量為n2=（x,y,z）

取n2=（°，錯(cuò)誤!未找到引用源。）

錯(cuò)誤!未找到引用源。

錯(cuò)誤!未找到引用源。

?.?二面角M—BO—C的大小為60°

=解得入=

錯(cuò)誤!未找到引用源°錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。

?,?存在M點(diǎn)使二面角M-BO-C等于60°,且=

四、課堂運(yùn)用

1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則俯視圖的面積是—

2.如圖，矩形OW8C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm,OC=2cm,則原圖

形是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形

Cj___|小

/O'//

3.如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，，.

(I)求證：平面；

(II)求四面體8OE廠的體積.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AB1AD,AC1CD,ZABC=60°,

PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn)，

(1)求PB和平面PAD所成的角的大??；

(II)證明AE_L平面PCD；

(HI)求二面角A-PD-C的正弦值.

p

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD_L平面ABCD,點(diǎn)M在線段

PB上，PD〃平面MAC,PA=PD=,AB=4

(1)求證:M為PB的中點(diǎn);

(2)求二面角B-PD-A的大?。?/p>

(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

答案與解析

1.【答案】2

【解析】由三視圖得S=2

2.【答案】C

【解析】將直觀圖還原得。0A8C,如圖,

因?yàn)镺'D'=OC=2cm.所以O(shè)D=2O'O'=4cm,

因?yàn)镃O'=O'C=2cm,所以CD=2cm,

所以。C=NCD-OD-J2、(4&)2=6(cm),

所以0A=0A=6cm=0C,故原圖形為菱形.

3.【答案】

【解析】(I)證明：設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，

所以，因?yàn)椋?，所以?/p>

從而四邊形是平行四邊形..

因?yàn)?Gu平面BEF,AOq平面BEF,

所以平面，即平面

(II)解：因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以平面.

因?yàn)?，，?/p>

所以的面積為，

所以四面體的體積

4.【答案】(1)45°(2)如下(3)

【解析】：(I)解：在四棱錐P-ABCD中,因PAJ_底面ABCD,平面ABCD,

故PA_LAB,又AB_LAD,PAAAD=A,從而ABJ_平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,

從而/APB為PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故/APB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.

(II)證明:在四棱錐P-ABCD中,

因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故CD_LPA,

由條件CD_LPC,PAnAC=A,

，CD_UiiiPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB二BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

TE是HJ的中點(diǎn),/.AE±EC,/.PCflC^C；

綜上得AE_L平面PCD.

【解析】：(I)解:在四棱錐P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故PALAB,又AB_LAD,PAAAD=A,從而AB_L平而PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,

從而NAPB為PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故/APB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.

(II)證明:在四棱錐P-ABCD中,

因PA_L底面ABCD,平面ABCI),

故CD_LPA,

由條件CD_LPC,PAnAC=A,

.,.CDljfflPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

YE是PC的中點(diǎn)，.*.AE_LPC,/.PCnCD=C,

綜上得AE_L平面PCD.

【解析】:(I)解：在四棱錐P-ABCD中.因PA」底面ABCD,平面ABCD.

故PA_LAB,又AB_LAD,PAAAD=A,從而AB_L平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,

從而NAPB為PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故NAPB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.

(II)證明：在四棱錐P-ABCD中，

因PAJ_底面ABCD,平面ABCI),

故CD_LPA,

由條件CD_LPC,PAnAC=A,

/.CDlifilPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

E是PC的中點(diǎn)，.二AE_LPC,/.PCnCI)=C,

綜上得AE_L平面PCD.

【解析】：(I)解：在四棱錐P-ABCD中，因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故PA_LAB,又AB_1_AD,PAOAD=A,從而ABJ_平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,

從而NAPB為PB和平而PAD所成的角，在中，AB=PA,故NAPB=45。，

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45。.

(II)證明：在四棱錐P-ABCD中，

因PA_L底面ABCD,COU平面ABCD,

故CD_LPA,

由條件CD_LPC,PACIAC=A,

二?CDL面PAC,又施U面PAC,

AAEICD,由PA=AB=BC,NABC=60°,可得AC=PA,

YE是PC的中點(diǎn)，AAE1PC,.*.PCnCI>C,

綜上得AE_L平面PCD.

(Ill)解：過點(diǎn)E作EM1PD,垂足為M.連結(jié)AM,

由(II)知，AEJL平面PCD,

AM在平面PCD內(nèi)的射即是EM.則AM1PD.

因此NAME是二面角A-PD-C的平面角，

由已知，可得NCAD=30°,設(shè)AC=a,可得

則，

在中，sinNAME=,

所以二面角A-PD-C的正弦值為

5.【答案】同解析

【解析】(1)證明：設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為E,連接ME.

因?yàn)镻D〃平面MAC,

平面MACn平面PDB=ME.

所以PD//ME.

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，

所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).

(2)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)P_LAD.又因?yàn)槠矫鍼ADJ_平面ABCD,

平面PADn平面ABCD=AD,OPc平面PAD,所以O(shè)P_L平面ABCD.

因?yàn)镺Ec平面ABCD,所以O(shè)PJ_OE.

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)E_LAD.

以0為原點(diǎn)，以，，為x軸,y軸,z軸的止方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),

=(4.-4.0),=(2,0,-).設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

f一

n-BD=0,f4.x—4v=0,

貝K則r

?―>12.V-A/2Z=0.

In-PD=0,

令x=l,得y=l,z=.于是n=(l,l,).

又平而PAD的一個(gè)法向量為p=(0,1.0),

所以cos<n,p>==.

由題知二面角B-PD-A為銳角，所以二面角B-PD-A的大小為60,

(3)由題意知M,C(2.4,0),

>

則A/C=(3,2,一點(diǎn))

設(shè)直線MC與平面BDP所成為為Q,

貝!!sina=|cos<n,>|==.

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為孚.

鞏固

1.如圖，是一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形，求

1B.C.2D.3

2.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所

示),NABC=45o/8=AD=lQUL3C,則這塊菜地的面積為.

3.如圖，在直角梯形ABCD中，ZB=90°,DC/7AB.BC=CD=AB=2,G為線段AB的中

點(diǎn)，將4ADG沿GD折起，使平面ADG_L平面BCDG,得到幾何體A-BCDG.

⑴若E,F分別為線段AC,AD的中點(diǎn)，求證:EF〃平面ABG；

(2)求證:AGJL平面BCDG：

(3)求三極錐C-ABD的體積.

4.如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,

PD二，ZPAB=60°.

(I)證明AD_L平面PAB；

(ID求異面直線PC與AD所成的角的正切值;

(III)求二面角P-BD-A的正切值.

5.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為菱形,

NABC=60°,E是DP的中點(diǎn).若AP=PB=,AB=PC=2.

⑴證明：PB〃平面ACE：

⑵求二面角A-PC-D的余弦值.

答案與解析

1.【答案】B.由三視圖得，a為側(cè)視圖上的高線

2.【答案】2+

如圖①，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE_L8C,垂足為E,

:.BE—

???在RtA48E中,A8=I,/A8E=45°,

2

???四邊形AEC。為矩形4）=1.

EC=AD=1.:.BC=BE+EC=—+1.

由此可還原原圖形如圖②.

圖②

在原圖形中J\'D'=1A8=2,BC=1,

旦AQ'〃8c48_LB'C,

「?這塊菜地的面積5=2(A'D^B'C)A'B'=2X(1+1+2)x2=2+2.

3.【答案】

【解析】（1）證明：依題意，折會前后CD.BG位置關(guān)系不改變，???CD〃BG.

YE、F分別為線段AC.BD的中點(diǎn)，...在AACD中，EF/7CD,AEF/7BG.

又EFG平面ABG,BGu平面ABG,，EF〃平面ABG.

(2)證明：將AADG沿GD折起后，AG、GD位置關(guān)系不改變，...AG_LGD,

又平面ADGL平面BCDG,平面ADGD平面BCDG=GD,AGu平面AGD,...AG_L平面BCDG.

⑶解:由已知得BC=CD=AG=2,

又由⑵得又J_平面BCDG,即點(diǎn)A到平面BCDG的距離AG=2,

AG=11xQ1x2X2jX2=1.

32

c

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

HE=，于是在RT^PHE中、lanPEH=，所以二面角P-BD-A的正切值為.

5.【答案】(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)F,連接EF,

:底面ABCD為菱形，，F(xiàn)為BD中點(diǎn).又YE是DP中點(diǎn)，

：.EF//PB.

,.,PBQ平面ACE,EFc平面ACE,，PB〃平面ACE.

(2)取AB的中點(diǎn)Q,連接PQ.CQ,

???底面ABCD為菱形,且NABC=60°,

.'.△ABC為正三角形，??.CQLAB.

VAP=PB=,AB=PC=2,

.??CQ=，且^PAB為等腰直角三角形，

.?.PQ_LAB,PQ=1,，PQ2+CQ2=CP2,，PQ_LCQ.

以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),QA,QC,QP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則A(1,O,O),C(O,,0),P(0,0,l),D(2,,0),=(-1,0,1),=(0,-,1),=(2,0,0).

設(shè)平面APC的法向量為nl=(xl,yl,zl),

nrAP=0,—xi+zi=0,

即V

->-V3yi+zi=0,

ni-CP=0,

令yl=l,得xl=,zl=，故nl=(,1,).

設(shè)平面DPC的法向量為n2=(x2,y2,z2),

=02r2=0，

即

一45yz+z2=0,

=0

令y2=L得z2=,故n2=(D,l,).

?.cos〈nl,n2)===,

由圖知二面角A-PC-D為銳角，

??.二面角A-PC-D的余弦值為平.

1.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐中最長棱的長度為

1).3

2.如圖，在四棱錐中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，是

上的點(diǎn).

求證：(1)平面：

(2)平面平面.

P

E

/'B

DA

3.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形.AD//BC.ZBCD=PA=PB.PC=PD.

(l)i正明平面PABl平面ABCD

(2)如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于，求二面角P-CD-A的大小

4.如圖，是的中點(diǎn)，四邊形是菱形，平面平面

(I)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，證明：平面；

(II)求平而AEE與平面4c廠所成的銳二面角的余弦值.

答案與解析

1.【答案】B

【解析】將幾何體還原在長方體中，如圖.該幾何體為三棱錐片ABC可得最長

棱為長方體的一條體對角線的回31不10名

2.【答案】同解析

【解析】（1）V,平面，平面，

/.平面.

（2）底面，底面，

由題意可知，且，是等腰直角三角形，

，，，即

又，平面

平面，平面平面

3.【答案】（1）取AB.CI）的中點(diǎn)E、F.連結(jié)PE、EF、PF,

由PA=PB.PC=PD

得PE_LAB,PFXCD

???EF為直角梯形的中位線，ZBCD=90°,

?,.EF_LCD

又PFAEF=F

???CDJL平面PEF

又〈PFu平面PEF,得CD_LPE

又PE±AB且梯形兩腰AB.CD必相交

.?.PE_L平面ABCD

又由PEc平面PAB

??.平面PAB_L平面ABCD

由（1）及二面角的定義知NPFE為二面角P-CD-A的平面角

作EG_LBC于G,連PG,

由三垂線定理得BCJ_PG,

故NPGE為二而角P-BC-A的平而角

即NPGE=60°,

由已知，得EF=,（AD+BC）=，又EG=CF=

，EF=EG,

ARcAPEF^RtAPEG.（11分）

ZPEF=ZPGE=60°,

故二面角P-CD-A的大小為60°.

4.【答案】同解析

【解析】（1）連接，.

?.?四邊形為菱形，且，

.?.M8b為等邊三角形.

,/為的中點(diǎn)，，.

???，，又是的中點(diǎn)，

:.BDVAC.

?.?平面平面，平面平面，平面，

人。_1_平面8。石月.

又平面，???.

由，，，

BF_1_平面AMC.

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接.易證平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直

線分別為軸,軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則

設(shè)平面，平面的法向量分別為

=0

由｛A一Em.=O2

EF-m=0

—x=0

12

解得）'i二一44.

取，/.

-x+y=0

BCn=022

又由《=I73解得M=J5Z2.

BF?〃=0~2^+^~22=°

取

m?n1

???平而AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值為1.

7

五、課堂小結(jié)

1.本節(jié)講了3個(gè)重要內(nèi)容:

2.三視圖與表面積及體積

2.直線與平面的位置關(guān)系

3.空間角

（1）幾何法

（2）向量法

1.一個(gè)樓長為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示,則截去

的幾何體是（）

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

2如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn).

(I)證明：平面

(1【)若，，求三棱錐的體積

3.在正四面體ABCD