第八章 高斯光束

掌握高斯光束的基本性質(zhì)，包括高斯光束參數(shù)與腰斑半徑的相互計(jì)算和高斯光束任意位置處光斑半徑與等相位面曲率半徑的計(jì)算。掌握q參數(shù)及其傳輸規(guī)律，掌握高斯光束q參數(shù)的定義、計(jì)算和傳輸規(guī)律。掌握透鏡對(duì)高斯光束的變換規(guī)律，掌握高斯光束的聚焦與準(zhǔn)直方法。了解高斯光束的匹配概念與方法。第八章高斯光束2023最新整理收集do

something光束在均勻介質(zhì)和類(lèi)透鏡介質(zhì)中的傳播類(lèi)透鏡介質(zhì)中的波動(dòng)方程在各向同性、無(wú)電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：對(duì)2式求旋度：且由3式：在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即綜合上三式可以得到假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿(mǎn)足慢變近似，此時(shí)可以將電磁場(chǎng)表示為：代入(4)式波動(dòng)方程也稱(chēng)亥姆霍茲方程光束在均勻介質(zhì)和類(lèi)透鏡介質(zhì)中的傳播下面我們研究類(lèi)透鏡介質(zhì)中波動(dòng)方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播?？梢约僭O(shè)光場(chǎng)的橫向分布只與有關(guān)，因此波動(dòng)方程中的算符可以表示為：我們假設(shè)，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說(shuō)明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場(chǎng)分量，其單色平面波的表達(dá)式為：其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波，為了研究修正平面波，我們引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正兩部分。該修正因子滿(mǎn)足慢變近似：將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動(dòng)方程可以得到：令修正因子取以下形式：為什么取這種形式？這是對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行長(zhǎng)期研究得到的解，既滿(mǎn)足方程，又有明確的、能夠被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的物理意義。光束在均勻介質(zhì)和類(lèi)透鏡介質(zhì)中的傳播高斯分布：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中更多的被稱(chēng)為正態(tài)分布，它指的是服從以下概率密度函數(shù)的分布：JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)§1

高斯光束的基本性質(zhì)穩(wěn)定球面腔的行波場(chǎng)基模行波場(chǎng)為其中，一、基模高斯光束ZW(Z)f-fw0-w002）當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上()的值的e-1倍，即強(qiáng)度為軸上的值的e-2倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；1）基橫模TEM00的場(chǎng)振幅U00和強(qiáng)度I00分布分別為：二、基模高斯光束在自由空間的傳輸規(guī)律3)共焦場(chǎng)中等相位面的分布如圖所示。

共焦腔中等位相面的分布當(dāng)z=0時(shí)，，束腰所在位置處的等相位面為平面當(dāng)時(shí)，離束腰無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)等相位面為平面，曲率中心在束腰位置處。當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，表明等相位面的曲率中心在當(dāng)時(shí)，表明等相位面的曲率中心在4)遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩條漸近線之間的夾角共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級(jí)，它的方向性相當(dāng)好。由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。高斯光束既不是平面波也不是球面波，在傍軸近似條件下，可以將其看作一種曲率中心與曲率半徑都隨傳播過(guò)程而不斷改變的非均勻球面波。高斯光束在其軸線附近可看作是一種非均勻高斯球面波，2.在其傳播過(guò)程中曲率中心不斷改變3.其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯光束4.強(qiáng)度集中在軸線及其附近5.等相位面保持球面高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的孔徑從基模高斯光束的光束半徑表達(dá)式可以得到截面上振幅的分布為：則其光強(qiáng)分布為：考慮垂直于高斯光束傳播方向上存在一無(wú)限大平面，以光軸為中心開(kāi)一半徑為a的孔，則透過(guò)該孔徑的光功率與總功率的比值為左下式，通過(guò)計(jì)算可以得到不同孔徑的功率透過(guò)率。在激光應(yīng)用中，高斯光束總要通過(guò)各種光學(xué)元件，從上面推導(dǎo)可知，只要光學(xué)元件的孔徑大于3ω/2，即可保證高斯光束的絕大部分功率有效透過(guò)?？讖桨霃絘ω/2ω3ω/22ω功率透過(guò)比39.3%86.5%98.89%99.99%共焦諧振腔共焦諧振腔一般應(yīng)用于連續(xù)工作的激光器共焦諧振腔的性能介于平行平面腔與球面腔之間，其特點(diǎn)如下：1）鏡面較易安裝、調(diào)整；2）較低的衍射損耗；3）腔內(nèi)沒(méi)有過(guò)高的輻射聚焦現(xiàn)象；4）模體積適度；共焦場(chǎng)等相面的分布

如果在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放上一塊具有相應(yīng)曲率的反射鏡片,則入射在該鏡片上的場(chǎng)將準(zhǔn)確地沿著原入射方向返回,這樣共焦場(chǎng)分布將不會(huì)受到擾動(dòng).這是非常重要的性質(zhì).

思路：共焦腔等價(jià)的穩(wěn)定球面腔共焦腔的模式理論等價(jià)的穩(wěn)定球面腔的模式理論處理原則：穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性。１、fz參數(shù)焦參數(shù)f(或腰斑半徑w0)與腰位置z(觀察點(diǎn)坐標(biāo))三、基模高斯光束的特征參數(shù)特征參數(shù)：可以完全確定高斯光束形狀與位置的物理量基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化３、q參數(shù)(1)定義

(2)計(jì)算２、w(z)和R(z)參數(shù)觀察點(diǎn)z處光斑半徑w(z)與等相位面曲率半徑R(z)束腰位置處，有證討論腰處的q參數(shù)q0=q(0)=iffz參數(shù)WR參數(shù)q參數(shù)例1

某高斯光束波長(zhǎng)為

=3.14m,腰斑半徑為w0=1mm,求腰右方距離腰50cm處的(1)q參數(shù)(2)光斑半徑w與等相位面曲率半徑R解q=0.5+i(m)(1)(2)z=0.5m例2

高斯光束在某處的光斑半徑為w=1mm,等相位面曲率半徑為R=0.5m,求此高斯光束(1)該處的q參數(shù)(2)腰斑半徑w0及腰位置(光波長(zhǎng)為

=3.14m)解(1)(2)①②腰位置在該處左方0.4m(舍去)①②②/①:(2)利用q參數(shù)來(lái)計(jì)算q參數(shù)為純虛數(shù)處為束腰位置例3

高斯光束波長(zhǎng)為

=3.14m,某處的q參數(shù)為q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半徑w0及腰位置(2)該處光斑半徑w與等相位面曲率半徑R解(1)z=1mf=1m腰位置為在該處左方1m處(2)§2

高斯光束的傳輸規(guī)律二、ABCD定律若某元件的光學(xué)變換矩陣為，則通過(guò)此元件前、后的球面波R參數(shù)和高斯光束q參數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系通過(guò)元件前的參數(shù)通過(guò)元件后的參數(shù)一、球面波的R參數(shù)R(z)=zR(z):等相位面曲率半徑(凸向z軸為正)R(z)z0z三、球面波R參數(shù)的傳輸規(guī)律1、傳播L距離R

=R+LR

=R(z

)z

0zR=R(z)zLR=R(z)=zR

=R(z

)=z

R

-R=z-z=L∴R

=R+L證傳播L距離的光學(xué)變換矩陣或證2、通過(guò)透鏡F:透鏡焦距(凸透鏡為正)透鏡的光學(xué)變換矩陣或oRFR

o

zuv四、高斯光束q參數(shù)的傳輸規(guī)律1、傳播L距離證傳播L距離的光學(xué)變換矩陣q=q(z)=z+ifq=q(z)=z+ifq-q=z-z=L∴q=q+L或2、通過(guò)透鏡證透鏡的光學(xué)變換矩陣或Zww

FqRR

q

五、透鏡對(duì)高斯光束的變換規(guī)律q=l+ifq

=-l

+if

q、q

:透鏡處物、像高斯光束q參數(shù)l、l

:物、像高斯光束腰到透鏡距離f、f

:物像高斯光束焦參數(shù)Zf(w0)Fqq

f

(w

0)ll

OO

例1

某高斯光束焦參數(shù)為f=1m,將焦距F=1m的凸透鏡置於其腰右方l=2m處,求經(jīng)透鏡變換后的像光束的焦參數(shù)f

及其腰距透鏡的距離l

解q=2+il

=1.5mf

=0.5m實(shí)際諧振腔的設(shè)計(jì)諧振腔自洽理論q1=q2=q，即

利用關(guān)系A(chǔ)D-BC=1,得自洽q值或者本征q值

物理上有解的條件是

參考平面的高斯光束曲率半徑和光斑尺寸分別為例：

穩(wěn)定性判據(jù)腔鏡M1和腔鏡M2表面都是該諧振腔基橫模高斯光束束腰位置，束腰半徑分別為：§3

高斯光束的聚焦與準(zhǔn)直一、透鏡對(duì)高斯光束的變換公式(已知l、f、F,求l

、f)ZlFw

0l

w0證q=l+if討論①當(dāng)時(shí),w0

=w0,l

=l。即：透鏡焦距等于物光束在透鏡處等相面半徑之半時(shí)，物、像光束實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變化證ZlFw

0l

w0②在高斯光束任一處,置一個(gè)與該處等相位面曲率半徑相等的反射鏡,可實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變化ZFw

0,

w0l,l

l1F(1)F>f二、高斯光束的聚焦1、F固定,w0

隨l的變化規(guī)律l=0時(shí),時(shí),或l=F時(shí),有極大值l

時(shí)，(2)F<f結(jié)論①若F<f,總有聚焦作用②若F>f,只有及才有聚焦作用lF１令證2、l固定,w0

隨F的變化規(guī)律(1)F=0時(shí)，(2)時(shí),有極大值證(3)時(shí),

將代入FR1(4)F

時(shí)，結(jié)論只有,才有聚焦作用3、高斯光束的聚焦方法(1)使用小焦距透鏡(F<f)(2)將透鏡置于腰處(l=0)或距腰足夠遠(yuǎn)處(l>>f)例1

波長(zhǎng)為3.14m的高斯光束,腰半徑1mm,使用焦距F=0.1m的透鏡對(duì)它進(jìn)行聚焦,分別將腰置于透鏡處、距離透鏡２m處,求聚焦后的腰半徑及其位置.解(1)l=0(1)l=2例２

波長(zhǎng)為3.14m的高斯光束,腰半徑1mm,分別將一個(gè)透鏡置于腰處、距離腰２m處,問(wèn)使用多大焦距的透鏡便可對(duì)它有聚焦作用？解(1)l=0使用多大焦距的透鏡都可以有聚焦作用(2)l=２m使用焦距小于1.25m的透鏡可以有聚焦作用三、高斯光束的擴(kuò)束準(zhǔn)直1、裝置2、準(zhǔn)直倍率(1)定義(2)計(jì)算(F1<<f,F2>>F1;F1+F2=S)(1)l=0

(2)l>>F1w0,f,

F1F2w0

,f

,

w0

,f

,

Slw0,f,

F1F2w0

,f

,

w0

,f

,

S(l=0)

①l=0②l>>F1l=f,F>f證l=0時(shí)，l=F2時(shí),

①l=0w0,f,

F1F2w0

,f

,

w0

,f

,

S(l=0)(F1<<f)第一個(gè)透鏡第二個(gè)透鏡②l>>F1

l>>F1時(shí)l=F2時(shí),w0,f,

F1F2w0

,f

,

w0

,f

,

Sl第一個(gè)透鏡第二個(gè)透鏡例3

波長(zhǎng)為3.14m的高斯光束,腰半徑1mm,使用焦距F1=0.1m和F2=1m的兩個(gè)透鏡所組成的倒望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)它進(jìn)行擴(kuò)束準(zhǔn)直,分別將腰置于透鏡處、距離透鏡２m處,求擴(kuò)束后的腰半徑.解(1)l=0(2)l=２m§4

高斯光束的匹配一、概念利用透鏡使兩個(gè)穩(wěn)定腔產(chǎn)生的高斯光束互為共軛光束(即互為物、像光束)二、匹配方法1、兩高斯光束的腰位置不固定(已知f

、f,求F、l

、l)F在滿(mǎn)足條件下任選,兩式根號(hào)前符號(hào)一致由①

:③③/②:④由②

:⑤①②證④、⑤聯(lián)立:設(shè)a=l-F,a

=l

-F2、兩高斯光束的腰位置固定(已知f

、f、及兩腰間距離l0,求F、