鋼梁計(jì)算原理

第五章鋼梁計(jì)算原理

5.1概述

在鋼結(jié)構(gòu)中，承受橫向荷載作用的實(shí)腹式構(gòu)件稱為梁類構(gòu)件，即鋼梁。鋼梁

在土木工程中應(yīng)用很廣泛，例如廠房建筑中的工作平臺(tái)梁、吊車梁、屋面楝條和墻

架橫梁，以及橋梁、水工閘門(mén)、起重機(jī)、海上采油平臺(tái)中的梁等。

按制作方法可將鋼梁分為型鋼梁和組合梁兩種。

型鋼梁制作簡(jiǎn)單，成本較低，應(yīng)用較廣。型鋼梁通常采用熱軋工字鋼、槽

鋼、H型鋼和T型鋼（圖5-1（a））以及冷彎薄壁型鋼（圖5-1（c））。其中

H型鋼的截面分布最合理，其翼緣內(nèi)外邊緣平行，方便與其他構(gòu)件連接；槽鋼的截

面扭轉(zhuǎn)中心在腹板外側(cè)，一般受力情況下容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)，在使用時(shí)應(yīng)盡量避免。

當(dāng)荷載較大或跨度較大時(shí)，必須采用組合梁（圖5-1（b））來(lái)提高截面的

剛度和承載力，其中箱形截面梁的抗扭強(qiáng)度較高。組合梁的截面可以根據(jù)具體受力

情況合理布置，達(dá)到節(jié)省鋼材的目的。

圖5-1表示出了兩個(gè)正交的形心主軸，其中繞x軸的慣性矩、截面抵抗矩最

大，稱為強(qiáng)軸，另一軸則為弱軸。對(duì)于工形、T形、箱形截面，平行于x軸（彎曲軸）

的最外邊板稱為翼緣，垂直于x軸的板稱為腹板。

按支承條件又可將梁分為簡(jiǎn)支梁、連續(xù)梁和懸伸梁等。其中簡(jiǎn)支梁應(yīng)用最

廣，因其制造、安裝、赤換都較方便，而且受溫度變化和支座沉陷的影響很小。

梁的設(shè)計(jì)必須同時(shí)滿足承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)。鋼梁的承載

能力極限狀態(tài)包括強(qiáng)度、整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定三個(gè)方面。設(shè)計(jì)時(shí)要求在荷載設(shè)計(jì)值

作用下，梁的抗彎強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度、局部承壓強(qiáng)度和折算應(yīng)力均不超過(guò)相應(yīng)的強(qiáng)度

設(shè)計(jì)值；保證梁不會(huì)發(fā)生整體失穩(wěn)；同時(shí)保證組成梁的板件不出現(xiàn)局部失穩(wěn)。正常

使用極限狀態(tài)主要指梁的剛度，設(shè)計(jì)時(shí)要求在荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下梁具有符合規(guī)范要

求的足夠的抗彎剛度。

川

y\y\

4

ffi

川川

>/

)/

5.2鋼梁的強(qiáng)度和剛度

5.2,1梁的強(qiáng)度

梁的強(qiáng)度包括抗彎強(qiáng)度、抗剪強(qiáng)度、局部承壓強(qiáng)度和折算應(yīng)力，設(shè)計(jì)時(shí)要求

在荷載設(shè)計(jì)值作用下，均不超過(guò)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定的相應(yīng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。下

面分別進(jìn)行敘述。

一、抗彎強(qiáng)度

如圖5-2所示，梁在彎矩作用下，截面上正應(yīng)力的發(fā)展過(guò)程可分為三個(gè)階

段，分述如下。

(a)(b)(c)(d)

圖5-2梁的正應(yīng)力分布

(1)彈性工作階段

當(dāng)彎矩較小時(shí)，截面上應(yīng)力分布呈三角形，中和軸為截面的形心軸，截面上

各點(diǎn)的正應(yīng)力均小于屈服應(yīng)力力。彎矩繼續(xù)增加，直至最外邊緣纖維應(yīng)力達(dá)到屈

服應(yīng)力4時(shí)(圖5-2I：b)),彈性狀態(tài)的結(jié)束，相應(yīng)的彈性極限彎矩Me為

(5-1)

式中也一梁的凈截面彈忤抵抗矩o

(2)彈塑性工作階段

彎矩繼續(xù)增加，在梁截面上、下邊緣各出現(xiàn)一個(gè)高度為。的塑性區(qū)，其應(yīng)力

。達(dá)到屈服應(yīng)力而截面的中間部分區(qū)域仍處于彈性工作狀態(tài)(圖5-2

(c)),此時(shí)梁處于彈塑性工作階段。

(3)塑性工作階段

隨著彎矩再繼續(xù)增加，梁截面的塑性區(qū)不斷向內(nèi)發(fā)展，直至全部達(dá)到屈服應(yīng)

力4(圖5-2(d)),此時(shí)梁的抗彎承載能力達(dá)到極限，截面所負(fù)擔(dān)彎矩不再

增加，而變形卻可繼續(xù)增大，形成“塑性錢”，相應(yīng)的塑性極限彎矩Mp為

%=廊+5方)/；=1%/(5-2)

式中S”S2n——分別為中和軸以上及以下凈截面對(duì)中和軸的面積矩；

W”一一梁的凈截面塑性抵抗矩,%=5ln+S2n。

塑性抵抗矩與彈性抵抗矩的比值稱為截面形狀系數(shù)7。它的大小僅與截面的

幾何形狀有關(guān)，而與材料及外荷載無(wú)關(guān)。實(shí)際上表示出截面在進(jìn)入彈塑性階段之后

的后續(xù)承載力。/越大，表示截面的彈塑性后續(xù)承載能力越大。

對(duì)于矩形截面/=1.5,圓截面y=1.7,圓管截面7=1.27,工字形截面

17o說(shuō)明在邊緣纖維屈服后，矩形截面內(nèi)部塑性變形發(fā)展還能使彎矩承載能

力增大50%,而工字形截面的彎矩承載能力增大則較小。

雖然考慮截面塑性發(fā)展似乎更經(jīng)濟(jì)，但若按截面塑性極限彎矩進(jìn)行設(shè)計(jì)，可

能使梁產(chǎn)生過(guò)大的撓度，受壓翼緣過(guò)早失去局部穩(wěn)定。因此，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》

只是有限制地利用塑性，取截面塑性發(fā)展深度。＜0.125〃，并通過(guò)截面塑性發(fā)展系

數(shù)7來(lái)體現(xiàn)，且LOW"http://%按附表取值。

因此，梁的抗彎強(qiáng)度計(jì)算公式為：

單向彎曲時(shí)

(54)

雙向彎曲時(shí)

(5-5)

式中歷一場(chǎng)——繞x軸和），軸的彎矩；

Wnx，My—梁對(duì)X軸和y軸的凈截面抵抗矩；

八,八——截面塑性發(fā)展系數(shù)，當(dāng)梁受壓翼緣的自由外伸寬度與其厚度之

比不大于13后時(shí)，按附表取值，否則h=〃=1.0;

f——鋼材的抗彎強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，按附表采用。

對(duì)于直接承受動(dòng)力荷載梁及需要計(jì)算疲勞的梁，須按彈性工作階段進(jìn)行計(jì)

算，宜取九=%=1.。。

二、抗剪強(qiáng)度

一般情況下，梁同時(shí)承受彎矩和剪力的共同作用。對(duì)于外加剪力垂直于強(qiáng)軸

的實(shí)腹梁來(lái)說(shuō)，如工字形和槽形截面梁，翼緣處分擔(dān)的剪力很小，可忽略不計(jì)，截

面上的剪力主要由腹板承擔(dān)。工字形和槽形截面梁腹板上的剪應(yīng)力分布分別如圖5

-3(a)、(b)所示。截面上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在腹板中和軸處。其承載能力極

限狀態(tài)以截面上的最大剪應(yīng)力達(dá)到鋼材的抗剪屈服強(qiáng)度為準(zhǔn)，而抗剪強(qiáng)度計(jì)算式為

vs

r=P-<Z(5-6)

式中V一一計(jì)算截面處沿腹板平面作用的剪力設(shè)計(jì)值；

5——計(jì)算剪應(yīng)力(此處即為中和軸)以上毛截面對(duì)中和軸的面積矩；

/——毛截面慣性矩；

《——腹板厚度；

Z，一一鋼材的抗剪強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，按附表采用。

H

o

l

T

T

n

T

r

h

圖5-3腹板剪應(yīng)力

由于型鋼腹板較厚，一般均能滿足上式要求。

三、局部承壓強(qiáng)度

當(dāng)梁的翼緣受到沿腹板平面作用的集中荷載(例如此梁傳來(lái)的集中力、支座

反力和吊車輪壓等)作用且該處又未設(shè)置支承加勁肋時(shí)(圖5-4(a)、

(b)),應(yīng)驗(yàn)算腹板計(jì)算高度邊緣的局部承壓強(qiáng)度。

圖5-4局部壓應(yīng)力

在集中荷載作用下，腹板計(jì)算高度邊緣的壓應(yīng)力分布如圖5-4（c）的曲線

所示。計(jì)算時(shí)假定集中荷載從作用點(diǎn)處以45。角擴(kuò)散，并均勻分布于腹板的計(jì)算高

度邊緣。梁的局部承壓強(qiáng)度可按下式計(jì)算

4二生/（5-7）

式中F一一集中荷載（對(duì)動(dòng)力荷載應(yīng)考慮動(dòng)力系數(shù)）；

W一一集中荷載增大系數(shù)（對(duì)重級(jí)工作制吊車輪壓，”=1.35；對(duì)其他荷

載，"=1.0）；

4一一集中荷載在腹板計(jì)算高度邊緣的假定分布長(zhǎng)度（跨中

l,=a+5hy+2/?R,梁端（=以十2.5々）；

a——集中荷載沿梁跨度方向的支承長(zhǎng)度（對(duì)吊車梁可取為50mm）；

4——自梁承載的邊緣到腹板計(jì)算高度邊緣的距離；

hR—軌道的高度（無(wú)軌道時(shí)4=0）;

4——梁端到支座板外邊緣的距離（按實(shí)際取值，但不得大于2.5%）。

腹板的計(jì)算高度%按下列規(guī)定采用：①軋制型鋼梁，為腹板在與上、下翼緣

相接處兩內(nèi)弧起點(diǎn)間的距離；?②焊接組合梁，為腹板高度。

當(dāng)計(jì)算不滿足式（5-7）時(shí)，在固定集中荷載處（包括支座處）應(yīng)設(shè)置支承加勁

肋予以加強(qiáng)，并對(duì)支承加勁肋進(jìn)行計(jì)算。對(duì)移動(dòng)集中荷載，則應(yīng)加大腹板厚度。

四、折算應(yīng)力

當(dāng)組合梁的腹板計(jì)算高度邊緣處，同時(shí)承受較大的正應(yīng)力。、剪應(yīng)力7和局

部壓應(yīng)力q時(shí)，或同肘承受較大的正應(yīng)力。和剪應(yīng)力7時(shí)，應(yīng)按下式驗(yàn)算該處的

折算應(yīng)力

加十戊一仁+372<pj(5-8)

式中b,叭氣——腹板計(jì)算高度邊緣同一點(diǎn)二的彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力和局部

壓應(yīng)力，『按式(5-6)計(jì)算，q按式(5-7)計(jì)算，。

按下式計(jì)算

。=等(5-9)

2nx

晨——梁凈截面慣性矩；

)，計(jì)算點(diǎn)至梁中和軸的距離；

b,q—均以拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負(fù)值；

A——折算應(yīng)力的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值增大系數(shù)(當(dāng)。和4異號(hào)時(shí)，取4=1.2；當(dāng)

。和q同號(hào)或％時(shí)，取4=11)。

實(shí)際工程中幾種應(yīng)力皆以較大值在同一處出現(xiàn)的概率很小，故將強(qiáng)度設(shè)計(jì)值

乘以4予以提高。當(dāng)。和q異號(hào)時(shí)，其塑性變形能力比。和q同號(hào)時(shí)大，因此4

值取更大些。

522梁的剛度

梁剛度的驗(yàn)算相應(yīng)于正常使用極限狀態(tài)。當(dāng)梁的剛度不足時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的

撓度，將影響結(jié)構(gòu)的正常使用。例如若平臺(tái)梁的撓度過(guò)大，一方面會(huì)使人們感到不

舒服和不安全，另一方面會(huì)影響操作；若吊車梁撓度過(guò)大，會(huì)使吊車運(yùn)行困難，甚

至不能運(yùn)行。因此，應(yīng)使用下式來(lái)保證梁的剛度不至于過(guò)?。?/p>

v<|v](5-10)

式中v荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下梁的最大撓度；

|V]——梁的容許撓度值，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)規(guī)定的容許撓

度值見(jiàn)附表。

撓度計(jì)算時(shí)，除了要控制受彎構(gòu)件在全部荷載標(biāo)準(zhǔn)值下的最大撓度外，對(duì)承

受較大可變荷載的受彎構(gòu)件，尚應(yīng)保證其在可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值作用下的最大撓度不超

過(guò)相應(yīng)的容許撓度值，以保證構(gòu)件在正常使用時(shí)的工作性能。

5.3鋼梁的整體穩(wěn)定

5.3.1一般概念

如圖5-5所示的工字形截面梁，承受彎曲平面內(nèi)的橫向荷載作用，若其截面

形式為高而窄，則當(dāng)荷載增大一定程度時(shí)，梁除了仍有彎矩作用平面內(nèi)的彎曲以

外，會(huì)突然發(fā)生側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)，并喪失繼續(xù)承載的能力，這種現(xiàn)象就稱為梁的整

體失穩(wěn)。此時(shí)梁的抗彎承載能力尚未充分發(fā)揮。梁維持其穩(wěn)定平衡狀態(tài)所承受的最

大彎矩，稱為臨界彎矩。

圖5-5梁的整體失穩(wěn)

橫向荷載的臨界值和它沿梁高的作用位置有關(guān)。荷載作用在上翼緣時(shí)，如圖

5-6(a)所示，在梁產(chǎn)生微小側(cè)向位移和扭轉(zhuǎn)的情況下，荷載尸將產(chǎn)生繞剪力中

心的附加扭矩與，它將對(duì)梁側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)起促進(jìn)作用，使梁加速喪失整體穩(wěn)

定。但當(dāng)荷載產(chǎn)作用在梁的下翼緣時(shí)(圖5-6(b)),它將產(chǎn)生反方向的附加扭

矩屬，有利于阻止梁的側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)，延緩梁?jiǎn)适дw穩(wěn)定。因此，后者的臨界

荷載（或臨界彎矩）將高于前者。

(a)(b)

圖5-6荷載位置對(duì)整體穩(wěn)定的影響

5.3.2梁的扭轉(zhuǎn)

梁整體失穩(wěn)形態(tài)為雙向彎曲加扭轉(zhuǎn)，為此有必要簡(jiǎn)略介紹有關(guān)扭轉(zhuǎn)的若干概

念。根據(jù)支承條件和荷載形式的不同，扭轉(zhuǎn)分為自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)兩種形式。

一、自由扭轉(zhuǎn)

非圓截面構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)，原來(lái)為平面的橫截直不再保持為平面，產(chǎn)生翹曲變

形，即構(gòu)件在扭矩作用下，截面上各點(diǎn)沿桿軸方向產(chǎn)生位移。如果扭轉(zhuǎn)時(shí)軸向位移

不受任何約束，截面可自由翹曲變形（圖5-7）,稱為自由扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，

各截面的翹曲均相同，縱向纖維保持直線且長(zhǎng)度保持不變，截面上無(wú)正應(yīng)力，只有

剪應(yīng)力。沿桿件全長(zhǎng)扭矩相等，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角d@/dz相等，并在各截面上產(chǎn)生相

同的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。

圖5-7桿件的自由扭轉(zhuǎn)

剪應(yīng)力沿板厚方向呈三角形分布，扭矩與截面扭轉(zhuǎn)角Q的關(guān)系為

M=G/1字（5-11）

tdz

式中叫——截面的自由扭轉(zhuǎn)扭矩；

G——材料的剪變模量；

（P一一截面的扭轉(zhuǎn)角；

/1一一截面的抗扭慣性矩（扭轉(zhuǎn)常數(shù)）。

最大剪應(yīng)力為

==華（5-12）

式中t——狹長(zhǎng)矩形微面的寬度。

鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件通常采用工字形、槽形、T形等截面，它們可以視為幾個(gè)狹長(zhǎng)矩

形單元組成，此時(shí)整個(gè)截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)可近似取各矩形單元扭轉(zhuǎn)常數(shù)之和，即

t也（5-13）

Ji=l

式中4,4——狹長(zhǎng)矩形單元的長(zhǎng)度和寬度；

T]—考慮各板件相互連接聯(lián)系的提高系數(shù)，對(duì)工字形截面可取〃=125。

二、約束扭轉(zhuǎn)

由于支承條件或外力作用方式使構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)截面的翹曲受到約束，稱為約束

扭轉(zhuǎn)（圖5-8）。此時(shí)相當(dāng)于對(duì)梁的縱向纖維施加了拉伸或壓縮作用。因此在截

面上不僅產(chǎn)生剪應(yīng)力，同時(shí)還產(chǎn)生正應(yīng)力。如圖5-8（a）所示的雙軸對(duì)稱工字形

截面懸臂構(gòu)件，在自由端處作用的外扭矩"T使上、下翼緣向不同方向彎曲。自由

端截面的翹曲變形最大，越靠近固定端截面的翹曲變形越小，在固定端處，翹曲變

形完全受到約束，由此可知中間各截面受到約束的程度不同。

截面上的剪應(yīng)力可以分為兩部分：一部分為因扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力

"；另一部分為因翼緣彎曲變形而產(chǎn)生的彎曲扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力%。這兩部分剪應(yīng)力的

疊加即為截面上真實(shí)的剪應(yīng)力分布。由力的平衡條件可知，由自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力、形

成的截面自由扭轉(zhuǎn)力矩(圖5-8(b))與由彎曲扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力％形成的截面彎

曲扭轉(zhuǎn)力矩例a(圖5-8(c))之和應(yīng)與外扭矩%相平衡，即

(5-14)

(5-15)

圖5-8工字形截面懸臂梁的約束扭轉(zhuǎn)

匕為彎曲扭轉(zhuǎn)剪力，其計(jì)算方法如下：

在距固定端處為z的截面上產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角(p,上翼緣在x方向的位移各為

h,、

a=3(p(5-16)

其曲率為

史上在(5-17)

dz22dz2

由曲率與彎矩的關(guān)系，有

M—E噌-嗚察(5-18)

式中M——上翼緣的側(cè)向彎矩；

/.——上翼緣對(duì)y軸的慣性矩。

由彎矩與剪力的關(guān)系，有

(5-19)

dz~12dz3

(5-20)

式中/co—截面的翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)，隨截面形式不同而不同，對(duì)雙軸對(duì)稱工字形

將式(5-11)和式(5-20)代入式(5-14),有

這就是開(kāi)口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)微分方程。

5.3.3梁整體穩(wěn)定的基本理論

一、梁整體穩(wěn)定的臨界彎矩

圖5-9為兩端簡(jiǎn)支的雙軸對(duì)稱工字形截面純彎曲梁。此處所指的“簡(jiǎn)支”符

合夾支條件，即支座處截面可自由翹曲，能繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能繞z軸轉(zhuǎn)

動(dòng)，也不能側(cè)向移動(dòng)。在剛度較大的yz平面內(nèi)，梁兩端各承受彎矩M的作用。當(dāng)

彎矩較小時(shí)，梁僅發(fā)生豎向彎曲。當(dāng)彎矩達(dá)到某一臨界值時(shí)，梁發(fā)生彎矩失穩(wěn)，產(chǎn)

生側(cè)向xz平面內(nèi)的彎曲，并伴隨截面扭轉(zhuǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的彎矩即為使梁產(chǎn)生整體失

穩(wěn)的臨界彎矩A/”下面敘述梁整體穩(wěn)定的臨界彎矩的計(jì)算方法。

MQ

x

圖5-9純彎曲下的雙軸對(duì)稱工字形截面梁

圖5-10所示為雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁在純彎曲下發(fā)生整體失穩(wěn)時(shí)的變

形情況。以截面的形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，固定的坐標(biāo)系為O孫z；固定在截面上，隨截

面位移而移動(dòng)的坐標(biāo)系為。切7。在分析中假定截面形狀始終保持不變，因而截面

特性4=4和4=截面形心。在X、)，軸方向的位移為〃、叭截面扭轉(zhuǎn)角為

0。在圖5-10(b)、(c)中，彎矩用雙箭頭向量表示，其方向按向量的右手規(guī)

則確定，這樣可以利用向量的分解方法求出彎矩的分量。

圖5-10梁整張失穩(wěn)時(shí)變形

在離梁左支座為z的截面上作用有彎矩加一梁發(fā)生側(cè)扭變形后，在圖5-10

(b)上把分解成M/Cos。和MxSin。，在圖5-10(c)中又把cos。分解成

此和%。因。二丁和截面轉(zhuǎn)角夕都屬微小量，可取

dz

sin夕bacos^?1,sin(p^(p.cos(p?1

又由于梁承受純彎曲，故常量。于是得：

M：=%cosOcos夕HM

%=%cosOsin9々M(p

M.=M、sin0xM。=M—

['xdz

由上式可知原來(lái)的梁端彎矩M被分解為M-其中表示截面發(fā)生位

移后繞強(qiáng)軸的彎矩，％表示截面發(fā)生位移后繞弱軸的彎矩，表示約束扭轉(zhuǎn)扭

矩。

由于位移很小，可近似認(rèn)為dz段截面在玄和兩平面內(nèi)的曲率為d，/d?和

22

dv/dzo根據(jù)彎矩與曲率的關(guān)系以及式(5-21)分別對(duì)外、和匕建立三個(gè)

平衡微分方程式：

M-=-EI^=M(5-22)

xdz2

12

M「EIyT=M(P(5-23)

,dz"

M°=—E兀察+=M號(hào)(5-24)

dzdzdz

相應(yīng)的邊界條件為：

當(dāng)2=0或2=/時(shí)，

u=v=(p=O(5-25)

和粵=0(5-26)

dz

邊界條件(5-25)式表示梁端無(wú)位移、無(wú)扭轉(zhuǎn)，(5-26)式表示梁端截面

可以自由翹曲。(5-22)式是對(duì)4軸的考矩平衡方程式，只包含一個(gè)未知量人

可利用材料力學(xué)的知識(shí)單獨(dú)求解，與梁的整體失穩(wěn)無(wú)關(guān)。(5-23)式是側(cè)向彎矩

的平衡方程式和(5-24)式扭矩的平衡方程式，兩式中各包含兩個(gè)未知量〃和

外它們均與梁的整體失穩(wěn)有關(guān)，須聯(lián)立求解。

可以看出特解〃=0、0=0能夠同時(shí)滿足微分方程組和相應(yīng)的邊界條件，然而

它對(duì)應(yīng)的情況是梁未產(chǎn)生彎扭失穩(wěn)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是要求解彎矩M為多大的情況下

會(huì)使梁整體失穩(wěn)，即對(duì)應(yīng)〃和。有非零解，而這個(gè)待定的M就是梁失穩(wěn)時(shí)的臨界

彎矩。

將式(5-24)微分一次，其中d%/dz2以式(5-23)代入，這樣可消去變量

由此得到一個(gè)關(guān)于9的常系數(shù)四階齊次常微分方程：

(5-27)

由上述邊界條件可假定：

.〃萬(wàn)z

(P=csin—j—(5-28)

將式(5-28)代入式(5-27),有

1,〃乃z_

Mcsin---=0(5-29)

瓦

要使上式對(duì)任何z值都能成立，并且cHO,必須是

j而丫“以丫M2

%—+G/t-------=0(5-30)

"I/)\/)Ely

由此解得最小臨界彎矩為(〃=1)

(5-31)

此即純彎曲時(shí)雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩。式中根號(hào)前的即繞

y軸屈曲的軸心受壓構(gòu)件歐拉公式。由(5-31)式可見(jiàn)純彎曲下雙軸對(duì)稱工字形

簡(jiǎn)支梁臨界彎矩大小與三種剛度(即側(cè)向抗彎剛度E/y、抗扭剛度G/,和翹曲剛度

EQ)以及梁的側(cè)向無(wú)支跨度/有關(guān)。

3zr

62T

圖5-11單軸對(duì)稱截面

對(duì)一般荷載（包括端彎矩和橫向荷載）的單軸對(duì)稱截面（截面僅對(duì)稱于y

軸，見(jiàn)圖5-11）,簡(jiǎn)支梁的彎矩屈曲臨界彎矩一般表達(dá)式為

%=G牛。2〃+。34+鼠+。34）2+知+需］（5-32）

4=丁卜*2+）,2）皿一），0(5-33)

式中4—反映單軸對(duì)稱截面幾何特性的函數(shù)，當(dāng)為雙軸對(duì)稱時(shí)，4=。；

九一一剪切中心的縱坐標(biāo)，.=/也;/禽；正值時(shí),剪切中心在形心之

下，負(fù)值時(shí)，在形心之上；

。一一荷載作用點(diǎn)與剪切中心之間的距離，當(dāng)荷載作用點(diǎn)在剪切中心以下

時(shí)，取正值，反之取負(fù)值；

/?/2——分別為受壓翼緣和受拉翼緣對(duì)），軸的慣性矩，

1=植3/12〃2=的12；

心用——分別為受壓翼緣和受拉翼緣形心至整個(gè)截面形心的距離；

GCC——與荷載類型有關(guān)的系數(shù)，見(jiàn)表5-1。

上述的所有縱坐標(biāo)均以截面的形心為原點(diǎn)，y軸指句下方時(shí)為正向。

由式(5-32)可見(jiàn)梁整體穩(wěn)定的臨界彎矩還與荷載的類型及荷載作用點(diǎn)

在梁截面上的位置有關(guān)。

表5-1G、。2和C,系數(shù)

系數(shù)

荷載情況

GgG

跨度中點(diǎn)集中荷載1.350.550.40

滿跨均布荷載1.130.460.53

純彎曲1.0001.00

二、梁的整體穩(wěn)定系數(shù)%

由式(5-31)可得雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁的臨界應(yīng)力

(5-34)

式中％—梁對(duì)x軸的毛截面抵抗矩。

梁的整體穩(wěn)定應(yīng)滿足下式

(5-35)

叫外fy/R

式中外一一梁的整體穩(wěn)定系數(shù)，外=，,〃、也就是說(shuō)梁的整體穩(wěn)定系數(shù)外為

整體失穩(wěn)臨界應(yīng)力與鋼材屈服應(yīng)力的比值。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，《綱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》取

3-4

式中A——梁的毛截面面積；

受壓翼緣厚度。

代人數(shù)值石=206xl（TN/mm2,E]G=Z6、令今=4《，l}/iy=\,并取

Q235鋼的￡=235N/mm\得到Q235鋼雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁穩(wěn)定系數(shù)的

近似值

4320Ah]?(小丫

(5-36)

對(duì)于常見(jiàn)的截面尺寸及名種荷載條件下，通過(guò)大量電算及試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分

析，現(xiàn)行規(guī)范規(guī)定了梁整體穩(wěn)定系數(shù)外的計(jì)算式：

（1）等截面焊接工字形（軋制H型鋼）（附圖）簡(jiǎn)支梁整體穩(wěn)定系數(shù)外按

下式計(jì)算：

04320Ah235

(5-37)

式中A一一梁整體穩(wěn)定的等效彎矩系數(shù)系數(shù)，按附表采用，它主要考慮各種荷

載種類和作用位置所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)與純彎條件下穩(wěn)定系數(shù)的差異；

4——梁在側(cè)向支承點(diǎn)間對(duì)截面弱軸）軸的長(zhǎng)細(xì)比，4為梁毛截面對(duì)y軸的

截面回轉(zhuǎn)半徑；

小——截面不對(duì)稱影響系數(shù)：對(duì)雙軸對(duì)稱工字形截面（軋制H型鋼）（附

圖）么二。；對(duì)單鈾對(duì)稱工字形截面（附圖），加強(qiáng)受壓翼緣

%=。.8（2怎-1）,加強(qiáng)受拉翼緣〃b=2%-1，其中4=,，A.

分別為受壓翼緣和受拉翼緣對(duì)），軸的慣性矩。

上述外的計(jì)算是建立在梁彈性穩(wěn)定理論的基礎(chǔ)上的，其前提條件是梁在整體

失穩(wěn)前，材料一直處于彈性工作階段。如果按式（5-37）計(jì)算的梁失穩(wěn)臨界應(yīng)力

大于鋼材的比例極限人,也就是說(shuō)在達(dá)到彈性理論計(jì)算的」之前材料已進(jìn)入彈

塑性工作階段，對(duì)于這種情況的梁，其實(shí)際的失穩(wěn)臨界應(yīng)力值要低于按彈性理論計(jì)

算出的臨界應(yīng)力值。另外，考慮到梁的初彎曲、荷載偏心及殘余應(yīng)力等缺陷的影

響，規(guī)范規(guī)定：按式(5-37)算得的外值大于。6時(shí)，應(yīng)以武代替外進(jìn)行減小式

修正，媒的計(jì)算式為

AOQ?

^=1.07一一：—<1.0(5-38)

餌

(2)軋制普通工字鋼簡(jiǎn)支梁，其外值直接由附表查得，若其值大于0.6時(shí)，

須用媒代替外，按式(5-38)計(jì)算。軋制槽鋼簡(jiǎn)支梁、雙軸對(duì)稱工字形等截面

(含H型鋼)懸臂梁的外值均可按附錄計(jì)算。

5.3.4梁整體穩(wěn)定的計(jì)算

梁整體失穩(wěn)主要是由梁受壓翼緣的側(cè)向彎曲引起的，因此如果采取必要的措

施阻止梁受壓翼緣發(fā)生側(cè)向變形，就可以在構(gòu)造上保證梁的整體穩(wěn)定；另外，如果

梁的整體穩(wěn)定臨界彎矩高干或接近干梁的屈服彎矩時(shí),驗(yàn)算梁的抗彎強(qiáng)度后也就不

需再驗(yàn)算梁的整體穩(wěn)定。故現(xiàn)行《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》有如下規(guī)定：

(1)符合下列情況之一時(shí)，可不計(jì)算梁的整體穩(wěn)定性。

①有剛性鋪板密鋪在梁的受壓翼緣上并與其牢固相連，能阻止梁受壓翼緣的

側(cè)向位移時(shí)。

②H型鋼或工字形截面簡(jiǎn)支梁受壓翼緣的自由長(zhǎng)度4與其寬度々之比不超過(guò)

表5-2所規(guī)定的數(shù)值時(shí)。

③箱形截面奧，其截面尺寸(圖5-12)滿足/?他。46,且

4/4495(235/4)。

圖5-12箱形截面

表5-2H型鋼或工字形截面簡(jiǎn)支梁不需計(jì)算整體穩(wěn)定性的最大"4值

跨中無(wú)側(cè)向支承點(diǎn)的梁跨中受壓翼緣有側(cè)向支承點(diǎn)

鋼號(hào)

荷栽作用在上翼緣荷載作用在下翼緣的梁，不論荷載作用于何處

Q23513.020.016.0

Q34510.516.513.0

Q39010.015.512.5

Q4209.515.012.0

(2)當(dāng)不滿足上述條件時(shí)，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定的梁的整體穩(wěn)定計(jì)算公

式為

(5-39)

式中——繞強(qiáng)軸作用的最大彎矩；

M——按受壓纖維確定的梁毛截面抵抗矩;

外——梁的整體穩(wěn)定系數(shù)。

(3)在兩個(gè)主平面受彎的H型鋼或工字形截面構(gòu)件，其整體穩(wěn)定性應(yīng)按下式

計(jì)算:

(5-40)

式中Wx、Wy——按受壓纖維確定的對(duì)工軸和對(duì))，軸毛截面抵抗矩i

外一繞強(qiáng)軸彎曲所確定的梁整體穩(wěn)定系數(shù)。

式(5-40)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，式中八為相對(duì))，軸的截面塑性發(fā)展系數(shù)，它并

不表示繞)，軸彎曲容許出現(xiàn)塑性，而是用來(lái)適當(dāng)降低第二項(xiàng)的影響。

要提高梁的整體穩(wěn)定性，可加大梁的截面尺寸或在梁受壓翼緣平面設(shè)置側(cè)向支

撐，前一種辦法中以增大受壓翼幺彖的寬度最有效。在對(duì)側(cè)向支撐進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，需將

梁的受壓翼緣視為軸心壓桿來(lái)計(jì)算。

【例題5-1］某簡(jiǎn)支梁，焊接工字形截面，跨度中點(diǎn)及兩端都設(shè)有側(cè)向支

承，可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值及梁截面尺寸如圖5-13所示，荷載作用于梁的上翼緣。設(shè)

梁的自重為1.57kN/m,材料為Q235B,試計(jì)算此梁的整體穩(wěn)定性。

【解】

梁受壓翼緣自由長(zhǎng)度4=6m,IJb.=6000/270=22>16,因此應(yīng)計(jì)算梁的整

體穩(wěn)定。

梁截面幾何特征：

646

L%=4050x10mm,yI=32.8xl0mm"

A=13800mm2,W、=570x104mm3

梁的最大彎矩設(shè)計(jì)值為

Mnax=-(1.2xl.57)xl22+1.4x90x3+1.4xlx130x6=958(kN.m)

82

(式中1.2和1.4分別為永久荷載和可變荷載的分項(xiàng)系數(shù))

鋼梁整體穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算式為

4320Ah235

縱=鳳

-270x10

/

A400x6

x

-270x10

y\

圖5-13例題5-1圖

由附表知，凡應(yīng)為該表中項(xiàng)次5均布荷載作用在上翼緣一欄的值。

風(fēng)=1,15

32.8x10°

-------=48.75(mm)

13800

_----_123,h=1420mm,t.=10mm

-48.751

2

?7b=0.fy=235N/mm

代入外公式有外=l」52>0.6

由式(5-38)修正，可得1.07-絲2=0.825

乳

因此=―死8*I。6=203.7(N/mm?)<215N/mm2

底吆0.825x570xIO4

故梁的整體穩(wěn)定可以保證。

【例題5-2】某簡(jiǎn)支鋼梁，跨度6m,跨中無(wú)側(cè)向支承點(diǎn)，集中荷載作用于

梁的上翼緣，截面如圖5-14所示，鋼材為Q345。求此梁的整體穩(wěn)定系數(shù)。

【解】

截面幾何特征：

/?=103cm,=41.3cm,h2=61.7cm

I=281700cm4,1=8842cm4

xJ

442

7,=7909cm,12=933cm,A=170.4cm

/,_7909

%0.894>0.8

7,+Z2-8842

=600x1.6

=0.239<0.5

三39x103

圖5-14例題5-2圖

由附表2—1項(xiàng)次3以及注⑥，有

鳳=0.9x(0.73+0.18<)=0.9x(0.73+0.18x0.239)0.696

些=7.2(cm)

170.4

2=—=83.3,t,=1.6cm,f=345N/inm2

y7.2

叱十喏

么=0,8(2ab-l)=0.8(2x0.894-1)=0.631

代入式(5-37)中，得

^14+0.631

4320170.4x103235

內(nèi)=0.696x----x-----------x1+1.271>0.6

Vb83.3276821^4.4x103；345

由式(5-38)修正，得

吠小7-^=。848

5.4鋼梁的局部穩(wěn)定和腹板加勁肋設(shè)計(jì)

在進(jìn)行梁截面設(shè)計(jì)時(shí)，從節(jié)省材料的角度，希望選用較薄的截面，這樣在總

截面面積不變的條件下可以加大梁高和梁寬，提高梁的承載力、剛度及整體穩(wěn)定

性。但是如果梁的翼緣和腹板厚度過(guò)薄，則在荷載作用下板件可能產(chǎn)生波形凸曲

（圖5-15）,導(dǎo)致梁發(fā)生局部失穩(wěn)，降低梁的承載能力。

圖5-15梁的局部失穩(wěn)形式

（a）翼緣；（b）腹板

軋制型鋼梁的規(guī)格和尺寸都已考慮了局部穩(wěn)定的要求，因此其翼緣和腹板的

局部穩(wěn)定問(wèn)題不需進(jìn)行臉?biāo)恪Ｐ枰⒁獾氖墙M合梁的局部穩(wěn)定問(wèn)題。梁的局部穩(wěn)定

問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是組成梁的矩形薄板在各種應(yīng)力如。、丁、4的作用下的屈曲問(wèn)

題。

5.4.1矩形薄板的屈曲

板在各種應(yīng)力作用下保持穩(wěn)定所能承受的最大應(yīng)力稱為板的臨界應(yīng)力根

據(jù)彈性穩(wěn)定理論，矩形薄板在各種應(yīng)力單獨(dú)作用下失穩(wěn)的臨界應(yīng)力可由下式計(jì)算

YE"

4r(或％)=%12(1-吟口(5-41)

式中v---鋼材的泊松比；

k一一板的壓曲系數(shù)。

(1)板件兩端受縱向均勻壓力(圖5-16(a))

圖5-16各種應(yīng)力單獨(dú)作用下的矩形板

(a)受縱向均勻應(yīng)力作用；(匕)受剪應(yīng)力作用；

(c)受彎曲正應(yīng)力作用；(d)上邊緣受橫向局部壓應(yīng)力作用

四邊簡(jiǎn)支板k=4(5-42)

三邊簡(jiǎn)支、一邊自由板％=0425+(，)(5-43)

(2)受剪應(yīng)力作用的四邊簡(jiǎn)支板(圖5-16(b))

當(dāng)時(shí)4=4.0+；^(5-44a)

h⑷b)~

當(dāng)Ml時(shí)％=5.34+衛(wèi)L(5-44b)

h(a/b)~

(3)受彎曲正應(yīng)刀作用時(shí)(圖5-16(c))

四邊簡(jiǎn)支板％=23.9(5-45a)

兩邊受荷簡(jiǎn)支、另兩邊固定板k=39.6(5-45b)

(4)上邊緣受橫向局部壓應(yīng)力作用時(shí)(圖5-16(d))

當(dāng)0.5工@41.5時(shí)^=(4.5-4-7.41-(5-46a)

b<a"

當(dāng)1.5《g42.0時(shí)/:=[11-0.9-(5-46b)

bVct)ci

由式(5-41)可見(jiàn)，矩形薄板的?]除與其所受應(yīng)力、支承情況和板的長(zhǎng)寬

比(?！?有關(guān)外，還與板的寬厚比(〃，)的平方成反比。試驗(yàn)證明，減小板寬

可有效地提高%…另外，,與鋼材強(qiáng)度無(wú)關(guān)，這就意味著采用高強(qiáng)度鋼材并不能

提高板的局部穩(wěn)定性能。

5.4.2受壓翼緣的局部穩(wěn)定

工字形截面梁的受壓翼緣板主要承受均布?jí)簯?yīng)力作用。為了充分利用材料，

采用令板件的局部屈曲臨界應(yīng)力等于材料的屈服強(qiáng)度的方法，來(lái)確定翼緣板的最小

寬厚比，以保證板件在強(qiáng)度破壞前不致發(fā)生局部失穩(wěn)?？紤]翼緣板在彈塑性階段屈

曲，板沿受力方向的彈性模量降低為切線彈性模量&="七，而在垂直受力方向仍

為E,其性質(zhì)屬于正交異性板。其臨界應(yīng)力可用下式計(jì)算：

或%)=鏢(577)

受壓翼緣板的外伸部分為三邊簡(jiǎn)支、一邊自由的矩形板，其屈曲系數(shù)

攵=0.425；由于支承翼緣板的腹板一般較薄，對(duì)翼緣的約束作用很小，因此取彈

52

性嵌固系數(shù)％=^n=EjE=0AtE=2.06xl0N/mm,v=0.3,由6

即可得到梁受壓翼緣自由外伸寬度〃與其厚度/之比(圖5-17(a))應(yīng)滿足下

式：

”413

(5-48a)

t

當(dāng)梁在彎矩作用下的強(qiáng)度按彈性計(jì)算時(shí)，即取八二1.。時(shí)限值可放寬為

以1

(5-48b)

圖5-17工字形截面和箱形截面

箱形截面梁在兩腹板間的受壓翼緣(寬度為瓦，厚度為7)可按四邊簡(jiǎn)支的縱向

均勻受壓板計(jì)算，屈曲系數(shù)左=4.0,且偏安全地取力=1.0,〃=。-25。同樣，由式

(5-47),可得其寬厚比限值為(B5-17(b))

(5-49)

當(dāng)受壓翼緣板設(shè)置縱向加勁肋時(shí)，％取腹板與縱向加勁肋之間的翼緣板無(wú)支

承寬度。由上可知，選擇梁翼緣板尺寸時(shí)要綜合考慮強(qiáng)度、整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定的

要求。

5.4.3腹板的局部穩(wěn)定

梁腹板是四邊簡(jiǎn)支的或考慮有彈性嵌固的矩形板，其受力狀況較復(fù)雜，以受

剪力為主，同時(shí)還承受彎曲正應(yīng)力及橫向壓應(yīng)力，因而梁腹板的局部失穩(wěn)形態(tài)是多

種多樣的。在多向應(yīng)力狀態(tài)下，臨界應(yīng)力計(jì)算較復(fù)雜。為了更好地了解和分析腹板

局部失穩(wěn)的本質(zhì)，有必要先對(duì)四邊支承的矩形板分別在剪應(yīng)力、彎曲正應(yīng)力和局部

壓應(yīng)力單獨(dú)作用下的失穩(wěn)問(wèn)題進(jìn)行分析。

一、腹板的受力特征

1、剪應(yīng)力作用下矩形板的屈曲

圖5-18為四邊簡(jiǎn)支的矩形板，四邊作用均勻分布的剪應(yīng)力r,由于其主壓應(yīng)

力方向?yàn)?5。，因而板屈曲時(shí)產(chǎn)生大致沿45。方向傾斜的鼓曲。在剪應(yīng)力作用下，

板沒(méi)有受荷邊與非受荷力的區(qū)別，只有長(zhǎng)邊與短邊的不同，臨界剪應(yīng)力為

r=5.34+——--1(5-50)

(rL(，皿/心丹712(j)2kJ

式中?！搴瘢?/p>

圖5-18板的純剪屈曲

考慮翼緣對(duì)腹板的嵌固作用，彳=1.25,￡：=2.O6xlO5N/mm2,v=0.3,則

當(dāng)。2%時(shí)，有

%=233x103[4+5.34(%/〃)2](4/4)2(5-51)

當(dāng)時(shí)，有

*=233x1O'[5.34+4(4/a)?](4/%)2(5-52)

式中a腹板橫向加勁肋的間距;

10-腹板計(jì)算高度。

以為參數(shù)，稱為腹板受剪計(jì)算時(shí)的通用高厚比，其中％為剪切

屈服強(qiáng)度，其值為6/。，％為式(5-51).(5-52)所表達(dá)的臨界剪應(yīng)力。

得到

當(dāng)。為5.0時(shí)4=4曠4+5.34(%那)2底(5-53a)

_____%"w_____/A

當(dāng)〃〃0>1.。時(shí)A=41j5.34+4(%/a)2V235(5-53b)

當(dāng)兒40.8時(shí)(5-54a)

當(dāng)0.8<4W1.2時(shí)%=[1-0.59(4-。8力￡(5-54b)

當(dāng)兒〉1.2時(shí)%=1?"/不(5-54c)

式中/v——鋼材的抗剪強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

當(dāng)某一腹板區(qū)格所受剪應(yīng)力丁m心時(shí)，梁腹板就不會(huì)發(fā)生剪切局部失穩(wěn)。防止

腹板剪切失穩(wěn)的有效方法是設(shè)置橫向加勁肋，因?yàn)闇p少可以增大剪切臨界應(yīng)

力。橫向加勁肋的最小間距為65%,最大間距為2%(對(duì)無(wú)局部壓應(yīng)力的梁，當(dāng)

%/4K100時(shí)，可采用2.5%)。

2、彎曲正應(yīng)力作用下矩形板的屈曲

圖519為四邊簡(jiǎn)支矩形板在彎曲正應(yīng)力作用下的屈曲形態(tài)。屈曲時(shí)在板高

度方向?yàn)橐粋€(gè)半波，沿板長(zhǎng)度方向一般為多個(gè)半波。板的彎曲臨界應(yīng)力為

二渥Ejtw

4r(5-55a)

式中k一一屈曲系數(shù)，與板的支承條件、長(zhǎng)短邊長(zhǎng)比值以及縱向半波數(shù)有關(guān)，對(duì)

于不同的半波數(shù)，％值的曲線見(jiàn)圖5-20所示。

圖5-19板的純彎屈曲

圖5-20板的純彎曲屈系數(shù)

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板，理論分析得到的幺面=23.9,對(duì)于加荷邊為簡(jiǎn)支，上下兩邊

為固定的四