高等數(shù)學簡明教程 第4版 課件 第3章 導數(shù)的應用

高等數(shù)學簡明教程第4版第3章導數(shù)的應用本章將利用導數(shù)知識來研究函數(shù)的各種性態(tài),這些知識在日常生活、科學實踐、經濟往來中有著廣泛的應用.

拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調性

圖3-1

由拉格朗日中值定理可得出下面的推論.推論若函數(shù)f(x)在(a,b)內任意點的導數(shù)都等于零,則f(x)在(a,b)內是一個常數(shù).證在(a,b)內任取兩點x1,x2,不妨設x1<x2.顯然f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理,即有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)由條件知f'(ξ)=0,從而f(x2)-f(x1)=0,即f(x2)=f(x1).由點x1,x2的任意性,我們就證明了f(x)在(a,b)內是一個常數(shù).

3.1.2函數(shù)的單調性如圖3-2所示,單調增加(減少)的函數(shù),它上面各點處的切線與x軸的正向成銳(鈍)角,即各點切線的斜率是非負(正)的,也就是各點的導數(shù)值是非負(正)的,這說明函數(shù)的單調性與導數(shù)的符號之間有著密切的聯(lián)系.圖3-21.函數(shù)單調性的必要條件設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導.如果f(x)在[a,b]上單調增加(減少),則在(a,b)內f'(x)≥0(f'(x)≤0).2.函數(shù)單調性判定法設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.(1)如果在區(qū)間(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在(a,b)內單調增加;(2)如果在區(qū)間(a,b)內f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內單調減少.證先證(1).在(a,b)內任取兩點x1,x2,不妨設x1<x2.顯然f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件,即有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)由條件知f'(ξ)>0,且x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0因此f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),從而f(x)在(a,b)內單調增加.類似可證(2).需要說明的是:(1)對于無窮區(qū)間判定法也成立;(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間內的有限個點處有f'(x)=0或f'(x)不存在,而在其余點處f'(x)的值均為正(負)的,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間內仍是單調增加(減少)的.一般地,在討論函數(shù)的單調性時,需先確定函數(shù)的定義域,再找出使f'(x)=0或f'(x)不存在的點,用這些點把定義域分為若干區(qū)間,最后討論函數(shù)在這些區(qū)間上的單調性.例3-2討論函數(shù)f(x)=x3-27x的單調性.解此函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),因為f'(x)=3x2-27=3(x+3)(x-3)令f'(x)=0,得x1=-3,x2=3用x1,x2將函數(shù)的定義域分成三個區(qū)間:(-∞,-3),(-3,3),(3,+∞).當-∞<x<-3時,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-3)內單調增加;當-3<x<3時,f'(x)<0,故f(x)在(-3,3)內單調減少;當3<x<+∞時,f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)內單調增加.上述結果也可列表考察:x(-∞,-3)-3(-3,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調增加

單調減少

單調增加

圖3-3列表考察:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)單調增加

單調減少

圖3-4列表考察:利用函數(shù)的單調性還可以證明不等式,這種方法的關鍵是考慮選擇適當?shù)妮o助函數(shù),具體步驟如下:(1)通過代數(shù)變換把不等式的右端化成0,把左端設為f(x);(2)先確定f'(x)的符號,即f(x)的單調性,再由單調性定義確定出f(x)的符號.xf'(x)—0+0-f(x)單調減少

單調增加

單調減少

在實際生活中,經常會碰到“最大、最小”這類問題,在數(shù)學上叫作最大值、最小值問題.要求一個函數(shù)的最大值或最小值,必須先討論函數(shù)的極值.3.2.1

函數(shù)的極值1.極值的定義定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內有定義,若對該鄰域內任一點x,都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值(或極小值),稱點x0為函數(shù)f(x)的極大值點(或極小值點).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.函數(shù)的極值與最值顯然極值是一個局部性概念,它只是與極值點鄰近的所有點的函數(shù)值相比較而言,并不意味著它在函數(shù)的整個定義區(qū)間內最大或最小.有時函數(shù)在整個定義區(qū)間內有多個極值點,某個局部的極小值(如f(a))也有可能比另一個局部的極大值(如f(b))還大,如圖3-5所示.定理1

(極值的必要條件)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值,且在x0處導數(shù)存在,則必有f'(x0)=0.從圖像上看,若函數(shù)f(x)在x0處取得極值,且f'(x0)存在,則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有水平切線(見圖3-5).圖3-5

圖3-62.極值判別法判別法1設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內可導,若f'(x0)=0或在點x0處導數(shù)不存在但在x0處連續(xù),則(1)當x逐漸增大地通過點x0時,若導數(shù)值由正變負,則函數(shù)f(x)在點x0處取極大值f(x0);若導數(shù)值由負變正,則函數(shù)f(x)在點x0處取極小值f(x0).(2)當x逐漸增大地通過點x0時,若導數(shù)值不變號,則x0不是函數(shù)f(x)的極值點.由上面的論述可知,求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟為:(1)求出導數(shù)f'(x);(2)求出函數(shù)的可疑極值點;(3)用極值判別法1判定以上的點是否為極值點;(4)求出極值點處的函數(shù)值,即為極值.

x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-不存在+f(x)單調減少極小值0單調增加

圖3-7列表考察:xf'(x)-0+0-f(x)單調減少單調增加單調減少

圖3-8列表考察:x1(1,+∞)f'(x)+0-0+0+f(x)單調增加極大值0單調減少單調增加不取極值單調增加判別法2若f'(x0)=0,且f″(x0)存在,則(1)若f″(x0)>0,則f(x0)為極小值;(2)若f″(x0)<0,則f(x0)為極大值.

列表考察:需要注意的是:找可疑極值點時不要漏掉導數(shù)不存在的點.x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'(x)-不存在+0-不存在+f(x)單調減少極小值0單調增加極大值1單調減少極小值0單調增加例3-11求函數(shù)f(x)=x4-4x3+6x2-4x的極值.解此函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),因為f'(x)=4x3-12x2+12x-4=4(x-1)3

令f'(x)=0,得駐點x=1.又因為f″(x)=12(x-1)2所以f″(1)=0,故極值判別法2失效,須用極值判別法1判別.列表考察:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)單調減少極小值-1單調增加3.2.2

函數(shù)的最值定義2設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上連續(xù),若x0∈I,且對所有x∈I,都有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f(x)),則f(x0)稱為函數(shù)f(x)的最大值(或最小值).顯然,函數(shù)的最大值、最小值一定是函數(shù)的極值,但反之未必.一般來說,連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上的最大值與最小值,從區(qū)間端點處、極值點處的函數(shù)值中取得,因此,只需求出端點處及區(qū)間內使f'(x)=0及f'(x)不存在的點處的函數(shù)值,把它們做比較,從中找出最大值、最小值即可.例3-12求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x-2在區(qū)間[-3,2]上的最大值和最小值.解因為f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)令f'(x)=0,得駐點x1=-2,x2=1.因為f(-3)=7,f(-2)=18,f(1)=-9,f(2)=2所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,2]上的最大值為f(-2)=18,最小值為f(1)=-9.在實際問題中,常會碰到最大值和最小值問題,如用料最省、效益最高等,遇到的函數(shù)大多是在某區(qū)間內只有一個極值點的連續(xù)且可導的函數(shù).因而實際問題中的最大值、最小值,就是函數(shù)的極大值、極小值.實際問題求解最值的一般解題步驟為:(1)分析問題,建立目標函數(shù)把問題的目標作為因變量,把它所依賴的量作為自變量,建立二者的函數(shù)關系,即目標函數(shù),并確定函數(shù)的定義域.(2)解極值問題確定自變量的取值,使目標函數(shù)達到最大值或最小值.

圖3-9

圖3-10

圖3-11

圖3-12

為了準確描繪函數(shù)的圖像,僅知道函數(shù)的單調性和極值是不夠的.還應知道它的彎曲方向和分界點.這一節(jié),我們就專門研究曲線的凹凸與拐點.3.3.1

曲線的凹凸及其判別法如圖3-13所示,可以看出曲線的彎曲方向,與其上的切線的位置有關.定義3若曲線弧位于其每一點切線的上(下)方,則稱曲線弧是凹(凸)的.曲線的凹凸與拐點圖3-13由圖3-14可以看出,如果曲線是凹的,那么其切線的傾斜角θ隨x的增大而增大,即切線的斜率單調增加,由于切線的斜率就是f'(x),因此f'(x)單調增加,所以f″(x)>0.由圖3-15可以看出,如果曲線是凸的,那么其切線的傾斜角θ隨x的增大而減少,即切線的斜率單調減小,由于切線的斜率就是f'(x),因此f'(x)單調減小,所以f″(x)<0.圖3-14圖3-15由以上討論可得曲線凹凸的判定法如下:曲線凹凸的判定法設f(x)在(a,b)內具有二階導數(shù),(1)如果f″(x)>0,則曲線在(a,b)內是凹的;(2)如果f″(x)<0,則曲線在(a,b)內是凸的.3.3.2

曲線的拐點一般地,連續(xù)曲線凹、凸兩段弧的分界點稱為曲線的拐點,如圖3-16中所示的點a即為拐點.顯然,曲線y=f(x)的拐點只能是f″(x)=0或f″(x)不存在的點.圖3-16求連續(xù)曲線的拐點步驟如下:(1)求出函數(shù)f(x)的f″(x)=0或f″(x)不存在的點.(2)在求出點的左、右兩邊,若f″(x)異號,則該點就是拐點,否則,就不是拐點.

上述結果也可列表考察:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f″(x)-0+0-f(x)凸拐點凹拐點凸

圖3-17圖3-18列表考察:x(-∞,0)0(0,+∞)f″(x)-不存在+f(x)凸間斷點凹3.3.3

曲線的漸近線若曲線y=f(x)上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時,點P與某直線L的距離趨于零,則L稱為該曲線的漸近線.并不是任何曲線都有漸近線,漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況.根據漸近線的位置,可將曲線的漸近線分為三類:水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.下面僅討論水平漸近線和垂直漸近線,有關斜漸近線的討論見本章3.5節(jié)提示與提高4.

圖3-19

圖3-20

圖3-213.3.4作函數(shù)圖像的一般步驟函數(shù)圖像描繪的一般步驟如下:(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點;(2)確定函數(shù)的特性,如奇偶性、周期性等;(3)求出函數(shù)的一、二階導數(shù),并確定函數(shù)的極值點、拐點:(4)確定曲線的漸近線;(5)需要時,計算一些適當點的坐標,如曲線與坐標軸的交點等;(6)用間斷點、極值點與拐點把定義域分為若干區(qū)間,列表說明在這些區(qū)間上函數(shù)的增減性與凹向性;(7)作圖.例3-22作函數(shù)y=x3-3x2的圖像.解1)函數(shù)的定義域為(-∞,+∞);2)y'=3x2-6x=3x(x-2),令y'=0,得x1=0,x2=2,

y″=6x-6,令y″=0,得x=1;3)列表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)