人教版8年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件

制作不易，僅限個人使用16.1二根次式第十六章二次根式第1課時二次根式的概念

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二次根式的概念.（重點）2.掌握二次根式有意義的條件.（重點）3.會利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題.（難點）

制作不易，僅限個人使用導(dǎo)入新課情景引入里約奧運會上，哪位奧運健兒給你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是誰嗎？你們是根據(jù)哪些特征猜出的呢？

制作不易，僅限個人使用下面來看傅園慧在里約奧運會賽后的采訪視頻，注意前方高能表情包.

制作不易，僅限個人使用通過表情包來辨別人物，最重要的是根據(jù)個人的特征，那么數(shù)學(xué)的特征是什么呢？“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”----中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院李邦河

制作不易，僅限個人使用復(fù)習(xí)引入問題1

什么叫做平方根?

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.問題2

什么叫做算術(shù)平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.問題3

什么數(shù)有算術(shù)平方根?我們知道,負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實數(shù)范圍內(nèi)開平方時，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

制作不易，僅限個人使用思考

用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點？(1)如圖的海報為正方形，若面積為2m2,則邊長為_____m；若面積為Sm2，則邊長為_____m．(2)如圖的海報為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．圖

圖

制作不易，僅限個人使用（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．

制作不易，僅限個人使用問題1

這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

講授新課二次根式的概念及有意義的條件一①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).問題2

這些式子有什么共同特征？

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)

一般地，我們把形如

的式子叫做二次根式.

“”稱為二次根號.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0注意：a可以是數(shù)，也可以是式.

制作不易，僅限個人使用例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析

制作不易，僅限個人使用例2當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-2≥0，得x≥2.當(dāng)x≥2時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.

制作不易，僅限個人使用解：∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零.歸納

制作不易，僅限個人使用解：(1)∵無論x為何實數(shù)，∴當(dāng)x=1時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無論x為何實數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴無論x為何實數(shù)，在實數(shù)范圍內(nèi)都無意義.

被開方數(shù)是多項式時，需要對組成多項式的項進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.歸納

制作不易，僅限個人使用(1)單個二次根式如有意義的條件：A≥0；(2)多個二次根式相加如有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件：

A＞0；(4)二次根式與分式的和如有意義的條件：

A≥0且B≠0.歸納總結(jié)

制作不易，僅限個人使用1.下列各式：.

一定是二次根式的個數(shù)有（）A.3個B.4個C.5個D.6個B2.(1)若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______;(2)若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

練一練

制作不易，僅限個人使用問題1

當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？前者x為全體實數(shù)；后者x為正數(shù)和0.

當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；當(dāng)a=0時，表示0的算術(shù)平方根，因此=0.這就是說，當(dāng)a≥0時，≥0.問題2

二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？二次根式的雙重非負(fù)性二

制作不易，僅限個人使用

二次根式的實質(zhì)是表示一個非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性歸納總結(jié)

制作不易，僅限個人使用例3若，求a-b+c的值.解：

由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多個非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.歸納典例精析

制作不易，僅限個人使用例4已知y=,求3x+2y的算術(shù)平方根.解：由題意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算術(shù)平方根為5，∴3x+2y的算術(shù)平方根為5．

制作不易，僅限個人使用解：由題意得∴a=3，∴b=4.當(dāng)a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11．

若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.歸納

制作不易，僅限個人使用已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.練一練

制作不易，僅限個人使用當(dāng)堂練習(xí)2.式子有意義的條件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.當(dāng)x=____時，二次根式取最小值，其最小值為______．1.下列式子中，不屬于二次根式的是（）CA-10

制作不易，僅限個人使用4.當(dāng)a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

制作不易，僅限個人使用5.(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍．解：由題意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍．解：由題意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.

制作不易，僅限個人使用6.若x，y是實數(shù)，且y＜,求的值.

解：根據(jù)題意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.

制作不易，僅限個人使用7.先閱讀，后回答問題：當(dāng)x為何值時，有意義？解：由題意得x(x-1)≥0由乘法法則得解得x≥1或x≤0即當(dāng)x≥1或x≤0時，有意義.能力提升：

制作不易，僅限個人使用體會解題思想后，試著解答：當(dāng)x為何值時，有意義？解：由題意得則解得x≥2或x＜，即當(dāng)x≥2或x＜時，有意義．

制作不易，僅限個人使用課堂小結(jié)二次根式定義帶有二次根號在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，從而建立不等式求出其解集.被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式的雙重非負(fù)性二次根式中,a≥0且

≥0

制作不易，僅限個人使用學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。謝謝大家

制作不易，僅限個人使用16.1二根次式第十六章二次根式第2課時二次根式的性質(zhì)

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷二次根式的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納、猜想的思想方法.（重點）2.會運用二次根式的兩個性質(zhì)進(jìn)行化簡計算.（難點）

制作不易，僅限個人使用導(dǎo)入新課情景引入問題1下列數(shù)字誰能順利通過下面兩扇門進(jìn)入客廳？

算術(shù)平方根之門

平方之門

0

-4

-1

a

a≥01

我們都是非負(fù)數(shù)喲

制作不易，僅限個人使用問題2若下列數(shù)字想從客廳出來，誰能順利通過兩扇門出來呢？

算術(shù)平方根之門

平方之門

0

-4

-1

1

16

4

1

a

a為任意數(shù)我們都是非負(fù)數(shù)，可出來之前我們有正數(shù)，零和負(fù)數(shù).思考

你發(fā)現(xiàn)了什么？

制作不易，僅限個人使用正方形的邊長為，

用邊長表示正方形的面積為

，又∵面積為a，即.（a≥0）的性質(zhì)一講授新課活動1如圖是一塊具有民族風(fēng)的正方形方巾，面積為a，求它的邊長，并用所求得的邊長表示出面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

這個式子是不是對所有的二次根式都成立呢？

制作不易，僅限個人使用活動2

為了驗證活動1的結(jié)論是否具有廣泛性，下面根據(jù)算術(shù)平方根及平方的意義填空，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

...算術(shù)平方根平方運算024

...a(a≥0)02=0

...觀察兩者有什么關(guān)系？

22=4

制作不易，僅限個人使用420根據(jù)活動2直接寫出結(jié)果，然后根據(jù)活動2的探究過程說明理由：

是2的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個平方等于2的非負(fù)數(shù).因此.同理，分別是0,4，的算術(shù)平方根，即得上面的等式.

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)

的性質(zhì)：一般地，＝a(a

≥0).即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.

制作不易，僅限個人使用典例精析例1

計算：解：(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？積的乘方：（ab）2=a2b2

制作不易，僅限個人使用例2

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

解：

本題逆用了在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式時，原來在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的方法和公式仍然適用.歸納

制作不易，僅限個人使用練一練

計算：解:

制作不易，僅限個人使用...平方運算算術(shù)平方根20.1

0...a(a≥0)2

...觀察兩者有什么關(guān)系？

的性質(zhì)二填一填：

＝a(a≥0).

制作不易，僅限個人使用...平方運算算術(shù)平方根-2-0.1

...2

...觀察兩者有什么關(guān)系？

a(a＜0)思考：當(dāng)a＜0時，=？-a

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)a(a≥0)-a(a＜0)即任意一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.

的性質(zhì)：

制作不易，僅限個人使用例3化簡：解：，而3.14＜π，要注意a的正負(fù)性.注意

制作不易，僅限個人使用

計算：

練一練解:

制作不易，僅限個人使用辨一辨：請同學(xué)們快速分辨下列各題的對錯．（）（）（）（）××√√

制作不易，僅限個人使用議一議：如何區(qū)別與？從運算順序看從取值范圍看從運算結(jié)果看先開方,后平方先平方，后開方a≥0a取任何實數(shù)a|a|意義表示一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根

制作不易，僅限個人使用例4實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，請你化簡:解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab

制作不易，僅限個人使用【變式題】

實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：.解：根據(jù)數(shù)軸可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．

利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，關(guān)鍵是要要根據(jù)a,b的大小討論絕對值內(nèi)式子的符號.注意

制作不易，僅限個人使用例5已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三邊關(guān)系三邊長均為正數(shù)，a+b＞c兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0

制作不易，僅限個人使用用基本運算符號（包括加、減、乘、除、乘方和開方）把

或

連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.概念學(xué)習(xí)數(shù)表示數(shù)的字母

想一想到現(xiàn)在為止，初中階段所學(xué)的代數(shù)式主要有哪幾類？代數(shù)式整式分式二次根式代數(shù)式的定義三

制作不易，僅限個人使用（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在靜水中的速度是vkm/h，用代數(shù)式表示船在這條河中順?biāo)旭偤湍嫠旭倳r的速度；例6解：（1）船在這條河中順?biāo)旭偟乃俣仁莐m/h，逆水行駛的速度是km/h．（2）如圖，小語要制作一個長與寬之比為5:3的長方形賀卡，若面積為S，用代數(shù)式表示出它的長.

（2）設(shè)賀卡的長為5x,則寬為3x.依題意得15x2=S，所以所以它的長為

制作不易，僅限個人使用列代數(shù)式的要點：①要抓住關(guān)鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關(guān)系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數(shù)、相反數(shù)等；②理清語句層次明確運算順序；③牢記一些概念和公式．歸納總結(jié)

制作不易，僅限個人使用1.在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A.7B.3＞2C.D．B練一練2.如圖是一圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為__________.

方法總結(jié)：單個的數(shù)字或字母也是代數(shù)式，代數(shù)式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.

制作不易，僅限個人使用當(dāng)堂練習(xí)1.化簡得（）A.±4

B.±2

C.4D.-4C2.當(dāng)1<x<3時，的值為（）A.3B.-3C.1D.-1D3.下列式子是代數(shù)式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3個B.4個C.5個D.6個C

制作不易，僅限個人使用4.化簡：（1）＝

;（2）＝

;

（3）

;（4）

.37481-1012a5.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是

.1

制作不易，僅限個人使用6.利用a

＝（a≥0），把下列非負(fù)數(shù)分別寫成一個非負(fù)數(shù)的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.

制作不易，僅限個人使用7.(1)已知a為實數(shù)，求代數(shù)式的值.解：由題意得a+2≥0，-4-2a≥0，∴a=-2，∴.(2)已知a為實數(shù)，求代數(shù)式的值.解：由題意得-a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0，∴能力提升：

制作不易，僅限個人使用課堂小結(jié)二次根式性質(zhì)

＝a(a

≥0).拓展性質(zhì)|a|（a為全體實數(shù)）

制作不易，僅限個人使用學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。謝謝大家

制作不易，僅限個人使用16.2二根次式的乘除第十六章二次根式第1課時二次根式的乘法

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二次根式的乘法法則.（重點）2.會運用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡單運算.（難點）

制作不易，僅限個人使用導(dǎo)入新課情景引入近年來我國探月工程取得了一個又一個的成就，無論是嫦娥探測器還是玉兔月球車，既體現(xiàn)了中華民族傳統(tǒng)文化的意味，又契合了我國和平利用太空的意愿，下面一起來觀看嫦娥三號發(fā)射模擬視頻：

制作不易，僅限個人使用問題1運用運載火箭發(fā)射航天行器時，火箭必須達(dá)到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，從而將飛船送入環(huán)地球運行的軌道.第一宇宙速度v與地球半徑R之間存在如下關(guān)系：v12=gR，其中g(shù)是重力加速度.請用含g，R的代數(shù)式表示出第一宇宙速度v1.第一宇宙速度v1可以表示為.

制作不易，僅限個人使用問題2飛行器脫離地心引力，進(jìn)入圍繞太陽運行的軌道所需要的速度稱為第二宇宙速度.第二宇宙速度為v2=v1，請結(jié)合問題1用含g，R的代數(shù)式表示出第二宇宙速度v2.第二宇宙速度v2可以表示為.思考

若已知地球半徑R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本質(zhì)是把兩個二次根式相乘，該怎么乘呢？

制作不易，僅限個人使用(1)___×___=____;=_________;講授新課二次根式的乘法一計算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630觀察兩者有什么關(guān)系？

制作不易，僅限個人使用觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個等式：(1)(2)(3)思考你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？猜測：

你能證明這個猜測嗎？

制作不易，僅限個人使用求證：證明：根據(jù)積的乘方法則，有∴就是ab算術(shù)平方根.又∵表示ab算術(shù)平方根，∴

.證一證

制作不易，僅限個人使用一般地，對于二次根式的乘法是語言表述：算術(shù)平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術(shù)平方根.二次根式的乘法法則:二次根式相乘，________不變，________相乘.根指數(shù)被開方數(shù)歸納總結(jié)注意：a,b都必須是非負(fù)數(shù).在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)．

制作不易，僅限個人使用典例精析例1計算:解:(3)只需其中兩個結(jié)合就可實現(xiàn)轉(zhuǎn)化進(jìn)行計算，說明二次根式乘法法則同樣適合三個及三個以上的二次根式相乘，即.歸納可先用乘法結(jié)合律，再運用二次根式的乘法法則

制作不易，僅限個人使用例2計算:解:

當(dāng)二次根式根號外的因數(shù)不為1時，可類比單項式乘單項式的法則計算，即.歸納問題

你還記得單項式乘單項式法則嗎？試回顧如何計算3a2·2a3=

.6a5提示：可類比上面的計算哦

制作不易，僅限個人使用二次根式的乘法法則的推廣：歸納總結(jié)多個二次根式相乘時此法則也適用，即當(dāng)二次根號外有因數(shù)(式)時，可以類比單項式乘單項式的法則計算，即根號外的因數(shù)(式)的積作為根號外的因數(shù)(式)，被開方數(shù)的積作為被開方數(shù)，即

制作不易，僅限個人使用例3比較大小(一題多解):解：(1)方法一：∵，，又∵20＜27，∴，即.方法二：∵，

，又∵20＜27，∴，即.

制作不易，僅限個人使用解：(2)∵，，又∵52＜54，∴，∴,即

比較兩個二次根式大小的方法：可轉(zhuǎn)化為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用平方法.歸納兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

制作不易，僅限個人使用A.B.C.D.1.計算的結(jié)果是()

A.B.4C.D.2B2.下面計算結(jié)果正確的是()

D3.計算：____.

30練一練

制作不易，僅限個人使用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)二反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：這個性質(zhì)在有的地方稱之為“積的算術(shù)平方根的性質(zhì)”我們可以運用它來進(jìn)行二次根式的解題和化簡.語言表述：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

制作不易，僅限個人使用解：（1）；例4

化簡：（1）；（2）．（2）

(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，這樣開的盡方的因數(shù)或因式，把它們開方后移到根號外.

制作不易，僅限個人使用（1）；（2）．【變式題】

化簡：解：（1）（2）

當(dāng)二次根式內(nèi)的因數(shù)或因式可以化成含平方差或完全平方的積的形式，此時運用乘法公式可以簡化運算.歸納

制作不易，僅限個人使用例5

計算：（1）；（2）；（3）．解：（1）（2）（3）

制作不易，僅限個人使用3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式

a2=把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡.1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；化簡二次根式的步驟：歸納總結(jié)

制作不易，僅限個人使用1.計算：解：

練一練易錯提醒：中，a,b必須是非負(fù)數(shù).

制作不易，僅限個人使用2.下面是意大利藝術(shù)家列奧納多·達(dá)·芬奇所創(chuàng)作世界名畫，若長為，寬為，求出它的面積.解：它的面積為

制作不易，僅限個人使用當(dāng)堂練習(xí)1.若，則（）A．x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x為一切實數(shù)A2.下列運算正確的是（）A.B.C.D.D

制作不易，僅限個人使用4.比較下列兩組數(shù)的大?。ㄔ跈M線上填“＞”“＜”或“=”）：＞＜3.計算：

制作不易，僅限個人使用5.計算：

制作不易，僅限個人使用

制作不易，僅限個人使用6.設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊分別為a,b.(1)已知,，求S；解：S=ab=

==

=

（2）已知,，求S.

解：S=ab=

===240.

制作不易，僅限個人使用7.已知試著用a,b表示.解：能力提升：

制作不易，僅限個人使用課堂小結(jié)二次根式乘法法則性質(zhì)拓展法則

制作不易，僅限個人使用學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。謝謝大家

制作不易，僅限個人使用16.2二根次式的乘除第十六章二次根式第2課時二次根式的除法

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二次根式的除法法則.（重點）2.會運用除法法則及商的算術(shù)平方根進(jìn)行簡單運算.

（難點）3.能將二次根式化為最簡二次根式.（重點）

制作不易，僅限個人使用站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符合公式為.導(dǎo)入新課情景引入解：問題1

某一登山者爬到海拔100米處，即時，他看到的水平線的距離d1是多少？

制作不易，僅限個人使用問題2

該登山者接著爬到海拔200米的山頂，即時，此時他看到的水平線的距離d2是多少？問題3

他從海拔100米處登上海拔200米高的山頂，那么他看到的水平線的距離是原來的多少倍？解：二次根式的除法該怎樣算呢解：思考

乘法法則是如何得出的？除法有沒有類似的法則？

制作不易，僅限個人使用(1)___÷___=____;=_____;講授新課計算下列各式:(2)___÷___=____;(3)___÷___=____;=_____;=_____.234567觀察兩者有什么關(guān)系？

二次根式的除法一

制作不易，僅限個人使用觀察三組式子的結(jié)果，我們得到下面三個等式：(1)(2)(3)思考通過上述二次根式除法運算結(jié)果，聯(lián)想到二次根式除法運算法則，你能說出二次根式的結(jié)果嗎？特殊一般

制作不易，僅限個人使用議一議問題在前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律中，a,b的取值范圍有沒有限制呢？不對，同乘法法則一樣，a,b都為非負(fù)數(shù).a,b同號就可以啦你們都錯啦，a≥0，b＞0,b=0時等式兩邊的二次根式就沒有意義啦

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)二次根式的除法法則:文字?jǐn)⑹?算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)商的算術(shù)平方根.當(dāng)二次根式根號外的因數(shù)(式)不為1時，可類比單項式除以單項式法則，易得

制作不易，僅限個人使用例1計算：解:除式是分?jǐn)?shù)或分式時，先要轉(zhuǎn)讓化為乘法再進(jìn)行運算典例精析

制作不易，僅限個人使用解:

類似(4)中被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再運用二次根式除法法則進(jìn)行運算.歸納

制作不易，僅限個人使用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)二我們可以運用它來進(jìn)行二次根式的解題和化簡.語言表述：商的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的商.我們知道，把二次根式的乘法法則反過來就得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì).類似的，把二次根式的除法法則反過來，就得到二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

制作不易，僅限個人使用例2

化簡:解:還有其他解法嗎?補充解法：典例精析

制作不易，僅限個人使用解：先商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，再運用積的平方根性質(zhì)

制作不易，僅限個人使用1.能使等式成立的x的取值范圍是（）A.x≠2B.x≥0C.x＞2D.x≥2C2.化簡：解：練一練

制作不易，僅限個人使用最簡二次根式三問題1

你還記得分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分?jǐn)?shù)與原分?jǐn)?shù)相等.即問題2

前面我們學(xué)習(xí)了二次根式的除法法則，你會去掉這樣的式子分母的根號嗎？是不是可以用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)去掉分母的根號呢？

制作不易，僅限個人使用下面讓我們一起來做做看吧：把分母中的根號化去,使分母變成有理數(shù)的這個過程就叫做分母有理化.概念學(xué)習(xí)

制作不易，僅限個人使用例3

計算:解:典例精析

分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根號.歸納

制作不易，僅限個人使用滿足如下兩個特點：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.簡記為：一根號無分母，分母無根號；二不能再開方.歸納總結(jié)在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

制作不易，僅限個人使用在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的進(jìn)行化簡．解：只有(3)是最簡二次根式；練一練

制作不易，僅限個人使用例4

設(shè)長方形的面積為S,相鄰兩邊長分別為a,b.已知，求a的值.解:∵∴二次根式除法的應(yīng)用四

制作不易，僅限個人使用例5

高空拋物現(xiàn)象被稱為“懸在城市上空的痛”．據(jù)報道：一個30g的雞蛋從18樓拋下來就可以砸破行人的頭骨，從25樓拋下可以使人當(dāng)場死亡．據(jù)研究從高空拋物時間t和高度h近似的滿足公式.從100米高空拋物到落地所需時間t2是從50米高空拋物到落地所需時間t1的多少倍？解:由題意得

制作不易，僅限個人使用當(dāng)堂練習(xí)1.化簡的結(jié)果是（）A．9B．3C．D．B2.下列根式中，最簡二次根式是（）A.B.C.D.C

制作不易，僅限個人使用3.若使等式成立，則實數(shù)k取值范圍是（）BA.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤2

4.下列各式的計算中，結(jié)果為的是（）A.B.C.D.C

制作不易，僅限個人使用5.化簡：解:

制作不易，僅限個人使用6.在物理學(xué)中有公式W=I2Rt，其中W表示電功(單位：焦耳)，I表示電流(單位：安培)，R表示電阻(單位：歐姆)，t表示時間(單位：秒)，如果已知W、R、t，求I，則有.若W=2400焦耳，R=100歐姆，t=15秒．試求電流I．解：當(dāng)W=2400，R=100，t=15時，

制作不易，僅限個人使用7.自習(xí)課上，張玉看見同桌劉敏在練習(xí)本上寫的題目是“求二次根式中實數(shù)a的取值范圍”，她告訴劉敏說：你把題目抄錯了，不是“”，而是“

”劉敏說：哎呀，真抄錯了，好在不影響結(jié)果，反正a和a-3都在根號內(nèi)．試問：劉敏說得對嗎？解：劉敏說得不對，結(jié)果不一樣．理由如下：按計算，則a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；而按計算，則a≥0，a-3＞0,解得a＞3．能力提升：

制作不易，僅限個人使用課堂小結(jié)二次根式除法法則性質(zhì)拓展法則相關(guān)概念分母有理化最簡二次根式

制作不易，僅限個人使用學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。謝謝大家

制作不易，僅限個人使用16.3二根次式的加減第十六章二次根式第1課時二次根式的加減

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解二次根式的加、減運算法則.（重點）2.會用二次根式的加、減運算法則進(jìn)行簡單的運算.

（難點）

制作不易，僅限個人使用問題1滿足什么條件的根式是最簡二次根式?問題2化簡下列兩組二次根式，每組化簡后有什么共同特點?（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.化簡后被開方數(shù)相同導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入

制作不易，僅限個人使用問題3

有八只小白兔，每只身上都標(biāo)有一個最簡二次根式，你能根據(jù)被開方數(shù)的特征將這些小白兔分到四個不同的柵欄里嗎？

制作不易，僅限個人使用aaaaaaaaaa=+在七年級我們就已經(jīng)學(xué)過單項式加單項式的法則.觀察下圖并思考.由上圖，易得2a+3a=5a.當(dāng)a=時，分別代入左右得;當(dāng)a=時，分別代入左右得;......講授新課

在二次根式的加減運算中可以合并的二次根式一你發(fā)現(xiàn)了什么？

制作不易，僅限個人使用因為，由前面知兩者可以合并.

你又有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

當(dāng)a=,b=時，得2a+3b=.a2a+3bb=+bba這兩個二次根式可以合并嗎？前面依次往下推導(dǎo)，由特殊到一般易知二次根式的被開方數(shù)相同可以合并.繼續(xù)觀察下面的過程：

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)將二次根式化成最簡式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并.

注意：判斷幾個二次根式是否可以合并，一定都要化為最簡二次根式再判斷.合并的方法與合并同類項類似，把根號外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)(式)不變.如：

制作不易，僅限個人使用例1

若最簡根式與可以合并，求的值.解：由題意得解得即典例精析

確定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開方數(shù)相同，指數(shù)都為，2列關(guān)于待定字母的方程求解即可.歸納

制作不易，僅限個人使用【變式題】如果最簡二次根式與可以合并，那么要使式子有意義，求x的取值范圍.解：由題意得3a-8=17-2a,∴a=5，∴∴20-2x≥0，x-5＞0，∴5＜x≤10.

制作不易，僅限個人使用練一練1.下列各式中，與是同類二次根式的是（）A.B.C.D.D2.與最簡二次根式能合并，則m=_____.13.下列二次根式，不能與合并的是________(填序號）.②⑤

制作不易，僅限個人使用二次根式的加減及其應(yīng)用二思考現(xiàn)有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm問題1

怎樣列式求兩個正方形邊長的和?S=8dm2S=18dm2

制作不易，僅限個人使用問題2

所列算式能直接進(jìn)行加減運算嗎?如果不能,把式中各個二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運算的依據(jù)）.（化成最簡二次根式）（逆用分配律）∴在這塊木板上可以截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

制作不易，僅限個人使用歸納總結(jié)二次根式的加減法法則:一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.(1)化——將非最簡二次根式的二次根式化簡；加減法的運算步驟：(2)找——找出被開方數(shù)相同的二次根式；(3)并——把被開方數(shù)相同的二次根式合并.

“一化簡二判斷三合并”

制作不易，僅限個人使用化為最簡二次根式用分配律合并整式加減二次根式性質(zhì)分配律整式加減法則依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則.

基本思想：把二次根式加減問題轉(zhuǎn)化為整式加減問題．

制作不易，僅限個人使用典例精析例2計算:解：

制作不易，僅限個人使用例3計算:解：有括號，先去括號

制作不易，僅限個人使用例4已知a,b,c滿足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c為三邊長能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出其周長；若不能，請說明理由.解：(1)由題意得；(2)能.理由如下：∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能夠成三角形，周長為分析：(1)若幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)必須為零；(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來判斷.

制作不易，僅限個人使用【變式題】

有一個等腰三角形的兩邊長分別為，求其周長.解：

當(dāng)腰長為時，∵∴此時能構(gòu)成三角形，周長為

當(dāng)腰長為時，∵∴此時能構(gòu)成三角形，周長為

二次根式的加減與等腰三角形的綜合運用，關(guān)鍵是要分類討論及會比較兩個二次根式的大小.歸納

制作不易，僅限個人使用練一練1.下列計算正確的是（）A.B.C.D.C2.已知一個矩形的長為,寬為，則其周長為______.

制作不易，僅限個人使用當(dāng)堂練習(xí)1.二次根式：中，與能進(jìn)行合并的是（）A.B

.C

.D

.2.下列運算中錯誤的是（）A.B.C.D.AC

制作不易，僅限個人使用3.三角形的三邊長分別為則這個三角形的周長為__________.

4.計算:

制作不易，僅限個人使用解：5.計算:

制作不易，僅限個人使用解：

制作不易，僅限個人使用6.下圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構(gòu)成.已知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m2，求圓環(huán)的寬度d（π取3.14）.d

制作不易，僅限個人使用解設(shè)大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為，，由，

可知則答：圓環(huán)的寬度為d

制作不易，僅限個人使用7.已知a，b都是有理數(shù)，現(xiàn)定義新運算：a*b=，求（2*3）－（27*32）的值．解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）===能力提升：

制作不易，僅限個人使用課堂小結(jié)二次根式加減法則注意運算順序運算原理一般地，二次根式的加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.運算律仍然適用與實數(shù)的運算順序一樣

制作不易，僅限個人使用學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。謝謝大家

制作不易，僅限個人使用16.3二根次式的加減第十六章二次根式第2課時二次根式的混合運算

制作不易，僅限個人使用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握二次根式的混合運算的運算法則.（重點）2.會運用二次根式的混合運算法則進(jìn)行有關(guān)的運算.（難點）

制作不易，僅限個人使用教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于善于激勵喚醒和鼓舞

制作不易，僅限個人使用導(dǎo)入新課問題1

單項式與多項式、多項式與多項式的乘法法則法則分別是什么?問題2多項式與單項式的除法法則是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb復(fù)習(xí)引入(ma+mb+mc)÷m=a+b+c

制作不易，僅限個人使用分配律

單×多

轉(zhuǎn)化

前面兩個問題的思路是：思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每個同學(xué)任選一組)，然后對比歸納，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

單×單

制作不易，僅限個人使用講授新課

二次根式的混合運算及應(yīng)用一

二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現(xiàn)在：運算律、運算順序、乘法法則仍然適用.例1計算：

解：

制作不易，僅限個人使用

二次根式的混合運算，先要弄清運算種類，再確定運算順序：先乘除，再加減，有括號的要算括號內(nèi)的，最后按照二次根式的相應(yīng)的運算法則進(jìn)行.歸納解：此處類比“多項式×多項式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

制作不易，僅限個人使用解：(1)原式(2)原式【變式題】計算：

有絕對值符號的，同括號一樣，先去絕對值，注意去掉絕對值后，得到的數(shù)應(yīng)該為正數(shù).歸納

制作不易，僅限個人使用例2

甲、乙兩個城市間計劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫斷面設(shè)計為上底寬，下底寬，高的梯形，這段路基長500m，那么這段路基的土石方

(即路基的體積,其中路基的體積=路基橫斷面面積×路基的長度)為多少立方米呢？典例精析

制作不易，僅限個人使用解：路基的土石方等于路基橫斷面面積乘以路基的長度，所以這段路基的土石方為：答：這段路基的土石方為

制作不易，僅限個人使用

計算：

練一練

制作不易，僅限個人使用問題1

整式乘法運算中的乘法公式有哪些?平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式進(jìn)行二次根式的運算二問題2

整式的乘法公式對于二次根式的運算也適用嗎?整式的乘法公式就是多項式×多項式前面我們已經(jīng)知道二次根式運算類比整式運算，所以適用喲

制作不易，僅限個人使用例3計算：

解：典例精析

制作不易，僅限個人使用

解：

進(jìn)行二次根式的混合運算時，一般先將二次根式轉(zhuǎn)化為最簡二次根式，再根據(jù)題目的特點確定合適的運算方法，同時要靈活運用乘法公式，因式分解等來簡化運算.歸納

制作不易，僅限個人使用【變式題】計算：解：(1)原式(2)原式

制作不易，僅限個人使用

計算：練一練先用乘法交換律，再用乘法公式化簡.

制作不易，僅限個人使用求代數(shù)式的值三

例3

已知試求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把代入上式得原式=

制作不易，僅限個人使用解:∵，∴∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]【變式題】

已知，求x3y+xy3.

用整體代入法求代數(shù)式值的方法：求關(guān)于x,y的對稱式(即交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后將所求代數(shù)式適當(dāng)變形成知含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.歸納

制作不易，僅限個人使用在前面我們學(xué)習(xí)了二次根式的除法法則時，學(xué)會了怎樣去掉分母的二次根式的方法，比如:拓展探究思考如果分母不是單個的二次根式，而是含二次根式的式子，如：等，該怎樣去掉分母中的二次根式呢？根據(jù)整式的乘法公式在二次根式中也適用，你能想到什么好方法嗎？

制作不易，僅限個人使用例4

計算:解: