材料力學(xué)答案1

第二章軸向拉伸和壓縮

2-12-1試求圖示各桿1-1和2-2橫截面上的軸力，并作軸力圖。

⑸解：％=品廣.尸；（b）解：尸m=+2尸；耳門=°；

⑹解：&】=+2尸；尸m=+尸。（d）解：&】=凡&2=-2尸。

2-2一打入地基內(nèi)的木樁如下圖，沿桿軸單位長度的摩擦力為f=kx?（k為常數(shù)），試作木

樁的軸力圖“

解：由題意可得：

J：Fdx=F,有1/3。3=F,k=3F/l3

R(xj=j；'3FxVPdx=F(x,/L)3

2-3石砌橋墩的墩身高lnOm,其橫截面面尺寸如下圖。荷載F=1000KN,材料的密度P=2.35

X103kg/m3,試求墩身底部橫截面上的壓應(yīng)力。

能：墩身底面的軸力為:

N=-(F+G)=-F-Alpg2-3圖

墩身底面積：A=（3x2+3.14x12）=9.14（相2）

因為墩為軸向壓縮構(gòu)件，方以其底面上的正應(yīng)力均勻分布。

2-4圖示一混合屋架結(jié)構(gòu)的計算簡圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中

間豎向撐桿用角鋼構(gòu)成，其截面均為兩個75mmX8mm的等邊角鋼。屋面承受集度為

g=20kN/m的豎直均布荷載。試求拉桿絲和灰7橫截面上的應(yīng)力。

-x20x17.74

解:2=177.4kN

1）求內(nèi)力

取I-I別離體2必=。

得a°=356kN（拉）

取節(jié)點￡為別離體

E&=°,cosa=356kN

356356x447

=366kN

cosa437（拉）

2）求應(yīng)力

75X8等邊角鋼的面積而IL5cm2

工356x1。3Mp@

2A2x115xlOu（拉）

（拉）

2-5圖示拉桿承受軸向拉力F:10kN,桿的橫截面面積4=100mm\如以&表示斜截面

與橫截面的夾角，試求當(dāng)a=0,30,45"60"90?時各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，

并用圖表示其方向。

解:

FT___P

______工_______

6.=/COS3a

r=—sin2a

-2

P10x10$

;=----------=100MPaFcr.-100MPa

0A100x10"a?。。

To=°

%=100cosa30*=100x（女尸=75MPab**75MPe

2a-30*

rM=432MPa

t=—stn2x3（r=432MPa

w2

J2

%=100cos347=100x（刊=50MPa=50MPa

a-45*

%=50MPa

T<5.=^stn2x45-=50MPa

%=100COS360-=100x(I)2=25MPa%=25MPa

2a-60*

=433MPa

與刖2x60?堞4=43.3MPa

%=o

?210^0r2x90s=0

*=2sm

2-6一木樁柱受力如下圖。柱的橫截面為邊長200mm的正方形,材料可認為符合胡克定律,

其彈性模量比10GPao如不計柱的自重，試求：

(1)作軸力圖；

(2)各段柱橫截面上的應(yīng)力；

(3)各段柱的縱向線應(yīng)變：

(4)柱的總變形。

100X1032f

c..-------------------=2.5MPa

解:加AC200x200x10^(壓)

260x1。二=654

200x200x10^(壓)

2-7圖示圓錐形桿受軸向拉力作用，試求桿的伸長。

解：取長度為dx截離體(微元體)。那么微元體的伸長量為:

Fdx

d(zV)=

EA(x)

r-r.xn-r,d,一山d.

-----L=—,r=———--X+r.=-------x+-,

r2-/I212

?、J

43)=/上幺+4、=7T-u2,d(---—--"-iLx+—4)=du=-d2..—...4Ldx,

I2/2J21221

21

,21,dxd-d,,21/du、

ax=--------du，------=—~2du=--------------(——-)

d2-d}A(x)7i'U~7i(dx-d2)u~

尸」Fridx2FIr/du

因此,A/=-------dx=-I----

I。EA[x}EJo4(x)注(4-。w2

2-10受軸向拉力尸作用的箱形薄壁桿如下圖。該桿材料的彈性常數(shù)為笈V,試求。與

〃兩點間的距離改變量“0。

=￡

a,"^4"(a+<5)a-(tf-<5)

解:

橫截面上的線應(yīng)變相同

CD=1003a

△8=1.0032

△a==-aVf

avF_vF

△CD=

因此4aE6AES

241圖示結(jié)構(gòu)中，AB為水平放置的剛性桿，桿1,2,3材料相同，其彈性模量E=21OGR/,

I=1/77,4=4=100〃〃/,4=150/77/772,F=20AN。試求C點的水平位移和鉛垂位移。

受力圖

變形協(xié)調(diào)圖

2-11圖

解：(1)求各桿的軸力

以AB桿為研究對象，其受力圖如下圖。

因為AB平衡，所以

￡X=O,N3cos45"=。，N3=0

由對稱性可知，Acw=0,M=N2=0.5尸=0.5x20=10(&N)

(2)求C點的水平位移與鉛垂位移。

N】l_10000Nx1000〃〃"

=0.476nun

A點的鉛垂位移:E4^-210000N/nvn2x\00mm2

N?l_10000Nx1000〃如

=0.476nun

B點的鉛垂位移:E47_210000Nhwn2x100wn2

1、2、3桿的變形協(xié)(諧)調(diào)的情況如下圖。由1、2、3桿的變形協(xié)［諧)調(diào)條件，并且考慮到

AB為剛性桿，可以得到

C點的水平位移：、CH=4八，=^BH=△1、?tan45”=0.476(/7〃〃)

C點的鉛垂位移：、c==0.476(〃〃")

2-12圖示實心圓桿AB和AC在A點以較相連接，在A點作用有鉛垂向下的力F=35kN°

桿AB和AC的直徑分別為&=12〃〃〃和4=15/出〃,鋼的彈性模量E=210GPa。試求A

點在鉛垂方向的位移。

解：(1)求AB、AC桿的軸力

以節(jié)點A為研究對象，其受力圖如下圖。

由平衡條件得出：

Vx=0：NuSinSO"-NsSin45"=0

NAC=6NAB.................(a)

yr=O：N\「cos30"+NLS450-35=0

百A%+同九=70...........(b)

(a)(b)聯(lián)立解得：

NRB=N\=18.U7kN；NAC=N2=25.621kN

(2)由變形能原理求A點的鉛垂方向的位移

式中,/,=1000/sin45"=1414(〃〃〃)

1:=800/sin300=1600(wwO

221

A=0.25x3.14xl2=113〃〃?/；A2=0.25X3.MX15=nun

1181172X1414256212x16(X)

故：△八二(210000xl13)=1.366\mm)

35000210000xl77

2-13圖示A和B兩點之間原有水平方向的一根直徑d=l相加的鋼絲，在鋼絲的中點C加

一豎向荷載F。鋼絲產(chǎn)生的線應(yīng)變?yōu)椤?().0035,其材料的彈性模量七=210GPa,

鋼絲的自重不計。試求：

(1)鋼絲橫截面上的應(yīng)力(假設(shè)鋼絲經(jīng)過冷拉，在斷裂前可認為符合胡克定律)；

(2)鋼絲在C點下降的距離△；

(3)荷載F的值。

解：11)求鋼絲橫截面上的應(yīng)力

(2)求鋼絲在C點下降的距離△

A/=必*=(T?—=735x2°。0=7(機〃?)。其中，AC和BC各3.5mm，

EAE210000

(3)求荷載F的值

以C結(jié)點為研究對象，由其平稀衡條件可得：

?=0：2Nsina-P=0

［習(xí)題2?15］水平剛性桿AB由三根BC,BD和ED支撐，如圖，在桿的A端承受鉛垂荷載

F=20KN,三根鋼桿的橫截面積分別為Al=12平方亳米，A2=6平方亳米，A,3=9平方亳米,

桿的彈性模量E=210Gpa,求：

(1)端點A的水平和鉛垂位移。

(2)應(yīng)用功能原理求端點A的鉛垂位移。

解：⑴

⑵

2-16簡易起重設(shè)備的計算簡圖如下圖。斜桿AB用兩根63mmX40mmX4mm不等邊角鋼

組成，鋼的許用應(yīng)力［。］=170Mpa。試問在提起重量為P=15kN的重物時，斜桿AB是否滿

足強度條件？

解：1.對滑輪A進行受力分析如圖：

￡FY=0；FNABsin3OO=2F,得，F(xiàn)NAB=4F=60RN

2.查附錄的63mmX40mmX4mm不等邊角鋼的面積A=4.058X2=8.116cm2

由正應(yīng)力公式：。=FNAB/A=60X103/(8.116X10-4)=73.9X106Pa=73.9MPa＜［。］

所以斜桿AB滿足強度條件。

2-17簡單桁架及其受力如下圖，水平桿BC的長度/保持不變，斜桿AB的長度可隨夾角8

的變化而改變。兩桿由同一種材料制造，且材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等。要求兩

桿內(nèi)的應(yīng)力同時到達許用應(yīng)力，且結(jié)構(gòu)的總重量為最小時，試求：

(1)兩桿的夾角；

(2)兩桿橫截面面枳的比值。

解：(1)求軸力

取節(jié)點B為研究對象，由其平衡條件得：

NBC=一人^8cos0=----cosO=Fcot^

sin。

2-17

(2)求工作應(yīng)力

(3)求桿系的總重量

W=Z.V=Z(A^-4-AtfC/ffC)0/是重力密度(簡稱

重度，單位：kN/

(4)代入題設(shè)條件求兩桿的夾角

條件①:。八8

[cr]sin0

NBCFcotJFcot^

=-7^-=—7—=

A8c^RC1°J

條件⑵：W的總重量為最小。

從W的表達式可知，卬是。角的一元函數(shù)。當(dāng)W的一階導(dǎo)數(shù)等于零時，W取得最小值。

3cos26=—1,cos28=-0.3333

20=arccos(-0.3333)=109.47%0=54.74〃=54"44

[5)求兩桿橫截面面積的比值

Fcot3

[crjsin。團

因為：3cos2，=—1,2cos20-\=--,cos20=—

33

cos0=—----=V3

J3cos。

AL

所以：-^=V3

ARC

2-18一桁架如下圖。各桿都由兩個等邊角鋼組成。材料的許用應(yīng)力[b]=170MP〃，試

選擇AC和CD的角鋼型號。

解：(1)求支座反力

由對稱性可知，

(2)求AC桿和CD桿的軸力

以A節(jié)點為研究對象，由其平

衡條件得：

以C節(jié)點為研究對象，由其平衡條件得：

(3)由強度條件確定ACCD桿的角鋼型號

AC桿：

選用21-80x7(面積2xl0.86=21.72a〃2)。

CD桿：

選用21-75x6(面積2x8.797=17.594<7〃2)。

249一結(jié)構(gòu)受力如下圖，桿件AB、CD、EF、GH都由兩根不等邊角鋼組成。材料的許用

應(yīng)力團=170MPa,材料的彈性模量E=210GRz,桿AC及EG可視為剛性的。試選擇各

桿的角鋼型號，并分別求點D、C、A處的鉛垂位移△,)、X、院。

F：(1)求各桿的軸力

(2)由強度條件確定AC、CD桿的角鋼型號

AB桿：

選用21_90x56x5(面積2x7.212=14.424cm2)。

CD桿：

選用21-40x25x3(面積2xl.89=3.78c/〃2).

EF桿:

選用21-70x45x5（面積2x5.609=11.218（加）.

GH桿：

選用21-70x45x5（面積2x5.609=11.218（/）。

(3)求點D、C、A處的紹垂位移A。、X、

EG桿的變形協(xié)調(diào)圖如下圖。

2-10混凝土的密度。=2.25乂103例加3,許用壓應(yīng)力［。］=2/必外。試按強度條件確定圖示混

凝土柱所需的橫截面面積A/和42。假設(shè)混凝土的彈性模量￡=20GPm試求柱頂4的位

移。

解：混凝土柱各段軸力分別為：

混凝土柱各段危險截呵◎別為柱中截面和柱底截面，其軸力分別為：

由強度條件：—Nmax工［0J

取Ai=0.576m2A.

取A2=0.664m2

柱底固定，那么柱頂位移值等于柱的伸縮量，可用疊加原理計算

2-21(1)剛性梁AB用兩根鋼桿AC、BD懸掛著，其受力如下圖。鋼桿AC和BD的直

徑分別為4=25恤和4=18〃〃〃，鋼的許用應(yīng)力團=170Mp〃，彈性模量石=210GPa。

試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形△/八0、加.及A、B兩點的豎向位移△八、與。

解：11)校核鋼桿的強度

①求軸力

②計算工作應(yīng)力

爪33333N

BD~ABD~0.25x3.14x182加〃2

2-21

③因為以上二桿的工作應(yīng)力均未超過許用應(yīng)力

170MPa,即(7^＜［(7］,所

以AC及BD桿的強度足夠，不會發(fā)生破

壞。

⑵計算△/八0,MBD

(3)計算A、B兩點的豎向位移\B

第三章扭轉(zhuǎn)

3-1一傳動軸作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速界=200r/mi,軸上裝有五個輪子，主動輪H輸入的功

率為60kW,從動輪，I,ID,W,V依次輸出18kW,12kW,22kW和8kW。試作軸的扭矩圖。

7：=9.55x——=0.8595

解：200kNm

12

L=08595x—=05730

18kNm

22

L=08595x—=10505

18kNm

L=08595x-=03820

18kN-m

3-2實心圓軸的直徑d=100mm,長/=4，其兩端所受外力偶矩此=~kNm,材料的

切變模量G=80GPa。試求：

(1)最大切應(yīng)力及兩端截面間的相對扭轉(zhuǎn)角；

(2)圖示截面上4B,。三點處切應(yīng)力的數(shù)值及方向：

(3)。點處的切應(yīng)變。

%

max匕匕

式中，W=—x3.14159xlOO3=I96349(W)o3-2

P1616

14xIO6?mm

故:=71.3O2M4

196349荷

nrI?I

(p=^,式中，成4=—x3.14159xl004=9817469(f1)。故：

GIp3232

(2)求圖示截面上A、B、C三點處切應(yīng)力的數(shù)值及方向

。二卬=Tmax=71.3O2MP。，由橫截面.1二切應(yīng)力分布規(guī)律可知：

「c=3%=0?5x7L3O2=35.66MP。，A^B、C三點的切應(yīng)力方向如下圖。

(3)計算C點處的切應(yīng)變

3-3空心鋼軸的外徑。=100〃〃〃，內(nèi)徑1=50〃”〃。間距為/=2.7m的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)

角0=1.8。，材料的切變模量G=8OGRz。試求：

(1)軸內(nèi)的最大切應(yīng)力；

(2)當(dāng)軸以〃=80〃min的速度旋轉(zhuǎn)時，軸所傳遞的功率。

解；(1)計算軸內(nèi)的最大切應(yīng)力

44444

Ip=^^)(i-a)=^x3.14159xl00x(l-0.5)=9203877aM)。

式中，a=d/D.

Tl

(p-----,

*

(2)當(dāng)軸以〃=80/7min的速度旋轉(zhuǎn)時，軸所傳遞的功率

3-4某小型水電站的水輪機容量為50kW,轉(zhuǎn)速為300r/min,鋼軸直徑為75mll1,如果在正常

運轉(zhuǎn)下且只考慮扭矩作用，其許用剪應(yīng)力[i]=20MPa。試校核軸的強度。

3-5圖示絞車由兩人同時操作，假設(shè)每人在手柄上沿著旋轉(zhuǎn)的切向作用力F均為0.2kN,軸材料的許用

切應(yīng)力K]=40MP〃，試求：

(1)AB軸的直徑；

(2)絞車所能吊起的最大重量。

解：m計算AR軸的直徑

AB軸上帶一個主動輪。兩個手兩所施加的外力偶

矩相等：

扭矩圖如下圖。

由AB軸的強度條件得：

(2)計算絞車所能吊起的最大重量

主動輪與從動輪之間的嚙合力相等：

"e主動輪二從動輪

上從動輪二x0.16=0.28(ZN〃z)

0.2-0.35篇

由卷揚機轉(zhuǎn)筒的平衡條件得:

Px0.25=從動耗，Px0.25=0.28P=0.28/0.25=1.12(

3-6鉆探機鉆桿(參看題3.2圖)的外徑。=60〃m，內(nèi)徑d=50功率尸=7.355攵W,

轉(zhuǎn)速〃=18(Wmin,鉆桿入土深度/=40小，鉆桿材料的G=80GMP〃，許用切應(yīng)力

[r]=40MPao假設(shè)土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的，試求：

(1)單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩集度〃z；

(2)作鉆桿的扭矩圖，并進行強度校核；

(3)兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角。

能：[1)求單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩集度加

設(shè)鉆桿軸為人.軸，那么：=°，〃?/=Me，

(2)作鉆桿的扭矩圖，并進行強度校核

①作鉆桿扭矩圖

039

T(x)=-nix=-^-x=-0.00975A:。xG[0,40]

40

T(0)=0；T(40)=Me=-0390(kN-m)

扭矩圖如下圖。

M

②強度校核，rmax=—卬

P

式中，w=—^/)3(1-a4)=-X3.14159X603X|1-(—)4]=21958(^)

2161660

因為「max=17.761MPa,⑺=40M&,即％ax工2],所以軸的強度足夠，不會發(fā)生破壞。

(3)計算兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角

式中，/=-L(]一)=J_X3.14159X6()4X[1-(竺『1=658752(""/)

323260

3-7圖示一等直圓桿，d=40mm,a=400mm,O=80GPa,試求：

(1)最大切應(yīng)力；

(2)截面4相對于截面。的扭轉(zhuǎn)角。

解：(1)由得扭矩圖(a)

跖?&180*~

念c=3=....-=?

(2)5Pn

3.8直徑d=5O/wn的等直圓桿，在自由端截面上承受外力偶=6AN〃z,而在圓桿外表

上的A點將移動到Ai點,如下圖。As=M=3〃加，圓桿材料的彈性模量石=210GPa,

試求泊松比卜(提示:各向同性材料的三個彈性常數(shù)E、G、v間存在如下關(guān)系：G=「Jo

2(1+v)

解：整根軸的扭矩均等于外力偶矩：T=M"6kNm。設(shè)O.Q兩截面之間的相對對轉(zhuǎn)角

為0,那么加二^^,(p=~~~~?

式中，I=—=—x3.14159x5O4=613592(〃"〃4)

pn3232

210

由G=丁J得v=-1=0.289

2(1+力2G2x81.4874

3-9直徑d=25"〃77的鋼圓桿，受軸向拉60kN作用時，在標(biāo)距為200mm的長度內(nèi)伸長了

0.113ninio當(dāng)其承受一對扭轉(zhuǎn)外力偶矩Me=S2ZN-"z時，在標(biāo)距為200mm的長度內(nèi)相對

扭轉(zhuǎn)了0.732〃的角度。試求鋼材的彈性常數(shù)E、G和八

解：(1)求彈性模量E

(2)求剪切彈性模量G

TI

由。二為一得

(-7/p

(3)泊松比u

E216.448]

由G二得:v=--1=0.325

2(1+v)2G-2x81.684-

3-10長度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實心圓軸，兩者材料相同，受力情

,a=08

況也一樣。實心軸直徑為雄空心軸外徑為〃內(nèi)徑為d0,且。o試求當(dāng)空心軸與

實心軸的最大切應(yīng)力均到達材料的許用切應(yīng)力(%=H),扭矩7相等時的重量比和剛度

比。

理(。2-心

%;4

第一種：解：重量比二~

因為

T_T

即16IT

D3_1D_1

故K商丁麗

烏=(x036=—LxQ.36=0.51

故/”由

?-d；)

5,32。,(1-08')

西I-~二d1

剛度比二力

第二種：解：(1)求空心圓軸的最大切應(yīng)力，并求D.

式中，W,=—^D3(l-?4),故：

P16

D：也3-10

(1)求實心圓軸的最大切應(yīng)力

7116T167

r.nax=—?式中，％=奇改/，故:==ld

IO"實嬴一前

27.ir7Tlr]D

=1.69375=1.192

幣]1677

(3)求空心圓軸與實心圓軸的重量比

(4)求空心圓軸與實心圓軸的剛度比

I0空=—^D4(1-0.84)=0.01845^￡>4,I陽=—^/4=0.03125^/4

3232

2/10.59

0.59<=0.59X—!—=1.18

d，（0.84）1~0496

341全長為/,兩端面直徑分別為4,4的圓臺形桿，在兩端各承受一外力偶矩

,如下圖。試求桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角。

解：如下圖，取微元體di,那么其兩端面之間的扭轉(zhuǎn)先為：

式中，I,=—^/4

032

du=——-dx,dx=——-——du

I4-4

故

_rM?dx_Mer/dx_Me產(chǎn)公_32",J_/d憂_32M‘I’也

3—J。Glp~~GJ。4~~G~TIGJ。/.d「d產(chǎn)-初

32MJ（_\132MJ7"4]_32MJ（d；+44+成

3碼"「4）.[不一媼廠3悶4-4）、d：d；）-371G1d：d；

3-12實心圓軸的轉(zhuǎn)速〃=300〃min,傳遞的功率〃=330kW,軸材料的許用切應(yīng)力

[T]=60MPaf切變模量G=80GRz。假設(shè)要求在2m長度的相對扭轉(zhuǎn)角不超過1。，試求該

軸的直徑。

勵TlMJ71

解：(p=---=——<1x——

GIpGIp180

式中，M.=9.549%=9.549x型=10.504伏N/〃）；ln=—nd\

n300032

/180MJ180Ml

-7T-d4>

P-7lG327lG

取d=11P

3-13習(xí)題3-1中所衲射，豺眄為胭，其許用切應(yīng)力用=20MPa,切變模量G=80GPa,

許可單位長度扭轉(zhuǎn)角。試按強度及剛度條件選擇圓軸的直徑。

解：由37題得：J=2.006kNm

應(yīng)選用d=87.5mm。

3-14階梯形圓桿,45'段為空心，外徑ZM40mln,內(nèi)徑片100mm；段為實心，直徑表100mm。

外力偶矩=18kNm,M=32kN-m,Mc=14kNm。,[r]=80MPa，[學(xué)']—1,2(*)/m,

G=80GPa。試校核該軸的強度和剛度。

解：扭矩圖如圖(a)

(1)強度

167；16X14X1G5

—----------?—=71.3x1丁=713MPa

_nxO.l*

\=—xlOO%=1.86%<5%

lrJ70,加段強度根本滿足

6

=451xlO=451MPa<[r]

故強度滿足。

⑵剛度

夕看180-14乂10隈180?

'——>.----=10Z

/%nCA3Itx0I4

80xl0*x—-—

BC段:32

比、段剛度根本滿足。

_______18xl0^180__

=0462*<[d]

80*必匯票■U-亨卜

力夕段:

四段剛度滿足，顯然曲段剛度也滿足。

375有一壁厚為25mm、內(nèi)徑為250mm的空心薄壁圓管，其長度為1m,作用在軸兩端面內(nèi)

的外力偶矩為180kNm。試確定管中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。材料的切變模

量G=80GPa。試確定管中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。

ISOxW^lSOxlO-332xl80xl50xl012入

J=-----1-----7-------=-------------5t---=655MPa

一（30了-25。，￥°.13nx42x10

解：3F

3-16一端固定的圓截面桿AB,承受集度為〃，的均布外力偶作用，如下圖。試求桿內(nèi)積蓄

的應(yīng)變能。己矩材料的切變模量為G。

，-T2（x）dxm2x'dx\6m2x2dx

解：dV=-^―=-----------=------——

c2Glp2C」力成七

32

..16加2f/0,\6nrPm2Pm2P

V.=——x~dx=------=——-------=----3-16

成4GJ。3加4G人1.4^6GI,

o--7laGP

32

3-17簧桿直徑d=18mm的圓柱形密圈螺旋彈簧，受拉力尸=0.5kN作用，彈簧的平均

直徑為。=125廊，材料的切變模量G=80GPa。試求：

(1)簧桿內(nèi)的最大切應(yīng)力：

(2)為使其伸長量等于6mm所需的彈簧有效圈數(shù)。

“駕—=2695

解:兀了，d18

16X05X103X62.5X10-3

J=12=328MPa

3

故TCX（18）X10

MFRin

因為Qd

6x8xl0.55xl05

16.5

故64x05x244x10圈

3-18一圓錐形密圈螺旋彈簧承受軸向拉力F如圖，簧絲直徑d=10w,材料的許用切應(yīng)

力⑶=5OQMP〃，切變模量為G,彈簧的有效圈數(shù)為〃.試求:

(1)彈簧的許可切應(yīng)力;

l6Fn

(2)證明彈簧的伸長八二（凡+&）（皤+&）。

Gd4

解：(1)求彈簧的許可應(yīng)力

用截面法，以以簧桿的任意截面取出上面局部為截離體。由平衡條

件可知，在簧桿橫板面上：

F

剪力。=方扣如了

最大扭矩：7；ax=FR2

...QT4F16%16FR,“d

=r+r=—4--=mi^x-=--+---廿+)<kb

AWp7nd"出福

因為。/d=200/10=20>10,所以上式中小括號里的第二項，即由Q所產(chǎn)生的

剪應(yīng)力可以忽略不計。此時

7?i3\T\3.14xl03nwi,x500/V/mm2

［用==981.25N

16x100/77/7?

16/?,(1+—)

24%

(2)證明彈簧的伸長△二里!(R1+R,)(R；+Rj)

Gd

2

.......1AJTTT(R'da)

外力功：W=—F17A,dU=---------

22G/〃

加〃1FAF2mR：-H：

W=U,—FA---------=---L

24GlpR2-Ri

3-19圖示矩形截面鋼桿承受一對外力偶矩此=3kNm。材料的切變模量G=80GPa,

試求：

(1)桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向；

(2)橫截面矩邊中點處的切應(yīng)力；

(3)桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角。

解：(1)求桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向

7=此，/,=小，叫=加廠0-'由表得

4=0294X604X10'U=381xl『唯=0346x603xl0^=747xl0-4m2

長邊中點處的切應(yīng)力，在上面，由外指向里

(2)計算橫截面短邊中點處的切應(yīng)力

短邊中點處的切應(yīng)力，在前面由上往上

(3)求單位長度的轉(zhuǎn)角

3-21圖示T形薄壁截面桿的長度/=2加，在兩端受扭轉(zhuǎn)力矩作用，材料的切變模量

G=80GPa,桿的橫截面上和扭矩為7=0.2kN?加。試求桿在純扭轉(zhuǎn)時的最大切應(yīng)力及單

位長度扭轉(zhuǎn)角。

解：(1)求最大切應(yīng)力

(2)求單位長度轉(zhuǎn)角

3-22示為一閉口薄壁截面桿的橫截面，桿在兩端承受一外力偶材料的許用切應(yīng)力

[r]=60A/Pf/o試求：

(1)按強度條件確定其許可扭轉(zhuǎn)力偶矩

(2)假設(shè)在桿上沿母線切開一條纖縫,那么其許可扭轉(zhuǎn)力偶矩將減至多少?

解:(1)確定許可扭轉(zhuǎn)力偈矩[M,]

Me

⑵求開口薄壁時的

O

3-23圖示為薄壁桿的的兩種不同形狀的橫截面，

其壁厚及管壁中線的周長均相同。兩桿的長度和材

料也相同，當(dāng)在兩端承受相同的一對扭轉(zhuǎn)外習(xí)胭3-25圖力偶矩

時,試求:

(1)最大切應(yīng)力之比;

(2)相對扭轉(zhuǎn)角之比。

解:⑴求最大切應(yīng)力之比

開口：^max開口=~；一

開口環(huán)形截面閉口箱形截面

L=；x2到)x〃=|勿泌依題

意:271ro=4。，故：

FMe",%nax開口_3〃e

閉口：丁max閉口=9二五無

Gx閉口46Me23

(3)求相對扭轉(zhuǎn)角之比

..1Q2a4。,3,T也3也

開4l口n：/,=§x2o"°xb=5頡=丁，*開口=或=瓦=.

.Ts_吃_也

：戶閉口=4GA(衿=4GA；5=4G。丁=Ga38

第四章彎曲應(yīng)力

4-1試求圖示各梁中指定截面上的剪力和彎矩。

a(5)=h(4)

b⑸=f⑷

4-2試寫出以下各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

解：(a)OSE

(b)04141m時

1Wm時

(c)?=%=49.5kN

OSxS4m時

4sls8m時

(d)=0.6kN

(e)O/《42m時,

24x43m時,

(f)AB段：個

BC段:&(x)=?

(g)4?段內(nèi)：&(x)=-F

比段內(nèi):&(*)=+?

3閑如75kN

th)四段內(nèi):&(x)=O

/段內(nèi)：&(x)=30kN

山段內(nèi)：&a)=70kN

4-3試利用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作以下各梁的剪力圖和彎矩圖。

4-6簡支梁的剪力圖如下圖,試作梁的彎矩圖和荷載圖。梁上沒有集中力偶作用。

4-8試用疊加法作圖示各梁的彎矩圖。

4-8(b)4-8(c)

4-9選擇適宜的方法，做彎矩圖和剪力圖。

4-9(b)4-9(c)

4-10一根擱在地基上的梁承受荷載如圖a和b所示。假設(shè)地基的反力是均勻分布的。試分

別求地基反力的集度QR,并作梁的剪力圖和彎矩圖。

473圓弧形曲桿受力如下圖。曲桿的軸線為圓弧，其半徑為此試寫出任意橫截面。上剪

力、彎矩和軸力的表達式(表示成中角的函數(shù))，并作曲桿的剪力圖、彎矩圖和軸力圖。

解：(a)O<0<n

(b)&(Q)=RCOS6

476長度為250mll1、截面尺寸為月0.8mmx25mm的薄鋼尺，由于兩端外力偶的作用

而彎成中心角為60°的圓弧。彈性模量E-210GPa。試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力。

—1=―M,L0=-M,h

解：由中性層的曲率公式Q￡乙及橫截面上最大彎由正應(yīng)力公式X24

Eh

=239mm

由兒何關(guān)系得：e6T冗/3

于是鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力為:

418

4-21

4.23由兩根36a號槽鋼組成的梁如下圖。;F=44kN,q=lkN/m。鋼的許用彎曲正應(yīng)力170Mpa,

試校核梁的正應(yīng)力強度。

4-25

4-28

4-29

4-33

4-36

4-35

第五章梁彎曲時的位移

5-12試按疊加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-4。

嗎

解：也一3EI

金上上上

43EI2AEI48K/24EI（向下）

5?

MQ="冽+”02

64EI33AEI384以響上）

，3?,3二7g/

a=%+%+%=AEl\2El24及-24EI（逆）

0戶IqP

%=%+%=-

\2El24El24EI（逆）

5-12試按疊加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-5o

2j

解：分析梁的結(jié)構(gòu)形式，而引起初段變形的外力那么如圖（a）所示，即彎矩2強與彎矩

Fa.

由附錄（IV）知，跨長/的簡支梁的梁一端受一集中力偶"

Ml2

作用時，跨中點撓度為16&。用到此處再利用迭加原理得截面。

的撓度”c

1F

￡強’（㈤，尸。（2牙_7°,+2月J_3尸J

-16SZ~+16￡/=SEI=^E1

（向上）

5-12試按疊加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-10o

_飛［”

解：Wxl-3E1-2AEIA

A

5-13試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-7中的

解:原梁可分解成圖576a和圖5-16d迭加，而圖5-16a又可分解成圖5T6b和576c。A

由附錄IV得

A

5-5（5T8）試按迭加原理求圖示梁中間較。處的撓度"％并描出梁撓曲

線的大致形狀。￡7為常量。

解：(a)由圖5T8a-l

(b)由圖5T8bT

2M~2M.a3此/

+a=

=2BIEIEI

5-7(5-25)松木桁條的橫截面為圓形，跨長為4m,兩端可視為簡支，全跨上作用有集度為

q=182kN/m的均布荷載。松

w_1

木的許用應(yīng)力［a=1°MPa,彈性模量￡=10GPa。桁條的許可相對撓度為-200。試

求桁條橫截面所需的直徑。(桁條可視為等直圓木梁廣算，直徑以跨中為準(zhǔn)。)

M_=

解：均布荷載簡支梁，其危險截面位于跨中點，最大彎矩為8,根據(jù)強度條件有

從滿足強度條件，得梁的直徑為

對圓木直徑的均布荷載，簡支梁的最大撓度“皿為

而相對撓度為~一一6所d

%一切/卜］

由梁的剛度條件有16“17」

為滿足梁的剛度條件，梁的直徑有

由上可見，為保證滿足梁的強度條件和剛度條件，圓木直徑需大于158mm。

5-24圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。梁的橫截面為邊長等于0.20m的正方形，

g=40kN/m,￡,=10GPa;鋼拉桿的橫截面面積4=250mm)&=210GPa。試求拉桿

的伸長包及梁中點沿鉛垂方向的位移dO