已知A(4,34),B(36,3),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值

-2-已知A(4,34),B(36,3),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過(guò)解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(4,34),B(36,3)求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對(duì)稱分析法根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，先找出其中1個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，再與另外一個(gè)點(diǎn)連成直線，則直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的p點(diǎn)。☆.找關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱步驟：A(4,34)B(36,3) xP(eq\f(1236,37),0)A1(4,-34)此時(shí)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1(4,-34)，此時(shí)直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(3-(-34),36-4)=eq\f(37,32),則其直線方程為:y-3=eq\f(37,32)*(x-36).令y=0，代入求出x=eq\f(1236,37),所以p(eq\f(1236,37),0).☆.找關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱步驟：A(4,34)B(36,3) xP(eq\f(1236,37),0)B1(36,-3)此時(shí)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1(36,-3)，此時(shí)直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(34-(-3),4-36)=-eq\f(37,32),則其直線方程為:y-34=-eq\f(37,32)(x-4).令y=0，代入求出x=eq\f(1236,37),所以p(eq\f(1236,37),0).?.三角形分析法已知A(4,34),B(36,3),求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長(zhǎng)度c=eq\r(1985)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長(zhǎng)度和的最小值。 P(x,0) A(4,34)B(36,3)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時(shí)，AP+PB的值最小,設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(4,36),此時(shí)AP和PB的斜率絕對(duì)值相等。又Kap=eq\f(34,4-x)，kbp=eq\f(3,36-x)，所以：|eq\f(34,4-x)|=|eq\f(3,36-x)|，求出x=eq\f(1236,37)，其中x=eq\f(1212,31)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時(shí)間最短路程傳播。B(36,3)A(4,34) 90°-θθP(x,0)x所求點(diǎn)即為光線的入射角，光線從A點(diǎn)出發(fā)，在p點(diǎn)反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時(shí)PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(3,36-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(34,4-x),所以：3(4-x)=-34(36-x),即：x=eq\f(1236,37)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x-4)2+342)+eq\r((x-36)2+32),是關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+342))+eq\f(x-36,eq\r((x-36)2+32)),令d'x=0，則eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+342))=-eq\f(x-36,eq\r((x-36)2+32)),(36-x)eq\r((x-4)2+342)=(x-4)eq\r((x-36)2+32),可知4<x<36,方程兩邊平方有:32(x-4)2=342(36