江西省九江市永修縣2024年中考數學一模試卷（含答案）

江西省九江市永修縣2024年中考數學一模試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五六總分評分一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．已知△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．將拋物線y=?2xA．y=?2(x+2)2?3C．y=?2(x?2)2+33．若一個扇形的半徑是6，扇形的圓心角的度數是120°，則這個扇形的面積是（）A．4π B．6π C．12π D．24π4．如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠CAD=70°，則∠ABC的度數是（）A．40° B．30° C．20° D．10°5．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y=?ax+bA． B．C． D．6．如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數y=kx(x>0)的圖象上，點A，B在x軸上，且PA⊥PB，PA交y軸于點C，AO=BO=BP.若△ABPA．1 B．2 C．3 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．一元二次方程x2?2x=0的根是8．如圖，半徑為2的⊙A經過原點O和點C，B是y軸左側⊙A上的一點，且∠OBC=20°，則OC的長為.9．若拋物線y=mx2?6x?9與x軸只有一個交點，則m10．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若CD=16，EB=4，則⊙O的半徑為.11．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O均在網格線的交點上，則cos∠ACB的值是12．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AD在y軸的正半軸上，邊BC在第一象限內，且點A(0,3)，B(5,3)，將正方形ABCD繞點A按順時針方向旋轉α(0°<α<180°)，若點B的對應點B'恰好落在坐標軸上，則點C三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計算：tan45°+4（2）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.14．一個幾何體由幾個大小相同的小正方體搭成，從上面觀察這個幾何體，其俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數字表示該位置的小正方體的個數.請在方格紙中分別畫出該幾何體的主視圖和左視圖.15．已知關于x的一元二次方程x2?2x?m=0，若該方程的兩個實數根分別為α，β，且α+2β=5，求16．暑假期間，小張和小美一起到南昌旅游，晚上他們去特色街逛街并吃點小吃，看到滿大街各式各樣的美食，卻不知道選擇哪一個，于是通過抽卡片的游戲來決定吃什么.他們制作了四張背面完全相同的卡片，在正面上分別寫著：A.白糖糕；B.炒螺螄；C.三杯雞；D.南昌炒粉.將這四張卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗勻放好，小張先從這四張卡片中隨機抽取一張，放回后洗勻，小美再從這四張卡片中隨機抽取一張.（1）小張抽到卡片正面寫著“南昌炒粉”的概率是.（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求小張、小美兩個人抽到不同特色美食的概率.17．如圖一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=?4x的圖象相交于點A(?1,（1）求一次函數的解析式.（2）結合圖象，直接寫出不等式kx+b>?4四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，點A，B是某條河上一座橋的兩端，某數學興趣小組用無人機從點A豎直上升到點C時，測得點C到橋的另一端點B的俯角為28°，無人機由點C繼續(xù)豎直上升10米到點D，測得點D到橋的另一端點B的俯角為37°，求橋AB的長.（結果精確到0.1，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈019．“元宵節(jié)”吃元宵是中國的傳統(tǒng)習俗，某超市購進一種品牌元宵，每盒進價是30元，并規(guī)定每盒售價不得少于40元，日銷售量不低于350盒.根據以往的銷售經驗發(fā)現，當每盒售價定為40元時，日銷售量為500盒，且每盒售價每提高1元，日銷售量就減少10盒.設每盒售價為x元，日銷售量為p盒.（1）當x=50時，p=.（2）當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC上的一點，以點O為圓心，OC的長為半徑作⊙O，且AB與⊙O相切于點H，連接AO.（1）求證：AO平分∠BAC.（2）若AB=5，tan∠OAC=12五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，點F從點A出發(fā)，以2cm/s的速度向終點B勻速運動，同時點E從點B出發(fā)，以1cm/s的速度向終點C勻速運動，設運動時間為ts（0<t<5）.（1）求證：△ACD∽△BAC.（2）求DC的長.（3）試探究：△BEF能為等腰三角形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.22．定義概念：在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax?a為拋物線y=ax2+bx+c的“衍生直線”.如圖1，拋物線y=?x2+bx+c與其“衍生直線”交于A，B兩點（點B在x軸上，點A在點（1）求拋物線和“衍生直線”的表達式及點A的坐標.（2）如圖2，拋物線y=?x2+bx+c的“衍生直線”與y軸交于點D1，依次作正方形D1E1F1O，正方形D2E2F2F1，…，正方形DnEnF①直接寫出下列點的坐標：E1▲，E2▲，E3▲，②試判斷點E1，E2，…，六、解答題（本大題共12分）23．新定義：若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱這個三角形為比例三角形.例如：△ABC三邊的長分別為AB=1，BC=2，AC=2.因為AC2（1）【問題提出】

已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=4，求AC的長.（2）【問題探究】如圖1，P是矩形ABCD的邊BC上的一動點，AQ平分∠PAD，交邊BC于點Q，∠APD=∠PQD.①求證：△APD∽△DQP，②求證：△APD是比例三角形.（3）【問題延伸】如圖2，在（2）的條件下，當AB=1，PQ=a時，點C與點Q能否重合？若能，求出a2

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4，故選A【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得將拋物線y=?2x2故答案為：D【分析】根據二次函數的幾何變換結合拋物線y=?2x3．【答案】C【解析】【解答】解：∵扇形的半徑為6，圓心角為120°，∴扇形的面積為120·π×6故答案為：C【分析】根據扇形的面積公式結合扇形的半徑和圓心角即可求解。4．【答案】C【解析】【解答】解：連接BD，如圖所示：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∵∠CAD=70°，∴∠CBD=∠CAD=70°，∴∠ABC=∠ABD?∠CBD=20°，故答案為：C【分析】連接BD，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，進而運用角的運算結合題意即可求解。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∴?a<0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴b>0，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c<0，∴直線y=?ax+b經過第一，二，四象限，反比例函數y=c故答案為：A【分析】先根據二次函數的圖象與系數的關系得到a>0，b>0，c<0，進而根據一次函數的圖象、反比例函數圖象即可得到直線y=?ax+b經過第一，二，四象限，反比例函數y=c6．【答案】B【解析】【解答】解：連接OP，作PD⊥x軸于D，如圖所示：∵△ABP的面積是4，AO=BO，∴△OBP的面積為2，∵PA⊥PB，AO=BO=BP，∴sin∠PAB=1∵sin30°=1∴∠PAB=30°，∴∠PBA=60°，∴△POB為等邊三角形，∴S∴|k|∴k=±2，∵反比例函數的圖象位于第一象限，∴k=2．故答案為：B【分析】連接OP，作PD⊥x軸于D，根據反比例函數k的幾何意義即可得到△OBP的面積為2，再根據銳角三角函數的定義結合特殊角的三角函數值即可得到∠PAB=30°，進而得到∠PBA=60°，從而根據等邊三角形的判定與性質得到S△7．【答案】x1=2【解析】【解答】解：由題意得原方程可化為xx?2=0，

∴x故答案為：x1=2，【分析】根據題意因式分解，進而即可求解。8．【答案】4【解析】【解答】解：連接OA，CA，如圖所示：∵∠OBC=20°，∴∠OAC=2∠OBC=40°，∴OC的長為40π×2180故答案為：49【分析】連接OA，CA，進而根據圓周角定理得到∠OAC=2∠OBC=40°，再根據弧長的計算公式即可求解。9．【答案】-1【解析】【解答】解：∵拋物線y=mx2?6x?9∴m≠0Δ=解得m=?1，故答案為：?1【分析】根據拋物線的解析式結合一元二次方程根的判別式即可求解。10．【答案】10【解析】【解答】解：連接OC，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∴CE=1設⊙O的半徑為r，則OC=OB=r，由勾股定理得r解得r=10，故答案為：10【分析】連接OC，先根據垂徑定理得到CE=12CD=8，設⊙O的半徑為r11．【答案】5【解析】【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，如圖所示：則∠ABD=90°,∵AO=∴AD=2∵AB=4∴BD=∴故答案為：5【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，則∠ABD=90°,12．【答案】（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）【解析】【解答】解：因為正方形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且點A（0，3）、B（5，3），則AB=5-0=5，C（5，8），D（0，8），所以畫圖如下：當正方形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°），作CE⊥x軸于E，分三種情況①點B的對應點B'恰好落在x軸正半軸上時，如圖，∵AB'＝AB＝5，OA＝3，∴OB'＝52∵∠AB'O+∠OAB'＝90°，∠AB'O+∠C'B'E＝90°，∴∠OAB'＝∠C'B'E，在△AB'O和△EB'C'中，∠AOB∴△AB'O≌△EB'C'（AAS），∴B'E＝OA＝3，EC'＝OB'＝4，∴OE＝OB'+B'E＝4+3＝7，∴點C的對應點C'的坐標為（7，4）；②點B的對應點B'恰好落在y軸負半軸上時，如圖，B'C'＝AB＝BC'＝5，yC=3-5=-2，xC=AB=5，∴點C的對應點C'的坐標為（5，﹣2）；③點B的對應點B'恰好落在x軸負半軸上時，如圖，∵∠AB'O+∠OAB'＝90°，∠AB'O+∠C'B'E＝90°，∴∠OAB'＝∠C'B'E，在△AB'O和△EB'C'中，∠AOB△AB'O≌△EB'C'（AAS），∴B'E＝OA＝3，EC'＝OB'＝4，∴OE＝OB'﹣B'E＝4﹣3＝1，∴點C的對應點C'的坐標為（﹣1，﹣4）；綜上所述：點C的對應點C'的坐標為（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．故答案為：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）

【分析】先根據正方形的性質結合題意求出AB長，進而得到C（5，8），D（0，8），再結合題意畫出圖形：當正方形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°），分類討論：①點B的對應點B'恰好落在x軸正半軸上時，②點B的對應點B'恰好落在y軸負半軸上時，③點B的對應點B'恰好落在x軸負半軸上時，再根據三角形全等的判定與性質結合軸對稱的性質即可求解。13．【答案】（1）解：原式=1+4×=1+=（2）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形.【解析】【分析】（1）根據特殊角的三角函數值結合二次根式的混合運算進行計算即可求解；

（2）先根據平行四邊形的判定證明四邊形OCED是平行四邊形，進而根據矩形的性質得到OC=OD，從而根據菱形的判定即可求解。14．【答案】解：主視圖和左視圖如圖所示.【解析】【分析】先根據俯視圖結合題意畫出組合體，進而即可畫出主視圖和左視圖。15．【答案】解：∵方程的兩個實數根分別為α，β，∴由根與系數的關系可知，α+β=2，α?β=?m∵α+2β=5，∴α+β+β=5，即2+β=5，解得β=3，∴α=?1，∴m=?α?β=3【解析】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到α+β=2，α?β=?m，進而結合題意即可求解。16．【答案】（1）1（2）解：畫樹狀圖如下.由上可得，共有16種等可能的結果，其中抽到不同特色美食的結果有12種，∴小張、小美兩個人抽到不同特色美食的概率P=【解析】【解答】解：（1）由題意得從這四張卡片中隨機抽取一張，小張抽到卡片正面寫著“南昌炒粉”的概率是14，

故答案為：14

【分析】（1）根據簡單事件的概率結合題意即可求解；17．【答案】（1）解：∵點A(?1,m)，B(n,∴m=4，n=4，即點A(?1,4)把點A(?1,4)，B(4,得?k+b=4,4k+b=?1∴一次函數的解析式為y=?x+3（2）解：x<?1或0<x<4【解析】【分析】（1）先根據題意將點A和點B代入反比例函數解析式，進而即可求出m和n，再運用待定系數法即可得到一次函數的解析式；

（2）根據反比例函數與一次函數的交點問題結合點A和點B的坐標即可求解。18．【答案】解：根據題意，得∠ABD=37°，∠ABC=28°，CD=10米.在Rt△ABD中，tan∠ABD=∴AD=AB?在Rt△ABC中，tan∠ABC=∴AC=AB?∵CD=AD?AC=10米，∴0.75AB?0.答：橋AB的長約為45.5米.【解析】【分析】根據題意得∠ABD=37°，∠ABC=28°，CD=10米，進而解直角三角形表示出AD和AC即可求解。19．【答案】（1）400（2）解：由題意，得p=500?10(x?40)=?10x+900日銷售利潤W=(x?30)p=(x?30)(?10x+900)=?10由題意可知，日銷售量不低于350盒，∴p≥350，即?10x+900≥350，解得x≤55，∴40≤x≤55∵?10<0，對稱軸為直線x=60，∴在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，∴當x=55時，日銷售利潤W取得最大值，最大利潤為?10×(55?60)【解析】【解答】解：（1）由題意得p=500?(50?40)×10=400；故答案為：400；【分析】（1）根據題目信息進行計算即可求解；

（2）根據題意得到p與x的函數關系，進而即可得到W與x的函數關系式，再根據題意列出不等式即可求出x的取值范圍，從而根據二次函數的最值即可求解。20．【答案】（1）證明：如圖，連接OH.由題意可知，∠AHO=∠ACO=90°.又∵OH=OC，∴∠CAO=∠HAO，∴AO平分∠BAC（2）解：∵tan∴設OC=OH=r，則AC=AH=2r∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BHO∽△BCA，∴BH∴BC=2BH.∵BH=AB?AH=5?2r，∴BC=10?4r在Rt△ABC中，AC2+B解得r=32或∴⊙O的半徑為32【解析】【分析】（1）連接OH，由題意可知∠AHO=∠ACO=90°，進而根據等腰三角形的性質結合角平分線的定義即可求解；

（2）先根據銳角三角函數的定義設OC=OH=r，則AC=AH=2r，再根據相似三角形的判定與性質證明△BHO∽△BCA得到BC=2BH，再結合題意運用勾股定理即可求出r.21．【答案】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA.∵AC⊥BC，∠D=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC.（2）解：在Rt△ABC中，AC=A由（1）知△ACD∽△BAC，∴DCAC=AC（3）解：能.由題意，得BF=10?2t，BE=t.當△EFB為等腰三角形時，可分下列三種情況：①當BF=BE時，10?2t=t，解得t=10②如圖1，當EF=EB時，過點E作EG⊥AB，垂足為G，∴BG=1易得△BEG∽△BAC，∴BEAB=BGBC③如圖2，當FB=FE時，過點F作FH⊥BC，垂足為H，∴BH=1易得△BFH∽△BAC，∴BFAB=BHBC綜上所述，當△EFB為等腰三角形時，t的值為103或258【解析】【分析】（1）先根據平行線的性質得到∠BAC=∠DCA，進而結合題意即可得到∠D=∠ACB=90°，再根據相似三角形的判定即可求解；

（2）先根據勾股定理求出AC，進而根據相似三角形的性質結合題意代入數值即可求出DC；

（3）由題意得BF=10?2t，BE=t，當△EFB為等腰三角形時，可分三種情況：①當BF=BE時，②當EF=EB時，③當FB=FE時，進而根據相似三角形判定與性質列出方程，解方程即可求解。22．【答案】（1）解：∵拋物線為y=?x2+bx+c∴“衍生直線”的表達式為y=?x+1∵“衍生直線”y=?x+1與x軸交于點B，∴點B的坐標為(1∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點B(1∴拋物線的表達式為y=?(x?1)(x+3)=?令?x2?2x+3=?x+1，解得x=1把x=?2代入y=?x+1，得y=3，∴點A的坐標為(?2（2）解：①(?1,1)；(?3,2)；②點E1，E2，…，令x=1?2n，∴2∴這條直線的表達式為y=1【解析】【解答】解：（2）①對于y=?x+1，令x=0，則y=1，∴D1∴OD∵四邊形D1∴D1∴E1∵點D1，D2，D3